高中數(shù)學人教A版選修44學案：第一講 二 極坐標系 Word版含答案

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1、 二極_坐_標_系 　　　　　　　　　　 　 1．極坐標系的概念 (1)極坐標系的建立：在平面內取一個定點O，叫做極點，自極點O引一條射線Ox，叫做極軸；再選定一個長度單位，一個角度單位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆時針方向)，這樣就建立了一個極坐標系． (2)極坐標系內一點的極坐標的規(guī)定：對于平面上任意一點M，用ρ表示線段OM長度，用θ表示射線Ox到OM的角度，ρ叫做點M的極徑，θ叫做點M的極角，有序數(shù)對(ρ，θ)就叫做點M的極坐標，記作M(ρ，θ)． (3)極坐標與直角坐標的區(qū)別與聯(lián)系 直角坐標 極坐標

2、 區(qū)別 點與直角坐標是“一對一”的關系 由于終邊相同的角有無數(shù)個，即點的極角不惟一．因此點與極坐標是“一對多”的關系 聯(lián)系 直角坐標與極坐標都是用來刻畫平面內任意一點的位置的，它們都是一對有序的實數(shù) 2．極坐標和直角坐標的互化 (1)互化的前提條件：①極坐標系中的極點與直角坐標系中的原點重合；②極軸與x軸的正半軸重合；③兩種坐標系取相同的長度單位． (2)互化公式，. 　　　　　　　　　　　　 點的極坐標 [例1]　已知點Q(ρ，θ)，分別按下列條件求出點P的極坐標． (1)點P是點Q關于極點O的對稱點； (2)點P是點Q關于直線θ＝的對稱點．

3、 [思路點撥]　確定一點的極坐標關鍵是確定它的極徑和極角兩個量，為此應明確它們的含義． [解]　(1)由于P，Q關于極點對稱，得極徑|OP|＝|OQ|，極角相差(2k＋1)π(k∈Z)．所以，點P的極坐標為(ρ，(2k＋1)π＋θ)或(－ρ，2kπ＋θ)(k∈Z)． (2)由P、Q關于直線θ＝對稱， 得它們的極徑|OP|＝|OQ|， 點P的極角θ′滿足θ′＝π－θ＋2kπ(k∈Z)， 所以點P的坐標為 (ρ，(2k＋1)π－θ)或(－ρ，2kπ－θ)(k∈Z)． 設點M的極坐標是(ρ，θ)，則M點關于極點的對稱點的極坐標是(－ρ，θ)或(ρ，θ＋π)；M點關于極軸的對稱點的

4、極坐標是(ρ，－θ)；M點關于過極點且垂直于極軸的直線的對稱點的極坐標是(ρ，π－θ)或(－ρ，－θ)． 另外要注意，平面上的點與這一點的極坐標不是一一對應的． 1．在極坐標系中，畫出點A，B，C. 解：如圖所示． 2．在極坐標系中，點A的極坐標是，求點A關于直線θ＝的對稱點的極坐標(規(guī)定ρ>0，θ∈[0,2π])． 解：作出圖形，可知A(3，)關于直線θ＝的對稱點是. 點的極坐標與直角坐標的互化 [例2]　(1)把點A的極坐標化成直角坐標； (2)把點P的直角坐標(1，－)化成極坐標．(ρ>0，0≤θ<2π)． [思路點撥]　依據(jù)極坐標與直角坐標

5、互化的公式解題． [解]　(1)x＝2cos＝－， y＝2sin＝－1， 故點A的直角坐標為(－，－1)． (2)ρ＝＝2，tan θ＝＝－. 又因為點P在第四象限且0≤θ<2π，得θ＝. 因此點P的極坐標是. (1)極坐標和直角坐標互化的前提條件有三，即極點與原點重合，極軸與x軸正半軸重合，有相同的長度單位，三者缺一不可． (2)熟記互化公式，必要時可畫圖來分析． 3．點P的直角坐標為(－，)，那么它的極坐標可表示為(　　) A.　　　　　　　 B. C. D. 解析：點P(－，)在第二象限，與原點的距離為2，且與極軸夾角為. 答案：B 4．若以極

