高三數(shù)學(xué)北師大版理一輪教師用書：第9章 第3節(jié) 圓的方程 Word版含解析

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1、 第三節(jié)　圓的方程 [最新考綱]　1.掌握確定圓的幾何要素，掌握圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程.2.初步了解用代數(shù)方法處理幾何問題的思想． 1．圓的定義及方程 定義 平面內(nèi)與定點的距離等于定長的點的集合(軌跡) 標(biāo)準(zhǔn) 方程 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0) 圓心(a，b)，半徑r 一般 方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， (D2＋E2－4F＞0) 圓心， 半徑 2．點與圓的位置關(guān)系 點M(x0，y0)與圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置關(guān)系： (1)若M(x0，y0)在圓外，則(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2. (2)若M(x0，y

2、0)在圓上，則(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2. (3)若M(x0，y0)在圓內(nèi)，則(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2. 圓的三個性質(zhì) (1)圓心在過切點且垂直于切線的直線上； (2)圓心在任一弦的中垂線上； (3)兩圓相切時，切點與兩圓心三點共線． 一、思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)確定圓的幾何要素是圓心與半徑．(　　) (2)方程x2＋y2＝a2表示半徑為a的圓．(　　) (3)方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圓．(　　) (4)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圓的充要條件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4

3、AF>0.(　　) [答案]　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√ 二、教材改編 1．圓x2＋y2－4x＋6y＝0的圓心坐標(biāo)和半徑分別是(　　) A．(2,3)，3　　　　　 B．(－2,3)， C．(－2，－3)，13 D．(2，－3)， D　[圓的方程可化為(x－2)2＋(y＋3)2＝13，所以圓心坐標(biāo)是(2，－3)，半徑r＝.] 2．已知點A(1，－1)，B(－1,1)，則以線段AB為直徑的圓的方程是(　　) A．x2＋y2＝2 B．x2＋y2＝ C．x2＋y2＝1 D．x2＋y2＝4 A　[AB的中點坐標(biāo)為(0,0)， |AB|＝＝2，所以圓的方程為x2＋y2＝

4、2.] 3．過點A(1，－1)，B(－1,1)，且圓心在直線x＋y－2＝0上的圓的方程是(　　) A．(x－3)2＋(y＋1)2＝4 B．(x＋3)2＋(y－1)2＝4 C．(x－1)2＋(y－1)2＝4 D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4 C　[設(shè)圓心C的坐標(biāo)為(a，b)，半徑為r.因為圓心C在直線x＋y－2＝0上，所以b＝2－a.又|CA|2＝|CB|2，所以(a－1)2＋(2－a＋1)2＝(a＋1)2＋(2－a－1)2，所以a＝1，b＝1.所以r＝2.所以方程為(x－1)2＋(y－1)2＝4.] 4．在平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過三點(0,0)，(1,1)，(2,0)的圓的方程為__

5、______． x2＋y2－2x＝0　[設(shè)圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.∵圓經(jīng)過點(0,0)，(1,1)，(2,0)， ∴ 解得 ∴圓的方程為x2＋y2－2x＝0.] 考點1　圓的方程 　求圓的方程的2種方法 (1)幾何法：根據(jù)圓的幾何性質(zhì)，直接求出圓心坐標(biāo)和半徑，進而寫出方程． (2)待定系數(shù)法： ①若已知條件與圓心(a，b)和半徑r有關(guān)，則設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，求出a，b，r的值； ②選擇圓的一般方程，依據(jù)已知條件列出關(guān)于D，E，F(xiàn)的方程組，進而求出D，E，F(xiàn)的值． 　(1)[一題多解]已知圓E經(jīng)過三點A(0,1)，B(2,0)，C(0，－1)，且

6、圓心在x軸的正半軸上，則圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為(　　) A.2＋y2＝　 B．2＋y2＝ C.2＋y2＝ D．2＋y2＝ (2)[一題多解]已知圓C的圓心在直線x＋y＝0上，圓C與直線x－y＝0相切，且在直線x－y－3＝0上截得的弦長為，則圓C的方程為________． (1)C　(2) (x－1)2＋(y＋1)2＝2 　[(1)法一：(待定系數(shù)法)設(shè)圓E的一般方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)， 則由題意得解得 所以圓E的一般方程為x2＋y2－x－1＝0， 即2＋y2＝. 法二：(幾何法)因為圓E經(jīng)過點A(0,1)，B(2,0)， 所以圓E的圓心在線段A

