高三數(shù)學(xué)北師大版理一輪教師用書：第9章 第4節(jié) 直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系 Word版含解析

第四節(jié)　直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系 [最新考綱]　1.能根據(jù)給定直線、圓的方程判斷直線與圓的位置關(guān)系；能根據(jù)給定兩個圓的方程判斷兩圓的位置關(guān)系.2.能用直線和圓的方程解決一些簡單的問題.3.初步了解用代數(shù)方法處理幾何問題的思想． 1．判斷直線與圓的位置關(guān)系常用的兩種方法 (1)三種位置關(guān)系：相交、相切、相離． (2)兩種研究方法： ① ② 2．圓與圓的位置關(guān)系 設(shè)圓O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r(r1>0)，圓O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r(r2>0)． 位置 關(guān)系 幾何法：圓心距d與r1，r2的關(guān)系 代數(shù)法：兩圓方程聯(lián)立組成方程組的解的情況 外離 d>r1＋r2 無解 外切 d＝r1＋r2 一組實數(shù)解 相交 |r1－r2|<d<r1＋r2 兩組不同的實數(shù)解 內(nèi)切 d＝|r1－r2|(r1≠r2) 一組實數(shù)解 內(nèi)含 0≤d<|r1－r2|(r1≠r2) 無解 1．當(dāng)兩圓相交(切)時，兩圓方程(x2，y2項的系數(shù)相同)相減便可得公共弦(公切線)所在的直線方程． 2．圓的切線方程常用結(jié)論 (1)過圓x2＋y2＝r2上一點P(x0，y0)的圓的切線方程為x0x＋y0y＝r2. (2)過圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一點P(x0，y0)的圓的切線方程為(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2. (3)過圓x2＋y2＝r2外一點M(x0，y0)作圓的兩條切線，則兩切點所在直線方程為x0x＋y0y＝r2. 一、思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)如果兩個圓的方程組成的方程組只有一組實數(shù)解，則兩圓外切．(　　) (2)如果兩圓的圓心距小于兩圓的半徑之和，則兩圓相交．(　　) (3)從兩圓的方程中消掉二次項后得到的二元一次方程是兩圓的公共弦所在的直線方程．(　　) (4)過圓O：x2＋y2＝r2外一點P(x0，y0)作圓的兩條切線，切點分別為A，B，則O，P，A，B四點共圓且直線AB的方程是x0x＋y0y＝r2.(　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 二、教材改編 1．若直線x－y＋1＝0與圓(x－a)2＋y2＝2有公共點，則實數(shù)a的取值范圍是(　　) A．[－3，－1]　 B．[－1,3] C．[－3,1]　 D．(－∞，－3]∪[1，＋∞) C　[由題意可得，圓的圓心為(a,0)，半徑為， ∴≤，即|a＋1|≤2，解得－3≤a≤1.] 2．圓(x＋2)2＋y2＝4與圓(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置關(guān)系為(　　) A．內(nèi)切 B．相交 C．外切 D．相離 B　[兩圓圓心分別為(－2,0)，(2,1)，半徑分別為2和3，圓心距d＝＝. ∵3－2<d<3＋2， ∴兩圓相交．] 3．圓Q：x2＋y2－4x＝0在點P(1，)處的切線方程為______． x－y＋2＝0　[因為點P(1，)是圓Q：x2＋y2－4x＝0上的一點， 故在點P處的切線方程為x－y＋2＝0.] 4．圓x2＋y2－4＝0與圓x2＋y2－4x＋4y－12＝0的公共弦長為________． 2　[由得x－y＋2＝0. 由于x2＋y2－4＝0的圓心為(0,0)，半徑r＝2，且圓心(0,0)到直線x－y＋2＝0的距離d＝＝，所以公共弦長為2＝2＝2.] 考點1　直線與圓的位置關(guān)系 　判斷直線與圓的位置關(guān)系的常見方法 (1)幾何法：利用d與r的關(guān)系． (2)代數(shù)法：聯(lián)立方程之后利用Δ判斷． (3)點與圓的位置關(guān)系法：若直線恒過定點且定點在圓內(nèi)，可判斷直線與圓相交，上述方法中最常用的是幾何法，點與圓的位置關(guān)系法適用于動直線問題． 　