高三數(shù)學(xué)北師大版文一輪課后限時集訓(xùn)：61 變量間的相關(guān)關(guān)系、統(tǒng)計案例 Word版含解析

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1、 變量間的相關(guān)關(guān)系、統(tǒng)計案例 建議用時：45分鐘 一、選擇題 1．某公司在2018年上半年的收入x(單位：萬元)與月支出y(單位：萬元)的統(tǒng)計資料如表所示： 月份 1 2 3 4 5 6 收入x 12.3 14.5 15.0 17.0 19.8 20.6 支出y 5.63 5.75 5.82 5.89 6.11 6.18 根據(jù)統(tǒng)計資料，則 (　　) A．月收入的中位數(shù)是15，x與y有正線性相關(guān)關(guān)系 B．月收入的中位數(shù)是17，x與y有負(fù)線性相關(guān)關(guān)系 C．月收入的中位數(shù)是16，x與y有正線性相關(guān)關(guān)系 D．月收入的中位數(shù)是16

2、，x與y有負(fù)線性相關(guān)關(guān)系 C　[月收入的中位數(shù)是＝16，由表可知收入增加，支出也增加，則x與y有正線性相關(guān)關(guān)系，故選C.] 2．對兩個變量x，y進行線性相關(guān)檢驗，得線性相關(guān)系數(shù)r1＝0.785 9，對兩個變量u，v進行線性相關(guān)檢驗，得線性相關(guān)系數(shù)r2＝－0.956 8，則下列判斷正確的是(　　) A．變量x與y正相關(guān)，變量u與v負(fù)相關(guān)，變量x與y的線性相關(guān)性較強 B．變量x與y負(fù)相關(guān)，變量u與v正相關(guān)，變量x與y的線性相關(guān)性較強 C．變量x與y正相關(guān)，變量u與v負(fù)相關(guān)，變量u與v的線性相關(guān)性較強 D．變量x與y負(fù)相關(guān)，變量u與v正相關(guān)，變量u與v的線性相關(guān)性較強 C　[由線性相關(guān)

3、系數(shù)r1＝0.785 9＞0知x與y正相關(guān)， 由線性相關(guān)系數(shù)r2＝－0.956 8＜0知u與v負(fù)相關(guān)， 又|r1|＜|r2|，∴變量u與v的線性相關(guān)性比x與y的線性相關(guān)性強，故選C.] 3．在研究吸煙與患肺癌的關(guān)系中，通過收集數(shù)據(jù)、整理分析數(shù)據(jù)得“吸煙與患肺癌有關(guān)”的結(jié)論，并且在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為這個結(jié)論是成立的，下列說法中正確的是(　　) A．100個吸煙者中至少有99人患有肺癌 B．1個人吸煙，那么這個人有99%的概率患有肺癌 C．在100個吸煙者中一定有患肺癌的人 D．在100個吸煙者中可能一個患肺癌的人也沒有 D　[∵“吸煙與患肺癌有關(guān)”的結(jié)論，并且

4、在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為這個結(jié)論是成立的，表示有99%的把握認(rèn)為這個結(jié)論成立，與多少個人患肺癌沒有關(guān)系，只有D選項正確，故選D.] 4．已知變量x，y之間的線性回歸方程為＝－0.7x＋10.3，且x，y之間的相關(guān)數(shù)據(jù)如表所示，則下列說法錯誤的是(　　) x 6 8 10 12 y 6 m 3 2 A.可以預(yù)測，當(dāng)x＝20時，＝－3.7 B．m＝4 C．變量x，y之間呈負(fù)相關(guān)關(guān)系 D．變量x，y之間的線性相關(guān)系數(shù)為負(fù)數(shù) B　[由＝－0.7x＋10.3，取x＝20，得＝－3.7，故A正確； ＝(6＋8＋10＋12)＝9，＝＝， 代入＝－0.7x＋

5、10.3，得＝－0.7×9＋10.3，即m＝5，故B錯誤； 由線性回歸方程可知，變量x，y之間呈負(fù)相關(guān)關(guān)系，且變量x，y之間的線性相關(guān)系數(shù)為負(fù)數(shù)，故C、D正確，故選B.] 5．為考察高中生的性別與是否喜歡數(shù)學(xué)課程之間的關(guān)系，利用2×2列聯(lián)表進行檢驗，經(jīng)計算χ2的觀測值k＝7.069，參考下表，則認(rèn)為“性別與是否喜歡數(shù)學(xué)課程有關(guān)”犯錯誤的概率不超過 (　　) P(χ2≥k0) 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 k0 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 A.0.001　　　B．0.01　　　C．0.99　　　D

