高三數(shù)學(xué)北師大版文一輪教師用書：第4章 第7節(jié)　解三角形的實(shí)際應(yīng)用舉例 Word版含解析

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1、 第七節(jié)　解三角形的實(shí)際應(yīng)用舉例 [最新考綱]　能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法解決一些與測(cè)量和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問題． (對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第78頁) 測(cè)量中的幾個(gè)有關(guān)術(shù)語 術(shù)語名稱 術(shù)語意義 圖形表示 仰角與俯角 在目標(biāo)視線與水平視線所成的角中，目標(biāo)視線在水平視線上方的叫做仰角，目標(biāo)視線在水平視線下方的叫做俯角 方位角 從某點(diǎn)的指北方向線起按順時(shí)針方向到目標(biāo)方向線之間的夾角叫做方位角．方位角θ的范圍是0°≤θ＜360° 方向角 相對(duì)于某正方向的水平角，如北偏東α，即由正北方向順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α到達(dá)目標(biāo)方向，南偏西α，即由正南方向順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α到達(dá)目標(biāo)方

2、向，其他方向角類似 例：(1)北偏東α： (2)南偏西α： 一、思考辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”) (1)從A處望B處的仰角為α，從B處望A處的俯角為β，則α，β的關(guān)系為α＋β＝180°. (　　) (2)俯角是鉛垂線與視線所成的角，其范圍為. (　　) (3)方位角與方向角其實(shí)質(zhì)是一樣的，均是確定觀察點(diǎn)與目標(biāo)點(diǎn)之間的位置關(guān)系． (　　) (4)方位角大小的范圍是[0,2π)，方向角大小的范圍一般是. (　　) [答案](1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 二、教材改編 1．如圖所示，設(shè)A，B兩點(diǎn)在河的兩岸，一測(cè)量者在A所在的同側(cè)河岸邊選定一

3、點(diǎn)C，測(cè)出AC的距離為50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以計(jì)算出A，B兩點(diǎn)的距離為________m. 50　[由正弦定理得＝，又∵B＝30°， ∴AB＝＝＝50(m)．] 2.如圖，在山腳A測(cè)得山頂P的仰角為30°，沿傾斜角為15°的斜坡向上走a米到B，在B處測(cè)得山頂P的仰角為60°，則山高h(yuǎn)＝________米． a　[由題圖可得∠PAQ＝α＝30°， ∠BAQ＝β＝15°，△PAB中，∠PAB＝α－β＝15°， 又∠PBC＝γ＝60°， ∴∠BPA＝(90°－α)－(90°－γ)＝γ－α＝30°， ∴＝，∴PB＝a， ∴PQ＝PC＋CQ＝PB

4、·sin γ＋asin β ＝a×sin 60°＋asin 15°＝a.] 3.如圖所示，D，C，B三點(diǎn)在地面的同一條直線上，DC＝a，從C，D兩點(diǎn)測(cè)得A點(diǎn)的仰角分別為60°，30°，則A點(diǎn)離地面的高度AB＝________. a　[由已知得∠DAC＝30°，△ADC為等腰三角形，AC＝a，所以在Rt△ACB中，AB＝AC·sin∠ACB＝a.] (對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第79頁) ⊙考點(diǎn)1　解三角形中的實(shí)際問題 　利用正、余弦定理解決實(shí)際問題的一般步驟 (1)分析——理解題意，分清已知與未知，畫出示意圖． (2)建?！鶕?jù)已知條件與求解目標(biāo)，把已知量與求解量盡量集中在相關(guān)的三

