高三數(shù)學(xué)北師大版理一輪教師用書：第9章 第5節(jié) 第2課時 直線與橢圓 Word版含解析

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1、 第2課時　直線與橢圓 考點1　直線與橢圓的位置關(guān)系 　研究直線與橢圓位置關(guān)系的方法 直線與橢圓位置關(guān)系的判定方法，直線與橢圓方程聯(lián)立，消去y(或x)后得到關(guān)于x(或y)的一元二次方程時，設(shè)其判別式為Δ， ①Δ＞0?直線與橢圓相交． ②Δ＝0?直線與橢圓相切． ③Δ＜0?直線與橢圓相離． 　1.若直線y＝kx＋1與橢圓＋＝1總有公共點，則m的取值范圍是(　　) A．m＞1　　　　　 B．m＞0 C．0＜m＜5且m≠1 D．m≥1且m≠5 D　[∵直線y＝kx＋1恒過定點(0,1)， ∴要使直線y＝kx＋1與橢圓＋＝1總有公共點， 只需＋≤1， 即m≥1， 又

2、m≠5， 故m的取值范圍為m≥1且m≠5，故選D.] 2．已知直線l：y＝2x＋m，橢圓C：＋＝1.試問當(dāng)m取何值時，直線l與橢圓C： (1)有兩個不重合的公共點； (2)有且只有一個公共點； (3)沒有公共點． [解]　將直線l的方程與橢圓C的方程聯(lián)立，得方程組 將①代入②，整理得9x2＋8mx＋2m2－4＝0.③ 方程③根的判別式Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144. (1)當(dāng)Δ＞0，即－3＜m＜3時，方程③有兩個不同的實數(shù)根，可知原方程組有兩組不同的實數(shù)解．這時直線l與橢圓C有兩個不重合的公共點． (2)當(dāng)Δ＝0，即m＝±3時，方程③有兩個相同的實

3、數(shù)根，可知原方程組有兩組相同的實數(shù)解．這時直線l與橢圓C有兩個互相重合的公共點，即直線l與橢圓C有且只有一個公共點． (3)當(dāng)Δ＜0，即m＜－3或m＞3時，方程③沒有實數(shù)根，可知原方程組沒有實數(shù)解．這時直線l與橢圓C沒有公共點． 　(1)研究直線和橢圓的位置關(guān)系，一般轉(zhuǎn)化為研究其直線方程與橢圓方程組成的方程組解的個數(shù)； (2)對于過定點的直線，也可以通過定點在橢圓內(nèi)部或橢圓上判定直線和橢圓有交點． 考點2　弦長及中點弦問題 　中點弦問題 　處理中點弦問題常用的求解方法 　(1)過橢圓＋＝1內(nèi)一點P(3,1)，且被點P平分的弦所在直線的方程是(　　) A．4

4、x＋3y－13＝0 B．3x＋4y－13＝0 C．4x－3y＋5＝0 D．3x－4y＋5＝0 (2)[一題多解](2019·惠州模擬)若橢圓的中心在原點，一個焦點為(0,2)，直線y＝3x＋7與橢圓相交所得弦的中點的縱坐標(biāo)為1，則這個橢圓的方程為________． (1)B　(2)＋＝1　[(1)設(shè)所求直線與橢圓交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點， 由題意得 ①－②得＋＝0， 又P(3,1)是AB的中點． ∴x1＋x2＝6，y1＋y2＝2， ∴kAB＝＝－. 故直線AB的方程為y－1＝－(x－3)， 即3x＋4y－13＝0，故選B. (2)法一：(直接法)∵橢圓的

