人教版高中數(shù)學(xué)選修11：3.3 導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用 課后提升作業(yè) 二十四 3.3.3 Word版含解析

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1、2019版數(shù)學(xué)精品資料（人教版） 課后提升作業(yè) 二十四 函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù) (45分鐘　70分) 一、選擇題(每小題5分,共40分) 1.(2016·衡水高二檢測(cè))函數(shù)y=x-sinx,x∈π2,π的最大值是　(　　) A.π-1 B.π2-1 C.π D.π+1 【解析】選C.因?yàn)閥′=1-cosx, 當(dāng)x∈π2,π時(shí),y′>0,則函數(shù)y在區(qū)間π2,π上為增函數(shù), 所以y的最大值為ymax=π-sinπ=π. 【補(bǔ)償訓(xùn)練】函數(shù)f(x)=12x2-lnx的最小值為　(　　) A.12　　　 B.1　　 　C.0　　　 D.不存在 【

2、解析】選A.f′(x)=x-1x=x2-1x,且x>0. 令f′(x)>0,得x>1;令f′(x)<0,得00, 所以x=1時(shí)f(x)最小,最小值為f(1)=3. 3.已知函數(shù)f(x)=ax-lnx,當(dāng)x∈(0,e](e為自

3、然常數(shù)),函數(shù)f(x)的最小值為3,則a的值為　(　　) A.e B.e2 C.2e D.2e2 【解析】選B.由f(x)=ax-lnx得f′(x)=a-1x, 因?yàn)閤∈(0,e], 所以當(dāng)a≤1e時(shí),f(x)在x∈(0,e]是減函數(shù), 最小值為f(e)=ae-1≤0,不滿足題意, 當(dāng)a>1e,f(x)在0,1a是減函數(shù), 1a,e是增函數(shù), 所以最小值為f1a=1+lna=3?a=e2. 【補(bǔ)償訓(xùn)練】(2015·大慶高二檢測(cè))若函數(shù)y=x3+32x2+m在[-2,1]上的最大值為92,則m等于　(　　) A.0　　　 B.1　　 　C.2　　 　D.52

4、 【解題指南】先求出函數(shù)y=x3+32x2+m在[-2,1]上的最大值,再依據(jù)題設(shè)條件可得到關(guān)于m的方程,解方程即得出m的值. 【解析】選C.y′=x3+32x2+m′ =3x2+3x=3x(x+1). 由y′=0,得x=0或x=-1. 因?yàn)閒(0)=m,f(-1)=m+12. f(1)=m+52, f(-2)=-8+6+m=m-2, 所以f(1)=m+52最大.所以m+52=92.所以m=2. 4.已知y=f(x)是奇函數(shù),當(dāng)x∈(0,2)時(shí),f(x)=lnx-axa>12,當(dāng)x∈(-2,0)時(shí),f(x)的最小值為1,則a的值等于　(　　) A.14 B.13

5、 C.12 D.1 【解析】選D.因?yàn)閒(x)是奇函數(shù), 所以f(x)在(0,2)上的最大值為-1. 當(dāng)x∈(0,2)時(shí),f′(x)=1x-a, 令f′(x)=0得x=1a, 又a>12,所以0<1a<2. 當(dāng)00,f(x)在0,1a上單調(diào)遞增; 當(dāng)2>x>1a時(shí),f′(x)<0,f(x)在1a,2上單調(diào)遞減, 所以f(x)max=f1a=ln1a-a·1a=-1, 解得a=1. 5.設(shè)函數(shù)f(x)=x3-x22-2x+5,若對(duì)任意x∈[-1,2],都有f(x)>m,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是　(　　) A.m<15727 B.m<7 C

6、.m<112 D.m<72 【解析】選D. f′(x)=3x2-x-2=0, 解得x=1或-23,f(-1)=112, f-23=15727, f(1)=72,f(2)=7.所以m<72. 【規(guī)律總結(jié)】簡(jiǎn)化法求最值 (1)求函數(shù)的最值,顯然求極值是關(guān)鍵的一環(huán).但僅僅是求最值,可用下面簡(jiǎn)化的方法求得. ①求出導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn). ②比較這些點(diǎn)與端點(diǎn)處函數(shù)值的大小, 就可求出函數(shù)的最大值和最小值. (2)若函數(shù)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)單調(diào),則最大、最小值在端點(diǎn)處取得. 6.(2016·大連高二檢測(cè))已知f(x)=2x3-6x2+m(m為常數(shù))在[-2,2]上有最大值3,那么此

