新版高考數學一輪復習學案訓練課件： 第2章 函數、導數及其應用 第3節(jié) 函數的奇偶性與周期性學案 文 北師大版

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1、 1

2、 1 第三節(jié)　函數的奇偶性與周期性 [考綱傳真]　1.了解函數奇偶性的含義.2.會運用基本初等函數的圖像分析函數的奇偶性.3.了解函數周期性、最小正周期的含義，會判斷、應用簡單函數的周期性． (對應學生用書第11頁) [基礎知識填充] 1．奇函數、偶函數的概念 圖像關于原點對稱的函數叫作奇函數． 圖像關于y軸對稱的函數叫作偶函數． 2．判斷函數的奇偶性

3、 判斷函數的奇偶性，一般都按照定義嚴格進行，一般步驟是 (1)考察定義域是否關于原點對稱． (2)考察表達式f(－x)是否等于f(x)或－f(x)： 若f(－x)＝－f(x)，則f(x)為奇函數； 若f(－x)＝f(x)，則f(x)為偶函數； 若f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)，則f(x)既是奇函數又是偶函數； 若f(－x)≠－f(x)且f(－x)≠f(x)，則f(x)既不是奇函數又不是偶函數，既非奇非偶函數． 3．函數的周期性 (1)周期函數：對于函數f(x)，如果存在非零實數T，對定義域內的任意一個x，都有f(x＋T)＝f(x)，就把f(x)稱為周

4、期函數，T稱為這個函數的周期． (2)最小正周期：如果在周期函數f(x)的所有周期中存在一個最小的正數，那么這個最小正數就叫做f(x)的最小正周期． [知識拓展] 1．函數奇偶性常用結論 (1)如果函數f(x)是偶函數，那么f(x)＝f(|x|)． (2)奇函數在兩個對稱的區(qū)間上具有相同的單調性；偶函數在兩個對稱的區(qū)間上具有相反的單調性． (3)在公共定義域內有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇． 2．函數周期性常用結論 對f(x)定義域內任一自變量的值x： (1)若f(x＋a)＝－f(x)，則T＝2a(a＞0)． (2)若f(x＋a

5、)＝，則T＝2a(a＞0)． (3)若f(x＋a)＝－，則T＝2a(a＞0)． [基本能力自測] 1．(思考辨析)判斷下列結論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)偶函數圖像不一定過原點，奇函數的圖像一定過原點．(　　) (2)若函數y＝f(x＋a)是偶函數，則函數y＝f(x)關于直線x＝a對稱．(　　) (3)若函數y＝f(x＋b)是奇函數，則函數y＝f(x)關于點(b,0)中心對稱．(　　) (4)函數f(x)在定義域上滿足f(x＋a)＝－f(x)，則f(x)是周期為2a(a＞0)的周期函數．(　　) [答案]　(1)×　(2)√　(3)√　(4)√

6、 2．已知f(x)＝ax2＋bx是定義在[a－1,2a]上的偶函數，那么a＋b的值是(　　) A．－　　　　　　　　 B． C． D．－ B　[依題意b＝0，且2a＝－(a－1)， ∴b＝0且a＝，則a＋b＝.] 3．(20xx·廣東高考)下列函數中，既不是奇函數，也不是偶函數的是(　　) A．y＝x＋sin 2x B．y＝x2－cos x C．y＝2x＋ D．y＝x2＋sin x D　[A項，定義域為R，f(－x)＝－x－sin 2x＝－f(x)，為奇函數，故不符合題意； B項，定義域為R，f(－x)＝x2－cos x＝f(x)，為偶函數，故不符合題意；

7、 C項，定義域為R，f(－x)＝2－x＋＝2x＋＝f(x)，為偶函數，故不符合題意； D項，定義域為R，f(－x)＝x2－sin x，－f(x)＝－x2－sin x，因為f(－x)≠－f(x)，且f(－x)≠f(x)，故為非奇非偶函數．] 4．(20xx·全國卷Ⅱ)已知函數f(x)是定義在R上的奇函數，當x∈(－∞，0)時，f(x)＝2x3＋x2，則f(2)＝________. 12　[法一：令x＞0，則－x＜0. ∴f(－x)＝－2x3＋x2. ∵函數f(x)是定義在R上的奇函數， ∴f(－x)＝－f(x)． ∴f(x)＝2x3－x2(x＞0)． ∴f(2)＝