5、中心在原點，一個焦點為(0,2)，∴設(shè)橢圓方程為＋＝1(b>0)，由 消去x， 得(10b2＋4)y2－14(b2＋4)y－9b4＋13b2＋196＝0， 設(shè)直線y＝3x＋7與橢圓相交所得弦的端點分別為A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由題意知＝1， ∴y1＋y2＝＝2，解得b2＝8. ∴所求橢圓方程為＋＝1. 法二：(點差法)∵橢圓的中心在原點，一個焦點為(0,2)，∴設(shè)橢圓的方程為＋＝1(b>0)． 設(shè)直線y＝3x＋7與橢圓相交所得弦的端點分別為A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則 ①－②得 ＋＝0， 即·＝－， 又∵弦AB的中點的縱坐標(biāo)為1，故橫坐標(biāo)為－2

6、， k＝＝3，代入上式得3×＝－，解得b2＝8，故所求的橢圓方程為＋＝1.] 　“點差法”的優(yōu)點是設(shè)出弦的兩端點坐標(biāo)后，代入圓 錐曲線方程，并將兩式相減，式中含有x1＋x2，y1＋y2，三個未知量，這樣就直接聯(lián)系了中點和直線的斜率，借用中點公式即可求得斜率． 提醒：與橢圓中點弦有關(guān)的問題應(yīng)用橢圓中點弦的斜率公式kAB·kOM＝－， 即kAB＝－比較方便快捷， 其中點M的坐標(biāo)為(x0，y0)． [教師備選例題] 已知橢圓＋y2＝1. (1)若過A(2,1)的直線l與橢圓相交，求l被截得的弦的中點軌跡方程； (2)求過點P且被P點平分的弦所在直線的方程． [解]　(1)設(shè)弦的

7、端點為P(x1，y1)，Q(x2，y2)，其中點為M(x，y)，則x2＋x1＝2x，y2＋y1＝2y，由于點P，Q在橢圓上，則有： ①－②得＝－＝－，所以－＝， 化簡得x2－2x＋2y2－2y＝0(包含在橢圓＋y2＝1內(nèi)部的部分)． (2)由(1)可得弦所在直線的斜率為k＝－＝－， 因此所求直線方程是y－＝－， 化簡得2x＋4y－3＝0. 　1.(2019·江西五市聯(lián)考)已知直線y＝1－x與雙曲線ax2＋by2＝1(a>0，b<0)的漸近線交于A、B兩點，且過原點和線段AB中點的直線的斜率為－，則的值為(　　) A．－ B．－ C．－ D．－ A　[由雙曲線ax2＋b

8、y2＝1知其漸近線方程為ax2＋by2＝0，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則有ax＋by＝0，① ax＋by＝0，② 由①－②得a(x－x)＝－b(y－y)，整理得·＝－，設(shè)AB的中點為M(x0，y0)，則kOM＝＝＝＝－，又知kAB＝－1，∴－×(－1)＝－，∴＝－，故選A.] 2.已知橢圓＋y2＝1的左焦點為F，O為坐標(biāo)原點．設(shè)過點F且不與坐標(biāo)軸垂直的直線交橢圓于A，B兩點，點A和點B關(guān)于直線l對稱，l與x軸交于點G，則點G橫坐標(biāo)的取值范圍是________． 　[設(shè)直線AB的方程為y＝k(x＋1)(k≠0)， 代入＋y2＝1，整理得(1＋2k2)x2＋4k2x＋2k

9、2－2＝0. 因為直線AB過橢圓的左焦點F且不垂直于x軸， 所以方程有兩個不等實根． 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中點N(x0，y0)， 則x1＋x2＝－， x0＝(x1＋x2)＝－，y0＝k(x0＋1)＝， 因為點A和點B關(guān)于直線l對稱， 所以直線l為AB的垂直平分線，其方程為 y－y0＝－(x－x0)． 令y＝0，得xG＝x0＋ky0＝－＋＝－＝－＋， 因為k≠0，所以－

