名校學(xué)案12 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用.ppt

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學(xué)案12導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 考點(diǎn)1 考點(diǎn)2 考點(diǎn)3 考點(diǎn)4 返回目錄 考綱解讀 考向預(yù)測(cè) 返回目錄 1 以解答題的形式考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性 求單調(diào)區(qū)間 求極值與最值 2 以實(shí)際問題為背景 考查利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的優(yōu)化問題 3 以解答題的形式考查導(dǎo)數(shù)與解析幾何 不等式 平面向量等知識(shí)相結(jié)合的問題 返回目錄 1 函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù) 1 如果在 a b 內(nèi) 則f x 在此區(qū)間是增函數(shù) a b 為f x 的單調(diào)增區(qū)間 2 如果在 a b 內(nèi) 則f x 在此區(qū)間是減函數(shù) a b 為f x 的單調(diào)減區(qū)間 2 函數(shù)的極值 f x 0 f x 0 返回目錄 1 函數(shù)極值的定義 已知函數(shù)y f x 設(shè)x0是定義域 a b 內(nèi)任一點(diǎn) 如果對(duì)x0附近的所有點(diǎn)x 都有f x f x0 則稱函數(shù)f x 在點(diǎn)x0處取 記作 并把x0稱為函數(shù)f x 的一個(gè) 極大值與極小值統(tǒng)稱為 與統(tǒng)稱為極值點(diǎn) 極大值 y極大 f x0 極大值點(diǎn) 極小值 y極小 f x0 極小值點(diǎn) 極值 極大值點(diǎn) 極小值點(diǎn) 返回目錄 2 求函數(shù)極值的方法解方程f x 0 當(dāng)f x0 0時(shí) 如果在x0附近左側(cè) 右側(cè) 那么f x0 是極大值 如果在x0附近左側(cè) 右側(cè) 那么f x0 是極小值 如果f x 在點(diǎn)x0的左 右兩側(cè) 則f x0 不是函數(shù)極值 3 函數(shù)的最值 1 函數(shù)f x 在 a b 上有最值的條件如果在區(qū)間 a b 上函數(shù)y f x 的圖象是一條的曲線 那么它必有最大值和最小值 函數(shù)的最值必在極值點(diǎn)或區(qū)間端點(diǎn)取得 f x 0 f x 0 f x 0 f x 0 符號(hào)不變 連線不斷 返回目錄 2 求函數(shù)y f x 在 a b 上的最大值與最小值的步驟 求函數(shù)y f x 在 a b 內(nèi)的 將函數(shù)y f x 的各極值與比較 其中的一個(gè)是最大值 的一個(gè)是最小值 4 用導(dǎo)數(shù)解決生活中的優(yōu)化問題解決優(yōu)化問題的基本思路是 最小 極值 端點(diǎn)處的函數(shù)值f a f b 最大 返回目錄 考點(diǎn)1函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù) 2010年高考北京卷 已知函數(shù)f x ln 1 x x x2 k 0 1 當(dāng)k 2時(shí) 求曲線y f x 在點(diǎn) 1 f 1 處的切線方程 2 求f x 的單調(diào)區(qū)間 返回目錄 分析 1 利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程 2 對(duì)k的不同取值分類討論 求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 解析 1 當(dāng)k 2時(shí) f x ln 1 x x x2 f x 1 2x 由于f 1 ln2 f 1 所以曲線y f x 在點(diǎn) 1 f 1 處的切線 方程為y ln2 x 1 即3x 2y 2ln2 3 0 返回目錄 2 f x x 1 當(dāng)k 0時(shí) f x 所以 在區(qū)間 1 0 上 f x 0 在區(qū)間 0 上 f x 0 所以 在區(qū)間 1 0 和 上 f x 0 在區(qū)間 0 上 f x 0 返回目錄 故f x 的單調(diào)遞增區(qū)間是 1 0 和 單調(diào)遞減區(qū)間是 0 當(dāng)k 1時(shí) f x 故f x 的單調(diào)遞增區(qū)間是 1 當(dāng)k 1時(shí) 由f x 0 得x1 1 0 x2 0 所以 在區(qū)間 1 和 0 上 f x 0 在區(qū)間 0 上 f x 0 故f x 的單調(diào)遞增區(qū)間是 1 和 0 單調(diào)遞減區(qū)間是 0 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性比用函數(shù)單調(diào)性的定義要方便 但應(yīng)注意f x 0 或f