7、B的垂直平分線y－＝2(x－1)上．又圓E的圓心在x軸的正半軸上，所以圓E的圓心坐標(biāo)為. 則圓E的半徑為|EB|＝＝， 所以圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為2＋y2＝. (2)法一：由圓C的圓心在直線x＋y＝0上，∴設(shè)圓C的圓心為(a，－a)． 又∵圓C與直線x－y＝0相切， ∴半徑r＝＝|a|. 又圓C在直線x－y－3＝0上截得的弦長為， 圓心(a，－a)到直線x－y－3＝0的距離d＝， ∴d2＋2＝r2，即＋＝2a2， 解得a＝1，∴圓C的方程為(x－1)2＋(y＋1)2＝2. 法二：設(shè)所求圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 則圓心為，半徑r＝， ∵圓心在直線x＋y＝0上，

8、 ∴－－＝0，即D＋E＝0，① 又∵圓C與直線x－y＝0相切， ∴＝， 即(D－E)2＝2(D2＋E2－4F)， ∴D2＋E2＋2DE－8F＝0.② 又知圓心到直線x－y－3＝0的距離 d＝， 由已知得d2＋2＝r2， ∴(D－E＋6)2＋12＝2(D2＋E2－4F)，③ 聯(lián)立①②③，解得 故所求圓的方程為x2＋y2－2x＋2y＝0， 即(x－1)2＋(y＋1)2＝2.] 　幾何法與待定系數(shù)法是解答圓的有關(guān)問題的兩種常用方法，求解圓的方程時，可采用數(shù)形結(jié)合的思想充分運用圓的幾何性質(zhì)，達到事半功倍的效果． 　1.若不同的四點A(5,0)，B(－1,0)，C(－3,3)

9、，D(a,3)共圓，則a的值為________． 7　[設(shè)圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，分別代入A，B，C三點坐標(biāo)，得 解得 所以A，B，C三點確定的圓的方程為 x2＋y2－4x－y－5＝0. 因為D(a,3)也在此圓上，所以a2＋9－4a－25－5＝0. 所以a＝7或a＝－3(舍去)．即a的值為7.] 2．已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圓，則圓心坐標(biāo)是________，半徑是________． (－2，－4)　5　[由已知方程表示圓，則a2＝a＋2， 解得a＝2或a＝－1. 當(dāng)a＝2時，方程不滿足表示

10、圓的條件，故舍去． 當(dāng)a＝－1時，原方程為x2＋y2＋4x＋8y－5＝0， 化為標(biāo)準(zhǔn)方程為(x＋2)2＋(y＋4)2＝25， 表示以(－2，－4)為圓心，半徑為5的圓．] 考點2　與圓有關(guān)的最值問題 　斜率型、截距型、距離型最值問題 　與圓有關(guān)的最值問題的3種幾何轉(zhuǎn)化法 (1)形如μ＝形式的最值問題可轉(zhuǎn)化為動直線斜率的最值問題． (2)形如t＝ax＋by形式的最值問題可轉(zhuǎn)化為動直線截距的最值問題． (3)形如m＝(x－a)2＋(y－b)2形式的最值問題可轉(zhuǎn)化為動點到定點的距離的平方的最值問題． 　已知實數(shù)x，y滿足方程x2＋y2－4x＋1＝0. (1)求的最大值和最小值

11、； (2)求y－x的最大值和最小值； (3)求x2＋y2的最大值和最小值． [解]　原方程可化為(x－2)2＋y2＝3，表示以(2,0)為圓心，為半徑的圓． (1)的幾何意義是圓上一點與原點連線的斜率， 所以設(shè)＝k，即y＝kx. 當(dāng)直線y＝kx與圓相切時，斜率k取最大值或最小值，此時＝，解得k＝±(如圖1)． 所以的最大值為，最小值為－. 圖1　　　　圖2　　　　　圖3 (2)y－x可看作是直線y＝x＋b在y軸上的截距，當(dāng)直線y＝x＋b與圓相切時，縱截距b取得最大值或最小值，此時＝，解得b＝－2±(如圖2)． 所以y－x的最大值為－2＋，最小值為－2－. (3)x2＋

