新教材2021-2022學年人教A版選擇性必修第一冊 -　點到直線的距離公式 - 兩條平行直線間的距離 學案.docx

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1、2. 3.3點到直線的距離公式2.3.4兩條平行直線間的距離課前?自主探究 課前?自主探究 自主預習基礎認知 授課提示：對應學生用書第46頁 內(nèi)容標準 學科素養(yǎng) 1.探索并掌握平面上點到直線的距離公式. 2 .掌握兩條平行直線間的距離公式. 3 .會求點到直線的距離和兩條平行直線間的距離. 邏輯推理 數(shù)學運算 ［教材提煉I知識點一點到直線的距離公式預習教材，思考問題 1. 如圖，什么是平面上點F到直線/的距離? ［提示］點P到直線/的距離，就是從點P到直線/的垂線段PQ的長度，其中。是垂足. 2. 如上圖，設點P（x（）,為），直線/：A

2、r+By+C=O0尹0,B尹0）,如何求垂足。的坐標？如何求|PQ|的長？ AR ［提示］由PQH,直線/的斜率為一萬，可得/的垂線FQ的斜率為矛因此，垂線PQB 的方程為>—為=元3—xo),即Bx~Ay=Bx()—Ayo. 解方程組 Ar+By+C=O,|虹由=阪-偵，得直線/與用的交點坐標，即垂"的坐標為 ?尤。一ABy。一AC—ARro+妒咒—BCA2+B2' A2+B2' A2+B2 于是\PQ\= A2+B2 B2xo—AByo~AC\ XoF+ —ABxo~\~A2yo—BC y。 A2+B2 (Axo+Byo+C)2\Axo+Byo+

3、C|A2+B2 A2+B2 W+—2? 3. 我們知道，向量是解決距離、夾角問題的有力工具.如圖，設〃是與直線/的方向向量垂直的單位向量, 如何從向量投影的角度得出PQ的模的表達式? ［提示］設M(x9y)是直線J上的任意一點，則PQ是在n上的投影向量，\PQ\=\PM^n\. 4.設P\(x\9yi),戶2(工2，%)是直線/：Ax~\~By~\~C=0上的任意兩點，如何利用直線Z的方程得到與/的方向向量垂直的單位向量"？ ［提示］PiP2=S-xi,>2一、)是直線/的方向向量.把Ar］+Byi+C=0,Axi+By2+C=0兩式相減，得A(X2—xi)+B(j2

4、—yi)=0.由平面向量的數(shù)量積運算可知，向量(A,B)與向~i(X2~X\,y2—J1)垂直.向量g2(A,3)就是與直線/的方向向量垂直的一個單位向量，我們?nèi)). 5.根據(jù)問題3,4的內(nèi)容，你能得出|PQ|的長嗎? ［提示］PMn=(x-xo9y—yo)?寸南〒京(人，B) =溫+"［A3f0)+%_沏^y-^o-Byo). 因為點M(_r,y)在直線/上，所以Ax+By+C=0.所以Ax+By=~C.代入上式，得 PM?〃=何毒（_阪）—Byo—O- 因此, 1倒=1電=i成 知識梳理點到直線的距離 (1) 概念：過一點向直線作垂線，則該點與垂足之間的距離,就是該點到

5、直線的距離. ⑵公式：點P(xo,劉)到直線/：Ax+8y+C=0(A,B不同時為0)的距離』=匹節(jié)舞旦 知識點二兩條平行直線間的距離 預習教材，思考問題 1. 兩條平行直線間的距離是指什么線段的長？ ［提示］兩條平行直線間的距離是指夾在這兩條平行直線間的公垂線段的長. 2. 直線/i：x+y—1=0上有A(l,0)、8(0,1)、C(-l,2)三點，直線么x+y—2=。與直線/i平行，那么點A、B、C到直線/2的距離分別為多少？有什么規(guī)律嗎？ ［提示］乎、辛、辛.均相等，平行線之間的距離處處相等. 3. 已知/i：Ax+By+G=0(A,B不同時為0),/2：Ar+By+C

