高三數(shù)學(xué)北師大版理一輪教師用書：第11章 第1節(jié) 兩個(gè)計(jì)數(shù)原理、排列與組合 Word版含解析

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1、 全國卷五年考情圖解 高考命題規(guī)律把握 1.考查形式 高考在本章一般命制1道小題或者1道解答題，分值占5～17分． 2.考查內(nèi)容 計(jì)數(shù)原理常與古典概型綜合考查；幾何概型均以選擇題的形式單獨(dú)考查；對二項(xiàng)式定理的考查主要是利用通項(xiàng)公式求特定項(xiàng)；對正態(tài)分布的考查，可能單獨(dú)考查也可能在解答題中出現(xiàn)；以實(shí)際問題為背景，考查分布列、期望等是高考的熱點(diǎn)題型． 3.備考策略 從2019年高考試題可以看出，概率統(tǒng)計(jì)試題的閱讀量和信息量都有所加強(qiáng)，考查角度趨向于應(yīng)用概率統(tǒng)計(jì)知識對實(shí)際問題作出決策. 第一節(jié)　兩個(gè)計(jì)數(shù)原理、排列與組合 [最新考綱]　1.理解分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原

2、理.2.能正確區(qū)分“類”和“步”，并能利用兩個(gè)原理解決一些簡單的實(shí)際問題.3.理解排列的概念及排列數(shù)公式，并能利用公式解決一些簡單的實(shí)際問題.4.理解組合的概念及組合數(shù)公式，并能利用公式解決一些簡單的實(shí)際問題． 1．分類加法計(jì)數(shù)原理 完成一件事，可以有n類辦法，在第一類辦法中有m1種方法，在第二類辦法中有m2種方法，…，在第n類辦法中有mn種方法．那么，完成這件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn種方法．(也稱加法原理) 2．分步乘法計(jì)數(shù)原理 完成一件事需要經(jīng)過n個(gè)步驟，缺一不可，做第一步有m1種方法，做第二步有m2種方法，…，做第n步有mn種方法．那么，完成這件事共有N＝m1×m2

3、×…×mn種方法． 3．排列、組合的定義 排列的定義　 從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素 按照一定的順序排成一列 組合的定義　 合成一組 4．排列數(shù)、組合數(shù)的定義、公式、性質(zhì) 排列數(shù) 組合數(shù) 定 義 從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的所有不同排列的個(gè)數(shù) 從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的所有不同組合的個(gè)數(shù) 公 式 A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝ C＝＝ 性 質(zhì) A＝n！， 0?。? C＝C， C＋C＝C 一、思考辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”) (1)所有元素完全相同的兩個(gè)排列為相同排列．(　　)

4、 (2)在分類加法計(jì)數(shù)原理中，每類方案中的方法都能直接完成這件事．(　　) (3)在分步乘法計(jì)數(shù)原理中，每個(gè)步驟中完成這個(gè)步驟的方法是各不相同的．(　　) (4)kC＝nC.(　　) [答案]　(1)×　(2)√　(3)√　(4)√ 二、教材改編 1．圖書館的一個(gè)書架有三層，第一層有3本不同的數(shù)學(xué)書，第二層有5本不同的語文書，第三層有8本不同的英語書，現(xiàn)從中任取1本書，不同的取法有(　　) A．12　 B．16　　　 C．64　 D．120 B　[書架上共有3＋5＋8＝16本不同的書，從中任取一本共有16種不同的取法，故選B.] 2．用數(shù)字1,2,3,4,5組成無重復(fù)數(shù)字的四

5、位數(shù)，其中偶數(shù)的個(gè)數(shù)為(　　) A．8 B．24 C．48 D．120 C　[末位只能從2,4中選一個(gè)，其余的三個(gè)數(shù)字任意排列，故這樣的偶數(shù)共有AC＝4×3×2×2＝48個(gè)．故選C.] 3．6把椅子擺成一排，3人隨機(jī)就座，任何兩人不相鄰的坐法種數(shù)為(　　) A．144 B．120 C．72 D．24 D　[“插空法”，先排3個(gè)空位，形成4個(gè)空隙供3人選擇就座，因此任何兩人不相鄰的坐法種數(shù)為A＝4×3×2＝24.] 4．五名學(xué)生報(bào)名參加四項(xiàng)體育比賽，每人限報(bào)一項(xiàng)，則不同的報(bào)名方法的種數(shù)為________．五名學(xué)生爭奪四項(xiàng)比賽的冠軍(冠軍不并列)，則獲得冠軍的可能性有_____

