新版高考數(shù)學三輪講練測核心熱點總動員新課標版 專題05 排列組合和概率理 Word版含解析

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2、 1 20xx年高考三輪復習系列：講練測之核心熱點 【全國通用版】 【名師精講指南篇】 【高考真題再現(xiàn)】 1.【20xx新課標Ⅱ理】從個正整數(shù)中任意取出兩個不同的數(shù),若取出的兩數(shù)之和等于的概率為,則 . 【答案】8 【解析】由題意知,取出的兩數(shù)之和等于5的有兩種情況：和,所以,即,解得（舍去）或. 2.【20xx全國1高考

3、理】4位同學各自在周六、周日兩天中任選一天參加公益活動,則周六、周日都有同學參加公益活動的概率為（ ） A． B． C． D． 【答案】D 3【20xx全國Ⅱ理】某地區(qū)空氣質(zhì)量監(jiān)測資料表明,一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是 0.75,連續(xù)兩天為優(yōu)良的概率是0.6,已知某天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良,則隨后一天的空氣質(zhì)量 為優(yōu)良的概率是（ ） A.0.8 B.0.75 C.0.6 D.0.45 【答案】A 【解析】此題為條件概率,,故選A. 4.【20xx全國Ⅰ理】投籃測試中,每人投3次,至少投中2次才能通過測試,已知某同學每次投籃投中的概率為0.6,且各次投

4、籃是否投中相互獨立,則該同學通過測試的概率為（）. A．0.648 B．0.432 C．0.36 D．0.312 【答案】A 【解析】 根據(jù)獨立重復試驗公式得,該同學通過測試的概率為．故選A． 【熱點深度剖析】 從這三年高考來看,對這一熱點的考查,主要考查分類計數(shù)原理、分步計數(shù)原理,排列組合,等可能事件的概率,古典概型,幾何概型,條件概率,相互獨立事件的概率、互斥事件的概率． 20xx年高考考查抽樣方法與古典概型,屬于基礎題；20xx年高考題主要考查古典概型,利用排列組合知識求古典概型的概率及條件概率概率的計算,屬于基礎題．20xx年考查相互對立事件的概率.高考對這一部

5、分知識的考查單獨的考題會以選擇題、填空題的形式出現(xiàn),一般在試卷的靠前部分,屬于中低難度的題目,難度較低,分清事件是什么事件是解題的關鍵；排列組合有時與概率結(jié)合出現(xiàn)在解答題中難度較小,屬于高考題中的中低檔題目；從高考試題的形式來看,排列組合和概率往往結(jié)合在一起考查,且以概率為主,單純考察排列組合較少,試題難度不大,為中低檔題,預測20xx年高考,古典概型概率的計算考查的可能性較大,另外幾何概型全國卷還沒有考查過,不能忽視． 【重點知識整合】 1.排列數(shù)中、組合數(shù)中. (1)排列數(shù)公式 ； (2)組合數(shù)公式 ；規(guī)定,. (3)排列數(shù)、組合數(shù)的性質(zhì)：①；②；③；④；⑤；⑥. 2.

6、解排列組合問題的依據(jù)是：分類相加（每類方法都能獨立地完成這件事,它是相互獨立的,一次的且每次得出的是最后的結(jié)果,只需一種方法就能完成這件事）,分步相乘（一步得出的結(jié)果都不是最后的結(jié)果,任何一步都不能獨立地完成這件事,只有各個步驟都完成了,才能完成這件事,各步是關聯(lián)的）,有序排列,無序組合． 3.解排列組合問題的方法有： （1）特殊元素、特殊位置優(yōu)先法（元素優(yōu)先法：先考慮有限制條件的元素的要求,再考慮其他元素；位置優(yōu)先法：先考慮有限制條件的位置的要求,再考慮其他位置） （2）間接法（對有限制條件的問題,先從總體考慮,再把不符合條件的所有情況去掉） （3）相鄰問題捆綁法（把相鄰的若干個特殊

7、元素“捆綁”為一個大元素,然后再與其余“普通元素”全排列,最后再“松綁”,將特殊元素在這些位置上全排列） （4）不相鄰(相間)問題插空法（某些元素不能相鄰或某些元素要在某特殊位置時可采用插空法,即先安排好沒有限制元條件的元素,然后再把有限制條件的元素按要求插入排好的元素之間） （5）多排問題單排法 （6）多元問題分類法 （7）有序問題組合法 （8）選取問題先選后排法 （9）至多至少問題間接法 （10）相同元素分組可采用隔板法 4、分組問題：要注意區(qū)分是平均分組還是非平均分組,平均分成n組問題別忘除以n！ 5．隨機事件的概率,其中當時稱為必然事件；當時稱為不可能事件P(A)=0