7、函數(shù)在[-2,2]上的最小值為　(　　) A.37 B.-37 C.5 D.-5 【解析】選B.因?yàn)閒′(x)=6x2-12x=6x(x-2), 所以f(x)在(-2,0)上單調(diào)遞增,在(0,2)上單調(diào)遞減, 因此,當(dāng)x=0時(shí),f(x)取得最大值, 即f(0)=m=3,然而f(-2)=-37,f(2)=-5, 因此f(x)min=f(-2)=-37. 7.(2016·武漢高二檢測(cè))函數(shù)f(x)=x3-3x-1,若對(duì)于區(qū)間[-3,2]上的任意x1,x2,都有|f(x1)-f(x2)|≤t,則實(shí)數(shù)t的最小值是　(　　) A.20 B.18 C.3 D.0

8、【解析】選A.因?yàn)閒′(x)=3x2-3=3(x-1)(x+1), 令f′(x)=0,得x=±1, 所以-1,1為函數(shù)的極值點(diǎn). 又f(-3)=-19,f(-1)=1,f(1)=-3,f(2)=1, 所以在區(qū)間[-3,2]上f(x)max=1,f(x)min=-19. 又由題設(shè)知在區(qū)間[-3,2]上f(x)max-f(x)min≤t, 從而t≥20,所以t的最小值是20. 8.已知函數(shù)f(x),g(x)均為[a,b]上的可導(dǎo)函數(shù),在[a,b]上連續(xù)且f′(x)< g′(x),則f(x)-g(x)的最大值為　(　　) A.f(a)-g(a) B.f(b)-g(b) C.f

9、(a)-g(b) D.f(b)-g(a) 【解析】選A.令u(x)=f(x)-g(x),則u′(x)=f′(x)-g′(x)<0,所以u(píng)(x)在[a,b]上為減函數(shù), 所以u(píng)(x)的最大值為u(a)=f(a)-g(a). 二、填空題(每小題5分,共10分) 9.函數(shù)f(x)=12ex(sinx+cosx)在區(qū)間0,π2上的值域?yàn)椤　　　? 【解析】因?yàn)閤∈0,π2,所以f′(x)=excosx≥0, 所以f(0)≤f(x)≤fπ2.即12≤f(x)≤12eπ2. 答案:12,12eπ2 【誤區(qū)警示】解答本題易出現(xiàn)如下錯(cuò)誤:一是導(dǎo)函數(shù)易求錯(cuò);二是忽略函數(shù)的定義域區(qū)間. 【補(bǔ)

10、償訓(xùn)練】函數(shù)f(x)=x3-3x2-9x+k在區(qū)間[-4,4]上的最大值為10,則其最小值為　　　　　. 【解析】f′(x)=3x2-6x-9=3(x-3)(x+1). 由f′(x)=0得x=3或x=-1. 又f(-4)=k-76,f(3)=k-27, f(-1)=k+5,f(4)=k-20. 由f(x)max=k+5=10,得k=5, 所以f(x)min=k-76=-71. 答案:-71 10.(2016·沈陽(yáng)高二檢測(cè))已知a≤1-xx+lnx對(duì)于x∈12,2恒成立,則a的最大值為　　　　. 【解析】設(shè)f(x)=1-xx+lnx, 則f′(x)=-x+x-1x2+1x=x

11、-1x2, 當(dāng)x∈12,1時(shí),f′(x)<0, 故函數(shù)f(x)在12,1上單調(diào)遞減; 當(dāng)x∈(1,2]時(shí),f′(x)>0, 故函數(shù)f(x)在(1,2]上單調(diào)遞增, 所以f(x)min=f(1)=0, 所以a≤0,即a的最大值為0. 答案:0 【規(guī)律總結(jié)】“恒成立”問(wèn)題向最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化是一種常見(jiàn)的題型,對(duì)于不能分離參數(shù)的恒成立問(wèn)題,直接求含參函數(shù)的最值即可.一般地,可采用分離參數(shù)法. λ≥f(x)恒成立?λ≥[f(x)]max;λ≤f(x)恒成立?λ≤[f(x)]min. 三、解答題(每小題10分,共20分) 11.(2016·長(zhǎng)沙高二檢測(cè))已知函數(shù)f(x)=ax3-6ax2

12、+b,x∈[-1,2]的最大值為3,最小值為-29,求a,b的值. 【解析】f′(x)=3ax2-12ax=3ax(x-4), 令f′(x)=0,得x1=0,x2=4(舍去). (1)當(dāng)a>0時(shí),列表如下: x -1 (-1,0) 0 (0,2) 2 f′(x) + 0 - f(x) -7a+b ↗ b ↘ -16a+b 由表可知,當(dāng)x=0時(shí),f(x)取極大值, 也就是函數(shù)在[-1,2]上的最大值, 所以f(0)=3,即b=3. 又f(-1)=-7a+3,f(2)=-16a+3