(1)[一題多解]直線l：mx－y＋1－m＝0與圓C：x2＋(y－1)2＝5的位置關(guān)系是(　　) A．相交　　　　　　 B．相切 C．相離 D．不確定 (2)若直線x＋my＝2＋m與圓x2＋y2－2x－2y＋1＝0相交，則實數(shù)m的取值范圍為(　　) A．(－∞，＋∞) B．(－∞，0) C．(0，＋∞) D．(－∞，0)∪(0，＋∞) (3)圓(x－3)2＋(y－3)2＝9上到直線3x＋4y－11＝0的距離等于1的點的個數(shù)為(　　) A．1　　 B．2 C．3　　 D．4 (1)A　(2)D　(3)C　[(1)法一：(代數(shù)法)由 消去y，整理得(1＋m2)x2－2m2x＋m2－5＝0， 因為Δ＝16m2＋20>0，所以直線l與圓相交． 法二：(幾何法)∵圓心(0,1)到直線l的距離d＝<1<.故直線l與圓相交． 法三：(點與圓的位置關(guān)系法)直線l：mx－y＋1－m＝0過定點(1,1)，∵點(1,1)在圓C：x2＋(y－1)2＝5的內(nèi)部，∴直線l與圓C相交． (2)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－1)2＋(y－1)2＝1，圓心C(1,1)，半徑r＝1.因為直線與圓相交，所以d＝<r＝1.解得m>0或m<0.故選D. (3)如圖所示，因為圓心到直線的距離為＝2，又因為圓的半徑為3，所以直線與圓相交，故圓上到直線的距離為1的點有3個．] 　(1)已知直線與圓的位置關(guān)系求參數(shù)值或取值范圍，就是利用d＝r，d>r或d<r建立關(guān)于參數(shù)的等式或不等式求解；(2)圓上的點到直線距離為定值的動點個數(shù)問題多借助數(shù)形結(jié)合，轉(zhuǎn)化為點到直線的距離求解． 　1.已知點M(a，b)在圓O：x2＋y2＝1外，則直線ax＋by＝1與圓O的位置關(guān)系是(　　) A．相切 B．相交 C．相離 D．不確定 B　[因為M(a，b)在圓O：x2＋y2＝1外，所以a2＋b2＞1，而圓心O到直線ax＋by＝1的距離d＝＜1.所以直線與圓相交．] 2．若直線l：x＋y＝m與曲線C：y＝有且只有兩個公共點，則m的取值范圍是________． [1，)　[畫出圖像如圖，當(dāng)直線l經(jīng)過點A，B時，m＝1，此時直線l與曲線y＝有兩個公共點；當(dāng)直線l與曲線相切時，m＝，因此當(dāng)1≤m<時，直線l：x＋y＝m與曲線y＝有且只有兩個公共點．] 考點2　圓與圓的位置關(guān)系 　幾何法判斷圓與圓的位置步驟 (1)確定兩圓的圓心坐標(biāo)和半徑長． (2)利用平面內(nèi)兩點間的距離公式求出圓心距d和r1＋r2，|r1－r2|的值． (3)比較d，r1＋r2，|r1－r2|的大小，寫出結(jié)論． 　已知兩圓C1：x2＋y2－2x－6y－1＝0和C2：x2＋y2－10x－12y＋45＝0. (1)求證：圓C1和圓C2相交； (2)求圓C1和圓C2的公共弦所在直線的方程和公共弦長． [解]　(1)證明：圓C1的圓心為C1(1,3)，半徑r1＝，圓C2的圓心為C2(5,6)，半徑r2＝4，兩圓圓心距d＝|C1C2|＝5，r1＋r2＝＋4，|r1－r2|＝4－， ∴|r1－r2|＜d＜r1＋r2， ∴圓C1和圓C2相交． (2)圓C1和圓C2的方程左、右兩邊分別相減，得4x＋3y－23＝0，∴兩圓的公共弦所在直線的方程為4x＋3y－23＝0. 圓心C2(5,6)到直線4x＋3y－23＝0的距離為＝3，故公共弦長為2＝2. 　求兩圓公共弦長，常選其中一圓，由弦心距d，半弦 長，半徑r構(gòu)成直角三角形，利用勾股定理求解． 　1.已知圓M：x2＋y2－2ay＝0(a>0)截直線x＋y＝0所得線段的長度是2，則圓M與圓N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置關(guān)系是(　　) A．內(nèi)切 B．相交 C．外切 D．相離 B　[由得兩交點為(0,0)，(－a，a)． ∵圓M截直線所得線段長度為2， ∴＝2.又a>0， ∴a＝2. ∴圓M的方程為x2＋y2－4y＝0， 即x2＋(y－2)2＝4， 圓心M(0,2)，半徑r1＝2. 又圓N：(x－1)2＋(y－1)2＝1，圓心N(1,1)，半徑r2＝1， ∴|MN|＝＝. ∵r1－r2＝1，r1＋r2＝3,1<|MN|<3，∴兩圓相交．] 2．若圓C1：x2＋y2＝1與圓C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，則m＝(　　) A．