高三數(shù)學北師大版理一輪教師用書：第11章 第8節(jié) 概率與統(tǒng)計的綜合問題 Word版含解析

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1、 第八節(jié)　概率與統(tǒng)計的綜合問題 [最新考綱]　能從研究對象中獲取數(shù)據(jù)，會用數(shù)學方法對數(shù)據(jù)進行整理、分析和推斷，構建模型等． 考點1　離散型隨機變量的均值與方差 　離散型隨機變量的均值和方差的求解，一般分兩步：一是定型，即先判斷隨機變量的分布是特殊類型，還是一般類型，如兩點分布、二項分布、超幾何分布等屬于特殊類型；二是定性，對于特殊類型的均值和方差可以直接代入相應公式求解，而對于一般類型的隨機變量，應先求其分布列然后代入相應公式計算，注意離散型隨機變量的取值與概率的對應． 　(2019·廣州一模)某商場以分期付款方式銷售某商品，根據(jù)以往資料統(tǒng)計，顧客購買該商品選擇分期付款的期數(shù)ξ

2、的分布列為 ξ 2 3 4 P 0.4 a b 其中0＜a＜1,0＜b＜1. (1)求購買該商品的3位顧客中，恰有2位選擇分2期付款的概率； (2)商場銷售一件該商品，若顧客選擇分2期付款，則商場獲得的利潤為200元；若顧客選擇分3期付款，則商場獲得的利潤為250元；若顧客選擇分4期付款，則商場獲得的利潤為300元．商場銷售兩件該商品所獲得的利潤記為X(單位：元)． ①求X的分布列； ②若P(X≤500)≥0.8，求X的數(shù)學期望EX的最大值． [解]　(1)設購買該商品的3位顧客中，選擇分2期付款的人數(shù)為η，依題意得η～B(3,0.4)， 則P(η＝2)＝C(0.

3、4)2×(1－0.4)＝0.288， ∴購買該商品的3位顧客中，恰有2位選擇分2期付款的概率為0.288. (2)①依題意X的取值分別為400,450,500,550,600， P(X＝400)＝0.4×0.4＝0.16， P(X＝450)＝2×0.4a＝0.8a， P(X＝500)＝2×0.4b＋a2＝0.8b＋a2， P(X＝550)＝2ab， P(X＝600)＝b2. ∴X的分布列為： X 400 450 500 550 600 P 0.16 0.8a 0.8b＋a2 2ab b2 ②P(X≤500)＝P(X＋400)＋P(X＝450)＋P(X＝

4、500) ＝0.16＋0.8(a＋b)＋a2， 根據(jù)0.4＋a＋b＝1，得a＋b＝0.6，∴b＝0.6－a， ∵P(X≤500)≥0.8，∴0.16＋0.48＋a2≥0.8， 解得a≥0.4或a≤－0.4，∵a＞0，∴a≥0.4， ∵b＞0，∴0.6－a＞0，解得a＜0.6， ∴a∈[0.4,0.6)， EX＝400×0.16＋450×0.8a＋500(0.8b＋a2)＋1 100ab＋600b2＝520－100a， 當a＝0.4時，EX的最大值為480， ∴X的數(shù)學期望EX的最大值為480. 　本例融概率、分布列、函數(shù)于一體，體現(xiàn)了高考命題的最新動向，求解時可先借助分布列

5、的性質及題設條件“P(X≤500) ≥0.8”探求得到參數(shù)a的范圍，然后借助數(shù)學期望公式建立關于參數(shù)a的函數(shù)關系式，并通過二次函數(shù)求得數(shù)學期望EX的最大值． 　(2019·九江二模)某企業(yè)打算處理一批產(chǎn)品，這些產(chǎn)品每箱100件，以箱為單位銷售．已知這批產(chǎn)品中每箱出現(xiàn)的廢品率只有兩種可能10%或者20%，兩種可能對應的概率均為0.5.假設該產(chǎn)品正品每件市場價格為100元，廢品不值錢．現(xiàn)處理價格為每箱8 400元，遇到廢品不予更換．以一箱產(chǎn)品中正品的價格期望值作為決策依據(jù)． (1)在不開箱檢驗的情況下，判斷是否可以購買； (2)現(xiàn)允許開箱，有放回地隨機從一箱中抽取2件產(chǎn)品進行檢驗． ①若此

