新版一輪優(yōu)化探究文數(shù)蘇教版練習(xí):第四章 第三節(jié) 函數(shù)y=Asinωx+φ的圖象及三角函數(shù)模型的簡(jiǎn)單應(yīng)用 Word版含解析

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1、 1

2、 1 一、填空題 1.已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+)(ω>0),若f()=f(),且f(x)在區(qū)間(,)上有最大值,無最小值,則ω=________. 解析:由題意f()=1,即ω·+=+2kπ,k∈Z,所以ω=+6k,k∈Z. 又<,所以0<ω<6,故ω=. 答案: 2.函數(shù)y=sin(+x)cos(-x)的最大值為________. 解析:y=sin (+x

3、)cos(-x) =cos x·cos(-x) =cos x(cos·cos x+sin·sin x) =cos x(cos x+sin x)=cos2x+sin x·cos x =·+sin 2x=+cos 2x+sin 2x =+(sin 2x+cos 2x) =+sin(2x+), ∴當(dāng)sin(2x+)=1時(shí),ymax=. 答案: 3.已知函數(shù)f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0)的圖象如圖所示,則f()=_ _______. 解析:由圖象可知,T=π,從而T==,ω=3, 得f(x)=2sin(3x+φ),又由f()=0可取φ=-, 于是f(x)=2sin(3

4、x-),則f()=2sin(-)=0. 答案:0 4.若將函數(shù)y=2sin(3x+φ)的圖象向右平移個(gè)單位后得到的圖象關(guān)于點(diǎn)(,0)對(duì)稱,則|φ|的最小值是________. 解析:將函數(shù)y=2sin(3x+φ)的圖象向右平移個(gè)單位后得到y(tǒng)=2sin[3(x-)+φ]=2sin(3x-+φ)的圖象.因?yàn)樵摵瘮?shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)(,0)對(duì)稱,所以2sin(3×-+φ)=2sin(+φ)=0,故有+φ=kπ(k∈Z),解得φ=kπ-(k∈Z).當(dāng)k=0時(shí),|φ|取得最小值. 答案: 5.已知函數(shù)f(x)=sin(2x+φ),其中φ為實(shí)數(shù).若f(x)≤|f()|對(duì)x∈R恒成立,且f()>f(π)

5、,則f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是________. 解析:由?x∈R,有f(x)≤|f()|知,當(dāng)x=時(shí)f(x)取最值,∴f()=sin(+φ)=±1,∴+φ=±+2kπ(k∈Z), ∴φ=+2kπ或φ=-+2kπ(k∈Z). 又∵f()>f(π),∴sin(π+φ)>sin(2π+φ), ∴-sin φ>sin φ,∴sin φ<0.∴φ取-+2kπ(k∈Z). 不妨取φ=-,則f(x)=sin(2x-). 令-+2kπ≤2x-≤+2kπ(k∈Z), ∴+2kπ≤2x≤+2kπ(k∈Z), ∴+kπ≤x≤+kπ(k∈Z). ∴f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[+kπ,+kπ](k∈Z)

6、. 答案:[kπ+,kπ+](k∈Z) 6.已知x∈(0,π],關(guān)于x的方程2sin(x+)=a有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________. 解析:令y1=2sin(x+),x∈(0,π],y2=a,作出y1的圖象如圖所示,若2sin(x+)=a在(0,π]上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解,則y1與y2應(yīng)有兩個(gè)不同的交點(diǎn),所以0,ω>0,0<φ<,則函數(shù)解析式為________. 解析:由題設(shè)得,A=2,n=2,ω=4,且當(dāng)x=時(shí), s

7、in (π+φ)=±1,故φ=. 所求解析式為y=2sin (4x+)+2. 答案:y=2sin (4x+)+2 8.在矩形ABCD中,AB⊥x軸,且矩形ABCD恰好能完全覆蓋函數(shù)y=asin ax(a∈R,a≠0)的一個(gè)完整周期圖象,則當(dāng)a變化時(shí),矩形ABCD周長(zhǎng)的最小值為________. 解析:根據(jù)題意,設(shè)矩形ABCD的周長(zhǎng)為c, 則c=2(AB+AD)=4|a|+≥8, 當(dāng)且僅當(dāng)a=±時(shí)取等號(hào). 答案:8 9.關(guān)于函數(shù)f(x)=sin(2x-),有下列命題: ①其表達(dá)式可寫成f(x)=cos(2x+); ②直線x=-是f(x)圖象的一條對(duì)稱軸; ③f(x)的圖象可