8、2×23－22＝12. 法二：f(2)＝－f(－2) ＝－[2×(－2)3＋(－2)2]＝12.] 5．(教材改編)已知函數f(x)是奇函數，在(0，＋∞)上是減函數，且在區(qū)間[a，b](a＜b＜0)上的值域為[－3,4]，則在區(qū)間[－b，－a]上(　　) A．有最大值4 B．有最小值－4 C．有最大值－3 D．有最小值－3 B　[法一：根據題意作出y＝f(x)的簡圖，由圖知，選B． 法二：當x∈[－b，－a]時，－x∈[a，b]， 由題意得f(b)≤f(－x)≤f(a)， 即－3≤－f(x)≤4， ∴－4≤f(x)≤3， 即在區(qū)間[－b，－a]上

9、f(x)min＝－4， f(x)max＝3，故選B．] (對應學生用書第12頁) 函數奇偶性的判斷 　判斷下列函數的奇偶性： (1)f(x)＝(x＋1)； (2)f(x)＝lg(－2x)； (3)f(x)＝＋； (4)f(x)＝ 【導學號：00090021】 [解]　(1)由≥0可得函數的定義域為(－1,1]． ∵函數定義域不關于原點對稱， ∴函數為非奇非偶函數． (2)函數的定義域為R，且f(－x)＝lg(＋2x)＝lg ＝－lg(－2x)＝－f(x)． 故原函數為奇函數． (3)由得x2＝3，∴x＝±， 即函數f(x)的定義

10、域為{－，}， 從而f(x)＝＋＝0. 因此f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)， ∴函數f(x)既是奇函數又是偶函數． (4)易知函數的定義域為(－∞，0)∪(0，＋∞)，關于原點對稱，又當x＞0時，f(x)＝x2＋x， 則當x＜0時，－x＞0， 故f(－x)＝x2－x＝f(x)； 當x＜0時，f(x)＝x2－x，則當x＞0時，－x＜0， 故f(－x)＝x2＋x＝f(x)，故原函數是偶函數． [規(guī)律方法]　1.利用定義判斷函數奇偶性的步驟： 2．判斷分段函數的奇偶性應分段分別證明f(－x)與f(x)的關系，只有對各段上的x都滿足相同的關系時

11、，才能判斷其奇偶性；也可以利用函數的圖像進行判斷． [變式訓練1]　(1)(20xx·商丘模擬)已知函數f(x)＝ln(e＋x)＋ln(e－x)，則f(x)是 (　　) A．奇函數，且在(0，e)上是增加的 B．奇函數，且在(0，e)上是減少的 C．偶函數，且在(0，e)上是增加的 D．偶函數，且在(0，e)上是減少的 (2)(20xx·全國卷Ⅰ)設函數f(x)，g(x)的定義域都為R，且f(x)是奇函數，g(x)是偶函數，則下列結論中正確的是(　　) 【導學號：00090022】 A．f(x)g(x)是偶函數 B．|f(x)|g(x)是奇函數 C．f(x)

12、|g(x)|是奇函數 D．|f(x)g(x)|是奇函數 (1)D　(2)C　[(1)f(x)的定義域為(－e，e)，關于原點對稱． f(－x)＝ln(e－x)＋ln(e＋x)＝f(x)，∴函數f(x)是偶函數． 又f(x)＝ln(e2－x2)，所以f(x)在(0，e)上是減少的． (2)A：令h(x)＝f(x)·g(x)，則h(－x)＝f(－x)·g(－x)＝－f(x)·g(x)＝－h(huán)(x)， ∴h(x)是奇函數，A錯． B：令h(x)＝|f(x)|g(x)，則h(－x)＝|f(－x)|g(－x)＝|－f(x)|·g(x)＝|f(x)|g(x)＝h(x)， ∴h

13、(x)是偶函數，B錯． C：令h(x)＝f(x)|g(x)|，則h(－x)＝f(－x)|g(－x)|＝－f(x)|·g(x)|＝－h(huán)(x)，∴h(x)是奇函數，C正確． D：令h(x)＝|f(x)·g(x)|，則h(－x)＝|f(－x)·g(－x)|＝|－f(x)·g(x)|＝|f(x)·g(x)|＝h(x)， ∴h(x)是偶函數，D錯．] 函數奇偶性的應用 　(1)(20xx·全國卷Ⅰ)若函數f(x)＝xln(x＋)為偶函數，則a＝________. (2)已知f(x)是定義在R上的奇函數，當x＞0時，f(x)＝x2－4x，則f(x)＝________. (1)1