5、角形中，建立一個(gè)解斜三角形的數(shù)學(xué)模型． (3)求解——利用正弦定理或余弦定理有序地解三角形，求得數(shù)學(xué)模型的解． (4)檢驗(yàn)——檢驗(yàn)上述所求的解是否符合實(shí)際意義，從而得出實(shí)際問題的解． (1)江岸邊有一炮臺(tái)高30 m，江中有兩條船，船與炮臺(tái)底部在同一水平面上，由炮臺(tái)頂部測(cè)得俯角分別為45°和60°，而且兩條船與炮臺(tái)底部連線成30°角，則兩條船相距________m. (2)如圖，高山上原有一條筆直的山路BC，現(xiàn)在又新架設(shè)了一條索道AC，小李在山腳 B處看索道AC，發(fā)現(xiàn)張角∠ABC＝120°；從B處攀登400米到達(dá)D處，回頭看索道AC，發(fā)現(xiàn)張角∠ADC＝150°；從D處再攀登800米可到達(dá)

6、C處，則索道AC的長(zhǎng)為________米． (1)10　(2)400　[(1)如圖，OM＝AOtan 45°＝30(m)， ON＝AOtan 30°＝×30 ＝10(m)， 在△MON中，由余弦定理得， MN＝ ＝＝10(m)． (2)在△ABD中，BD＝400米，∠ABD＝120°.因?yàn)椤螦DC＝150°，所以∠ADB＝30°.所以∠DAB＝180°－120°－30°＝30°.由正弦定理，可得＝，所以＝，得AD＝400(米)． 在△ADC中，DC＝800米，∠ADC＝150°，由余弦定理得AC2＝AD2＋CD2－2·AD·CD·cos∠ADC＝(400)2＋8002－2×

7、400×800×cos 150°＝4002×13，解得AC＝400(米)．故索道AC的長(zhǎng)為400米．] (1)實(shí)際測(cè)量中的常見問題 求AB 圖形 需要測(cè)量的元素 解法 求豎直高度 底部 可達(dá) ∠ACB＝α， BC＝a 解直角三角形AB＝atan α 底部不可達(dá) ∠ACB＝α，∠ADB＝β， CD＝a 解兩個(gè)直角三角形AB＝ 求水平距離 山兩側(cè) ∠ACB＝α， AC＝b， BC＝a 用余弦定理AB＝ 河兩岸 ∠ACB＝α， ∠ABC＝β， CB＝a 用正弦定理AB＝ 河對(duì)岸 ∠ADC＝α，∠BDC＝β，∠BCD＝δ，∠A

8、CD＝γ， CD＝a 在△ADC中，AC＝； 在△BDC中， BC＝； 在△ABC中，應(yīng)用 余弦定理求AB (2)三角應(yīng)用題求解的關(guān)鍵是正確作圖(平面圖、立體圖)，并且條件對(duì)應(yīng)好(仰角、俯角、方向角等)． 　1.一船以每小時(shí)15 km的速度向東航行，船在A處看到一個(gè)燈塔B在北偏東60°的方向上，行駛4 h后，船到達(dá)C處，看到這個(gè)燈塔在北偏東15°的方向上，這時(shí)船與燈塔的距離為________km. 30　[如圖，由題意知，∠BAC＝30°，∠ACB＝105°， ∴B＝45°，AC＝60，由正弦定理得＝， ∴BC＝30(km)．] 2.如圖所示，位于A處的信息中心獲悉：在

9、其正東方向相距40海里的B處有一艘漁船遇險(xiǎn)，在原地等待營(yíng)救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C處的乙船，現(xiàn)乙船朝北偏東θ的方向沿直線CB前往B處救援，則cos θ的值為________． 　[在△ABC中，AB＝40，AC＝20，∠BAC＝120°， 由余弦定理得 BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos 120°＝2 800， 得BC＝20. 由正弦定理，得＝， 即sin∠ACB＝·sin∠BAC＝. 由∠BAC＝120°，知∠ACB為銳角， 則cos∠ACB＝. 由θ＝∠ACB＋30°，得cos θ＝cos(∠ACB＋30°) ＝cos∠ACB