x 0 僅是f x 在某個(gè)區(qū)間上為增函數(shù) 或減函數(shù) 的充分條件 在 a b 內(nèi)可導(dǎo)的函數(shù)f x 在 a b 上遞增 或遞減 的充要條件應(yīng)是f x 0 或f x 0 x a b 恒成立 且f x 在 a b 的任意子區(qū)間內(nèi)都不恒等于0 這就是說 函數(shù)f x 在區(qū)間上的增減性并不排斥在區(qū)間內(nèi)個(gè)別點(diǎn)處有f x0 0 甚至可以在無窮多個(gè)點(diǎn)處f x0 0 只要這樣的點(diǎn)不能充滿所給區(qū)間的任何一個(gè)子區(qū)間 因此 在已知函數(shù)f x 是增函數(shù) 或減函數(shù) 求參數(shù)的取值范圍時(shí) 應(yīng)令f x 0 或f x 0 恒成立 解出參數(shù)的取值范圍 一般可用不等式恒成立理論求解 然后檢驗(yàn)參數(shù)的取值能否使f x 恒等于0 若能恒等于0 則參數(shù)的這個(gè)值應(yīng)舍去 若f x 不恒為0 則由f x 0 或f x 0 恒成立解出的參數(shù)的取值范圍確定 返回目錄 設(shè)函數(shù)f x ax a 1 ln x 1 其中a 1 求f x 的單調(diào)區(qū)間 由已知得函數(shù)f x 的定義域?yàn)?且f x a 1 1 當(dāng) 1 a 0時(shí) 由f x 0知 函數(shù)f x 在 1 上單調(diào)遞減 返回目錄 2 當(dāng)a 0時(shí) 由f x 0 解得x f x f x 隨x的變化情況如下表 返回目錄 從上表可知當(dāng)x 1 時(shí) f x 0 函數(shù)f x 在 上單調(diào)遞增 綜上所述 當(dāng) 1 a 0時(shí) 函數(shù)f x 在 1 上單調(diào)遞減 當(dāng)a 0時(shí) 函數(shù)f x 在 1 上單調(diào)遞減 f x 在 上單調(diào)遞增 考點(diǎn)2函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù) 2010年高考安徽卷 設(shè)a為實(shí)數(shù) 函數(shù)f x ex 2x 2a x R 1 求f x 的單調(diào)區(qū)間與極值 2 求證 當(dāng)a ln2 1且x 0時(shí) ex x2 2ax 1 返回目錄 分析 求出f x 利用f x 0 f x 0 求出單調(diào)區(qū)間 再求極值 解析 1 由f x ex 2x 2a x R知f x ex 2 x R 令f x 0 得x ln2 于是當(dāng)x變化時(shí) f x f x 的變化情況如下表 返回目錄 返回目錄 故f x 的區(qū)間是 ln2 區(qū)間是 ln2 f x 在x ln2處取得極小值 極小值為f ln2 eln2 2ln2 2a 2 1 ln2 a 2 證明 設(shè)g x ex x2 2ax 1 x R 于是g x ex 2x 2a x R 由 1 知當(dāng)a ln2 1時(shí) g x 取最小值為g ln2 2 1 ln2 a 0 于是對(duì)任意x R 都有g(shù) x 0 所以g x 在R內(nèi)單調(diào)遞增 于是當(dāng)a ln2 1時(shí) 對(duì)任意x 0 都有g(shù) x g 0 而g 0 0 從而對(duì)任意x 0 都有g(shù) x 0 即ex x2 2ax 1 0 故ex x2 2ax 1 返回目錄 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 求函數(shù)的極值和證明函數(shù)不等式 考查運(yùn)算能力 綜合分析和解決問題的能力 返回目錄 設(shè)函數(shù)f x x x a 2 x R 其中a R 1 當(dāng)a 1時(shí) 求曲線y f x 在點(diǎn) 2 f 2 處的切線方程 2 當(dāng)a 0時(shí) 求函數(shù)f x 的極大值和極小值 1 當(dāng)a 1時(shí) f x x x 1 2 x3 2x2 x f 2 2 f x 3x2 4x 1 f 2 12 8 1 5 當(dāng)a 1時(shí) 曲線y f x 在點(diǎn) 2 f 2 處的切線方程為5x y 8 0 返回目錄 2 f x x x a 2 x3 2ax2 a2x f x 3x2 4ax a2 3x a x a 令f x 0 解得x 或x a 由于a 0 以下分兩種情況討論 若a 0 當(dāng)x變化時(shí) f x f x 的變化情況如下表 因此 函數(shù)f x 在x 處取得極小值f 且f 函數(shù)f x 在x a處取得極大值f a 且f a 0 返回目錄 若a 0 當(dāng)x變化時(shí) f x f x 的變化情況如下表 因此 函數(shù)f x 在x a處取得極小值f a 且f a 0 函數(shù)f x 在x 處取得極大值f 且f 返回目錄 考點(diǎn)3函數(shù)的最值與導(dǎo)數(shù) 返回目錄 2010年高考江西卷 設(shè)函數(shù)f x lnx ln 2 x ax a 0 1 當(dāng)a 1時(shí) 求f x 的單調(diào)區(qū)間 2 若f x 在 0 1 上的最大值為 