8、； 6.等可能事件的概率（古典概率）： P(A)=.理解這里m、ｎ的意義. 7、互斥事件：（A、B互斥,即事件A、B不可能同時發(fā)生）.計算公式：P(A+B)＝P(A)+P(B). 8、對立事件：（A、B對立,即事件A、B不可能同時發(fā)生,但A、B中必然有一個發(fā)生）.計算公式是：P（A）+ P(B)＝１；P()=1－P(A)； 9、獨立事件：（事件A、B的發(fā)生相互獨立,互不影響）P(A?B)＝P(A) ? P(B) .提醒：（1）如果事件A、B獨立,那么事件A與、與及事件與也都是獨立事件；（2）如果事件A、B相互獨立,那么事件A、B至少有一個不發(fā)生的概率是1－P（AB）＝1－P(A)P(

9、B)；（3）如果事件A、B相互獨立,那么事件A、B至少有一個發(fā)生的概率是1－P（）＝1－P()P(). 10、獨立事件重復試驗：事件A在n次獨立重復試驗中恰好發(fā)生了次的概率(是二項展開式的第k+1項),其中為在一次獨立重復試驗中事件A發(fā)生的概率. 提醒：（1）探求一個事件發(fā)生的概率,關鍵是分清事件的性質(zhì).在求解過程中常應用等價轉(zhuǎn)化思想和分解(分類或分步)轉(zhuǎn)化思想處理,把所求的事件：轉(zhuǎn)化為等可能事件的概率(常常采用排列組合的知識)；轉(zhuǎn)化為若干個互斥事件中有一個發(fā)生的概率；利用對立事件的概率,轉(zhuǎn)化為相互獨立事件同時發(fā)生的概率；看作某一事件在n次實驗中恰有k次發(fā)生的概率,但要注意公式的使用條件.

10、（2）事件互斥是事件獨立的必要非充分條件,反之,事件對立是事件互斥的充分非必要條件；（3）概率問題的解題規(guī)范：①先設事件A=“…”, B=“…”；②列式計算；③作答. 11.古典概型： 滿足以下兩個條件的隨機試驗的概率模型稱為古典概型： (1)有限性：在一次試驗中,可能出現(xiàn)的不同的基本事件只有有限個； (2)等可能性：每個基本事件的發(fā)生都是等可能的． 古典概型中事件的概率計算如果一次試驗的等可能基本事件共有n個,隨機事件A包含了其中m個等可能基本事件,那么事件A發(fā)生的概率為P(A)＝. 12．幾何概型 區(qū)域A為區(qū)域Ω的一個子區(qū)域,如果每個事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件的區(qū)域A的幾何

11、度量(長度、面積或體積)成正比,而與A的位置和形狀無關,則稱這樣的概率模型為幾何概率模型．幾何概型的概率P(A)＝,其中μA表示構(gòu)成事件A的區(qū)域長度(面積或體積)．μΩ表示試驗的全部結(jié)果所構(gòu)成區(qū)域的長度(面積或體積)． 13、解決概率問題要注意“四個步驟,一個結(jié)合”： ① 求概率的步驟是：第一步,確定事件性質(zhì) 即所給的問題歸結(jié)為四類事件中的某一種. 第二步,判斷事件的運算 即是至少有一個發(fā)生,還是同時發(fā)生,分別運用相加或相乘事件. 第三步,運用公式求解 第四步,答,即給提出的問題有一個明確的答復. 【應試技巧點撥】 1.求排列應用題的主要方法： (1)對無限制條件的問題——

12、直接法； (2)對有限制條件的問題,對于不同題型可采取直接法或間接法,具體如下： ①每個元素都有附加條件——列表法或樹圖法； ②有特殊元素或特殊位置——優(yōu)先排列法； ③有相鄰元素(相鄰排列)——捆綁法； ④有不相鄰元素(間隔排列)——插空法； 2.組合問題常有以下兩類題型變化： (1)“含有”或“不含有”某些元素的組合題型：“含”,則先將這些元素取出,再由另外元素補足；“不含”,則先將這些元素剔除,再從剩下的元素中去選?。? (2)“至少”或“最多”含有幾個元素的題型：解這類題必須十分重視“至少”與“最多”這兩個關鍵詞的含義,謹防重復與漏解．用直接法和間接法都可以求解．通常用直接