6、箱出現(xiàn)的廢品率為20%，記抽到的廢品數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學期望； ②若已發(fā)現(xiàn)在抽取檢驗的2件產(chǎn)品中，其中恰有一件是廢品，判斷是否可以購買． [解]　(1)在不開箱檢驗的情況下，一箱產(chǎn)品中正品的價格期望值為： Eξ＝100×(1－0.2)×100×0.5＋100×(1－0.1)×100×0.5＝8 500＞8 400， ∴在不開箱檢驗的情況下，可以購買． (2)①X的可能取值為0,1,2， P(X＝0)＝C×0·20×0·82＝0.64， P(X＝1)＝C×0·21×0·81＝0.32， P(X＝2)＝C×0·82×0·20＝0.04， ∴X的分布列為： X 0 1

7、 2 P 0.64 0.32 0.04 EX＝0×0.64＋1×0.32＋2×0.04＝0.4. ②設事件A：發(fā)現(xiàn)在抽取檢驗的2件產(chǎn)品中，其中恰有一件是廢品，則 P(A)＝C×0.2×0.8×0.5＋C×0.1×0.9×0.5＝0.25， 一箱產(chǎn)品中，設正品的價格的期望值為η，則η＝8 000,9 000， 事件B1：抽取的廢品率為20%的一箱，則， P(η＝8 000)＝P(B1|A)＝＝＝0.64， 事件B2：抽取的廢品率為10%的一箱，則 P(η＝9 000)＝P(B2|A)＝＝＝0.36， ∴Eη＝8 000×0.64＋9 000×0.36＝8 360＜8 4

8、00， ∴已發(fā)現(xiàn)在抽取檢驗的2件產(chǎn)品中，其中恰有一件是廢品，不可以購買． 考點2　概率與統(tǒng)計的綜合應用 　概率與統(tǒng)計作為考查考生應用意識的重要載體，已成為近幾年高考的一大亮點和熱點．它與其他知識融合、滲透，情境新穎，充分體現(xiàn)了概率與統(tǒng)計的工具性和交匯性．統(tǒng)計以考查抽樣方法、樣本的頻率分布、樣本特征數(shù)的計算為主，概率以考查概率計算為主，往往和實際問題相結合，要注意理解實際問題的意義，使之和相應的概率計算對應起來，只有這樣才能有效地解決問題． 　從某技術公司開發(fā)的某種產(chǎn)品中隨機抽取200件，測量這些產(chǎn)品的一項質量指標值(記為Z)，由測量結果得如下頻率分布直方圖： (1)公司規(guī)定：當

9、Z≥95時，產(chǎn)品為正品；當Z<95時，產(chǎn)品為次品．公司每生產(chǎn)一件這種產(chǎn)品，若是正品，則盈利90元；若是次品，則虧損30元．記ξ為生產(chǎn)一件這種產(chǎn)品的利潤，求隨機變量ξ的分布列和數(shù)學期望； (2)由頻率分布直方圖可以認為，Z服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，其中μ近似為樣本平均數(shù)，σ2近似為樣本方差s2(同一組中的數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點值作代表)． ①利用該正態(tài)分布，求P(87.8

10、σ

11、－20)2×0.09＋(－10)2×0.22＋02×0.33＋102×0.24＋202×0.08＋302×0.02＝150. ①因為Z～N(100,150)， 從而P(87.8

12、的計數(shù)方法、各類概率的計算方法及均值與方差的運算是解決問題的關鍵． 　經(jīng)銷商經(jīng)銷某種農(nóng)產(chǎn)品，在一個銷售季度內(nèi)，每售出1 t該產(chǎn)品獲得利潤500元，未售出的產(chǎn)品，每1 t虧損300元．根據(jù)歷史資料，得到銷售季度內(nèi)市場需求量的頻率分布直方圖，如圖所示．經(jīng)銷商為下一個銷售季度購進了130 t該農(nóng)產(chǎn)品．以X(單位：t,100≤X≤150)表示下一個銷售季度內(nèi)的市場需求量，T(單位：元)表示下一個銷售季度內(nèi)經(jīng)銷該農(nóng)產(chǎn)品的利潤． (1)將T表示為X的函數(shù)； (2)根據(jù)直方圖估計利潤T不少于57 000元的概率； (3)在直方圖的需求量分組中，以各組的區(qū)間中點值代表該組的各個值，需求量落入該區(qū)間