求a的值 分析 利用單調(diào)性求最值 返回目錄 解析 函數(shù)f x 的定義域?yàn)?0 2 f x a 1 當(dāng)a 1時(shí) f x 所以f x 的單調(diào)遞增區(qū)間為 0 2 單調(diào)遞減區(qū)間為 2 2 2 當(dāng)x 0 1 時(shí) f x a 0 即f x 在 0 1 上單調(diào)遞增 故f x 在 0 1 上的最大值為f 1 a 因此a 本題主要考查函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 最值及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 同時(shí)考查運(yùn)算求解能力 返回目錄 已知a為常數(shù) 求函數(shù)f x x3 3ax 0 x 1 的最大值 f x 3x2 3a 3 x2 a 若a 0 則f x 0 函數(shù)f x 單調(diào)遞減 當(dāng)x 0時(shí) 有最大值f 0 0 若a 0 則令f x 0 解得x x 0 1 則只考慮x 的情況 如下表所示 解析 返回目錄 1 0 1 即0 a 1 當(dāng)x 時(shí) f x 有最大值f 2a 2 1 即a 1 當(dāng)x 1時(shí) f x 有最大值f 1 3a 1 綜上 當(dāng)a 0 x 0時(shí) f x 有最大值0 當(dāng)0 a 1 x 時(shí) f x 有最大值2a 當(dāng)a 1 x 1時(shí) f x 有最大值3a 1 返回目錄 返回目錄 考點(diǎn)4最優(yōu)化問題 一艘輪船在航行中的燃料費(fèi)和它速度的立方成正比 已知在速度為每小時(shí)10公里時(shí)的燃料費(fèi)是每小時(shí)6元 而其他與速度無關(guān)的費(fèi)用是每小時(shí)96元 問此輪船以多大速度航行時(shí) 能使行駛每公里的費(fèi)用總和最小 分析 由題意構(gòu)造函數(shù) 利用導(dǎo)數(shù)求最值 解析 設(shè)船的速度為x x 0 公里 小時(shí) 時(shí) 燃料費(fèi)用為Q元 則Q kx3 由6 k 103可得k Q x3 總費(fèi)用y x3 96 x2 y x 令y 0得x 20 當(dāng)x 0 20 時(shí) y 0 此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減 當(dāng)x 20 時(shí) y 0 此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增 當(dāng)x 20時(shí) y取得最小值 此輪船以20公里 小時(shí)的速度行駛時(shí)每公里的費(fèi)用總和最小 返回目錄 1 用導(dǎo)數(shù)解應(yīng)用題求最值的一般方法是 求導(dǎo) 令導(dǎo)數(shù)等于零 求y 0的根 求出極值點(diǎn) 最后寫出解答 2 在有關(guān)極值應(yīng)用的問題中 絕大多數(shù)在所討論的區(qū)間上函數(shù)只有一點(diǎn)使得f x 0 且在兩側(cè)f x 的符號(hào)各異 一般稱為單峰問題 此時(shí)該點(diǎn)就是極值點(diǎn) 也是最值點(diǎn) 返回目錄 從邊長(zhǎng)為2a的正方形鐵片的四個(gè)角各截去一個(gè)邊長(zhǎng)為x的正方形 再將四邊向上折起 做成一個(gè)無蓋長(zhǎng)方體鐵盒 要求長(zhǎng)方體的高度與底面邊長(zhǎng)的比值不超過常數(shù)t t 0 試問當(dāng)x取何值時(shí) 容積V有最大值 返回目錄 V x 2a 2x 2 4 a x 2 x t 00 得0a 此時(shí)V x 為增函數(shù) 由V 0 得 x a 此時(shí)V x 為減函數(shù) 返回目錄 當(dāng) 即t 時(shí) 在x 時(shí) V有最大值a3 當(dāng) 即0 t 時(shí) 在x 時(shí) V有最大值 返回目錄 返回目錄 1 注意單調(diào)函數(shù)的充要條件 尤其對(duì)于已知單調(diào)性求參數(shù)值 范圍 時(shí) 隱含恒成立思想 2 求極值 最值時(shí) 要求步驟規(guī)范 表格齊全 含參數(shù)時(shí) 要討論參數(shù)的大小 3 在實(shí)際問題中 如果函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)極值點(diǎn) 那么只要根據(jù)實(shí)際意義判定最大值還是最小值即可 不必再與端點(diǎn)的函數(shù)值比較 4 求函數(shù)單調(diào)區(qū)間與函數(shù)極值時(shí)要養(yǎng)成列表的習(xí)慣 可使問題直觀且有條理 減少失分的可能 5 求函數(shù)最值時(shí) 不可想當(dāng)然地認(rèn)為極值點(diǎn)就是最值點(diǎn) 要通過認(rèn)真比較才能下結(jié)論 6 要強(qiáng)化自己用導(dǎo)數(shù)知識(shí)處理函數(shù)最值 單調(diào)性 方程的根 不等式的證明等數(shù)學(xué)問題的意識(shí) 返回目錄 祝同學(xué)們學(xué)習(xí)上天天有進(jìn)步