新編高考數(shù)學復習：第二章 ：第五節(jié)　指數(shù)與指數(shù)函數(shù)回扣主干知識提升學科素養(yǎng)

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1、新編高考數(shù)學復習資料 第五節(jié)　指數(shù)與指數(shù)函數(shù) 【考綱下載】 1．了解指數(shù)函數(shù)模型的實際背景． 2．理解有理數(shù)指數(shù)冪的含義，了解實數(shù)指數(shù)冪的意義，掌握冪的運算． 3．理解指數(shù)函數(shù)的概念，理解指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，掌握指數(shù)函數(shù)圖象通過的特殊點． 4．知道指數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型． 1．根式 (1)根式的概念 ①若xn＝a，則x叫做a的n次方根，其中n＞1且n∈N*.式子叫做根式，這里n叫做根指數(shù)，a叫做被開方數(shù)． ②a的n次方根的表示： xn＝a? (2)根式的性質 ①()n＝a(n∈N*)．[來源:] ②＝ 2．有理數(shù)指數(shù)冪 (1)冪的有關概念

2、： ①正分數(shù)指數(shù)冪：a＝(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)； ②負分數(shù)指數(shù)冪：a－＝＝(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)； ③0的正分數(shù)指數(shù)冪等于0,0的負分數(shù)指數(shù)冪無意義． (2)有理數(shù)指數(shù)冪的性質： ①aras＝ar＋s(a＞0，r，s∈Q)； ②(ar)s＝ars(a＞0，r，s∈Q)； ③(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q)． 3．指數(shù)函數(shù)的圖象與性質 y＝ax[來源:] a＞1 0＜a＜1 圖象 定義域 R 值域 (0，＋∞) 性質[來源:] 過定點(0,1) 當x＞0時，y＞1； x＜0時，0＜y＜1 當x＞0時，0＜y＜

3、1； x＜0時，y＞1 在R上是增函數(shù) 在R上是減函數(shù) 1.＝a成立的條件是什么？ 提示：當n為奇數(shù)時，a∈R；當n為偶數(shù)時，a≥0. 2．如圖是指數(shù)函數(shù)(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的圖象，底數(shù)a，b，c，d與1之間的大小關系如何？你能得到什么規(guī)律？ 提示：圖中直線x＝1與它們圖象交點的縱坐標即為它們各自底數(shù)的值，即c1>d1>1>a1>b1，所以，c>d>1>a>b，即無論在y軸的左側還是右側，底數(shù)按逆時針方向變大． 3．當a>0，且a≠1時，函數(shù)y＝ax，y＝a|x|，y＝|ax|，y＝x之間有何關系？ 提示：y＝ax與y＝|

4、ax|是同一個函數(shù)的不同表現(xiàn)形式；函數(shù)y＝a|x|與y＝ax不同，前者是一個偶函數(shù)，其圖象關于y軸對稱，當x≥0時兩函數(shù)圖象相同；y＝ax與y＝x的圖象關于y軸對稱． 1．化簡[(－2)6]－(－1)0的結果為(　　) A．－9 B．－10 C．9 D．7 解析：選D　[(－2)6]－(－1)0＝(26)－1＝8－1＝7. 2．化簡(x<0，y<0)得(　　) A．2x2y B．2xy C．4x2y D．－2x2y 解析：選D　＝2x2|y|＝－2x2y. 3．函數(shù)f(x)＝3x＋1的值域為(　　) A．(

5、－1，＋∞) B．(1，＋∞) C．(0,1) D．[1，＋∞) 解析：選B　∵3x＞0，∴3x＋1＞1，即函數(shù)f(x)＝3x＋1的值域為(1，＋∞)． 4．當a＞0且a≠1時，函數(shù)f(x)＝ax－2－3的圖象必過定點________． 解析：令x－2＝0，則x＝2，y＝1－3＝－2，故函數(shù)f(x)＝ax－2－3的圖象必過定點(2，－2)． 答案：(2，－2) 5．若指數(shù)函數(shù)f(x)＝(a－2)x為減函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍為________． 解析：∵f(x)＝(a－2)x為減函數(shù)，∴0＜a－2＜1，即2＜a＜3. 答案：(2,3). 前沿熱點(三) 指數(shù)函數(shù)與不等

6、式的交匯問題 1．高考對指數(shù)函數(shù)的考查多以指數(shù)與指數(shù)函數(shù)為載體，考查指數(shù)的運算和函數(shù)圖象的應用，且常與函數(shù)性質、二次函數(shù)、方程、不等式等內(nèi)容交匯命題． 2．解決此類問題的關鍵是根據(jù)已知(或構造)指數(shù)函數(shù)或指數(shù)型函數(shù)的圖象或性質建立相關關系式求解． [典例]　(2012·浙江高考)設a＞0，b＞0，(　　) A．若2a＋2a＝2b＋3b，則a＞b B．若2a＋2a＝2b＋3b，則a＜b C．若2a－2a＝2b－3b，則a＞b D．若2a－2a＝2b－3b，則a＜b [解題指導]　分析題目選項的特點，可構造函數(shù)f(x)＝2x＋2x，然后利用其單調(diào)性解決． [解析]　∵a>0，

7、b>0， ∴2a＋2a＝2b＋3b>2b＋2b. 令f(x)＝2x＋2x(x>0)，則函數(shù)f(x)為單調(diào)增函數(shù)． ∴a>b. [答案]　A [名師點評]　解決本題的關鍵有以下兩點： (1)通過放縮，將等式問題轉化為不等式問題； (2)構造函數(shù)，并利用其單調(diào)性解決問題． 設函數(shù)f(x)＝32x－2×3x＋a2－a－5，當0≤x≤1時，f(x)＞0恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是________． 解析：f(x)＝32x－2×3x＋a2－a－5＝(3x－1)2＋a2－a－6，∵0≤x≤1，∴1≤3x≤3，∴函數(shù)f(x)＝32x－2×3x＋a2－a－5在0≤x≤1上是增函數(shù)，f(x)＞0恒成立?f(0)＞0，f(0)＝1－2＋a2－a－5＝a2－a－6＝(a－3)(a＋2)＞0，∴a＞3或a＜－2. 答案：(－∞，－2)∪(3，＋∞)