21 B．19 C．9 D．－11 C　[圓C1的圓心為C1(0,0)，半徑r1＝1，因為圓C2的方程可化為(x－3)2＋(y－4)2＝25－m，所以圓C2的圓心為C2(3,4)，半徑r2＝(m＜25)．從而|C1C2|＝＝5.由兩圓外切得|C1C2|＝r1＋r2，即1＋＝5，解得m＝9，故選C.] 考點3　直線、圓的綜合問題 　切線問題 　過圓外一點(x0，y0)的圓的切線方程的求法：當(dāng)斜率存在時，設(shè)為k，則切線方程為y－y0＝k(x－x0)，即kx－y＋y0－kx0＝0，由圓心到直線的距離等于半徑，即可得出切線方程；當(dāng)斜率不存在時，要加以驗證． 　已知點P(＋1,2－)，點M(3,1)，圓C：(x－1)2＋(y－2)2＝4. (1)求過點P的圓C的切線方程； (2)求過點M的圓C的切線方程，并求出切線長． [解]　由題意得圓心C(1,2)，半徑r＝2. (1)∵(＋1－1)2＋(2－－2)2＝4， ∴點P在圓C上． 又kPC＝＝－1， ∴切線的斜率k＝－＝1. ∴過點P的圓C的切線方程是 y－(2－)＝x－(＋1)， 即x－y＋1－2＝0. (2)∵(3－1)2＋(1－2)2＝5＞4， ∴點M在圓C外部． 當(dāng)過點M的直線斜率不存在時，直線方程為x＝3， 即x－3＝0. 又點C(1,2)到直線x－3＝0的距離d＝3－1＝2＝r， 即此時滿足題意，所以直線x＝3是圓的切線． 當(dāng)切線的斜率存在時，設(shè)切線方程為y－1＝k(x－3)， 即kx－y＋1－3k＝0， 則圓心C到切線的距離d＝＝r＝2，解得k＝. ∴切線方程為y－1＝(x－3)，即3x－4y－5＝0. 綜上可得，過點M的圓C的切線方程為x－3＝0或3x－4y－5＝0. ∵|MC|＝＝， ∴過點M的圓C的切線長為＝＝1. 當(dāng)切線為x＝3時，切線長為1. 　(1)圓的切線問題的處理要抓住圓心到直線的距離等于半徑，從而建立關(guān)系解決問題；(2)過圓上一點作圓的切線有且只有一條；過圓外一點作圓的切線有且只有兩條，若僅求得一條，除了考慮運算過程是否正確外，還要考慮斜率不存在的情況，以防漏解． 　由直線y＝x＋1上的動點P向圓C：(x－3)2＋y2＝1引切線，則切線長的最小值為(　　) A．1 B．2 C. D．3 C　[如圖，切線長|PM|＝，顯然當(dāng)|PC|為C到直線y＝x＋1的距離即＝2時|PM|最小為，故選C.] 　弦長問題 　弦長的2種求法 (1)代數(shù)方法：將直線和圓的方程聯(lián)立方程組，消元后得到一個一元二次方程．在判別式Δ＞0的前提下，利用根與系數(shù)的關(guān)系，根據(jù)弦長公式求弦長． (2)幾何方法：若弦心距為d，圓的半徑長為r，則弦長l＝2. 　(1)設(shè)圓x2＋y2－2x－2y－2＝0的圓心為C，直線l過(0,3)，且與圓C交于A，B兩點，若|AB|＝2，則直線l的方程為(　　) A．3x＋4y－12＝0或4x－3y＋9＝0 B．3x＋4y－12＝0或x＝0 C．4x－3y＋9＝0或x＝0 D．3x－4y＋12＝0或4x＋3y＋9＝0 (2)(2018·全國卷Ⅰ)直線y＝x＋1與圓x2＋y2＋2y－3＝0交于A，B兩點，則|AB|＝________. (1)B　(2)2　[(1)當(dāng)直線l的斜率不存在時，直線l的方程為x＝0，聯(lián)立方程得得或∴|AB|＝2，符合題意．當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為y＝kx＋3，∵圓x2＋y2－2x－2y－2＝0，即(x－1)2＋(y－1)2＝4，其圓心為C(1,1)，圓的半徑r＝2，圓心C(1,1)到直線y ＝kx＋3的距離d＝＝，∵d2＋2＝r2，∴＋3＝4，解得k＝－，∴直線l的方程為y＝－x＋3，即3x＋4y－12＝0.綜上，直線l的方程為3x＋4y－12＝0或x＝0.故選B. (2)由題意知圓的方程為x2＋(y＋1)2＝4，所以圓心坐標(biāo)為(0，－1)，半徑為2，則圓心到直線y＝x＋1的距離d＝＝，所以|AB|＝2＝2.] 　求圓的弦長問題，注意應(yīng)用圓的性質(zhì)解題，即用圓心與弦中點連線與弦垂直的性質(zhì)，可以用勾股定理或斜率之積為－1列方程來簡化運算． 提醒：對于已知弦長求直線方程的問題，常因漏掉直線斜率不存在的情形致誤，如本例(1)． 　 (2019·太原一模)已知在圓x2＋y2－4x＋2y＝0內(nèi)，過點E(1,0)的最長弦和最短弦分別是AC和BD，則四邊形ABCD的面積為(　　) A．3 B．