新版高三文科數(shù)學通用版二輪復習：第1部分 專題5 突破點11　直線與圓 Word版含解析

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2、 1 專題五　平面解析幾何 建知識網(wǎng)絡　明內在聯(lián)系 掃一掃，各專題近五年全國考點分布 高考點撥]　平面解析幾何是高考的重點內容，常以“兩小一大”呈現(xiàn)，兩小題主要考查直線與圓的位置關系．雙曲線的圖象和性質(有時考查拋物線的圖象和性質)，一大題常考查以橢圓(或拋物線)為背景的圖象和性質問題．基于上述分析，本專題將從“直線與圓”“圓錐曲線的定義、方程、幾何性質”“圓錐曲線中的

3、綜合問題”三條主線引領復習和提升． 突破點11　直線與圓 提煉1　圓的方程　(1)圓的標準方程 當圓心為(a，b)，半徑為r時，其標準方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2，特別地，當圓心在原點時，方程為x2＋y2＝r2. (2)圓的一般方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，其中D2＋E2－4F＞0，表示以為圓心，為半徑的圓． 提煉2　求解直線與圓相關問題的兩個關鍵點　(1)三個定理：切線的性質定理，切線長定理，垂徑定理． (2)兩個公式：點到直線的距離公式d＝，弦長公式|AB|＝2(弦心距d)． 提煉3　求距離最值問題的本質　(1)圓外一點P到圓C上的點距離的最大值為

4、|PC|＋r，最小值為|PC|－r，其中r為圓的半徑． (2)圓上的點到直線的最大距離是d＋r，最小距離是d－r，其中d為圓心到直線的距離，r為圓的半徑． (3)過圓內一點，直徑是最長的弦，與此直徑垂直的弦是最短的弦． 回訪1　圓的方程 1．(20xx·全國卷Ⅰ)一個圓經(jīng)過橢圓＋＝1的三個頂點，且圓心在x軸的正半軸上，則該圓的標準方程為________． 2＋y2＝　由題意知a＝4，b＝2，上、下頂點的坐標分別為(0,2)，(0，－2)，右頂點的坐標為(4,0)．由圓心在x軸的正半軸上知圓過點(0,2)，(0，－2)，(4,0)三點．設圓的標準方程為(x－m)2＋y2＝r2(0<

5、m<4，r>0)，則解得所以圓的標準方程為2＋y2＝.] 2．(20xx·山東高考)圓心在直線x－2y＝0上的圓C與y軸的正半軸相切，圓C截x軸所得弦的長為2，則圓C的標準方程為______________________． (x－2)2＋(y－1)2＝4　設圓C的圓心為(a，b)(b>0)，由題意得a＝2b>0，且a2＝()2＋b2，解得a＝2，b＝1. ∴所求圓的標準方程為(x－2)2＋(y－1)2＝4.] 回訪2　直線與圓的相關問題 3．(20xx·全國甲卷)圓x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圓心到直線ax＋y－1＝0的距離為1，則a＝(　　) A．－　　　　　　 B.－

6、 C. D.2 A　由圓x2＋y2－2x－8y＋13＝0，得圓心坐標為(1,4)，所以圓心到直線ax＋y－1＝0的距離d＝＝1，解得a＝－.] 4．(20xx·全國乙卷)設直線y＝x＋2a與圓C：x2＋y2－2ay－2＝0相交于A，B兩點，若|AB|＝2，則圓C的面積為________． 4π　圓C：x2＋y2－2ay－2＝0化為標準方程是C：x2＋(y－a)2＝a2＋2， 所以圓心C(0，a)，半徑r＝，|AB|＝2，點C到直線y＝x＋2a即x－y＋2a＝0的距離d＝，由勾股定理得2＋2＝a2＋2，解得a2＝2， 所以r＝2，所以圓C的面積為π×22＝4π.] 熱點題型