6、___種. (用數(shù)字作答) 45　54[五名學(xué)生參加四項(xiàng)體育比賽，每人限報(bào)一項(xiàng)，可逐個(gè)學(xué)生落實(shí)，每個(gè)學(xué)生有4種報(bào)名方法，共有45種不同的報(bào)名方法．五名學(xué)生爭奪四項(xiàng)比賽的冠軍，可對4個(gè)冠軍逐一落實(shí)，每個(gè)冠軍有5種獲得的可能性，共有54種獲得冠軍的可能性．] 考點(diǎn)1　兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用 　利用兩個(gè)基本計(jì)數(shù)原理解決問題的步驟 第一步，審清題意，弄清要完成的事件是怎樣的． 第二步，分析完成這件事應(yīng)采用分類、分步、先分類后分步、先分步后分類這四種方法中的哪一種． 第三步，弄清在每一類或每一步中的方法種數(shù)． 第四步，根據(jù)兩個(gè)基本計(jì)數(shù)原理計(jì)算出完成這件事的方法種數(shù)． 　(1)如果一

7、個(gè)三位正整數(shù)如“a1a2a3”滿足a1＜a2，且a2＞a3，則稱這樣的三位數(shù)為凸數(shù)(如120,343,275等)，那么所有凸數(shù)的個(gè)數(shù)為(　　) A．240　 B．204　　　 C．729　 D．920 (2)(2016·全國卷Ⅱ)如圖，小明從街道的E處出發(fā)，先到F處與小紅會合，再一起到位于G處的老年公寓參加志愿者活動，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為(　　) A．24 B．18 C．12 D．9 (3)如圖所示的五個(gè)區(qū)域中，現(xiàn)有四種顏色可供選擇，要求每一個(gè)區(qū)域只涂一種顏色，相鄰區(qū)域所涂顏色不同，則不同的涂色方法種數(shù)為(　　) A．24 B．48 C．72 D

8、．96 (1)A　(2)B　(3)C　[(1)如果這個(gè)三位數(shù)含0，則0必在末位，共有這樣的凸數(shù)C個(gè)；如果這個(gè)三位數(shù)不含0，則這樣的凸數(shù)共有CA＋C個(gè)．即共有2C＋CA＝240個(gè)． (2)從E到G需要分兩步完成：先從E到F，再從F到G.從F到G的最短路徑，只要考慮縱向路徑即可，一旦縱向路徑確定，橫向路徑即可確定，故從F到G的最短路徑共有3條．如圖，從E到F的最短路徑有兩類：先從E到A，再從A到F，或先從E到B，再從B到F.因?yàn)閺腁到F或從B到F都與從F到G的路徑形狀相同，所以從A到F，從B到F最短路徑的條數(shù)都是3，所以從E到F的最短路徑有3＋3＝6(條)．所以小明到老年公寓的最短路徑條數(shù)

9、為6×3＝18. (3)法一：(以位置為主考慮)分兩種情況： ①A，C不同色，先涂A有4種，C有3種，E有2種，B，D各有1種，有4×3×2＝24種涂法． ②A，C同色，先涂A有4種，E有3種，C有1種，B，D各有2種，有4×3×2×2＝48種涂法． 故共有24＋48＝72種涂色方法． 法二：(以顏色為主考慮) 分兩類． (1)取4色：著色方法有2A＝48(種)． (2)取3色：著色方法有A＝24(種)． 所以共有著色方法48＋24＝72(種)．] 　 (1)應(yīng)用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的難點(diǎn)在于明確是分類還是分步：分類要做到“不重不漏”，正確把握分類標(biāo)準(zhǔn)是關(guān)鍵；分步要做到“步驟完

10、整”，步步相連才能將事件完成． (2)較復(fù)雜的問題可借助圖表來完成． (3)對于涂色問題：①分清元素的數(shù)目以及在不相鄰的區(qū)域內(nèi)是否可以使用同類元素；②注意對每個(gè)區(qū)域逐一進(jìn)行，分步處理． [教師備選例題] 1．甲、乙、丙三人踢毽子，互相傳遞，每人每次只能踢一下，由甲開始踢，經(jīng)過4次傳遞后，毽子又被踢回給甲，則不同的傳遞方式共有(　　) A．4種　 B．6種　　　 C．10種　 D．16種 B　[分兩類：甲第一次踢給乙時(shí)，滿足條件的有3種傳遞方式(如圖)；同理，甲第一次踢給丙時(shí)，滿足條件的也有3種傳遞方式． 由分類加法計(jì)數(shù)原理可知，共有3＋3＝6(種)傳遞方式．] 2.如圖所