13、法分類復雜時,考慮逆向思維,用間接法處理． 3.解排列、組合的綜合應用問題,要按照“先選后排”的原則進行,即一般是先將符合要求的元素取出(組合),再對取出的元素進行排列,常用的分析方法有：元素分析法、位置分析法、圖形分析法．要根據(jù)實際問題探索分類、分步的技巧,做到層次清楚,條理分明． 4.事件A的概率的計算方法,關鍵要分清基本事件總數(shù)n與事件A包含的基本事件數(shù)m.因此必須解決以下三個方面的問題：第一,本試驗是否是等可能的；第二,本試驗的基本事件數(shù)有多少個；第三,事件A是什么？它包含的基本事件有多少．回答好這三個方面的問題,解題才不會出錯． 5．幾何概型的兩個特點：一是無限性,即在一次試驗

14、中,基本事件的個數(shù)可以是無限的；二是等可能性,即每一個基本事件發(fā)生的可能性是均等的．因此,用幾何概型求解的概率問題和古典概型的思路是相同的,同屬于“比例解法”．即隨機事件A的概率可以用“事件A包含的基本事件所占的圖形面積(體積、長度)”與“試驗的基本事件所占的總面積(總體積、長度)”之比來表示． 6.求復雜事件的概率,要正確分析復雜事件的構(gòu)成,看復雜事件能轉(zhuǎn)化為幾個彼此互斥的事件的和事件還是能轉(zhuǎn)化為幾個相互獨立事件同時發(fā)生的積事件,然后用概率公式求解．一個復雜事件若正面情況比較多,反面情況較少,則一般利用對立事件進行求解．對于“至少”“至多”等問題往往用這種方法求解．注意辨別獨立重復試驗的基

15、本特征：①在每次試驗中,試驗結(jié)果只有發(fā)生與不發(fā)生兩種情況；②在每次試驗中,事件發(fā)生的概率相同．牢記公式,,并深刻理解其含義． 7．解答條件概率問題時應注意的問題 (1)正確理解事件之間的關系是解答此類題目的關鍵． (2)在求時,要判斷事件與事件之間的關系,以便采用不同的方法求．其中,若,則),從而. 8.解答離散型隨機變量的分布列及相關問題的一般思路 (1)明確隨機變量可能取哪些值． (2)結(jié)合事件特點選取恰當?shù)挠嬎惴椒ㄓ嬎氵@些可能取值的概率值． (3)根據(jù)分布列和期望、方差公式求解． 注意　解題中要善于透過問題的實際背景發(fā)現(xiàn)其中的數(shù)學規(guī)律,以便使用我們掌握的離散型隨機變量及其

16、分布列的知識來解決實際問題． 【考場經(jīng)驗分享】 1．切實理解“完成一件事”的含義,以確定需要分類還是需要分步進行．分類時要做到不重不漏．對于復雜的計數(shù)問題,可以分類、分步綜合應用． 2．解決排列、組合問題可遵循“先組合后排列”的原則,區(qū)分排列、組合問題主要是判斷“有序”和“無序”,更重要的是弄清怎樣的算法有序,怎樣的算法無序,關鍵是在計算中體現(xiàn)“有序”和“無序”． 3．要能夠?qū)懗鏊蟹蠗l件的排列或組合,盡可能使寫出的排列或組合與計算的排列數(shù)相符,使復雜問題簡單化,這樣既可以加深對問題的理解,檢驗算法的正確與否,又可以對排列數(shù)或組合數(shù)較小的問題的解決起到事半功倍的效果． 4.幾何概型

17、求解時應注意： (1)對于一個具體問題能否應用幾何概型概率公式計算事件的概率,關鍵在于能否將問題幾何化；也可根據(jù)實際問題的具體情況,選取合適的參數(shù),建立適當?shù)淖鴺讼?在此基礎上,將試驗的每一個結(jié)果一一對應于該坐標系中的一個點,使得全體結(jié)果構(gòu)成一個可度量區(qū)域． (2)由概率的幾何定義可知,在幾何概型中,“等可能”一詞應理解為對應于每個試驗結(jié)果的點落入某區(qū)域內(nèi)的可能性大小僅與該區(qū)域的幾何度量成正比,而與該區(qū)域的位置與形狀無關． 5.如果題設條件比較復雜,且備選答案數(shù)字較小,靠考慮窮舉法求解,如果試題難度較大并和其他知識聯(lián)系到一起,感覺不易求解,一般不要花費過多的時間,可通過排除法模糊確定,一

18、般可考慮去掉數(shù)字最大與最小的答案 本部分內(nèi)容的基礎是概率,高考試題中無論是以古典概型為背景的分布列,還是以獨立重復試驗為背景的分布列,都要求計算概率．解此類問題的一個難點是正確的理解題意,需特別注意． 【名題精選練兵篇】 1.【20xx江西省贛中南五校第一次考試】不等式組表示的點集記為M,不等式組表示的點集記為N,在M中任取一點P,則P∈N的概率為 A. B. C. D. 【答案】B 2.【20xx桂林市、北海市、崇左市20xx年3月聯(lián)合調(diào)研】從甲、乙、丙、丁四個人中選兩名代表,甲