13、的頻率作為需求量取該區(qū)間中點值的概率(例如：若需求量X∈[100,110)，則取X＝105，且X＝105的概率等于需求量落入[100,110)的頻率)，求T的均值． [解]　(1)當X∈[100,130)時， T＝500X－300(130－X)＝800X－39 000. 當X∈[130,150]時，T＝500×130＝65 000. 所以T＝ (2)由(1)知利潤T不少于57 000元當且僅當120≤X≤150. 由直方圖知需求量X∈[120,150]的頻率為0.7，所以下一個銷售季度內(nèi)的利潤T不少于57 000元的概率的估計值為0.7. (3)依題意可得T的分布列為 T 4

14、5 000 53 000 61 000 65 000 P 0.1 0.2 0.3 0.4 所以ET＝45 000×0.1＋53 000×0.2＋61 000×0.3＋65 000×0.4＝59 400. 考點3　概率與統(tǒng)計案例的綜合應用 　概率與統(tǒng)計案例的綜合應用常涉及相互獨立事件同時發(fā)生的概率、頻率分布直方圖的識別與應用、數(shù)字特征、獨立性檢驗等基礎知識，考查學生的閱讀理解能力、數(shù)據(jù)處理能力、運算求解能力及應用意識． 　 (2019·武漢二模)某市房管局為了了解該市市民2018年1月至2019年1月期間購買二手房情況，首先隨機抽樣其中200名購房者，并對其購房面積m(

15、單位：平方米，60≤m≤130)進行了一次調(diào)查統(tǒng)計，制成了如圖1所示的頻率分布直方圖，接著調(diào)查了該市2018年1月至2019年1月期間當月在售二手房均價y(單位：萬元/平方米)，制成了如圖2所示的散點圖(圖中月份代碼1－13分別對應2018年1月至2019年1月) 圖1 圖2 (1)試估計該市市民的平均購房面積； (2)從該市2018年1月至2019年1月期間所有購買二手房的市民中任取3人，用頻率估計概率，記這3人購房面積不低于100平方米的人數(shù)為X，求X的分布列與數(shù)學期望； (3)根據(jù)散點圖選擇＝＋和＝＋ln x兩個模型進行擬合，經(jīng)過數(shù)據(jù)處理得到兩個回歸方程，分別為＝0.9

16、36 9＋0.028 5和＝0.955 4＋0.030 6ln x，并得到一些統(tǒng)計量的值，如表所示： ＝0.936 9＋ 0.028 5 ＝0.955 4＋ 0.030 61ln x (yi－i)2 0.000 591 0.000 164 (yi－)2 0.006 050 請利用相關指數(shù)R2判斷哪個模型的擬合效果更好，并用擬合效果更好的模型預測2019年6月份的二手房購房均價(精確到0.001)． 參考數(shù)據(jù)：ln 2≈0.69，ln 3≈1.10，ln 7≈2.83，ln 19≈2.94，≈1.41，≈1.73，≈4.12，≈4.36. 參考公式：R2＝1－.

17、 [解]　(1)＝65×0.05＋75×0.1＋85×0.2＋95×0.25＋105×0.2＋115×0.15＋125×0.05＝96. (2)每一位市民購房面積不低于100平方米的概率為0.20＋0.15＋0.05＝0.4， ∴X～B(3,0.4)， ∴P(X＝k)＝C×0·4k×0·63－k，(k＝0,1,2,3)， P(X＝0)＝0.63＝0.216， P(X＝1)＝C×0.4×0·62＝0.432， P(X＝2)＝C×0·42×0.6＝0.288， P(X＝3)＝0.43＝0.064， ∴X的分布列為： X 0 1 2 3 P 0.216 0.