10、礎(chǔ)上套用弦長公式：設(shè)直線與橢圓的交點坐標(biāo)為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AB|＝ ＝(k為直線斜率)． 　(2019·武漢模擬)設(shè)離心率為的橢圓E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點P是E上一點，PF1⊥PF2，△PF1F2內(nèi)切圓的半徑為－1. (1)求E的方程； (2)矩形ABCD的兩頂點C，D在直線y＝x＋2上，A，B在橢圓E上，若矩形ABCD的周長為，求直線AB的方程． [解]　(1)Rt△PF1F2內(nèi)切圓的半徑r＝(|PF1|＋|PF2|－|F1F2|)＝a－c，依題意有a－c＝－1. 又＝，則a＝，c＝1，從而b＝1. 故橢圓E的方程為＋y2

11、＝1. (2)設(shè)直線AB的方程為y＝x＋m， 代入橢圓E的方程，整理得3x2＋4mx＋2m2－2＝0， 由Δ>0得－

12、，A是E的左頂點，斜率為k(k>0)的直線交E于A，M兩點，點N在E上，MA⊥NA. (1)當(dāng)t＝4，|AM|＝|AN|時，求△AMN的面積； (2)當(dāng)2|AM|＝|AN|時，求k的取值范圍． [解]　(1)設(shè)M(x1，y1)，則由題意知y1>0. 當(dāng)t＝4時，橢圓E的方程為＋＝1，A(－2,0)． 由|AM|＝|AN|及橢圓的對稱性知，直線AM的傾斜角為. 因此直線AM的方程為y＝x＋2. 將x＝y(tǒng)－2代入＋＝1，得7y2－12y＝0， 解得y＝0或y＝， 所以y1＝. 所以S△AMN＝2×××＝. (2)由題意知t>3，k>0，A(－，0)，設(shè)M(x1，y1)， 將

13、直線AM的方程y＝k(x＋)代入＋＝1， 得(3＋tk2)x2＋2·tk2x＋t2k2－3t＝0. 由x1·(－)＝， 得x1＝， 故|AM|＝|x1＋|＝. 由題設(shè)知，直線AN的方程為y＝－(x＋)， 故同理可得|AN|＝. 由2|AM|＝|AN|，得＝， 即(k3－2)t＝3k(2k－1)， 當(dāng)k＝時上式不成立，因此t＝. t>3等價于＝<0，即<0. 由此得或解得

14、2＝1，消去y得x2＋2tx＋t2－1＝0，由題意知Δ＝(2t)2－5(t2－1)>0即t2<5，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝－，x1x2＝，|AB|＝＝≤(當(dāng)且僅當(dāng)t＝0時取等號)．] 2.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓＋＝1(a＞b＞0)的離心率為，過橢圓右焦點F作兩條互相垂直的弦AB與CD.當(dāng)直線AB斜率為0時，|AB|＝4. (1)求橢圓的方程； (2)若|AB|＋|CD|＝，求直線AB的方程． [解]　(1)由題意知e＝＝，2a＝4. 又a2＝b2＋c2，解得a＝2，b＝，c＝1， 所以橢圓方程為＋＝1. (2)①當(dāng)兩條弦中一條弦所在直

15、線的斜率為0時，另一條弦所在直線的斜率不存在，由題意知|AB|＋|CD|＝7，不滿足條件． ②當(dāng)兩條弦所在直線的斜率均存在且不為0時，設(shè)直線AB的方程為y＝k(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則直線CD的方程為y＝－(x－1)． 將直線AB方程代入橢圓方程中并整理得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0，則x1＋x2＝，x1·x2＝，所以|AB|＝|x1－x2| ＝·＝. 同理，|CD|＝＝. 所以|AB|＋|CD|＝＋ ＝＝，解得k＝±1， 所以直線AB的方程為x－y－1＝0或x＋y－1＝0. 考點3　直線與圓錐曲線的綜合問題 　解決直線與圓錐曲