6、點為原點，極軸為x軸正半軸建立直角坐標系． (1)已知點A的極坐標(4，)，求它的直角坐標； (2)已知點B和點C的直角坐標為(2，－2)和(0，－15)，求它們的極坐標．(ρ＞0,0≤θ＜2π) 解：(1)∵x＝ρcos θ＝4·cos＝2. y＝ρsin θ＝4sin＝－2. ∴A點的直角坐標為(2，－2)． (2)∵ρ＝＝＝2， tan θ＝＝－1.且點B位于第四象限內， ∴θ＝，∴點B的極坐標為(2，)． 又∵x＝0，y＜0，∴ρ＝15，θ＝π. ∴點C的極坐標為. 　　　　　　　　　 　　　 一、選擇題 1．在極坐標平

7、面內，點M，N，G，H中互相重合的兩個點是(　　) A．M和N　　　　　　　 B．M和G C．M和H D．N和H 解析：由極坐標的定義知，M、N表示同一個點． 答案：A 2．將點M的極坐標化成直角坐標是(　　) A．(5,5) B．(5，5) C．(5,5) D．(－5，－5) 解析：x＝ρcos θ＝10×cos＝5，y＝ρsin θ＝10sin＝5. 答案：A 3．在極坐標系中，ρ1＝ρ2且θ1＝θ2是兩點M(ρ1，θ1)和N(ρ2，θ2)重合的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D.既不充分也不必要條件 解析：前者

8、顯然能推出后者，但后者不一定推出前者，因為θ1與θ2可相差2π的整數(shù)倍． 答案：A 4．已知A，B兩點的極坐標分別為和，則線段AB中點的直角坐標為(　　) A. B. C. D. 解析：AB中點的極坐標為，根據(jù)互化公式x＝ρcos θ＝cos ＝－，y＝ρsin θ＝sin ＝－，因此，所求直角坐標為. 答案：B 二、填空題 5．點關于極點的對稱點為________． 解析：如圖，易知對稱點為. 答案： 6．在極坐標系中，已知A，B兩點，則|AB|＝________. 解析：|AB|＝＝. 答案： 7．直線l過點A，B，則直線l與極軸夾角等于______

9、__． 解析：如圖所示，先在圖形中找到直線l與極軸夾角(要注意夾角是個銳角)，然后根據(jù)點A，B的位置分析夾角大小． 因為|AO|＝|BO|＝3， ∠AOB＝－＝， 所以∠OAB＝＝， 所以∠ACO＝π－－＝. 答案： 三、解答題 8．在極軸上求與點A的距離為5的點M的坐標． 解：設M(r,0)， 因為A， 所以 ＝5， 即r2－8r＋7＝0.解得r＝1或r＝7. 所以M點的坐標為(1,0)或(7,0)． 9．(1)已知點的極坐標分別為A，B， C，D，求它們的直角坐標． (2)已知點的直角坐標分別為A(3，)，B， C，求它們的極坐標(ρ≥0,0≤θ＜2π

10、)． 解：(1)根據(jù)x＝ρcos θ，y＝ρsin θ得A， B(－1，)，C，D(0，－4)． (2)根據(jù)ρ2＝x2＋y2，tan θ＝得A， B，C. 10．已知定點P. (1)將極點移至O′處極軸方向不變，求P點的新坐標； (2)極點不變，將極軸順時針轉動角，求P點的新坐標． 解：(1)設P點新坐標為(ρ，θ)，如圖所示，由題意可知|OO′|＝2，|OP|＝4，∠POx＝，∠O′Ox＝， ∴∠POO′＝. 在△POO′中，ρ2＝42＋(2)2－2·4·2·cos＝16＋12－24＝4，∴ρ＝2. 又∵＝， ∴sin∠OPO′＝·2＝，∴∠OPO′＝. ∴∠OP′P＝π－－＝， ∴∠PP′x＝.∴∠PO′x′＝. ∴P點的新坐標為. (2)如圖，設P點新坐標為(ρ，θ)， 則ρ＝4，θ＝＋＝. ∴P點的新坐標為. 最新精品資料