12、y2表示圓上的一點與原點距離的平方，由平面幾何知識知，x2＋y2在原點和圓心連線與圓的兩個交點處取得最大值和最小值(如圖3)． 又圓心到原點的距離為＝2， 所以x2＋y2的最大值是(2＋)2＝7＋4，x2＋y2的最小值是(2－)2＝7－4. 　 與圓有關(guān)的 斜率型、截距型、距離型最值問題一般根據(jù)相應(yīng)幾何意義，利用圓的幾何性質(zhì)數(shù)形結(jié)合求解． 　已知點A(－1,0)，B(0,2)，點P是圓C：(x－1)2＋y2＝1上任意一點，則△PAB面積的最大值與最小值分別是(　　) A．2,2－ B．2＋，2－ C.，4－ D．＋1，－1 B　[由題意知|AB|＝＝， lAB：2x－y＋2＝0

13、，由題意知圓C的圓心坐標(biāo)為(1,0)， ∴圓心到直線lAB的距離d＝＝. ∴S△PAB的最大值為××＝2＋， S△PAB的最小值為××＝2－.] 　利用對稱性求最值 　求解形如|PM|＋|PN|(其中M，N均為動點)且與圓C有關(guān)的折線段的最值問題的基本思路： (1)“動化定”，把與圓上動點的距離轉(zhuǎn)化為與圓心的距離． (2)“曲化直”，即將折線段之和轉(zhuǎn)化為同一直線上的兩線段之和，一般要通過對稱性解決． 　已知圓C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圓C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分別是圓C1，C2上的動點，P為x軸上的動點，則|PM|＋|PN|的最小值為(　　)

14、A．5－4 B．－1 C．6－2 D． A　[(圖略)P是x軸上任意一點，則|PM|的最小值為|PC1|－1，同理|PN|的最小值為|PC2|－3，則|PM|＋|PN|的最小值為|PC1|＋|PC2|－4.作C1關(guān)于x軸的對稱點C′1(2，－3)．所以|PC1|＋|PC2|＝|PC1′|＋|PC2|≥|C1′C2|＝5，即|PM|＋|PN|＝|PC1|＋|PC2|－4≥5－4.] 　本題在求解中要立足了兩點：(1)減少動點的個數(shù)，借助圓的幾何性質(zhì)化圓上任意一點到點(a，b)的距離的最大(小)值為圓心到點(a，b)的距離加(減)半徑問題；(2)“曲化直”，即借助對稱性把折線段轉(zhuǎn)化為同一直線

15、上的兩線段之和的最值問題解決． [教師備選例題] (1)設(shè)點P是函數(shù)y＝－圖像上的任意一點，點Q坐標(biāo)為(2a，a－3)(a∈R)，則|PQ|的最小值為________． (2)已知A(0,2)，點P在直線x＋y＋2＝0上，點Q在圓C：x2＋y2－4x－2y＝0上，則|PA|＋|PQ|的最小值是________． (1)－2　(2)2　[(1)函數(shù)y＝－的圖像表示圓(x－1)2＋y2＝4在x軸及下方的部分，令點Q的坐標(biāo)為(x，y)， 則 得y＝－3， 即x－2y－6＝0，作出圖像如圖所示， 由于圓心(1,0)到直線x－2y－6＝0的距離d＝＝>2，所以直線x－2y－6＝0與圓(

16、x－1)2＋y2＝4相離，因此|PQ|的最小值是－2. (2)因為圓C：x2＋y2－4x－2y＝0，故圓C是以C(2,1)為圓心，半徑r＝的圓．設(shè)點A(0,2)關(guān)于直線x＋y＋2＝0的對稱點為A′(m，n)，故 解得 故A′(－4，－2)． 連接A′C交圓C于Q(圖略)， 由對稱性可知 |PA|＋|PQ|＝|A′P|＋|PQ|≥|A′Q|＝|A′C|－r＝2.] 　(2019·上饒模擬)一束光線從點A(－3,2)出發(fā)，經(jīng)x軸反射到圓C：(x－2)2＋(y－3)2＝1上的最短路徑的長度是(　　) A．4 B．5 C．5－1 D．2－1 C　[根據(jù)題意，設(shè)A′與A關(guān)于x軸對稱，