7、1　圓的方程 題型分析：求圓的方程是高考考查的重點內容，常用的方法是待定系數(shù)法或幾何法． 　(1)(20xx·黃山一模)已知圓C關于y軸對稱，經(jīng)過點A(1,0)，且被x軸分成的兩段弧長之比為1∶2，則圓C的方程為________． (2)(20xx·鄭州二模)已知⊙M的圓心在第一象限，過原點O被x軸截得的弦長為6，且與直線3x＋y＝0相切，則圓M的標準方程為________． (1)x2＋2＝　(2)(x－3)2＋(y－1)2＝10　(1)因為圓C關于y軸對稱，所以圓C的圓心C在y軸上，可設C(0，b)， 設圓C的半徑為r，則圓C的方程為x2＋(y－b)2＝r2. 依題意，得

8、 解得 所以圓C的方程為x2＋2＝. (2)法一：設⊙M的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2(a＞0，b＞0，r＞0)，由題意知 解得 故⊙M的方程為(x－3)2＋(y－1)2＝10. 法二：因為圓M過原點，故可設方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＝0，又被x軸截得的弦長為6且圓心在第一象限，則2＝32，故D＝－6，與3x＋y＝0相切，則＝，即E＝D＝－2，因此所求方程為x2＋y2－6x－2y＝0. 故⊙M的標準方程為(x－3)2＋(y－1)2＝10.] 求圓的方程的兩種方法 1．幾何法，通過研究圓的性質、直線和圓、圓與圓的位置關系，進而求得圓的基本量和方程． 2．代數(shù)法，

9、即用待定系數(shù)法先設出圓的方程，再由條件求得各系數(shù)． 變式訓練1]　(1)已知圓M的圓心在x軸上，且圓心在直線l1：x＝－2的右側，若圓M截直線l1所得的弦長為2，且與直線l2：2x－y－4＝0相切，則圓M的方程為(　　) A．(x－1)2＋y2＝4　　　 B.(x＋1)2＋y2＝4 C.x2＋(y－1)2＝4 D.x2＋(y＋1)2＝4 (2)(20xx·長春一模)拋物線y2＝4x與過其焦點且垂直于x軸的直線相交于A，B兩點，其準線與x軸的交點為M，則過M，A，B三點的圓的標準方程為________． (1)B　(2)(x－1)2＋y2＝4　(1)由已知，可設圓M的圓心坐標為(a,

10、0)，a＞－2，半徑為r，得 解得滿足條件的一組解為 所以圓M的方程為(x＋1)2＋y2＝4. 故選B. (2)由題意知，A(1,2)，B(1，－2)，M(－1,0)， △AMB是以點M為直角頂點的直角三角形，則線段AB是所求圓的直徑，故所求圓的標準方程為(x－1)2＋y2＝4.] 熱點題型2　直線與圓、圓與圓的位置關系 題型分析：直線與圓、圓與圓的位置關系是高考考查的熱點內容，解決的方法主要有幾何法和代數(shù)法． 　(1)(20xx·全國丙卷)已知直線l：x－y＋6＝0與圓x2＋y2＝12交于A，B兩點，過A，B分別作l的垂線與x軸交于C，D兩點，則|CD|＝________

11、. 4　如圖所示，∵直線AB的方程為x－y＋6＝0， ∴kAB＝，∴∠BPD＝30°， 從而∠BDP＝60°. 在Rt△BOD中， ∵|OB|＝2，∴|OD|＝2. 取AB的中點H，連接OH，則OH⊥AB， ∴OH為直角梯形ABDC的中位線， ∴|OC|＝|OD|，∴|CD|＝2|OD|＝2×2＝4.] (2)(20xx·開封一模)如圖13-1，已知圓G：(x－2)2＋y2＝r2是橢圓＋y2＝1的內接△ABC的內切圓，其中A為橢圓的左頂點． (1)求圓G的半徑r； (2)過點M(0,1)作圓G的兩條切線交橢圓于E，F(xiàn)兩點，證明：直線EF與圓G相切． 圖13-

