9、∴CE，D1F，DA三線共點．
本例第(1)問的證明應用了公理2的推論，采用線線共面，則線上的點必共面的思想；本例第(2)問的證明應用了公理3，采用先證明CE與D1F相交，再證明交點在直線DA上．
1.(2019·衡水中學模擬)有下列四個命題：
①空間四點共面，則其中必有三點共線；
②空間四點不共面，則其中任意三點不共線；
③空間四點中有三點共線，則此四點共面；
④空間四點中任意三點不共線，則此四點不共面．
其中真命題的所有序號有________．
②③ [①中，對于平面四邊形來說不成立，故①是假命題；②中，若四點中有三點共線，則根據“直線與直線外一點可以確定一個平面”知
10、四點共面，與四點不共面矛盾，故②是真命題；由②的分析可知③是真命題；④中，平面四邊形的四個頂點中任意三點不共線，但四點共面，故④是假命題．]
2.如圖所示，空間四邊形ABCD中，E，F分別是AB，AD的中點，G，H分別在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2.
(1)求證：E，F，G，H四點共面；
(2)設EG與FH交于點P，求證：P，A，C三點共線．
[證明] (1)因為E，F分別為AB，AD的中點，
所以EF∥BD.
在△BCD中，＝＝，
所以GH∥BD，
所以EF∥GH.
所以E，F，G，H四點共面．
(2)因為EG∩FH＝P，P∈EG，EG平面ABC，
11、
所以P∈平面ABC.同理P∈平面ADC.
所以P為平面ABC與平面ADC的公共點．
又平面ABC∩平面ADC＝AC，
所以P∈AC，
所以P，A，C三點共線．
考點2 判斷空間兩直線的位置關系
空間中兩直線位置關系的判定方法
1.若直線l1和l2是異面直線，l1在平面α內，l2在平面β內，l是平面α與平面β的交線，則下列命題正確的是( )
A．l與l1，l2都不相交
B．l與l1，l2都相交
C．l至多與l1，l2中的一條相交
D．l至少與l1，l2中的一條相交
D [法一：(反證法) 由于l與直線l1，l2分別共面，故直線l與l1，l2要么都不相交，要
12、么至少與l1，l2中的一條相交．若l∥l1，l∥l2，則l1∥l2，這與l1，l2是異面直線矛盾．故l至少與l1，l2中的一條相交．
法二：(模型法)如圖(1)，l1與l2是異面直線，l1與l平行，l2與l相交，故A，B不正確；如圖(2)，l1與l2是異面直線，l1，l2都與l相交，故C不正確．
]
圖(1) 圖(2)
2.(2019·全國卷Ⅲ)如圖，點N為正方形ABCD的中心，△ECD為正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是線段ED的中點，則( )
A．BM＝EN，且直線BM、EN是相交直線
B．BM≠EN，且直線BM，EN是相交直線
C．BM＝EN，且直線BM、
13、EN是異面直線
D．BM≠EN，且直線BM，EN是異面直線
B [如圖所示， 作EO⊥CD于O，連接ON，過M作MF⊥OD于F.
連接BF，∵平面CDE⊥平面ABCD，EO⊥CD，EO平面CDE，∴EO⊥平面ABCD，MF⊥平面ABCD，
∴△MFB與△EON均為直角三角形．設正方形邊長為2，易知EO＝，ON＝1，EN＝2，
MF＝，BF＝，
∴BM＝.
∴BM≠EN.連接BD，BE，∵點N是正方形ABCD的中點，∴點N在BD上，且BN＝DN.
又∵M為ED的中點，
∴BM，EN為△DBE的中線，
∴BM，EN必相交．故選B.]
3．在下列四個圖中，G，N，M，
14、H分別是正三棱柱的頂點或所在棱的中點，則表示直線GH，MN是異面直線的圖形有________．(填序號)
① ② ?、邸 ??、?
②④ [圖①中，直線GH∥MN；圖②中，G，H，N三點共面，但M?平面GHN，因此直線GH與MN異面；圖③中，連接MG，GM∥HN，因此GH與MN共面；圖④中，G，M，N共面，但H?平面GMN，因此GH與MN異面．所以在圖②④中，GH與MN異面．]
在直接判斷不好處理的情況下，反證法、模型法(如構造幾何體：正方體、空間四邊形等)和特例排除法等是解決此類問題的三種常用便捷方法．
考點3 異面直線所成的角
1.平移法求異面直線所成角
15、的一般步驟
(1)作角——用平移法找(或作)出符合題意的角．
(2)求角——轉化為求一個三角形的內角，通過解三角形，求出角的大?。?
提醒：異面直線所成的角θ∈.
2．坐標法求異面直線所成的角：當題設中含有兩兩垂直的三邊關系時，常采用坐標法．
提醒：如果求出的角是銳角或直角，則它就是要求的角；如果求出的角是鈍角，則它的補角才是要求的角．
(1)[一題多解](2018·全國卷Ⅱ)在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝，則異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為( )
A. B.
C. D.
(2)如圖所示，A是△BCD所在平面外的一點
16、，E，F分別是BC，AD的中點．
①求證：直線EF與BD是異面直線；
②若AC⊥BD，AC＝BD，求EF與BD所成的角．
(1)C [法一：(平移法)如圖，連接BD1，交DB1于O，取AB的中點M，連接DM，OM.易知O為BD1的中點，所以AD1∥OM，則∠MOD為異面直線AD1與DB1所成角．因為在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝，AD1＝＝2，
DM＝＝，
DB1＝＝，所以OM＝AD1＝1，OD＝DB1＝，于是在△DMO中，由余弦定理，
得cos∠MOD＝＝，
即異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為.