13、. (2)當(dāng)a<0時(shí),同理可得, 當(dāng)x=0時(shí),f(x)取極小值,也就是函數(shù)在[-1,2]上的最小值, 所以f(0)=-29,即b=-29. 又f(-1)=-7a-29,f(2)=-16a-29>f(-1), 所以f(2)=-16a-29=3, 所以a=-2. 綜上可得,a=2,b=3或a=-2,b=-29. 【警示誤區(qū)】分類(lèi)討論 由于參數(shù)的取值不同會(huì)導(dǎo)致函數(shù)在所給區(qū)間上的單調(diào)性的變化,從而導(dǎo)致最值的變化.所以解決這類(lèi)問(wèn)題常需要分類(lèi)討論,并結(jié)合不等式的知識(shí)進(jìn)行求解. 12.(2016·黃山高二檢測(cè))已知函數(shù)f(x)=-x3+3x2+9x+a. (1)求f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間

14、. (2)若f(x)在區(qū)間[-2,2]上的最大值為20,求它在該區(qū)間上的最小值. 【解題指南】(1)先求出函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x),然后令f′(x)<0,解得的區(qū)間即為函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間. (2)先求出端點(diǎn)的函數(shù)值f(-2)與f(2),比較f(2)與f(-2)的大小,然后根據(jù)函數(shù)f(x)在[-1,2]上單調(diào)遞增,在[-2,-1]上單調(diào)遞減,得到f(2)和f(-1)分別是f(x)在區(qū)間[-2,2]上的最大值和最小值,建立等式關(guān)系求出a,從而求出函數(shù)f(x)在區(qū)間[-2,2]上的最小值. 【解析】(1)f′(x)=-3x2+6x+9. 令f′(x)<0,解得x<-1或x>3

15、, 所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為 (-∞,-1),(3,+∞). (2)因?yàn)閒(-2)=8+12-18+a=2+a, f(2)=-8+12+18+a=22+a, 所以f(2)>f(-2). 因?yàn)樵?-1,3)上f′(x)>0, 所以f(x)在[-1,2]上單調(diào)遞增, 又由于f(x)在[-2,-1]上單調(diào)遞減, 因此f(2)和f(-1)分別是f(x)在區(qū)間[-2,2]上的最大值和最小值, 于是有22+a=20,解得a=-2. 故f(x)=-x3+3x2+9x-2, 因此f(-1)=1+3-9-2=-7, 即函數(shù)f(x)在區(qū)間[-2,2]上的最小值為-7. 【能力挑

16、戰(zhàn)題】 已知函數(shù)f(x)=a-12x2+lnx(a∈R). (1)當(dāng)a=1時(shí),求f(x)在區(qū)間[1,e]上的最大值和最小值. (2)若在區(qū)間(1,+∞)上,函數(shù)f(x)的圖象恒在直線y=2ax下方,求a的取值范圍. 【解析】(1)當(dāng)a=1時(shí),f(x)=12x2+lnx, f′(x)=x+1x=x2+1x; 對(duì)于x∈[1,e],有f′(x)>0, 所以f(x)在區(qū)間[1,e]上為增函數(shù), 所以f(x)max=f(e)=1+e22, f(x)min=f(1)=12. (2)令g(x)=f(x)-2ax =a-12x2-2ax+lnx, 在區(qū)間(1,+∞)上,函數(shù)f(x)的圖

17、象恒在直線y=2ax下方,等價(jià)于g(x)<0在區(qū)間(1,+∞)上恒成立, 因?yàn)間′(x)=(2a-1)x-2a+1x =(2a-1)x2-2ax+1x =(x-1)[(2a-1)x-1]x. ①若a>12, 令g′(x)=0,得x1=1,x2=12a-1, 當(dāng)x2>x1=1,即120, 此時(shí)g(x)在區(qū)間(x2,+∞)上是增函數(shù), 當(dāng)x→+∞時(shí),有a-12x2-2ax→+∞,lnx→+∞, g(x)∈[g(x2),+∞),不合題意; 當(dāng)x2≤x1=1,即a≥1時(shí), 同理可知,g(x)在區(qū)間(1,+∞)上是增函數(shù), 當(dāng)x→+∞時(shí),有a-12x2-2ax→+∞,lnx→+∞, g(x)∈(g(1),+∞),也不合題意. ②若a≤12,則2a-1≤0, 此時(shí)在區(qū)間(1,+∞)上恒有g(shù)′(x)<0, 從而g(x)在區(qū)間(1,+∞)上是減函數(shù). 要使g(x)<0在此區(qū)間上恒成立, 只須滿足g(1)=-a-12≤0?a≥-12, 即-12≤a≤12. 綜上所述,a的取值范圍是-12,12. 關(guān)閉Word文檔返回原板塊