10、cos 30°－sin∠ACBsin 30°＝.] ⊙考點(diǎn)2　平面幾何中的解三角形問題 　與平面圖形有關(guān)的解三角形問題的關(guān)鍵及思路 求解平面圖形中的計(jì)算問題，關(guān)鍵是梳理?xiàng)l件和所求問題的類型，然后將數(shù)據(jù)化歸到三角形中，利用正弦定理或余弦定理建立已知和所求的關(guān)系． 具體解題思路如下： (1)把所提供的平面圖形拆分成若干個(gè)三角形，然后在各個(gè)三角形內(nèi)利用正弦、余弦定理求解； (2)尋找各個(gè)三角形之間的聯(lián)系，交叉使用公共條件，求出結(jié)果． 　如圖，在平面四邊形ABCD中，∠ABC＝，AB⊥AD，AB＝1. (1)若AC＝，求△ABC的面積； (2)若∠ADC＝，CD＝4，求sin∠C

11、AD. [解](1)在△ABC中，由余弦定理得，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠ABC， 即5＝1＋BC2＋BC，解得BC＝， 所以△ABC的面積S△ABC＝AB·BC·sin∠ABC＝×1××＝. (2)設(shè)∠CAD＝θ，在△ACD中，由正弦定理得＝，即＝， ① 在△ABC中，∠BAC＝－θ，∠BCA＝π－－＝θ－， 由正弦定理得＝， 即＝， ② ①②兩式相除，得＝， 即4＝sin θ，整理得sin θ＝2cos θ. 又因?yàn)閟in2θ＋cos2θ＝1， 所以sin θ＝，即sin∠CAD＝. 　做題過程中，要用到平面幾何中的一些知識(shí)點(diǎn)，如相似三角形的

12、邊角關(guān)系、平行四邊形的一些性質(zhì)，要把這些性質(zhì)與正弦、余弦定理有機(jī)結(jié)合，才能順利解決問題． 　如圖，在平面四邊形ABCD中，0＜∠DAB＜，AD＝2，AB＝3，△ABD的面積為，AB⊥BC. (1)求sin∠ABD的值； (2)若∠BCD＝，求BC的長(zhǎng)． [解](1)因?yàn)椤鰽BD的面積S＝AD×ABsin∠DAB＝×2×3sin∠DAB＝， 所以sin∠DAB＝. 又0＜∠DAB＜，所以∠DAB＝，所以cos∠DAB＝cos ＝. 由余弦定理得 BD＝＝， 由正弦定理得sin∠ABD＝＝. (2)因?yàn)锳B⊥BC，所以∠ABC＝， sin∠DBC＝sin＝cos∠ABD＝

13、＝. 在△BCD中，由正弦定理＝可得CD＝＝. 由余弦定理DC2＋BC2－2DC·BCcos∠DCB＝BD2， 可得3BC2＋4BC－5＝0，解得BC＝或BC＝－(舍去)． 故BC的長(zhǎng)為. ⊙考點(diǎn)3　與三角形有關(guān)的最值(范圍)問題 　解三角形問題中，求解某個(gè)量(式子)的最值(范圍)的基本思路為：要建立所求量(式子)與已知角或邊的關(guān)系，然后把角或邊作為自變量，所求量(式子)的值作為函數(shù)值，轉(zhuǎn)化為函數(shù)關(guān)系，將原問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域問題．這里要利用條件中的范圍限制，以及三角形自身范圍限制，要盡量把角或邊的范圍(也就是函數(shù)的定義域)找完善，避免結(jié)果的范圍過大． (1)(2019·安徽六

14、安模擬)在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若＝，b＝4，則△ABC的面積的最大值為(　　) A．4　　　　B．2　　　　C．2　　　　D. (2)(2019·福建漳州二模)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知3acos A＝bcos C＋ccos B，b＋c＝3，則a的最小值為(　　) A．1 B. C．2 D．3 (1)A　(2)B　[(1)∵在△ABC中，＝， ∴(2a－c)cos B＝bcos C， ∴(2sin A－sin C)cos B＝sin Bcos C， ∴2sin Acos B＝sin Ccos B＋sin Bcos C＝s