19、被選中的概率是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 ,故選B. 3.【20xx遼寧大連市高三雙基測試卷】在區(qū)間上隨機地取兩個數(shù)、,則事件“”發(fā)生的概率為（ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】D 【解析】在區(qū)間上隨機地取兩個數(shù)、構(gòu)成的區(qū)域的面積為,事件“”發(fā)生的區(qū)域的面積為,所以所求概率為,故選D． 4.【20xx年河北省“五個一名校聯(lián)盟”二?！吭趨^(qū)間和分別取一個數(shù),記為a,b,則方程表示焦點在x軸上且離心率小于的橢圓的概率為（　?。? A． B． C． D． 【答

20、案】B 5. 【20xx屆湖北省襄陽市第五中學高三第一學期11月質(zhì)檢】高三畢業(yè)時,甲、乙、丙、丁四位同學站成一排照相留念,已知甲乙相鄰,則甲丙相鄰的概率為（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】4人站成一排,其中甲乙相鄰的情況有：（甲乙丙丁）、（甲乙丁丙）、（丙甲乙?。?、（丁甲乙丙）（丙丁甲乙）、（丁丙甲乙）（乙甲丙?。ⅲㄒ壹锥”ū叶〖祝?、（丁乙甲丙）（丙丁乙甲）、（丁丙乙甲）共12種,其中甲丙相鄰的只有（丙甲乙?。?、（丁丙甲乙）、（乙甲丙丁）、（丁乙甲丙）共四種,所以所求的概率． 6. 設隨機變量服從正態(tài)分布,若,

21、則的值為（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】隨機變量服從正態(tài)分布,因此,,,故答案為B. 7. 【20xx屆貴州省貴陽市普通高中高三上學期期末監(jiān)測】若任取,,則點滿足的概率為（ ） A. B. C. D. 【答案】D. 8. 【20xx屆北京市豐臺區(qū)高三上學期期末考試】20xx年11月,北京成功舉辦了亞太經(jīng)合組織第二十二次領導人非正式會議,出席會議的有21個國家和地區(qū)的領導人或代表．其間組委會安排這21位領導人或代

22、表合影留念,他們站成兩排,前排11人,后排10人,中國領導人站在第一排正中間位置,美俄兩國領導人站在與中國領導人相鄰的兩側(cè),如果對其他領導人或代表所站的位置不做要求,那么不同的排法共有 （A）種 （B）種 （C）種 （D）種 【答案】B 【解析】先安排美俄兩國領導人：中國領導人站在第一排正中間位置,美俄兩國領導人站在與中國領導人相鄰的兩側(cè),所以美俄兩國領導人的安排有種不同方法；再安排其余人員,有種不同方法；所以,共有種不同方法. 9.【20xx屆陜西省寶雞市九校高三聯(lián)合檢測】已知一個三角形的三邊長分別是5,5,6,一只螞蟻在其內(nèi)部爬行,若不

23、考慮螞蟻的大小,則某時刻該螞蟻距離三角形的三個頂點的距離均超過2的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 10. 已知集合,,在區(qū)間上任取一實數(shù),則的概率為 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解不等式,再求函數(shù)的定義域： 則,區(qū)間長度為2,區(qū)間長度為6,概率為,選C。 11.已知函數(shù),若是從1,2,3三個數(shù)中任取的一個數(shù), 是從0,1,2三個數(shù)中任取的一個數(shù),則該函數(shù)有兩個極值點的概率為 A. B.

24、 C. D. 【答案】Ｄ 【解析】求導數(shù)可得,要滿足題意需有兩不等實根,即,即,又的取法共有種,其中滿足的有共6種,故所求的概率為,故選D． 12.從3名語文老師、4名數(shù)學老師和5名英語老師中選派5人組成一個支教小組,則語文、數(shù)學和英語老師都至少有1人的選派方法種數(shù)是（ ） A．590 B．570 C．360 D．210 【答案】A 【解析】設語文老師人數(shù)為,數(shù)學老師人數(shù)為,英語老師人數(shù)為,則符合條件的各科人數(shù)有以下幾種情況：,選派方法種數(shù)為,選A. 13.從數(shù)字、、、、中任取兩個不同的數(shù)字