17、且A(－3,2)，則A′的坐標(biāo)為(－3，－2)，又由|A′C|＝＝5，則A′到圓C上的點的最短距離為5－1.故這束光線從點A(－3,2)出發(fā)，經(jīng)x軸反射到圓C：(x－2)2＋(y－3)2＝1上的最短路徑的長度是5－1，故選C.] 考點3　與圓有關(guān)的軌跡問題 　求與圓有關(guān)的軌跡問題的4種方法 (1)直接法：直接根據(jù)題設(shè)給定的條件列出方程求解． (2)定義法：根據(jù)圓的定義列方程求解． (3)幾何法：利用圓的幾何性質(zhì)得出方程求解． (4)代入法(相關(guān)點法)：找出要求的點與已知點的關(guān)系，代入已知點滿足的關(guān)系式求解． 　[一題多解](2019·衡水調(diào)研)已知直角三角形ABC的斜邊為AB

18、，且A(－1,0)，B(3,0)．求： (1)直角頂點C的軌跡方程； (2)直角邊BC的中點M的軌跡方程． [解]　(1)法一：設(shè)C(x，y)，因為A，B，C三點不共線，所以y≠0. 因為AC⊥BC，所以kAC·kBC＝－1， 又kAC＝，kBC＝， 所以·＝－1，化簡得x2＋y2－2x－3＝0. 因此，直角頂點C的軌跡方程為x2＋y2－2x－3＝0(y≠0)． 法二：設(shè)AB的中點為D，由中點坐標(biāo)公式得D(1,0)，由直角三角形的性質(zhì)知|CD|＝|AB|＝2.由圓的定義知，動點C的軌跡是以D(1,0)為圓心，2為半徑的圓(由于A，B，C三點不共線，所以應(yīng)除去與x軸的交點)．

19、所以直角頂點C的軌跡方程為(x－1)2＋y2＝4(y≠0)． (2)設(shè)M(x，y)，C(x0，y0)，因為B(3,0)，M是線段BC的中點，由中點坐標(biāo)公式得x＝，y＝，所以x0＝2x－3，y0＝2y.由(1)知，點C的軌跡方程為(x－1)2＋y2＝4(y≠0)，將x0＝2x－3，y0＝2y代入得(2x－4)2＋(2y)2＝4，即(x－2)2＋y2＝1.因此動點M的軌跡方程為(x－2)2＋y2＝1(y≠0)． 　此類問題在解題過程中，常因忽視對特殊點的驗證而造成解題失誤． [教師備選例題] 已知過原點的動直線l與圓C1：x2＋y2－6x＋5＝0相交于不同的兩點A，B. (1)求圓C1

20、的圓心坐標(biāo)； (2)求線段AB的中點M的軌跡C的方程． [解]　(1)由x2＋y2－6x＋5＝0得(x－3)2＋y2＝4，所以圓C1的圓心坐標(biāo)為(3,0)． (2)設(shè)M(x，y)，因為點M為線段AB的中點， 所以C1M⊥AB，所以kC1M ·kAB＝－1，當(dāng)x≠3時可得·＝－1，整理得2＋y2＝， 又當(dāng)直線l與x軸重合時，M點坐標(biāo)為(3,0)，代入上式成立． 設(shè)直線l的方程為y＝kx，與x2＋y2－6x＋5＝0聯(lián)立， 消去y得：(1＋k2)x2－6x＋5＝0. 令其判別式Δ＝(－6)2－4(1＋k2)×5＝0，得k2＝，此時方程為x2－6x＋5＝0，解上式得x＝，因此

21、所以線段AB的中點M的軌跡方程為2＋y2＝. 　設(shè)定點M(－3,4)，動點N在圓x2＋y2＝4上運動，以O(shè)M，ON為兩邊作平行四邊形MONP，求點P的軌跡． [解]　如圖，設(shè)P(x，y)，N(x0，y0)， 則線段OP的中點坐標(biāo)為， 線段MN的中點坐標(biāo)為. 因為平行四邊形的對角線互相平分， 所以＝，＝， 整理得 又點N(x0，y0)在圓x2＋y2＝4上， 所以(x＋3)2＋(y－4)2＝4. 所以點P的軌跡是以(－3,4)為圓心，2為半徑的圓， 直線OM與軌跡相交于兩點和，不符合題意，舍去， 所以點P的軌跡為圓(x＋3)2＋(y－4)2＝4，除去兩點和.