11、示的幾何體是由三棱錐P-ABC與三棱柱ABC-A1B1C1組合而成，現(xiàn)用3種不同顏色對這個(gè)幾何體的表面涂色(底面A1B1C1不涂色)，要求相鄰的面均不同色，則不同的涂色方案共有(　　) A．6種 B．9種 C．12種 D．36種 C　[先涂三棱錐P-ABC的三個(gè)側(cè)面，有3×2＝6(種)涂法；然后涂三棱柱的三個(gè)側(cè)面，有2×1＝2(種)涂法．共有6×2＝12(種)不同的涂法．] 　1.一個(gè)旅游景區(qū)的游覽線路如圖所示，某人從P點(diǎn)處進(jìn)，Q點(diǎn)處出，沿圖中線路游覽A，B，C三個(gè)景點(diǎn)及沿途風(fēng)景，則不同(除交匯點(diǎn)O外)的游覽線路有(　　) A．6種 B．8種 C．12種 D．48種

12、 D　[從點(diǎn)P處進(jìn)入后，參觀第一個(gè)景點(diǎn)時(shí)，有6個(gè)路口可以選擇，從中任選一個(gè)，有C種選法，參觀完第一個(gè)景點(diǎn)，參觀第二個(gè)景點(diǎn)時(shí)，有4個(gè)路口可以選擇，從中任選一個(gè)，有C種選法，參觀完第二個(gè)景點(diǎn)，參觀第三個(gè)景點(diǎn)時(shí)，有2個(gè)路口可以選擇，從中任選一個(gè)，有C種選法，則共有CCC＝48(種)線路．故選D.] 2．(2019·河北六校聯(lián)考)甲與其四位同事各有一輛私家車，車牌尾數(shù)分別是9,0,2,1,5，為遵守當(dāng)?shù)啬吃?日至9日5天的限行規(guī)定(奇數(shù)日車牌尾數(shù)為奇數(shù)的車通行，偶數(shù)日車牌尾數(shù)為偶數(shù)的車通行)，五人商議拼車出行，每天任選一輛符合規(guī)定的車，但甲的車最多只能用一天，則不同的用車方案種數(shù)為(　　) A．

13、64 B．80 C．96 D．120 B　[5日至9日，日期尾數(shù)分別為5,6,7,8,9，有3天是奇數(shù)日，2天是偶數(shù)日．第一步，安排偶數(shù)日出行，每天都有2種選擇，共有2×2＝4(種)；第二步，安排奇數(shù)日出行，分兩類，第一類，選1天安排甲的車，另外2天安排其他車，有3×2×2＝12(種)，第二類，不安排甲的車，每天都有2種選擇，共有23＝8(種)，共計(jì)12＋8＝20(種)．根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，不同的用車方案種數(shù)為4×20＝80.] 考點(diǎn)2　排列問題 　求解排列應(yīng)用問題的6種常用方法 直接法 把符合條件的排列數(shù)直接列式計(jì)算 優(yōu)先法 優(yōu)先安排特殊元素或特殊位置 捆綁法

14、相隔問題把相鄰元素看作一個(gè)整體與其他元素一起排列，同時(shí)注意捆綁元素的內(nèi)部排列 插空法 對不相鄰問題，先考慮不受限制的元素的排列，再將不相鄰的元素插在前面元素排列的空當(dāng)中 定序問題 除法處理 對于定序問題，可先不考慮順序限制，排列后，再除以定序元素的全排列 間接法 正難則反、等價(jià)轉(zhuǎn)化的方法 　3名女生和5名男生排成一排． (1)若女生全排在一起，有多少種排法？ (2)若女生都不相鄰，有多少種排法？ (3)[一題多解]若女生不站兩端，有多少種排法？ (4)其中甲必須排在乙左邊(可不鄰)，有多少種排法？ (5)[一題多解]其中甲不站最左邊，乙不站最右邊，有多少種排法？ [