16、線的綜合問題的一般步驟 第一步：聯(lián)立方程，得關(guān)于x或y的一元二次方程； 第二步：寫出根與系數(shù)的關(guān)系，并求出Δ>0時參數(shù)范圍(或指出直線過曲線內(nèi)一點)； 第三步：根據(jù)題目要求列出關(guān)于x1x2，x1＋x2(或y1y2，y1＋y2)的關(guān)系式，求得結(jié)果； 第四步：反思回顧，查看有無忽略特殊情況． 　橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點分別是F1，F(xiàn)2，離心率為，過F1且垂直于x軸的直線被橢圓C截得的線段長為1. (1)求橢圓C的方程； (2)點P是橢圓C上除長軸端點外的任一點，連接PF1，PF2，設(shè)∠F1PF2的角平分線PM交C的長軸于點M(m,0)，求m的取值范圍； (3)在(2

17、)的條件下，過點P作斜率為k的直線l，使得l與橢圓C有且只有一個公共點，設(shè)直線PF1，PF2的斜率分別為k1，k2，若k2≠0，證明＋為定值，并求出這個定值． [解]　(1)由于c2＝a2－b2，將x＝－c代入橢圓方程＋＝1，得y＝±.由題意知＝1，即a＝2b2. 又e＝＝，所以a＝2，b＝1. 所以橢圓C的方程為＋y2＝1. (2)設(shè)P(x0，y0)(y0≠0)， 又F1(－，0)，F(xiàn)2(，0)， 所以直線PF1，PF2的方程分別為 lPF1：y0x－(x0＋)y＋y0＝0， lPF2：y0x－(x0－)y－y0＝0. 由題意知＝. 由于點P在橢圓上， 所以＋y＝1.

18、 所以＝. 因為－

19、設(shè)而不求，從而簡化了運算過程． [教師備選例題] 設(shè)橢圓＋＝1(a>b>0)的左焦點為F，離心率為，過點F且與x軸垂直的直線被橢圓截得的線段長為. (1)求橢圓的方程； (2)設(shè)A，B分別為橢圓的左、右頂點，過點F且斜率為k的直線與橢圓交于C，D兩點．若·＋·＝8，O為坐標(biāo)原點，求△OCD的面積． [解]　(1)因為過焦點且垂直于x軸的直線被橢圓截得的線段長為，所以＝. 因為橢圓的離心率為，所以＝， 又a2＝b2＋c2， 可解得b＝，c＝1，a＝. 所以橢圓的方程為＋＝1. (2)由(1)可知F(－1,0)， 則直線CD的方程為y＝k(x＋1)． 聯(lián)立 消去y得(2＋

20、3k2)x2＋6k2x＋3k2－6＝0. 設(shè)C(x1，y1)，D(x2，y2)， 所以x1＋x2＝－，x1x2＝. 又A(－，0)，B(，0)， 所以·＋· ＝(x1＋，y1)·(－x2，－y2)＋(x2＋，y2)·(－x1，－y1) ＝6－(2＋2k2)x1x2－2k2(x1＋x2)－2k2 ＝6＋＝8， 解得k＝±. 從而x1＋x2＝－＝－， x1x2＝＝0. 所以|x1－x2|＝＝＝， |CD|＝|x1－x2|＝×＝. 而原點O到直線CD的距離d＝＝＝， 所以S△OCD＝|CD|×d＝××＝. 　已知P點坐標(biāo)為(0，－2)，點A，B分別為橢圓E：＋＝1(a>

21、b>0)的左、右頂點，直線BP交E于點Q，△ABP是等腰直角三角形，且＝. (1)求橢圓E的方程； (2)設(shè)過點P的動直線l與E相交于M，N兩點，當(dāng)坐標(biāo)原點O位于以MN為直徑的圓外時，求直線l斜率的取值范圍． [解]　(1)由△ABP是等腰直角三角形，得a＝2，B(2,0)． 設(shè)Q(x0，y0)，則由＝，得 代入橢圓方程得b2＝1， 所以橢圓E的方程為＋y2＝1. (2)依題意得，直線l的斜率存在，方程設(shè)為y＝kx－2. 聯(lián)立 消去y并整理得(1＋4k2)x2－16kx＋12＝0.(*) 因直線l與E有兩個交點，即方程(*)有不等的兩實根， 故Δ＝(－16k)2－48