25、構(gòu)成一個兩位數(shù),則這個兩位數(shù)大于40的概率為 A． B． C． D． 【答案】B 14.在圓內(nèi)任取一點,則該點恰好在區(qū)域內(nèi)的概率為（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】作出不等式組?表示的平面區(qū)域,得到如下圖的△ABC及其內(nèi)部,其中A（1,2）,B（3,3）,C（3,1）,∵△ABC位于圓（x-2）2+（y-2）2=4內(nèi)的部分,∴在圓內(nèi)任取一點,則該點恰好在區(qū)域內(nèi)的概率為故答案為：． 15.【20xx屆湖南省長望

26、瀏寧四縣高三3月調(diào)研】如圖,矩形ABCD的四個頂點的坐標分別為A（0,—1）,B（,—1）,C（,1）,D（0,1）,正弦曲線和余弦曲線在矩形ABCD內(nèi)交于點F,向矩形ABCD區(qū)域內(nèi)隨機投擲一點,則該點落在陰影區(qū)域內(nèi)的概率是（ ）． A． B． C． D． 【答案】B 16.如圖,大正方形的面積是34,四個全等三角形圍成一個小正方形,直角三角形的較短邊長為3,向大正方形內(nèi)拋撒一枚幸運小花朵,則小花朵落在小正方形內(nèi)的概率為（ ） A. B. C.

27、 D. 【答案】 【解析】因為大正方形的面積是,所以大正方形的邊長是,由直角三角形的較短邊長為,得四個全等直角三角形的直角邊分別是和,則小正方形邊長為,面積為.所以小花朵落在小正方形內(nèi)的概率為.故選. 17. 【20xx屆陜西省高三教學質(zhì)量檢測一】周老師上數(shù)學課時,給班里同學出了兩道選擇題,她預估計做對第一道題的概率為,做對兩道題的概率為,則預估計做對第二道題的概率為（ ） A． B． C． D． 【答案】B 18.【20xx河南新鄉(xiāng)許昌平頂山二調(diào)】某校高二年級有5個文科班,

28、每班派2名學生參加年級學生會選舉,從中選出4名學生 進入學生會,則這4名學生中有且只有兩名學生來自同一個班級的概率為___________． 【答案】 【解析】4名學生中有且只有兩名學生來自同一個班級的概率為. 【名師原創(chuàng)測試篇】 1. 某小區(qū)準備在小區(qū)活動廣場建造如圖所示的休閑區(qū)域,中心區(qū)域E將建造一個噴泉,現(xiàn)要求在其余四個區(qū)域中種上不同顏色的花卉,現(xiàn)有四種不同顏色的花卉可供選擇．要求每一個區(qū)域種一種顏色的花卉,相鄰區(qū)域所種的顏色不同,則不同的種花卉的方法種數(shù)為(　　) A．64 B．72 C．84 D．96 【答案】C

29、 【解析】分成兩類：A和C同色時有4×3×3＝36(種)；A和C不同色時4×3×2×2＝48(種),∴一共有36＋48＝84(種)． 2.如圖,設拋物線的頂點為,與軸正半軸的交點為,設拋物線與兩坐標軸正半軸圍成的區(qū)域為,隨機往內(nèi)投一點,則點落在內(nèi)的概率是( ) A. B. C. D. 【答案】C 3.從1,2,3,4,5中任取兩個不同的數(shù),組成點,則這些點在直線上方的概率為 . 【答案】 【解析】從1,2,3,4,5中任取兩個不同的數(shù),組成的點有 個,點在直線上方,即滿足不等式,這樣的點有(1,5),(2,

30、4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,2),(4,3),(4,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),共12個,所以所求概率為. 4.如圖所示,在邊長為1的正方形OABC內(nèi)任取一點P(x,y).則以x,y,1為邊長能構(gòu)成銳角三角形的概率為 . 【答案】1－ 5.加工某一零件需經(jīng)過三道工序,設第一、二、三道工序的次品率分別為,,,且各道工序互不影響,則加工出來的零件的次品率為____________. 【答案】 【解析】加工出來的零件是次品的對立事件為零件是正品,由對立事件公式得加工出來的零件的次品率P＝1－××＝.故填. 6.甲袋中有2個白球和4個紅球,乙袋中有1個白球和2個紅球.現(xiàn)在隨機地從甲袋中取出一球放入乙袋,然后從乙袋中隨機地取出一球,則取出的球是白球的概率是________. 【答案】 【解析】設A表示事件“從甲袋放入乙袋中的球是白球”,B表示事件“最后從乙袋中取出的球是白球”. ∴P(A)＝,P()＝,P(B|A)＝,P(B|)＝. P(B)＝P(AB)＋P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)＝×＋×＝.故填.