15、解]　(1)(捆綁法)由于女生排在一起，可把她們看成一個(gè)整體，這樣同5名男生合在一起有6個(gè)元素，排成一排有A種排法，而其中每一種排法中，3名女生之間又有A種排法，因此共有A·A＝4 320種不同排法． (2)(插空法)先排5名男生，有A種排法，這5名男生之間和兩端有6個(gè)位置，從中選取3個(gè)位置排女生，有A種排法，因此共有A·A＝14 400種不同排法． (3)法一(位置分析法)：因?yàn)閮啥瞬慌排?，只能?名男生中選2人排，有A種排法，剩余的位置沒有特殊要求，有A種排法，因此共有A·A＝14 400種不同排法． 法二(元素分析法)：從中間6個(gè)位置選3個(gè)安排女生，有A種排法，其余位置無限制，有

16、A種排法，因此共有A·A＝14 400種不同排法. (4)8名學(xué)生的所有排列共A種，其中甲在乙左邊與乙在甲左邊的各占，因此符合要求的排法種數(shù)為A＝20 160. (5)甲、乙為特殊元素，左、右兩邊為特殊位置． 法一(特殊元素法)：甲在最右邊時(shí)，其他的可全排，有A種不同排法；甲不在最右邊時(shí)，可從余下6個(gè)位置中任選一個(gè)，有A種．而乙可排在除去最右邊位置后剩余的6個(gè)中的任一個(gè)上，有A種，其余人全排列，共有A·A·A種不同排法． 由分類加法計(jì)數(shù)原理知，共有A＋A·A·A＝30 960種不同排法． 法二(特殊位置法)：先排最左邊，除去甲外，有A種排法，余下7個(gè)位置全排，有A種排法，但應(yīng)剔除乙

17、在最右邊時(shí)的排法A·A種，因此共有A·A－A·A＝30 960種排法． 法三(間接法)：8名學(xué)生全排列，共A種，其中，不符合條件的有甲在最左邊時(shí)，有A種排法，乙在最右邊時(shí)，有A種排法，其中都包含了甲在最左邊，同時(shí)乙在最右邊的情形，有A種排法．因此共有A－2A＋A＝30 960種排法． 　(1)對于有限制條件的排列問題，分析問題時(shí)有位置分析法、元素分析法，在實(shí)際進(jìn)行排列時(shí)一般采用特殊元素優(yōu)先原則，即先安排有限制條件的元素或有限制條件的位置，對于分類過多的問題可以采用間接法． (2)對相鄰問題采用捆綁法、不相鄰問題采用插空法、定序問題采用倍縮法是解決有限制條件的排列問題的常用方法． 　1.

18、把5件不同的產(chǎn)品擺成一排，若產(chǎn)品A與產(chǎn)品B相鄰，且產(chǎn)品A與產(chǎn)品C不相鄰，則不同的擺法有________種． 36　[(捆綁法和插空法的綜合應(yīng)用)記其余兩種產(chǎn)品為D，E.將A，B視為一個(gè)元素，先與D，E進(jìn)行排列，有AA種方法，再將C插入，每種排列均只有3個(gè)空位可選， 故不同的擺法共有AA×3＝2×6×3＝36(種)．] 2．(2019·衡水高三大聯(lián)考)現(xiàn)有一圓桌，周邊有標(biāo)號為1,2,3,4的四個(gè)座位，甲、乙、丙、丁四位同學(xué)坐在一起探討一個(gè)數(shù)學(xué)課題，每人只能坐一個(gè)座位，甲先選座位，且甲、乙不能相鄰，則所有選座方法有________種．(用數(shù)字作答) 8　[先按排甲，其選座方法有C種，由于甲、

19、乙不能相鄰，所以乙只能坐甲對面，而丙、丁兩位同學(xué)坐另兩個(gè)位置的坐法有A種，所以共有坐法種數(shù)為C·A＝4×2＝8種．] 考點(diǎn)3　組合問題 　 組合問題的常見類型與處理方法 (1)“含有”或“不含有”某些元素的組合題型：“含”，則先將這些元素取出，再由另外元素補(bǔ)足；“不含”，則先將這些元素剔除，再從剩下的元素中選?。? (2)“至少”或“至多”含有幾個(gè)元素的題型：若直接法分類復(fù)雜時(shí)，逆向思維，間接求解． 　某課外活動小組共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各有一名隊(duì)長．現(xiàn)從中選5人主持某種活動，依下列條件各有多少種選法？ (1)只有一名女生當(dāng)選； (2)兩隊(duì)長當(dāng)選； (3