12、1 解]　(1)設B(2＋r，y0)，過圓心G作GD⊥AB于D，BC交長軸于H. 由＝得＝， 即y0＝，　?、?分 而B(2＋r，y0)在橢圓上， y＝1－＝＝－，　?、?分 由①②式得15r2＋8r－12＝0， 解得r＝或r＝－(舍去).5分 (2)證明：設過點M(0,1)與圓(x－2)2＋y2＝相切的直線方程為y＝kx＋1，③ 則＝， 即32k2＋36k＋5＝0，④ 解得k1＝，k2＝. 將③代入＋y2＝1得(16k2＋1)x2＋32kx＝0，則異于零的解為x＝－. 8分 設F(x1，k1x1＋1)，E(x2，k2x2＋1)，則 x1＝－，x2＝－，9分

13、 則直線FE的斜率為kEF＝＝＝， 于是直線FE的方程為 y＋－1＝. 即y＝x－，則圓心(2,0)到直線FE的距離d＝＝，故結論成立.12分 1．直線(圓)與圓的位置關系的解題思路 (1)討論直線與圓及圓與圓的位置關系時，要注意數(shù)形結合，充分利用圓的幾何性質尋找解題途徑，減少運算量．研究直線與圓的位置關系主要通過圓心到直線的距離和半徑的比較實現(xiàn)，兩個圓的位置關系的判斷依據(jù)是兩圓心距離與兩半徑差與和的比較． (2)直線與圓相切時利用“切線與過切點的半徑垂直，圓心到切線的距離等于半徑”建立切線斜率的等式，所以求切線方程時主要選擇點斜式，過圓外一點求解切線段長可轉化為圓心到圓外點的

14、距離，利用勾股定理計算． 2．弦長的求解方法 (1)根據(jù)平面幾何知識構建直角三角形，把弦長用圓的半徑和圓心到直線的距離表示，l＝2(其中l(wèi)為弦長，r為圓的半徑，d為圓心到直線的距離)． (2)根據(jù)公式：l＝|x1－x2|求解(其中l(wèi)為弦長，x1，x2為直線與圓相交所得交點的橫坐標，k為直線的斜率)． (3)求出交點坐標，用兩點間距離公式求解． 變式訓練2]　(1)(20xx·哈爾濱一模)設直線l：y＝kx＋1被圓C：x2＋y2－2x－3＝0截得的弦最短，則直線l的方程為________. 【導學號：85952047】 y＝x＋1　直線l恒過定點M(0,1)，圓C的標準方程為(x－

15、1)2＋y2＝4，易知點M(0,1)在圓C的內部，依題意當l⊥CM時直線l被圓C截得的弦最短，于是k·＝－1，解得k＝1，所以直線l的方程為y＝x＋1.] (2)(20xx·泉州一模)已知點M(－1,0)，N(1,0)，曲線E上任意一點到點M的距離均是到點N的距離的倍． ①求曲線E的方程； ②已知m≠0，設直線l1：x－my－1＝0交曲線E于A，C兩點，直線l2：mx＋y－m＝0交曲線E于B，D兩點．當CD的斜率為－1時，求直線CD的方程． 解]　①設曲線E上任意一點坐標為(x，y)， 由題意，＝，2分 整理得x2＋y2－4x＋1＝0， 即(x－2)2＋y2＝3為所求.4分 ②由題知l1⊥l2，且兩條直線均恒過點N(1,0)， 設曲線E的圓心為E，則E(2,0)，線段CD的中點為P，則直線EP：y＝x－2，設直線CD：y＝－x＋t， 由 解得點P.7分 由圓的幾何性質，|NP|＝|CD|＝， 而|NP|2＝2＋2，|ED|2＝3， |EP|2＝2，∴2＋2＝3－2，解得t＝0，或t＝3，11分 所以直線CD的方程為y＝－x或y＝－x＋3.12分