6、．0.999 B　[k＝7.069＞6.635，對照表格，則認(rèn)為“性別與是否喜歡數(shù)學(xué)課程有關(guān)”犯錯誤的概率不超過0.01，故選B.] 二、填空題 6．(2019·合肥模擬)某企業(yè)的一種商品的產(chǎn)量與單位成本數(shù)據(jù)如表： 產(chǎn)量x(萬件) 14 16 18 20 22 單位成本y(元/件) 12 10 7 a 3 若根據(jù)表中提供的數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的線性回歸方程為＝－1.15x＋28.1，則a＝________. 5　[由表中數(shù)據(jù)，計算＝×(14＋16＋18＋20＋22)＝18， ＝×(12＋10＋7＋a＋3)＝. 由點(，)在線性回歸方程＝－1.15x＋28.1

7、上， ∴＝－1.15×18＋28.1，則32＋a＝7.4×5，解得a＝5.] 7．某高校“統(tǒng)計初步”課程的教師隨機調(diào)查了選該課程的一些學(xué)生的情況，具體數(shù)據(jù)如下表： 專業(yè) 性別　　 非統(tǒng)計專業(yè) 統(tǒng)計專業(yè) 男 13 10 女 7 20 為了判斷主修統(tǒng)計專業(yè)是否與性別有關(guān)系，根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，得到χ2＝≈4.844，因為χ2≥3.841，所以判定主修統(tǒng)計專業(yè)與性別有關(guān)系，那么這種判斷出錯的可能性為________． 5%　[∵χ2≈4.844＞3.841，∴有95%的把握認(rèn)為主修統(tǒng)計專業(yè)與性別有關(guān)系，即作出“主修統(tǒng)計專業(yè)與性別有關(guān)系”的判斷出錯的可能性不超過5%.] 8．

8、(2019·長沙模擬)某單位為了了解用電量y(度)與氣溫x(℃)之間的關(guān)系，隨機統(tǒng)計了某4天的用電量與當(dāng)天氣溫，并制作了對照表： 氣溫(℃) 18 13 10 －1 用電量(度) 24 34 38 64 由表中數(shù)據(jù)得回歸直線方程＝x＋中的＝－2，預(yù)測當(dāng)氣溫為－4 ℃時，用電量約為________度． 68　[根據(jù)題意知＝＝10，＝＝40，所以＝40－(－2)×10＝60，＝－2x＋60，所以當(dāng)x＝－4時，y＝(－2)×(－4)＋60＝68，所以用電量約為68度．] 三、解答題 9．為迎接2022年北京冬季奧運會，普及冬奧知識，某校開展了“冰雪答題王”冬奧知識競賽活動

9、．現(xiàn)從參加冬奧知識競賽活動的學(xué)生中隨機抽取了100名學(xué)生，將他們的比賽成績(滿分為100分)分為6組：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，得到如圖所示的頻率分布直方圖． (1)求a的值； (2)記A表示事件“從參加冬奧知識競賽活動的學(xué)生中隨機抽取一名學(xué)生，該學(xué)生的比賽成績不低于80分”，估計A的概率； (3)在抽取的100名學(xué)生中，規(guī)定：比賽成績不低于80分為“優(yōu)秀”，比賽成績低于80分為“非優(yōu)秀”．請將下面的2×2列聯(lián)表補充完整，并判斷是否有99.9%的把握認(rèn)為“比賽成績是否優(yōu)秀與性別有關(guān)”？ 優(yōu)秀 非優(yōu)秀 合

10、計 男生 40 女生 50 合計 100 參考公式及數(shù)據(jù)：χ2＝，n＝a＋b＋c＋d. P(χ2≥k) 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 [解](1)由題可得(0.005＋0.010＋0.020＋0.030＋a＋0.010)×10＝1，解得a＝0.025. (2)由(1)知a＝0.025，則比賽成績不低于80分的頻率為(0.025＋0.010)×10＝0.35，故從參加冬奧知識競賽活動的學(xué)生中隨機抽取一名學(xué)生，該學(xué)