8、由g(x)=sin 2x的圖象向右平移個(gè)單位得到; ④存在α∈ (0,π),使f(x+α)=f(x+3α)恒成立. 則其中真命題的序號(hào)為________. 解析:對(duì)于①,f(x)=sin(2x-)=cos[-(2x-)] =cos(2x-π),故①錯(cuò); 對(duì)于②,當(dāng)x=-時(shí),f(-)=sin[2×(-)-] =sin(-)=-1,故②正確; 對(duì)于③,g(x)=sin 2x的圖象向右平移個(gè)單位得到的圖象解析式為y=sin 2(x-)=sin(2x-),故③錯(cuò); 對(duì)于④,因?yàn)閒(x)的周期為π,故當(dāng)α=時(shí),f(x+α)=f(x+3α),所以④正確. 答案:②④ 二、解答題 1

9、0.已知函數(shù)f(x)=2cos xsin(x+)-sin2x+sin xcos x. (1)求f(x)的單調(diào)增區(qū)間; (2)當(dāng)x∈[0,]時(shí),求f(x)的值域. 解析:(1)f(x)=2cos xsin(x+)-sin2x+sin xcos x =2cos x(sin x+cos x)-sin2x+sin xcos x =2sin xcos x+(cos2x-sin2x) =sin 2x+cos 2x=2sin(2x+). 由2kπ-≤2x+≤2kπ+(k∈Z), 解得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z), ∴f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-,kπ+](k∈Z). (2)∵x∈[0

10、,],∴2x+∈[,]. 則sin(2x+)∈[,1],∴f(x)的值域?yàn)閇1,2]. 11.已知函數(shù)f(x)=sin 2xsin φ-2cos2xcos(π-φ)-sin(+φ)(0<φ<π)在x=時(shí)取得最大值. (1)求φ的值; (2)將函數(shù)y=f(x)圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)擴(kuò)大到原來的2倍,縱坐標(biāo)不變,得到函數(shù)y=g(x)的圖象,若g(α)=,求sin α的值. 解析:(1)因?yàn)閒(x)=sin 2xsin φ-2cos2xcos(π-φ)-sin(+φ)(0<φ<π), 所以f(x)=sin 2xsinφ+2cos2xcos φ-cos φ =sin 2xsin φ+(1+c

11、os 2x)cos φ-cos φ =sin 2xsin φ+cos 2xcos φ=cos(2x-φ), 又函數(shù)y=f(x)在x=時(shí)取得最大值, 所以cos(2·-φ)=cos(-φ)=1, 因?yàn)?<φ<π,所以φ=. (2)由(1)知f(x)=cos(2x-), 所以g(x)=f(x)=cos(x-), 于是有g(shù)(α)=cos(α-)=, 所以sin(α-)=±. 所以sin α=sin[(α-)+] =sin(α-)·cos+cos(α-)·sin =. 12.已知某海濱浴場(chǎng)海浪的高度y(米)是時(shí)間t(0≤t≤24,單位:小時(shí))的函數(shù),記作:y=f(t),下面是某

12、日各時(shí)的浪高數(shù)據(jù): t(時(shí)) 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y(米) 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1.0 0.5 0.99 1.5 經(jīng)長(zhǎng)期觀測(cè),y=f(t)的曲線可近似地看成是函數(shù)y=Acos ωt+b. (1)根據(jù)以上數(shù)據(jù),求函數(shù)y=Acos ωt+b的最小正周期T,振幅A及函數(shù)表達(dá)式; (2)依據(jù)規(guī)定,當(dāng)海浪高度不低于1米時(shí)才對(duì)沖浪愛好者開放,請(qǐng)依據(jù)(1)的結(jié)論,判斷一天內(nèi)的8∶00至20∶00之間,有多少時(shí)間可供沖浪者進(jìn)行運(yùn)動(dòng)? 解析:(1)由表中數(shù)據(jù),知周期T=12, ∴ω===, 由t=0,y=1.5,得A+b=1.5;① 由t=3,y=1.0,得b=1.0,② ∴A=0.5,b=1, ∴振幅為, ∴y=cost+1(0≤t≤24). (2)由題知,當(dāng)y≥1時(shí)才可對(duì)沖浪者開放, ∴cost+1≥1, ∴cos t≥0, ∴2kπ-≤t≤2kπ+,k∈Z, 即12k-3≤t≤12k+3,k∈Z,③ ∵0≤t≤24,故可令③中的k分別為0,1,2, 得0≤t≤3,或9≤t≤15,或21≤t≤24. ∴在規(guī)定時(shí)間上午8:00至晚上20:00之間,有6個(gè)小時(shí)的時(shí)間可供沖浪者運(yùn)動(dòng),即上午9:00至下午3:00.

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