新版浙江高考數(shù)學(xué)理二輪專(zhuān)題訓(xùn)練:第3部分 專(zhuān)題一 第3講 拉分題巧妙解每分都要爭(zhēng)

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1、 1

2、 1 第三講 拉分題——巧妙解,每分都要爭(zhēng) 高考是選拔性的考試,必然要具備選拔的功能,試卷中必然要有綜合考查數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)思想的能力型試題,即拉分題(亦即壓軸題).對(duì)大部分考生來(lái)說(shuō),在解決好前兩類(lèi)問(wèn)題的前提下,如何從拿不下的題目(壓軸題)中分段得分,是考生高考數(shù)學(xué)能否取得圓滿成功的重要標(biāo)志,是考生能否達(dá)到“名牌大學(xué)任我挑”的關(guān)鍵,對(duì)此可采用如下四招達(dá)到高分的目的:

3、 第一招 缺 步 解 答 —————————————————————————————————————— 如遇到一個(gè)不會(huì)做的問(wèn)題,將它們分解為一系列的步驟,或者是一個(gè)個(gè)小問(wèn)題,先解決問(wèn)題的一部分,能解決多少就解決多少,能寫(xiě)幾步就寫(xiě)幾步.特別是那些解題層次明顯的題目,每一步演算到得分點(diǎn)時(shí)都可以得分,最后結(jié)論雖然未得出,但分?jǐn)?shù)卻已過(guò)半.如: [例1] (20xx·四川高考)(13分)已知橢圓C:+=1(a>b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1(-1,0),F(xiàn)2(1,0),且橢圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)P. (1)求橢圓C的離心率; (2)設(shè)過(guò)點(diǎn)A(0,2)的直線l與橢圓C交于M,N兩點(diǎn),點(diǎn)Q是線段MN上的點(diǎn),

4、且=+,求點(diǎn)Q的軌跡方程. [嘗試解答] (試一試,看看能得多少分) —————————————————————————————————————— —————————————————————————————————————— —————————————————————————————————————— [解題規(guī)范與評(píng)分細(xì)則] (1)由橢圓定義知,2a=|PF1|+|PF2|= + =2, 所以a=.?2分 又由已知,c=1, 所以橢圓C的離心率e===.?4分 (2)由(1)知,橢圓C的方程為+y2=1. 設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x,y). ①當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí),直線l與橢

5、圓C交于(0,1),(0,-1)兩點(diǎn),此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為.?6分 ②當(dāng)直線l與x軸不垂直時(shí),設(shè)直線l的方程為y=kx+2. 因?yàn)镸,N在直線l上,可設(shè)點(diǎn)M,N的坐標(biāo)分別為(x1,kx1+2),(x2,kx2+2),則|AM|2=(1+k2)x,|AN|2=(1+k2)x. 又|AQ|2=x2+(y-2)2=(1+k2)x2. 由=+,得 =+, 即=+= .?、?8分 將y=kx+2代入+y2=1中,得 (2k2+1)x2+8kx+6=0.?、? 由Δ=(8k)2-4×(2k2+1)×6>0,得k2>. 由②可知,x1+x2=,x2x2=, 代入①中并化簡(jiǎn),得 x2=.?、?/p>

6、?10分 因?yàn)辄c(diǎn)Q在直線y=kx+2上,所以k=,代入③中并化簡(jiǎn),得10(y-2)2-3x2=18. ?11分 由③及k2>,可知0

7、,要想拿到全分很難,這就應(yīng)該學(xué)會(huì)缺步解答. 首先,解決直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問(wèn)題時(shí),若需要設(shè)直線方程,應(yīng)考慮直線的斜率是否存在,因此當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí),求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)為.這是每位考生都應(yīng)該能做到的. 其次,聯(lián)立直線方程與橢圓方程并設(shè)出M,N,Q的坐標(biāo),通過(guò)=+,得到=+=,然后由x1+x2及x1x2聯(lián)想一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系,將問(wèn)題解決到x2=是完全可以做到的,到此已經(jīng)可以得到10分. 另外,考慮到點(diǎn)Q在直線l上,將點(diǎn)Q坐標(biāo)代入所設(shè)直線方程就能得到10(y-2)2-3x2=18,到此便可以得到11分. 到此不能繼續(xù)往下解時(shí),我們也已經(jīng)得到絕大部分分?jǐn)?shù)了. 第二招 跳 步 解

8、 答 ——————————————————————————————————————解題過(guò)程中卡在某一過(guò)渡環(huán)節(jié)上是常見(jiàn)的,這時(shí),我們可以先承認(rèn)中間結(jié)論,往后推,看能否得到結(jié)論.若題目有兩問(wèn),第(1)問(wèn)想不出來(lái),可把第(1)問(wèn)作“已知”,先做第(2)問(wèn),跳一步再解答,如: [例2] (20xx·湖北高考)(14分)設(shè)n是正整數(shù),r為正有理數(shù). (1)求函數(shù)f(x)=(1+x)r+1-(r+1)x-1(x>-1)的最小值; (2)證明:

9、7,81≈350.5,124≈618.3,126≈631.7) [嘗試解答] (試一試,看看能得多少分) —————————————————————————————————————— —————————————————————————————————————— —————————————————————————————————————— [解題規(guī)范與評(píng)分細(xì)則] (1)因?yàn)閒′(x)=(r+1)(1+x)r-(r+1)=(r+1)·[(1+x)r-1],令f′(x)=0,解得x=0.?2分 當(dāng)-10時(shí),f′