15、in(B＋C)＝sin A， ∴cos B＝，即B＝，由余弦定理可得16＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2－ac≥2ac－ac，∴ac≤16，當(dāng)且僅當(dāng)a＝c時(shí)取等號(hào)， ∴△ABC的面積S＝acsin B＝ac≤4.故選A. (2)在△ABC中，∵3acos A＝bcos C＋ccos B， ∴3sin Acos A＝sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin(B＋C)＝sin A，即3sin Acos A＝sin A，又A∈(0，π)，∴sin A≠0，∴cos A＝. ∵b＋c＝3，∴兩邊平方可得b2＋c2＋2bc＝9，由b2＋c2≥2bc，可得9≥2bc＋2bc＝

16、4bc，解得bc≤，當(dāng)且僅當(dāng)b＝c時(shí)等號(hào)成立，∴由a2＝b2＋c2－2bccos A，可得a2＝b2＋c2－bc＝(b＋c)2－≥9－×＝3，當(dāng)且僅當(dāng)b＝c時(shí)等號(hào)成立，∴a的最小值為.故選B.] 　求解三角形中的最值、范圍問題的兩個(gè)注意點(diǎn) (1)涉及求范圍的問題，一定要搞清已知變量的范圍，利用已知的范圍進(jìn)行求解，已知邊的范圍求角的范圍時(shí)可以利用余弦定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化． (2)注意題目中的隱含條件，如本例中銳角三角形的條件，又如A＋B＋C＝π，0＜A＜π，b－c＜a＜b＋c，三角形中大邊對(duì)大角等． 　1.在鈍角△ABC中 ，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，B為鈍角，若acos A＝bsi

17、n A，則sin A＋sin C的最大值為(　　) A.　　　　　　　　 B. C．1 D. B　[∵acos A＝bsin A，由正弦定理可得，sin Acos A＝sin Bsin A，∵sin A≠0，∴cos A＝sin B，又B為鈍角， ∴B＝A＋，sin A＋sin C＝sin A＋sin(A＋B)＝sin A＋cos 2A＝sin A＋1－2sin2A＝－2＋， ∴sin A＋sin C的最大值為.] 2．在△ABC中，b＝，B＝60°. (1)求△ABC周長(zhǎng)l的范圍； (2)求△ABC面積最大值． [解](1)l＝＋a＋c， b2＝3＝a2＋c2－2acco

18、s 60°＝a2＋c2－ac， ∴(a＋c)2－3ac＝3， ∵(a＋c)2－3＝3ac≤3×， ∴a＋c≤2， 當(dāng)僅僅當(dāng)a＝c時(shí)，取“＝”， 又∵a＋c＞， ∴2＜l≤3. (2)∵b2＝3＝a2＋c2－ac≥2ac－ac， ∴ac≤3， 當(dāng)且僅當(dāng)a＝c時(shí)，取“＝”， S△ABC＝acsin B≤×3×sin 60°＝， ∴△ABC面積最大值為. [教師備選例題] 設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，a＝btan A，且B為鈍角． (1)證明：B－A＝； (2)求sin A＋sin C的取值范圍． [解](1)證明：由a＝btan A及正弦定理， 得＝＝， 所以sin B＝cos A，即sinB＝sin . 因?yàn)锽為鈍角，所以A為銳角， 所以＋A∈， 則B＝＋A，即B－A＝. (2)由(1)知，C＝π－(A＋B)＝π－＝－2A＞0，所以A∈. 于是sin A＋sin C＝sin A＋sin ＝sin A＋cos 2A＝－2sin2A＋sin A＋1 ＝－2＋. 因?yàn)?＜A＜，所以0＜sin A＜， 因此＜－2＋≤. 由此可知sin A＋sin C的取值范圍是.