11、生的比賽成績不低于80分的概率約為0.35. (3)由(2)知，在抽取的100名學(xué)生中，比賽成績優(yōu)秀的有100×0.35＝35人，由此可得完整的2×2列聯(lián)表： 優(yōu)秀 非優(yōu)秀 合計 男生 10 40 50 女生 25 25 50 合計 35 65 100 所以χ2的觀測值k＝＝≈9.890＜10.828， 所以沒有99.9%的把握認(rèn)為“比賽成績是否優(yōu)秀與性別有關(guān)”． 10．電動化是汽車工業(yè)未來發(fā)展的大趨勢，在國家的節(jié)能減排、排放法規(guī)等硬性要求之下，新能源汽車乘勢而起，來自中國汽車工業(yè)協(xié)會的統(tǒng)計數(shù)據(jù)顯示，2018年新能源汽車?yán)塾嬩N量已經(jīng)超過100萬臺，意味

12、著我國的新能源汽車市場的正式興起．某人計劃購買一輛某品牌新能源汽車，他從當(dāng)?shù)卦撈放其N售網(wǎng)站了解到2018年1月到5月的實際銷量如下表： 月份(x) 1 2 3 4 5 銷量(y，單位：輛) 500 600 1 000 1 400 1 700 (1)經(jīng)分析發(fā)現(xiàn)，可用線性回歸模型擬合當(dāng)?shù)卦撈放菩履茉雌噷嶋H銷量y(輛)與月份x之間的相關(guān)關(guān)系．請用最小二乘法求y關(guān)于x的線性回歸方程＝x＋，并據(jù)此預(yù)測2018年10月份當(dāng)?shù)卦撈放菩履茉雌嚨匿N量； (2)2018年6月12日，中央財政和地方財政將根據(jù)新能源汽車的最大續(xù)航里程對購車補貼進行新一輪調(diào)整．如圖為2018年執(zhí)行的補貼

13、政策． 最大續(xù)航里程R(單位：km) 補貼金額(單位：萬元) 150≤R<200 1.50 200≤R<250 2.40 250≤R<300 3.40 300≤R<400 4.50 R≥400 5.00 已知該品牌的新能源汽車的最大續(xù)航里程不小于250 km，某地的月銷量為3 000輛，其中50%最大續(xù)航里程在[250,300)內(nèi)．問購車補貼能否達到1 200萬元？如果不能，請說明理由；如果能，請求出最大續(xù)航里程在[300,400)內(nèi)的銷售量范圍． 參考公式：回歸方程＝x＋， [解](1)＝＝3，＝＝1 040， 所以y關(guān)于x的線性回歸方程為＝32

14、0x＋80， 當(dāng)x＝10時，＝320×10＋80＝3 280， 所以預(yù)測2018年10月份當(dāng)?shù)卦撈放菩履茉雌嚨匿N量約為3 280輛． (2)設(shè)最大續(xù)航里程在[300,400)內(nèi)的新能源汽車銷售t輛，則購車補貼 T＝1 500×3.4＋4.5t＋(3 000－1 500－t)×5＝12 600－0.5t. 由T≥12 000，即12 600－0.5t≥12 000，解得t≤1 200，所以t∈[0,1 200]． 故當(dāng)最大續(xù)航里程在[300,400)內(nèi)的銷售量不高于1 200輛時，購車補貼能達到1 200萬元． 1．(2019·肇慶模擬)如圖是相關(guān)變量x，y的散點圖，現(xiàn)對這兩

15、個變量進行線性相關(guān)分析，方案一：根據(jù)圖中所有數(shù)據(jù)，得到線性回歸方程y＝b1x＋a1，相關(guān)系數(shù)為r1；方案二：剔除點(10,21)，根據(jù)剩下數(shù)據(jù)得到線性回歸直線方程y＝b2x＋a2，相關(guān)系數(shù)為r2.則(　　) A．0＜r1＜r2＜1 B．0＜r2＜r1＜1 C．－1＜r1＜r2＜0 D．－1＜r2＜r1＜0 D　[根據(jù)相關(guān)變量x，y的散點圖知，變量x，y具有負(fù)線性相關(guān)關(guān)系，且點(10,21)是離群值； 方案一中，沒剔除離群值，線性相關(guān)性弱些，成負(fù)相關(guān)； 方案二中，剔除離群值，線性相關(guān)性強些，也是負(fù)相關(guān)． 所以相關(guān)系數(shù)－1＜r2＜r1＜0.故選D.] 2．某國企進行節(jié)能降耗技術(shù)改