20、)至少有一名隊(duì)長當(dāng)選； (4)至多有兩名女生當(dāng)選． [解]　(1)只有一名女生當(dāng)選等價(jià)于有一名女生和四名男生當(dāng)選．故共有C·C＝350種． (2)兩隊(duì)長當(dāng)選，共有C·C＝165種． (3)至少有一名隊(duì)長當(dāng)選含有兩類：只有一名隊(duì)長當(dāng)選，有兩名隊(duì)長當(dāng)選．故共有C·C＋C·C＝825種．(或采用排除法：C－C＝825(種))． (4)至多有兩名女生當(dāng)選含有三類：有兩名女生當(dāng)選，只有一名女生當(dāng)選，沒有女生當(dāng)選．故選法共有C·C＋C·C＋C＝966種． 　含有附加條件的組合問題通常用直接法或間接法，應(yīng)注意“至少”“最多”“恰好”等詞的含義的理解． 　1.某單位擬安排6位員工在今年6月9日至

21、11日值班，每天安排2人，每人值班1天．若6位員工中的甲不值9日，乙不值11日，則不同的安排方法共有(　　) A．30種 B．36種 C．42種 D．48種 C　[若甲在11日值班，則在除乙外的4人中任選1人在11日值班，有C種選法，9日、10日有CC種安排方法，共有CCC＝24(種)安排方法； 若甲在10日值班，乙在9日值班，余下的4人有CCC種安排方法，共有12種安排方法； 若甲、乙都在10日值班，則共有CC＝6(種)安排方法． 所以總共有24＋12＋6＝42(種)安排方法．] 2．現(xiàn)有16張不同的卡片，其中紅色、黃色、藍(lán)色、綠色卡片各4張，從中任取3張，要求這3張卡片不

22、能是同一種顏色，且紅色卡片至多1張，不同取法的種數(shù)為(　　) A．232 B．252 C．472 D．484 C　[分兩類：第一類，含有1張紅色卡片，不同的取法共有CC＝264(種)； 第二類，不含有紅色卡片，不同的取法共有C－3C＝220－12＝208(種)． 由分類加法計(jì)數(shù)原理知，不同的取法有264＋208＝472(種)．] 考點(diǎn)4　分組、分配問題 　分組、分配問題是排列組合的綜合問題，解題思想是先分組后分配． (1)分組問題屬于“組合”問題，常見的分組方法有三種： ①完全均勻分組，每組元素的個(gè)數(shù)都相等； ②部分均勻分組，應(yīng)注意不要重復(fù)； ③完全非均勻分組，這種

23、分組不考慮重復(fù)現(xiàn)象． (2)分配問題屬于“排列”問題，常見的分配方法有三種： ①相同元素的分配問題，常用“擋板法”； ②不同元素的分配問題，利用分步乘法計(jì)數(shù)原理，先分組，后分配； ③有限制條件的分配問題，采用分類求解． 　整體均分問題 　國家教育部為了發(fā)展貧困地區(qū)教育，在全國重點(diǎn)師范大學(xué)免費(fèi)培養(yǎng)教育專業(yè)師范生，畢業(yè)后要分到相應(yīng)的地區(qū)任教．現(xiàn)有6個(gè)免費(fèi)培養(yǎng)的教育專業(yè)師范畢業(yè)生要平均分到3所學(xué)校去任教，有________種不同的分派方法． 90　[先把6個(gè)畢業(yè)生平均分成3組，有種方法，再將3組畢業(yè)生分到3所學(xué)校，有A＝6種方法，故6個(gè)畢業(yè)生平均分到3所學(xué)校，共有·A＝90種分派方法．

24、] 　本題屬于整體均分問題，解題時(shí)要注意分組后，不管它們的順序如何，都是一種情況，所以分組后一定要除以A(n為均分的組數(shù))，避免重復(fù)計(jì)數(shù)． 　部分均分問題 　將6本不同的書分給甲、乙、丙、丁4個(gè)人，每人至少1本的不同分法共有________種．(用數(shù)字作答) 1 560　[把6本不同的書分成4組，每組至少1本的分法有2種． ①有1組3本，其余3組每組1本，不同的分法共有＝20(種)； ②有2組每組2本，其余2組每組1本，不同的分法共有·＝45(種)． 所以不同的分組方法共有20＋45＝65(種)． 然后把分好的4組書分給4個(gè)人，所以不同的分法共有65×A＝1 560(種)．]