22、(1＋4k2)>0，解得k2>. 設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)， 由根與系數(shù)的關(guān)系得 因坐標(biāo)原點O位于以MN為直徑的圓外， 所以·>0，即x1x2＋y1y2>0， 又由x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1－2)(kx2－2) ＝(1＋k2)x1x2－2k(x1＋x2)＋4 ＝(1＋k2)·－2k·＋4>0， 解得k2<4，綜上可得

23、條件加以巧妙轉(zhuǎn)化，以參數(shù)為過渡，最大限度地減少運算；同時，“設(shè)而不求”也是比較特殊的一種思想方法，其實質(zhì)是整體結(jié)構(gòu)意義上的變式和整體思想的應(yīng)用． 活用定義，轉(zhuǎn)化坐標(biāo) 【例1】　在平面直角坐標(biāo)系xOy中，雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的右支與焦點為F的拋物線x2＝2py(p＞0)交于A，B兩點，若|AF|＋|BF|＝4|OF|，則該雙曲線的漸近線方程為________． y＝±x　[設(shè)A(xA，yA)，B(xB，yB)，由拋物線定義可得|AF|＋|BF|＝y(tǒng)A＋＋yB＋＝4×?yA＋yB＝p， 由 可得a2y2－2pb2y＋a2b2＝0， 所以yA＋yB＝＝p，解得a＝b，故該雙曲

24、線的漸近線方程為y＝±x.] [評析]　設(shè)出點的坐標(biāo)，先通過拋物線的定義，實現(xiàn)點的坐標(biāo)與幾何關(guān)系|AF|＋|BF|＝4|OF|的轉(zhuǎn)換，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系建立參數(shù)a，b的等量關(guān)系，達到設(shè)而不求，從而求得雙曲線的漸近線方程． 【素養(yǎng)提升練習(xí)】　拋物線y2＝4mx(m＞0)的焦點為F，點P為該拋物線上的動點，若點A(－m,0)，則的最小值為________． 　[設(shè)點P的坐標(biāo)為(xP，yP)，由拋物線的定義，知|PF|＝xP＋m， 又|PA|2＝(xP＋m)2＋y＝(xP＋m)2＋4mxP， 則2＝＝≥＝(當(dāng)且僅當(dāng)xP＝m時取等號)， 所以≥，所以的最小值為.] 妙用“點差法”

25、，構(gòu)造斜率 【例2】　已知橢圓E：＋＝1(a＞b＞0)的右焦點為F(3,0)，過點F的直線交E于A，B兩點．若AB的中點坐標(biāo)為(1，－1)，則E的標(biāo)準(zhǔn)方程為(　　) A.＋＝1　　 B．＋＝1 C.＋＝1 D．＋＝1 D　[設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則x1＋x2＝2，y1＋y2＝－2， ①－②得＋＝0， 所以kAB＝＝－＝. 又kAB＝＝，所以＝. 又9＝c2＝a2－b2，解得b2＝9，a2＝18， 所以橢圓E的方程為＋＝1.] [評析]　該題目屬于中點弦問題，可設(shè)出A，B兩點的坐標(biāo)，通過“點差法”，巧妙地表達出直線AB的斜率，通過將直線AB的斜率“算兩次”

26、建立幾何量之間的關(guān)系，從而快速解決問題． 【素養(yǎng)提升練習(xí)】　1.拋物線E：y2＝2x上存在兩點關(guān)于直線y＝k(x－2)對稱，則k的取值范圍是________． (－，)　[當(dāng)k＝0時，顯然成立． 當(dāng)k≠0時，設(shè)兩對稱點為B(x1，y1)，C(x2，y2)，BC的中點為M(x0，y0)，由y＝2x1，y＝2x2，兩式相減得(y1＋y2)(y1－y2)＝2(x1－x2)，則直線BC的斜率kBC＝＝＝＝，由對稱性知kBC＝－，點M在直線y＝k(x－2)上，所以y0＝－k，y0＝k(x0－2)，所以x0＝1.由點M在拋物線內(nèi)，得y<2x0，即(－k)2<2，所以－