6 C．4 D．2 D　[將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程得(x－2)2＋(y＋1)2＝5，圓心坐標(biāo)為F(2，－1)，半徑r＝，如圖，顯然過點E的最長弦為過點E的直徑，即|AC|＝2，而過點E的最短弦為垂直于EF的弦， |EF|＝＝， |BD|＝2＝2，∴S四邊形ABCD＝|AC|×|BD|＝2.] 　直線與圓的綜合問題 　直線與圓的綜合問題的求解策略 (1)利用解析幾何的基本思想方法(即幾何問題代數(shù)化)，把它轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，通過代數(shù)的計算，使問題得到解決． (2)直線與圓和平面幾何聯(lián)系十分緊密，可充分考慮平面幾何知識的運用． 　已知直線l：4x＋3y＋10＝0，半徑為2的圓C與l相切，圓心C在x軸上且在直線l的右上方． (1)求圓C的方程； (2)過點M(1,0)的直線與圓C交于A，B兩點(A在x軸上方)，問在x軸正半軸上是否存在定點N，使得x軸平分∠ANB？若存在，請求出點N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由． [解]　(1)設(shè)圓心C(a,0)，則＝2?a＝0或a＝－5(舍)．所以圓C：x2＋y2＝4. (2)當(dāng)直線AB⊥x軸時，x軸平分∠ANB. 當(dāng)直線AB的斜率存在時，設(shè)直線AB的方程為y＝k(x－1)，N(t,0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由 得，(k2＋1)x2－2k2x＋k2－4＝0， 所以x1＋x2＝，x1x2＝. 若x軸平分∠ANB，則kAN＝－kBN?＋＝0?＋＝0?2x1x2－(t＋1)(x1＋x2)＋2t＝0?－＋2t＝0?t＝4， 所以當(dāng)點N為(4,0)時，能使得∠ANM＝∠BNM總成立． 　本例是探索性問題，求解的關(guān)鍵是把幾何問題代數(shù)化，即先把條件“x軸平分∠ANB”等價轉(zhuǎn)化為“直線斜率的關(guān)系：kAN＝－kBN”，然后借助方程思想求解． [教師備選例題] 如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知以M為圓心的圓M：x2＋y2－12x－14y＋60＝0及其上一點A(2,4)． (1)設(shè)圓N與x軸相切，與圓M外切，且圓心N在直線x＝6上，求圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程； (2)設(shè)平行于OA的直線l與圓M相交于B，C兩點，且BC＝OA，求直線l的方程． [解]　(1)圓M的方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式為(x－6)2＋(y－7)2＝25，圓心M(6,7)，半徑r＝5， 由題意，設(shè)圓N的方程為(x－6)2＋(y－b)2＝b2(b>0)． 且＝b＋5. 解得b＝1，∴圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－6)2＋(y－1)2＝1. (2)∵kOA＝2，∴可設(shè)l的方程為y＝2x＋m，即2x－y＋m＝0. 又BC＝OA＝＝2. 由題意，圓M的圓心M(6,7)到直線l的距離為d＝＝＝2. 即＝2，解得m＝5或m＝－15. ∴直線l的方程為y＝2x＋5或y＝2x－15.] 　已知過點A(0,1)且斜率為k的直線l與圓C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N兩點． (1)求k的取值范圍； (2)若·＝12，其中O為坐標(biāo)原點，求|MN|. [解]　(1)由題設(shè)可知直線l的方程為y＝kx＋1. 因為直線l與圓C交于兩點， 所以<1， 解得<k<. 所以k的取值范圍為. (2)設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)． 將y＝kx＋1代入方程(x－2)2＋(y－3)2＝1， 整理得(1＋k2)x2－4(1＋k)x＋7＝0. 所以x1＋x2＝，x1x2＝. ·＝x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1 ＝＋8. 由題設(shè)可得＋8＝12， 解得k＝1， 所以直線l的方程為y＝x＋1. 故圓心C在直線l上，所以|MN|＝2.