25、 　本題屬于局部均分問題，解題時(shí)注意重復(fù)的次數(shù)是均勻分組的階乘數(shù)，即若有m組元素個(gè)數(shù)相等，則分組時(shí)應(yīng)除以m！，一個(gè)分組過程中有幾個(gè)這樣的均勻分組就要除以幾個(gè)這樣的全排列數(shù)． 　(2019·淄博模擬)第二屆“一帶一路”國際合作高峰論壇于2019年4月25日至27日在北京舉行，為了保護(hù)各國元首的安全，將5個(gè)安保小組全部安排到指定三個(gè)區(qū)域內(nèi)工作，且這三個(gè)區(qū)域每個(gè)區(qū)域至少有一個(gè)安保小組，則這樣的安排方法共有(　　) A．96種 B．100種 C．124種 D．150種 D　[因?yàn)槿齻€(gè)區(qū)域每個(gè)區(qū)域至少有一個(gè)安保小組，所以可以把5個(gè)安保小組分成三組，有兩種分組的情況：一種是1,1,3，另一種是

26、1,2,2.當(dāng)按照1,1,3來分時(shí)，共有N1＝·A＝60(種)，當(dāng)按照1,2,2來分時(shí)，共有N2＝·A＝90(種)，根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理知N＝N1＋N2＝150種．] 　不等分問題 　(1)若將6名教師分到3所中學(xué)任教，一所1名， 一所2名，一所3名，則有________種不同的分法． (2)把8個(gè)相同的小球全部放入編號為1,2,3,4的四個(gè)盒中，則不同的放法種數(shù)為(　　) A．35 B．70 C．165 D．1 860 (1)360　(2)C　[(1)將6名教師分組，分三步完成： 第1步，在6名教師中任取1名作為一組，有C種分法； 第2步，在余下的5名教師中任取2名作為

27、一組，有C種分法； 第3步，余下的3名教師作為一組，有C種分法． 根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有CCC＝60種分法． 再將這3組教師分配到3所中學(xué)，有A＝6種分法， 故共有60×6＝360種不同的分法． (2)根據(jù)題意，分4種情況討論： ①沒有空盒，將8個(gè)相同的小球排成一列，排好后，各球之間共有7個(gè)空位，在7個(gè)空位中任選3個(gè)，插入隔板，將小球分成4組，順次對應(yīng)4個(gè)盒子，有C＝35種放法； ②有1個(gè)空盒，在4個(gè)盒中任選3個(gè)，放入小球，有C＝4種選法，將8個(gè)相同的小球排成一列，排好后，各球之間共有7個(gè)空位，在7個(gè)空位中任選2個(gè)，插入隔板，將小球分成3組，順次對應(yīng)3個(gè)盒子，有C＝21種分組

28、方法，則有4×21＝84種放法； ③有2個(gè)空盒，在4個(gè)盒中任選2個(gè)，放入小球，有C＝6種選法，將8個(gè)相同的小球排成一列，排好后，各球之間共有7個(gè)空位，在7個(gè)空位中任選1個(gè)，插入隔板，將小球分成2組，順次對應(yīng)2個(gè)盒子，有C＝7種分組方法，則有6×7＝42種方法； ④有3個(gè)空盒，即將8個(gè)小球全部放進(jìn)1個(gè)盒子，有4種放法． 故一共有35＋84＋42＋4＝165種放法．] 　本題屬于不等分問題，只需先分組，后排列，注意分組時(shí)任何組中元素的個(gè)數(shù)都不相等，所以不需要除以全排列數(shù)． 　1.將甲、乙等5名交警分配到三個(gè)不同路口疏導(dǎo)交通，每個(gè)路口至少一人，且甲、乙在同一路口的分配方案共有(　　) A．18種 B．24種 C．36種 D．72種 C　[1個(gè)路口3人，其余路口各1人的分配方法有CCA種.1個(gè)路口1人，2個(gè)路口各2人的分配方法有CCA種，由分類加法計(jì)數(shù)原理知，甲、乙在同一路口的分配方案為CCA＋CCA＝36種．] 2．(2019·唐山二模)將六名教師分配到甲、乙、丙、丁四所學(xué)校任教，其中甲校至少分配兩名教師，其它三所學(xué)校至少分配一名教師，則不同的分配方案共有________種．(用數(shù)字作答) 660　[若甲校2人，乙、丙、丁其中一校2人，共有CCA種，若甲校3人，乙、丙、丁每校1人，共有CA種，則不同的分配方案共有CCA＋CA＝660種．]