10、(x)>0,所以f(x)在(0,+∞)內(nèi)是增函數(shù). 故函數(shù)f(x)在x=0處取得最小值f(0)=0.?4分 (2)證明:由(1)知,當(dāng)x∈(-1,+∞)時(shí),有f(x)≥f(0)=0,即(1+x)r+1≥1+(r+1)x,當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)等號(hào)成立, 故當(dāng)x>-1且x≠0時(shí),有 (1+x)r+1>1+(r+1)x.?、?6分 在①中,令x=(這時(shí)x>-1且x≠0),則有r+1>1+. 上式兩邊同乘nr+1,得(n+1)r+1>nr+1+nr(r+1),即nr<.?、?8分 當(dāng)n>1時(shí),在①中令x=-(這時(shí)x>-1且x≠0),類(lèi)似可得nr>.?、? 且當(dāng)n=1時(shí),③也成立. 綜合②③

11、得

12、利用了第(2)問(wèn)的結(jié)論,雖然沒(méi)有證出第(2)問(wèn),但第(3)問(wèn)同樣可以得到相應(yīng)的分?jǐn)?shù). 第三招 輔 助 解 答 —————————————————————————————————————— 一道題目的完整解答,既有主要的實(shí)質(zhì)性的步驟,也有次要的輔助性的步驟.實(shí)質(zhì)性的步驟未找到之前,找輔助性的步驟是明智之舉.如:準(zhǔn)確作圖,把題目中的條件翻譯成數(shù)學(xué)表達(dá)式,根據(jù)題目的意思列出要用的公式等.羅列這些小步驟都是有分的,這些全是解題思路的重要體現(xiàn),切不可以不寫(xiě),對(duì)計(jì)算能力要求高的,實(shí)行解到哪里算哪里的策略.書(shū)寫(xiě)也是輔助解答,“書(shū)寫(xiě)要工整,卷面能得分”是說(shuō)第一印象好會(huì)在閱卷老師的心理上產(chǎn)生光環(huán)效應(yīng).如:

13、 [例3] (12分)如圖,動(dòng)圓C1:x2+y2=t2,1

14、x0,y0),則矩形ABCD的面積S=4|x0||y0|.?1分 由+y=1,得y=1-,?3分 從而xy=x=-2+. 當(dāng)x=,y=時(shí),Smax=6.?5分 從而t=時(shí),矩形ABCD的面積最大,最大面積為6. (2)設(shè)點(diǎn)M(x,y),由A(x0,y0),B(x0,-y0),A1(-3,0),A2(3,0),知直線AA1的方程為y=(x+3),①?6分 直線A2B的方程為y=(x-3).②?7分 由①×②得y2=(x2-9).③?9分 又點(diǎn)A(x0,y0)在橢圓C上,故y=1-.④ 將④代入③得-y2=1(x<-3,y<0).?11分 因此點(diǎn)M的軌跡方程為-y2=1(x<-

15、3,y<0).?12分 第(2)問(wèn)要求交點(diǎn)M的軌跡方程,不易求解,考生可以利用圖形的對(duì)稱(chēng)性設(shè)出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo),再由兩點(diǎn)式可寫(xiě)出兩直線方程.這類(lèi)根據(jù)圖形或題意寫(xiě)出一些點(diǎn)的坐標(biāo)、方程、公式或正確做出圖形等的方法,為輔助解答法,像這種情況,閱卷老師一般會(huì)酌情給分. 第四招 逆 向 解 答 —————————————————————————————————————— 對(duì)一個(gè)問(wèn)題正面思考發(fā)生思維受阻時(shí),用逆向思維的方法去探求新的解題途徑,往往能得到突破性的進(jìn)展,順向推有困難就逆推,直接證有困難就反證.如: [例4] (12分)設(shè)實(shí)數(shù)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足Sn+1=an+1Sn(n

16、∈N*). (1)若a1,S2,-2a2成等比數(shù)列,求S2和a3; (2)求證:對(duì)k≥3有0≤ak+1≤ak≤. [嘗試解答] (試一試,看看能得多少分) —————————————————————————————————————— ———————————————————————————————————————————————————————————————————————————— [解題規(guī)范與評(píng)分細(xì)則] (1)由題意得S=-2S2, 由S2是等比中項(xiàng)知S2≠0,因此S2=-2.?2分 由S2+a3=S3=a3S2,解得 a3===.?4分 (2)證明:由題設(shè)條件有Sn

17、+an+1=an+1Sn, 故Sn≠1,an+1≠1且an+1=,Sn=, 從而對(duì)k≥3,有 ak====.?、? 因a-ak-1+1=2+>0且a≥0,由①得ak≥0.?7分 要證ak≤,由①只要證≤, 即證3a≤4(a-ak-1+1), 即(ak-1-2)2≥0,此式明顯成立, 因此ak≤(k≥3).?9分 最后證ak+1≤ak,若不然ak+1=>ak, 又因ak≥0,故>1,即(ak-1)2<0,矛盾. 因此ak+1≤ak(k≥3).?11分 所以,對(duì)k≥3有0≤ak+1≤ak≤.?12分 本題對(duì)分析問(wèn)題的能力要求極高,對(duì)數(shù)學(xué)證明的靈活性要求也非常高.本題的一個(gè)誤區(qū)就是試圖求出數(shù)列的通項(xiàng)公式,在以考查不等式的證明為主的數(shù)列試題中,有很多試題是不需要求出其通項(xiàng)公式的(大部分題目也求不出通項(xiàng)公式),而是根據(jù)給出的已知條件直接變換后進(jìn)行推理論證,在解決與數(shù)列有關(guān)的不等式問(wèn)題時(shí),要樹(shù)立這個(gè)思想意識(shí).本題在證明ak≤及ak+1≤ak時(shí),直接證明比較困難,但利用反證法,從問(wèn)題的反面入手就容易多了.

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