18、432 0.288 0.064 ∴EX＝3×0.4＝1.2. (3)設模型＝0.936 9＋0.028 5和＝0.955 4＋0.030 6ln x的相關指數(shù)分別為R，R， 則R ＝ 1－，R ＝ 1－， ∴R < R， ∴模型＝0.955 4＋0.030 6ln x的擬合效果更好， 2019年6月份對應的x＝18， ∴＝0.955 4＋0.030 6ln18＝0.955 4＋0.030 6(ln 2＋2ln 3)≈1.044萬元/平方米． 　在兩個變量的回歸分析中要注意以下2點 (1)求回歸直線方程要充分利用已知數(shù)據(jù)，合理利用公式減少運算． (2)借助散點圖，觀察

19、兩個變量之間的關系．若不是線性關系，則需要根據(jù)相關知識轉化為線性關系． 　(2019·鐵東區(qū)校級三模)一家大型超市委托某機構調(diào)查該超市的顧客使用移動支付的情況．調(diào)查人員從年齡在20至60的顧客中，隨機抽取了200人，調(diào)查結果如圖： (1)為推廣移動支付，超市準備對使用移動支付的每位顧客贈送1個環(huán)保購物袋．若某日該超市預計有10000人購物，試根據(jù)上述數(shù)據(jù)估計，該超市當天應準備多少個環(huán)保購物袋？ (2)填寫下面列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有99.9%的把握認為使用移動支付與年齡有關？ 年齡＜40 年齡≥40 小計 使用移動支付 不使用移動支付 小

20、計 200 (3)現(xiàn)從該超市這200位顧客年齡在[55,60]的人中，隨機抽取2人，記這兩人中使用移動支付的顧客為X人，求X的分布列． 附：χ2＝ P(χ2≥k) 0.100 0.050 0.010 0.001 k 2.706 3.841 6.635 10.828 [解]　(1)根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，由頻率估計概率，根據(jù)已知可預計該超市顧客使用移動支付的概率為： ＝， 所以超市當天應準備的環(huán)保購物袋個數(shù)為：10 000×＝6 250. (2)由(1)知列聯(lián)表為： 年齡＜40 年齡≥40 小計 使用移動支付 85 40 125 不使用移動支

21、付 10 65 75 小計 95 105 200 假設移動支付與年齡無關，則 χ2＝≈56.17， ∵56.17＞10.828，所以有99.9%的把握認為使用移動支付與年齡有關． (3)X可能取值為0,1,2， P(X＝0)＝＝， P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝， 所以X的分布列為： X 0 1 2 P 課外素養(yǎng)提升⑩　數(shù)據(jù)分析——數(shù)據(jù)統(tǒng)計與建模求解 數(shù)據(jù)分析是指針對研究對象獲得相關數(shù)據(jù)，運用統(tǒng)計方法對數(shù)據(jù)中的有用信息進行分析和推斷，形成知識的過程．主要包括：收集數(shù)據(jù)，整理數(shù)據(jù)，提取信息，構建模型對信息進行分析、推斷，獲得結論

22、．在數(shù)據(jù)分析核心素養(yǎng)的形成過程中，學生能夠提升數(shù)據(jù)處理的能力，增強基于數(shù)據(jù)表達現(xiàn)實問題的意識，養(yǎng)成通過數(shù)據(jù)思考問題的習慣，積極依托數(shù)據(jù)探索事物本質、關聯(lián)和規(guī)律的活動經(jīng)驗． 概率與頻率分布的綜合應用 【例1】　(2019·濟寧一模)某學校為了了解全校學生的體重情況，從全校學生中隨機抽取了100人的體重數(shù)據(jù)，結果這100人的體重全部介于45公斤到75公斤之間，現(xiàn)將結果按如下方式分為6組：第一組[45,50)，第二組[50,55)，…，第六組[70,75)，得到如圖(1)所示的頻率分布直方圖，并發(fā)現(xiàn)這100人中，其體重低于55公斤的有15人，這15人體重數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖(2)所示，以樣本的頻

23、率作為總體的概率． 圖(1)　　　　　　　　　　圖(2) (1)求頻率分布直方圖中a，b，c的值； (2)從全校學生中隨機抽取3名學生，記X為體重在[55,65)的人數(shù)，求X的概率分布列和數(shù)學期望； (3)由頻率分布直方圖可以認為，該校學生的體重ξ近似服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，其中μ＝60，σ2＝25.若P(μ－2σ≤ξ＜μ＋2σ)＞0.9545，則認為該校學生的體重是正常的．試判斷該校學生的體重是否正常？并說明理由． [解]　(1)由題圖(2)知，100名樣本中體重低于50公斤的有2人， 用樣本的頻率估計總體的概率，可得體重低于50公斤的概率為＝0.02，則a＝＝0.004