16、造，下面是該國企節(jié)能降耗技術(shù)改造后連續(xù)五年的生產(chǎn)利潤： 年號x 1 2 3 4 5 年生產(chǎn)利潤y (單位：千萬元) 0.7 0.8 1 1.1 1.4 預(yù)測第8年該國企的生產(chǎn)利潤約為(　　) A．1.88千萬元 B．2.21千萬元 C．1.85千萬元 D．2.34千萬元 C　[＝＝3，＝＝1. ＝＝0.17，＝－ ＝1－0.17×3＝0.49. ∴y關(guān)于x的線性回歸方程為＝0.17x＋0.49. 取x＝8，得＝0.17×8＋0.49＝1.85. 即預(yù)測第8年該國企的生產(chǎn)利潤約為1.85千萬元，故選C.] 3．(2019·黃山模擬)在吸煙與患肺癌這

17、兩個分類變量的獨立性檢驗的計算中，下列說法正確的是________．(填序號) ①若χ2的觀測值為k＝6.635，在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為吸煙與患肺癌有關(guān)系，那么在100個吸煙的人中必有99人患有肺癌 ②由獨立性檢驗可知，在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為吸煙與患肺癌有關(guān)系時，我們說某人吸煙，那么他有99%的可能患有肺癌 ③若從統(tǒng)計量中求出在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為吸煙與患肺癌有關(guān)系，是指有1%的可能性使得判斷出現(xiàn)錯誤 ③　[獨立性檢驗得出的結(jié)論是帶有概率性質(zhì)的，只能說結(jié)論成立的概率有多大，而不能完全肯定一個結(jié)論，因此才出現(xiàn)了臨界值表，在分析問題時一

18、定要注意這點，不可對某個問題下確定性結(jié)論，否則就可能對統(tǒng)計計算的結(jié)果作出錯誤的解釋．若從統(tǒng)計量中求出在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為吸煙與患肺癌有關(guān)系，是指有1%的可能性使得判斷出現(xiàn)錯誤. 故③正確．] 4．某測試團隊為了研究“飲酒”對“駕車安全”的影響，隨機選取100名駕駛員先后在無酒狀態(tài)、酒后狀態(tài)下進行“停車距離”測試．測試的方案：電腦模擬駕駛，以某速度勻速行駛，記錄下駕駛員的“停車距離”(駕駛員從看到意外情況到車子完全停下所需要的距離)．無酒狀態(tài)與酒后狀態(tài)下的試驗數(shù)據(jù)分別列于表1和表2. 表1：無酒狀態(tài) 停車距離d(米) (10,20] (20,30] (30,40]

19、 (40,50] (50,60] 頻數(shù) 26 m n 8 2 表2：酒后狀態(tài) 平均每毫升血液酒精含量x(毫克) 10 30 50 70 90 平均停車距離y(米) 30 50 60 70 90 已知表1數(shù)據(jù)的中位數(shù)估計值為26，回答以下問題． (1)求m，n的值，并估計駕駛員無酒狀態(tài)下停車距離的平均數(shù)； (2)根據(jù)最小二乘法，由表2的數(shù)據(jù)計算y關(guān)于x的回歸方程＝x＋； (3)該測試團隊認(rèn)為：駕駛員酒后駕車的平均“停車距離”y大于(1)中無酒狀態(tài)下的停車距離平均數(shù)的3倍，則認(rèn)定駕駛員是“醉駕”．請根據(jù)(2)中的回歸方程，預(yù)測當(dāng)每毫升血液酒精含量大

20、于多少毫克時為“醉駕”？ (附：對于一組數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其回歸直線＝x＋的斜率和截距的最小二乘估計分別為＝ [解](1)依題意，得m＝50－26，解得m＝40， 又m＋n＋36＝100，解得n＝24. 故停車距離的平均數(shù)為 15×＋25×＋35×＋45×＋55×＝27. (2)依題意，可知＝50，＝60， xiyi＝10×30＋30×50＋50×60＋70×70＋90×90＝17 800，x＝102＋302＋502＋702＋902＝16 500， 所以＝＝0.7， ＝60－0.7×50＝25， 所以回歸直線方程為＝0.7x＋25.