故選C.
法二：(坐標法)以D為坐標
17、原點，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，如圖所示．由條件可知D(0,0,0)，A(1,0,0)，D1(0,0，)，B1(1,1，)，所以＝(－1,0，)，＝(1,1，)，則由向量夾角公式，得cos〈，〉＝＝＝，即異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為，故選C.
法三：(補體法)如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1的一側補上一個相同的長方體A′B′BA-A1′B1′B1A1.連接B1B′，由長方體性質可知，B1B′∥AD1，所以∠DB1B′為異面直線AD1與DB1所成的角或其補角．連接DB′，由題意，得DB′＝＝，B′B1＝＝2，DB1＝＝.
在△D
18、B′B1中，由余弦定理，得
DB′2＝B′B＋DB－2B′B1·DB1·cos∠DB1B′，
即5＝4＋5－2×2cos∠DB1B′，
∴cos∠DB1B′＝.故選C.]
(2)[解] ①證明：假設EF與BD不是異面直線，則EF與BD共面，從而DF與BE共面，即AD與BC共面，所以A，B，C，D在同一平面內，這與A是△BCD所在平面外的一點相矛盾．故直線EF與BD是異面直線．
②取CD的中點G，連接EG，FG，則AC∥FG，EG∥BD，
所以相交直線EF與EG所成的角，
即為異面直線EF與BD所成的角．
又因為AC⊥BD，則FG⊥EG.
在Rt△EGF中，由EG＝FG
19、＝AC，求得∠FEG＝45°，
即異面直線EF與BD所成的角為45°.
平移法、坐標法和補體法是求兩條異面直線所成角的大小的三種常用方法，其中平移法和補體法的實質是平行移動直線，把異面直線所成的角轉化為相交直線的夾角，體現了化歸思想．
[教師備選例題]
1．(2016·全國卷Ⅰ)平面α過正方體ABCD-A1B1C1D1的頂點A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，則m，n所成角的正弦值為( )
A. B.
C. D.
A [如圖，設平面CB1D1∩平面ABCD＝m1.
∵平面α∥平面CB1D1，∴m1∥m.
又平面A
20、BCD∥平面A1B1C1D1，
且平面CB1D1∩平面A1B1C1D1＝B1D1，
∴B1D1∥m1.∴B1D1∥m.
∵平面ABB1A1∥平面DCC1D1，
且平面CB1D1∩平面DCC1D1＝CD1，同理可證CD1∥n.
因此直線m與n所成的角即直線B1D1與CD1所成的角．
在正方體ABCD-A1B1C1D1中，△CB1D1是正三角形，
故直線B1D1與CD1所成角為60°，其正弦值為.]
2．(2017·全國卷Ⅲ)a，b為空間中兩條互相垂直的直線，等腰直角三角形ABC的直角邊AC所在直線與a，b都垂直，斜邊AB以直線AC為旋轉軸旋轉，有下列結論：
①當直線AB與a
21、成60°角時，AB與b成30°角；
②當直線AB與a成60°角時，AB與b成60°角；
③直線AB與a所成角的最小值為45°；
④直線AB與a所成角的最大值為60°.
其中正確的是________．(填寫所有正確結論的編號)
②③ [依題意建立如圖所示的空間直角坐標系．設等腰直角三角形ABC的直角邊長為1.
由題意知點B在平面xOy中形成的軌跡是以C為圓心，1為半徑的圓．
設直線a的方向向量為a＝(0,1,0)，直線b的方向向量為b＝(1,0,0)，以Ox軸為始邊沿逆時針方向旋轉的旋轉角為θ，θ∈[0,2π)，則B(cos θ，sin θ，0)，
∴＝(cos θ，sin θ，
22、－1)，||＝.
設直線AB與a所成夾角為α，
則cos α＝＝|sin θ|∈，
∴45°≤α≤90°，∴③正確，④錯誤．
設直線AB與b所成夾角為β，
則cos β＝＝|cos θ|.
當直線AB與a的夾角為60°，即α＝60°時，
則|sin θ|＝cos α＝cos 60°＝，
∴|cos θ|＝.∴cos β＝|cos θ|＝.
∵0°≤β≤90°，∴β＝60°，即直線AB與b的夾角為60°.
∴②正確，①錯誤．]
1. (2019·聊城一模)如圖，圓柱的軸截面ABCD為正方形，E為弧的中點，則異面直線AE與BC所成角的余弦值為( )
A. B.
C.
23、D.
D [取BC的中點H，連接EH，AH，∠EHA＝90°，設AB＝2，則BH＝HE＝1，AH＝，所以AE＝，連接ED，ED＝，因為BC∥AD，所以異面直線AE與BC所成角即為∠EAD，在△EAD中cos∠EAD＝＝，故選D.]
2．(2019·西安模擬)如圖是正四面體的平面展開圖，G，H，M，N分別為DE，BE，EF，EC的中點，在這個正四面體中，①GH與EF平行；②BD與MN為異面直線；③GH與MN成60°角；④DE與MN垂直．以上四個命題中，正確命題的序號是________．
②③④ [還原成正四面體A-DEF，其中H與N重合，A，B，C三點重合．
易知GH與EF異面，BD與MN異面．
連接GM，∵△GMH為等邊三角形，
∴GH與MN成60°角，
易證DE⊥AF，又MN∥AF，
∴MN⊥DE.
因此正確命題的序號是②③④.]
高三數學北師大版理一輪教師用書：第8章 第2節(jié) 空間圖形的基本關系與公理 Word版含解析