24、， 在[50,55)上有13人，該組的頻率為0.13，則b＝＝0.026， 所以2c＝＝0.14，即c＝0.07. (2)用樣本的頻率估計總體的概率，可知從全體學生中隨機抽取一人，體重在[55,65)的概率為0.07×10＝0.7，隨機抽取3人，相當于三次獨立重復試驗，隨機變量X服從二項分布B(3,0.7)， 則P(X＝0)＝C0.700.33＝0.027， P(X＝1)＝C0.710.32＝0.189， P(X＝2)＝C0.720.31＝0.441， P(X＝3)＝C0.730.30＝0.343， 所以，X的概率分布列為： X 0 1 2 3 P 0.027

25、0.189 0.441 0.343 EX＝3×0.7＝2.1. (3)由N(60,25)得σ＝5 由圖(2)知P(μ－2σ≤ξ＜μ＋2σ)＝P(50≤ξ＜70)＝0.96＞0.954 5.所以可以認為該校學生的體重是正常的． [評析]　本題以學生體重情況為背景，設計概率與統(tǒng)計、正態(tài)分布的綜合應用．體現(xiàn)了數(shù)學建模(用頻率估計概率、正態(tài)分布)、數(shù)學運算(求平均數(shù)、方差、求概率)、數(shù)據(jù)分析、邏輯推理(以直方圖中求平均數(shù)方差，由正態(tài)分布求概率及期望)的學科素養(yǎng)；培養(yǎng)了統(tǒng)計意識，經(jīng)歷“收集數(shù)據(jù)—整理數(shù)據(jù)—分析數(shù)據(jù)—作出推斷”的全過程． 概率與統(tǒng)計案例的綜合 【例2】　為了解當代中學生

26、喜歡文科、理科的情況，某中學一課外活動小組在學校高一年級文、理分科時進行了問卷調(diào)查，問卷共100道題，每題1分，總分100分，該課外活動小組隨機抽取了200名學生的問卷成績(單位：分)進行統(tǒng)計，將數(shù)據(jù)按照[0,20)，[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]分成5組，繪制的頻率分布直方圖如圖所示，若將不低于60分的稱為“文科意向”學生，低于60分的稱為“理科意向”學生． (1)根據(jù)已知條件完成下面2×2列聯(lián)表，并據(jù)此判斷是否有99%的把握認為是否為“文科意向”與性別有關？ 理科意向 文科意向 總計 男 110 女 50 總計

27、 (2)將頻率視為概率，現(xiàn)在從該校高一學生中用隨機抽樣的方法每次抽取1人，共抽取3次，記被抽取的3人中“文科意向”的人數(shù)為ξ，若每次抽取的結果是相互獨立的，求ξ的分布列、期望Eξ和方差Dξ. 參考公式：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d. 參考臨界值： P(χ2≥k0) 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 [解]　(1)由頻率分布直方圖可得分數(shù)在[60,80)之間的學生人數(shù)為0.012 5×20×200＝50，在[80,100]之間的學生人數(shù)為

28、0.007 5×20×200＝30，所以低于60分的學生人數(shù)為120.因此列聯(lián)表為 理科意向 文科意向 總計 男 80 30 110 女 40 50 90 總計 120 80 200 又χ2＝≈16.498>6.635， 所以有99%的把握認為是否為“文科意向”與性別有關． (2)易知從該校高一學生中隨機抽取1人，則該人為“文科意向”的概率為P＝＝. 依題意知ξ～B， 所以P(ξ＝i)＝Ci3－i(i＝0,1,2,3)， 所以ξ的分布列為 ξ 0 1 2 3 P 所以期望Eξ＝np＝，方差Dξ＝np(1－p)＝. [評析]　此類題目雖然涉及的知識點較多，但每個知識點考查程度相對較淺，考查深度有限，所以解決此類問題，最主要的是正確掌握概率與統(tǒng)計案例的基本知識，并能對這些知識點進行有效的融合，把統(tǒng)計圖表中的量轉化為概率及分布列求解中的有用的量是解決此類問題的關鍵所在.