27、的取值范圍為(－，)．] 2．已知雙曲線x2－＝1，過點P(1,1)能否作一條直線l與雙曲線交于A，B兩點，且點P是線段AB的中點？ [解]　假設(shè)存在直線l與雙曲線交于A，B兩點，且點P是線段AB的中點． 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，易知x1≠x2，由 兩式相減得(x1＋x2)(x1－x2)－＝0， 又＝1，＝1，所以2(x1－x2)－(y1－y2)＝0，所以kAB＝＝2， 故直線l的方程為y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1. 由 消去y得2x2－4x＋3＝0， 因為Δ＝16－24＝－8<0，方程無解，故不存在一條直線l與雙曲線交于A，B兩點，且點P是線段AB的中

28、點． 巧引參數(shù)，整體代入 【例3】　已知橢圓＋y2＝1的左頂點為A，過A作兩條互相垂直的弦AM，AN交橢圓于M，N兩點． (1)當(dāng)直線AM的斜率為1時，求點M的坐標(biāo)； (2)當(dāng)直線AM的斜率變化時，直線MN是否過x軸上的一定點？若過定點，請給出證明，并求出該定點；若不過定點，請說明理由． [解]　(1)直線AM的斜率為1時，直線AM的方程為y＝x＋2，代入橢圓方程并化簡得5x2＋16x＋12＝0. 解得x1＝－2，x2＝－，所以M. (2)設(shè)直線AM的斜率為k，直線AM的方程為y＝k(x＋2)， 聯(lián)立方程 化簡得(1＋4k2)x2＋16k2x＋16k2－4＝0. 則xA

29、＋xM＝， xM＝－xA－＝2－＝. 同理，可得xN＝. 由(1)知若存在定點，則此點必為P. 證明如下： 因為kMP＝＝＝， 同理可計算得kPN＝. 所以直線MN過x軸上的一定點P. [評析]　第(2)問先設(shè)出AM的方程為y＝k(x＋2)，聯(lián)立方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系求出xM，在此基礎(chǔ)上借助kAM·kAN＝－1，整體代入求出xN. 【素養(yǎng)提升練習(xí)】　已知F為拋物線C：y2＝2x的焦點，過F作兩條互相垂直的直線l1，l2，直線l1與C交于A，B兩點，直線l2與C交于D，E兩點，求|AB|＋|DE|的最小值． [解]　法一：由題意知，直線l1，l2的斜率都存在且不為0，F(xiàn)，設(shè)

30、l1：x＝ty＋，則直線l1的斜率為，聯(lián)立方程得 消去x得y2－2ty－1＝0. 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1＋y2＝2t，y1y2＝－1. 所以|AB|＝|y1－y2|＝·＝·＝2t2＋2， 同理得，用替換t可得|DE|＝＋2，所以|AB|＋|DE|＝2＋4≥4＋4＝8，當(dāng)且僅當(dāng)t2＝，即t＝±1時等號成立，故|AB|＋|DE|的最小值為8. 法二：由題意知，直線l1，l2的斜率都存在且不為0，F(xiàn)，不妨設(shè)l1的斜率為k，則l1：y＝k，l2：y＝－. 由消去y得k2x2－(k2＋2)x＋＝0， 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則x1＋x2＝1＋. 由拋物線的定義知， |AB|＝x1＋x2＋1＝1＋＋1＝2＋. 同理可得，用－替換|AB|中k，可得|DE|＝2＋2k2，所以|AB|＋|DE|＝2＋＋2＋2k2＝4＋＋2k2≥4＋4＝8，當(dāng)且僅當(dāng)＝2k2，即k＝±1時等號成立，故|AB|＋|DE|的最小值為8.