6、2=0(C2^Ci),如何推導出A與/2間的距離公式呢？ ［提示］在直線/i：Ax+By+Cx=Q上任取一點P(x0,咒)，點P(xo,yo)到直線如弘+By+C2=Q的距離就是這兩條平行直線間的距離，即d= By+C2=Q的距離就是這兩條平行直線間的距離，即d= |Axo+Byo+C2| yjA2-\-B2 又/Uo+Byo+G=O,即Aro+Byo=—G,l|Ax（）+8y（）+C2||—Ci+C2||Ci—C2| 因立匕d=j—=—t—~―- VA2+B2睥+聲”+82? 知識梳理兩條平行直線間的距離： (1) 概念：兩條平行直線間的距離是指夾在這兩條平行直線間的公

7、垂線段的長. (2) 求法：兩條平行直線間的距離轉(zhuǎn)化為點到直線的距離. ⑶公式：兩條平行直線/i：Ax-\~By-\~C\=0與，2：Ax+By+C2=0間的距離d= IC1-C2I -\Ja2+jB2 ［自主檢測］ 1.(教材P77練習1改編)原點到直線x~\~2y—5=0的距離為( A.1B.^3 C.2D.V5 解析: |Axo+珈o+C||—5|r- 一書_" 答案：D 2.(教材P78例7改編)兩條平行線1\:3工+4卜一7=0和友：3x+4y—12=0的距鬲為() A.3 B.2 C.1 D* 解析: 1-7-（-12）| 一W+42一

8、 答案：C 3. 若點A(q,1)到直線3工一4y=1的距離d為1,則。的值為()A.0B.? D.0或-半 解析：由』=等亍=捋=1,得。=0或。=孚 答案：c 4?(教材P79練習2改編)己知直線/i：x+y—1=0,/2：x+y+i=0,且兩直線間的距I胃為寸則Q=. 解析：由兩平行直線的距離公式： i-1-舊+七舊.w+ie. j=Vp+P_V2 答案：一3或1 5.(教材P77例6改編)已知△曲C三個頂點坐標分別為A(—l,3),8(—3,0),C(l,2),求△ABC的面積S. 解析：由兩點間的距離公式得, \BC\=寸(一3-1)2+(0-2

9、)2=2^5. v—03 由直經(jīng)方程的兩點式得直線"的方程為虹=而 即x—2y+3=0. 由點到直線的距離公式得，BC邊上的高為擋一二^^=華,y/l2+(-2)25 「?S=；|BC|?/z=；X2y[5X誓=4.即△ABC的面積為4. 課堂?互動探究 以例示法核心突破 授課提示：對應學生用書第47頁 探究一求點到直線的距離 ［例1］求點Po(—1,2)到下列直線的距離：(l)2x+y-10=0；(2)x=2；(3)y—1=0. ［分析］對于(1)可用點到直統(tǒng)的距離公式求解，對于(2)(3)除了公式法求距離外還可以用數(shù)形結(jié)合法求解. ［解析］(1)由點到直稅的距離

10、公式知d=億X微苓迫嗤=2展 (2) 法一：直線方程化為一般式為工一2=0. 由點到直線的距離公式知d='_］擋^2=3. ^12+02 法二：..?直線x=2與y軸平行，.??由圖①知d=|—l—2|=3. 圖① (3)法一：由點到直線的距離公式得d^—^T==-^=1. 寸。2+12 法二：..?直線y-\=0與尤軸平行，.??由圖②知^=|2-1|=1. _■?方法提升>|在使用點到直線的距離公式時，首先把直線方程化為一般式，再利用公式求解. 1. 在已知點到直線的距離求參數(shù)時，只需根據(jù)公式列方程求解參數(shù)即可. L同源異考重在觸類旁通 1.