14、　(2)　[(1)∵f(x)為偶函數， ∴f(－x)－f(x)＝0恒成立， ∴－xln(－x＋)－xln(x＋)＝0恒成立， ∴xln a＝0恒成立，∴l(xiāng)n a＝0，即a＝1. (2)∵f(x)是定義在R上的奇函數，∴f(0)＝0. 又當x＜0時，－x＞0，∴f(－x)＝x2＋4x.又f(x)為奇函數， ∴f(－x)＝－f(x)， 即f(x)＝－x2－4x(x＜0)， ∴f(x)＝] [規(guī)律方法]　1.已知函數的奇偶性求參數，一般采用待定系數法求解，根據f(x)±f(x)＝0得到關于待求參數的恒等式，由系數的對等性得參數的值或方程(組)，進而得出參數的值．

15、 2．已知函數的奇偶性求函數值或解析式，將待求區(qū)間上的自變量轉化到已知區(qū)間上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性得出關于f(x)的方程(組)，從而可得f(x)的值或解析式． [變式訓練2]　(1)設f(x)為定義在R上的奇函數．當x≥0時，f(x)＝2x＋2x＋b(b為常數)，則f(－1)＝(　　) A．－3　　　　 B．－1 C．1 D．3 (2)(20xx·青島模擬)若f(x)＝ln(e3x＋1)＋ax是偶函數，則a＝________. (1)A　(2)－　[(1)因為f(x)為定義在R上的奇函數，所以有f(0)＝20＋2×0＋b＝0，解得b＝－1，所以當x≥0時，f(

16、x)＝2x＋2x－1，所以f(－1)＝－f(1)＝－(21＋2×1－1)＝－3. (2)f(－x)＝ln(e－3x＋1)－ax＝ln－ax＝ln(1＋e3x)－3x－ax，依題意得，對任意x∈R，都有f(－x)＝f(x)，即ln(1＋e3x)－3x－ax＝ln(1＋e3x)＋ax， 化簡得2ax＋3x＝0(x∈R)，因此2a＋3＝0，解得a＝－.] 函數的周期性及其應用 　(1)(20xx·山東高考)已知f(x)是定義在R上的偶函數，且f(x＋4)＝f(x－2)．若當x∈[－3,0]時，f(x)＝6－x，則f(919)＝________. (2)設定義在R上的函數f(x)滿

17、足f(x＋2)＝f(x)，且當x∈[0,2)時，f(x)＝2x－x2，則f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 017)＝________. (1)6　(2)1 009　[(1)∵f(x＋4)＝f(x－2)， ∴f((x＋2)＋4)＝f((x＋2)－2)，即f(x＋6)＝f(x)， ∴f(x)是周期為6的周期函數， ∴f(919)＝f(153×6＋1)＝f(1)． 又f(x)是定義在R上的偶函數， ∴f(1)＝f(－1)＝6，即f(919)＝6. (2)∵f(x＋2)＝f(x)，∴函數f(x)的周期T＝2. 又當x∈[0,2)時，f(x)＝2x－x2，∴f(0

18、)＝0，f(1)＝1，f(0)＋f(1)＝1. ∴f(0)＋f(1)＝f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＝…＝f(2 016)＋f(2 017)＝1， ∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 017)＝1 009.] [母題探究1]　若將本例(2)中“f(x＋2)＝f(x)”改為“f(x＋1)＝－f(x)”，則結論如何？ [解]　∵f(x＋1)＝－f(x)， ∴f(x＋2)＝f[(x＋1)＋1]＝－f(x＋1)＝f(x)． 故函數f(x)的周期為2. 由本例可知，f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 017)＝1 009. [母題探究2]　若將本例(2)

19、中“f(x＋2)＝f(x)”改為“f(x＋1)＝”，則結論如何？ [解]　∵f(x＋1)＝， ∴f(x＋2)＝f[(x＋1)＋1]＝＝f(x)． 故函數f(x)的周期為2. 由本例可知，f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 017)＝1 009. [規(guī)律方法]　1.判斷函數的周期只需證明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可證明函數是周期函數，且周期為T，根據函數的周期性，可以由函數局部的性質得到函數的整體性質． 2．在解決具體問題時，要注意“若T是函數的周期，則kT(k∈Z且k≠0)也是函數的周期”的應用． [變式訓練3]　(20xx·長沙模擬(一))已知定義在R上的函數f(x)滿足f(x＋1)＝－f(x)，且f(x)＝則下列函數值為1的是(　　) A．f(2.5) B．f(f(2.5)) C．f(f(1.5)) D．f(2) D　[由f(x＋1)＝－f(x)知f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，于是f(x)是以2為周期的周期函數，從而f(2.5)＝f(0.5)＝－1，f(f(2.5))＝f(－1)＝f(1)＝－1，f(f(1.5))＝f(f(－0.5))＝f(1)＝－1，f(2)＝f(0)＝1，故選D．]