21、 (3)由(1)知當(dāng)y>81時認(rèn)定駕駛員是“醉駕”．令>81，得0.7x＋25＞81，解得x>80，當(dāng)每毫升血液酒精含量大于80毫克時認(rèn)定為“醉駕”． 1．某城市收集并整理了該市2018年1月份至10月份各月最低氣溫與最高氣溫(單位：℃)的數(shù)據(jù)，繪制了下面的折線圖． 已知該城市各月的最低氣溫與最高氣溫具有較好的線性關(guān)系，則根據(jù)折線圖，下列結(jié)論錯誤的是 (　　) A．最低氣溫與最高氣溫為正相關(guān) B．10月的最高氣溫不低于5月的最高氣溫 C．月溫差(最高氣溫減最低氣溫)的最大值出現(xiàn)在1月 D．最低氣溫低于0 ℃的月份有4個 D　[在A中，最低氣溫與最高氣溫為正相關(guān)，故A正確

22、； 在B中，10月的最高氣溫不低于5月的最高氣溫，故B正確； 在C中，月溫差(最高氣溫減最低氣溫)的最大值出現(xiàn)在1月，故C正確； 在D中，最低氣溫低于0 ℃的月份有3個，故D錯誤．故選D.] 2．(2019·煙臺模擬)某地級市共有200 000名中小學(xué)生，其中有7%的學(xué)生在2017年享受了“國家精準(zhǔn)扶貧”政策，在享受“國家精準(zhǔn)扶貧”政策的學(xué)生中困難程度分為三個等次：一般困難、很困難、特別困難，且人數(shù)之比為5∶3∶2，為進一步幫助這些學(xué)生，當(dāng)?shù)厥姓O(shè)立“專項教育基金”，對這三個等次的困難學(xué)生每年每人分別補助1 000元、1 500元、2 000元．經(jīng)濟學(xué)家調(diào)查發(fā)現(xiàn)，當(dāng)?shù)厝司芍涫杖胼^

23、上一年每增加n%，一般困難的學(xué)生中有3n%會脫貧，脫貧后將不再享受“國家精準(zhǔn)扶貧”政策，很困難的學(xué)生中有2n%轉(zhuǎn)為一般困難，特別困難的學(xué)生中有n%轉(zhuǎn)為很困難．現(xiàn)統(tǒng)計了該地級市2013年到2017年共5年的人均可支配收入，對數(shù)據(jù)初步處理后得到了如圖所示的散點圖和表中統(tǒng)計量的值，其中年份x取13時代表2013年，x與y(萬元)近似滿足關(guān)系式y(tǒng)＝C1·2C2x，其中C1，C2為常數(shù)(2013年至2019年該市中學(xué)生人數(shù)大致保持不變)． (ki－)2 (yi－)2 (xi－)(yi－) (xi－)(ki－) 2.3 1.2 3.1 4.6 2 1 其中ki＝l

24、og2yi，＝ki. (1)估計該市2018年人均可支配收入； (2)求該市2018年的“專項教育基金”的財政預(yù)算大約為多少？ 附：①對于一組具有線性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù)(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回歸直線方程＝u＋的斜率和截距的最小二乘估計分別為. ② 2－0.7 2－0.3 20.1 21.7 21.8 21.9 0.6 0.8 1.1 3.2 3.5 3.73 [解](1)因為＝×(13＋14＋15＋16＋17)＝15，所以 (xi－)2＝(－2)2＋(－1)2＋02＋12＋22＝10. 由k＝log2y得k＝log2C1＋C2x，

25、 log2C1＝－C2＝1.2－×15＝－0.3， 所以C1＝2－0.3＝0.8，所以y＝0.8×2. 當(dāng)x＝18時，y＝0.8×21.8＝0.8×3.5＝2.8(萬元)． 即該市2018年人均可支配收入為2.8萬元． (2)由題意知2017年時該市享受“國家精準(zhǔn)扶貧”政策的學(xué)生有200 000×7%＝14 000人， 一般困難、很困難、特別困難的中學(xué)生依次有7 000人、4 200人、2 800人，2018年人均可支配收入比2017年增長 ＝20.1－1＝0.1＝10%， 所以2018年該市特別困難的中學(xué)生有 2 800×(1－10%)＝2 520人． 很困難的學(xué)生有4 200×(1－20%)＋2 800×10%＝3 640人， 一般困難的學(xué)生有7 000×(1 －30%)＋4 200×20%＝5 740人． 所以2018年的“專項教育基金”的財政預(yù)算大約為5 740×1 000＋3 640×1 500＋2 520×2 000＝16 240 000(元)＝1 624(萬元)．