11、 若點心(一2,1)到直線x+2y+C=。的距離為1,則C的值為解析：由點到直線的距離公式可知 解析：由點到直線的距離公式可知 I-2+2+CI |C| 寸V+22 ―礦 AC=±V5,.??C的值為y. 答案：±V5 2. 求過點A(—1,2)且到原點的距離等于乎的直線方程. 解析：顯然直線x=—1到原點的距離為1,所以所求直線的斜率是存在的. 設所求直線的方程為y—2=*(x+l),化成一般式為奴一y+2+#=0. 由題意得解得k=—1或一7. 故適合題意的直線方程為y—2=—3+1)或y—2=—7(x+1),即x+y—1=0或7x+y+5=0. 探究

12、二求兩條平行直線間的距離 ［例2］求兩條平行直線/i：6x+8y=20和L：3x+4y—15=。的距離. IG-C2I 睥+成 ［分析］思路一：先在直a/i±任取一點4(2,1),然后再求點A到直線，2的距離即為兩條平行直統(tǒng)間的距離；思路二：直接應用兩條平行統(tǒng)間的距離公式刁= 333' 2 3' 2 y一成x_2又/過點A(2,4),由兩點式得一=—-4~22~2 即5尤一〉一6=0,故直線/的方程為5x-y-6=0.法二：設與上，2平行且距離相等的直線，3：x-y+C=O,由兩平行直線間的距離公式得 由兩平行直線間的距離公式得 |C-1||C+1| 解得C=

13、0,即/3：x-y=O. 由題意得中點M在乙上，點M在工+〉一3=0上. 解方程組『 [x+^-3=0, 3 X=T AM(|,|).又/過點A(2,4), 故由兩點式得直線/的方程為5x-y-6=0. _■?方法提升＞|應用距離公式解答有關問題時，要注意以下幾點 (1) 直線的方程是一般式，在用兩平行線間的距離公式時，兩方程中兀y的系數(shù)分別相等;要結(jié)合圖形，幫助解答； (2) 求直線方程時，要特別注意斜率不存在的情況. L同源異考重在觸類旁通 4. 求過點M(—2,1)且與A(—1,2),8(3,0)兩點距離相等的直線方程. 解析：法一：當斜率不

14、存在時，不符合題意；當斜率存在時，設直線方程為y—l=R(x+2),即奴一y+2k+l=0. 由條件得2+以+1|I3S0+2+I 胰+1 解得比=0或k=— 故所求的直線方程為＞=1或x+2y=0. 法二：設直線/滿足題意. 由平面幾何知識知，1//AB或/過AB中點.kAB=-^若1//AB,則/的方程為尤+2y=0. 若/過AB的中點ML1),則直線方程為＞=1,.??所求直線方程為y=1或x+2y=0. 素養(yǎng)拓展能力提升 課后?素養(yǎng)培優(yōu)授課提示：對應學生用書第48頁 “年年歲歲花相似，歲歲年年人不同”——巧用運動變化求兩平行線間距離的最值問題院直觀想象、邏

15、輯推理、數(shù)學運算 ［典例］兩條互相平行的直線分別過點A(6,2)和倒一3,一1),如果兩條平行直線間的距高為d,求： (1以的變化范圍； (2)當d取最大值時，兩條直線的方程. ［解析］(1)如圖，當兩條平行直線與AB垂直時，兩平行直線間的距離最大，為d=\AB\=寸(6+3)2+(2+1)2=3面, 當兩條平行線各自繞點8,A逆時針旋轉(zhuǎn)時，距離逐漸變小，越來越接近于0,所以0<^3V10,即所求的d的變化范圍是(0,3而］. W)=~3> 6-(-3) ⑵當d取最大值3寸而時，兩條平行線都垂直于AB,所以*=一態(tài) 故所求的直線方程分別為)，一2=—33—6)和)，+1=—3(尤+3),即3x+>—20=0和3尤+>+10=0. ［方法點睛］數(shù)形結(jié)合、運動變化的思想和方法是數(shù)學中常用的思想方法.當圖形中的元素運動變化時我們能直觀觀察到一些量的變化情況，進而可求出這些量的變化范圍.類似地，當一條直線過定點A時，點B到這條直線/的距離d也是當ILAB時最大，/過B點時,最小為零.