高三數(shù)學北師大版理一輪教師用書：第11章 第2節(jié) 二項式定理 Word版含解析

第二節(jié)　二項式定理 [最新考綱]　會用二項式定理解決與二項展開式有關(guān)的簡單問題． 1．二項式定理 (1)二項式定理：(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn(n∈N＋)； (2)通項公式：Tr＋1＝Can－rbr，它表示第r＋1項； (3)二項式系數(shù)：二項展開式中各項的系數(shù)C，C，…，C. 2．二項式系數(shù)的性質(zhì) (1)0≤r≤n時，C與C的關(guān)系是C＝C. (2)二項式系數(shù)先增后減中間項最大 當n為偶數(shù)時，第＋1項的二項式系數(shù)最大，最大值為Cn；當n為奇數(shù)時，第項和項的二項式系數(shù)最大，最大值為和. 3．二項式系數(shù)和 (1)(a＋b)n展開式的各二項式系數(shù)和：C＋C＋C＋…＋C＝2n. (2)偶數(shù)項的二項式系數(shù)的和等于奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和，即C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1. 一、思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)Can－rbr是(a＋b)n的展開式中的第r項．(　　) (2)二項展開式中，系數(shù)最大的項為中間一項或中間兩項．(　　) (3)(a＋b)n的展開式中某一項的二項式系數(shù)與a，b無關(guān)．(　　) (4)通項Tr＋1＝Can－rbr中的a和b不能互換．(　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 二、教材改編 1．(1－2x)4展開式中第3項的二項式系數(shù)為(　　) A．6　 B．－6　　　 C．24　 D．－24 A　[(1－2x)4展開式中第3項的二項式系數(shù)為C＝6.故選A.] 2．二項式5的展開式中x3y2的系數(shù)是(　　) A．5 B．－20 C．20 D．－5 A　[二項式5的通項為Tr＋1＝C5－r(－2y)r.根據(jù)題意，得解得r＝2.所以x3y2的系數(shù)是C3×(－2)2＝5.故選A.] 3.的值為(　　) A．1 B．2 C．2 019 D．2 019×2 020 A　[原式＝＝＝1.故選A.] 4．若(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，則a0＋a2＋a4的值為________． 8　[令x＝1，則a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝0，令x＝－1，則a0－a1＋a2－a3＋a4＝16，兩式相加得a0＋a2＋a4＝8.] 考點1　二項式展開式的通項公式的應(yīng)用 　形如(a＋b)n的展開式問題 　求二項展開式中的項的3種方法 求二項展開式的特定項問題，實質(zhì)是考查通項一般需要建立方程求r，再將r的值代回通項求解，注意r的取值范圍(r＝0,1,2，…，n)． (1)第m項：此時r＋1＝m，直接代入通項； (2)常數(shù)項：即這項中不含“變元”，令通項中“變元”的冪指數(shù)為0建立方程； (3)有理項：令通項中“變元”的冪指數(shù)為整數(shù)建立方程． 　(1)(2018·全國卷Ⅲ)5的展開式中x4的系數(shù)為(　　) A．10　 B．20　　　 C．40　 D．80 (2)若5的展開式中x5的系數(shù)是－80，則實數(shù)a＝______. (3)(2019·浙江高考)在二項式(＋x)9的展開式中，常數(shù)項是________；系數(shù)為有理數(shù)的項的個數(shù)是________． (1)C　(2)－2　(3)16　5　[(1)Tr＋1＝C(x2)5－rr＝C2rx10－3r，由10－3r＝4，得r＝2，所以x4的系數(shù)為C×22＝40. (2)5的展開式的通項Tr＋1＝C(ax2)5－r·x－＝Ca5－r ·x10－r，令10－r＝5，得r＝2，所以Ca3＝－80，解得a＝－2. (3)由題意，(＋x)9的通項為Tr＋1＝C()9－rxr(r＝0,1,2…9)，當r＝0時，可得常數(shù)項為T1＝C()9＝16；若展開式的系數(shù)為有理數(shù)，則r＝1,3,5,7,9，有T2, T4, T6, T8, T10共5個項．] 　已知展開式的某項或其系數(shù)求參數(shù)，可由某項得出參數(shù)項，再由通項公式寫出第k＋1項，由特定項得出k值，最后求出其參數(shù)． [教師備選例題] 1－90C＋902C－903C＋…＋(－1)k90kC＋…＋9010C除以88的余數(shù)是(　　) A．－1　　 B．1　　　　 C．－87　　 D．87 B　[1－90C＋902C－903C＋…＋(－1)k90kC＋…＋9010C＝(1－90)10＝8910＝(88＋1)10＝8810＋C889＋…＋C88＋1，∵前10項均能被88整除，∴余數(shù)是1.] 　1.在(x2－4)5的展開式中，含x6的項為________． 160x6　[因為(x2－4)5的展開式的第k＋1項為Tk＋1＝C(x2)5－k(－4)k＝(－4)kCx10－2k， 令10－2k＝6，得k＝2，所以含x6的項為T3＝(－4)2·Cx6＝160x6.] 2．若6的展開式中常數(shù)項為，則實數(shù)a的值為(　　) A．±2 B． C．－2 D．± A　[6的展開式的通項為Tk＋1＝C(x2)6－k·k＝Ckx12－3k， 令12－3k＝0，得k＝4. 故C·4＝， 即4＝， 解得a＝±2，故選A.] 　形如(a＋b)n(c＋d)m的展開式問題 　求解形如(a＋b)n(c＋d)m的展開式問題的思路 (1)若n，m中一個比較小，可考慮把它展開得到多個，如(a＋b)2(c＋d)m＝(a2＋2ab＋b2)(c＋d)m，然后展開分別求解． (2)觀察(a＋b)(c＋d)是否可以合并，如(1＋x)5(1－x)7＝[(1＋x)(1－x)]5(1－x)2＝(1－x2)5(1－x)2. (3)分別得到(a＋b)n，(c＋d)m的通項公式，綜合考慮． 　(1)(2017·全國卷Ⅰ)(1＋x)6展開式中x2的系數(shù)為(　　) A．15 B．20 C．30 D．35 (2)(1－)6(1＋)4的展開式中x的系數(shù)是(　　) A．－4 B．－3 C．3 D．4 (1)C　(2)B　[(1)因為(1＋x)6的通項為Cxr，所以(1＋x)6展開式中含x2的項為1·Cx2和·Cx4. 因為C＋C＝2C＝2×＝30， 所以(1＋x)6展開式中x2的系數(shù)為30.故選C. (2)(1－)6(1＋)4＝[(1－)(1＋)]4(1－)2＝(1－x)4(1－2＋x)．于是(1－)6(1＋)4的展開式中x的系數(shù)為C·1＋C·(－1)1·1＝－3.] 　求幾個多項式積的展開式中的特定項(系數(shù))問題，可先分別化簡或展開為多項式和的形式，再分類考慮特定項產(chǎn)生的每一種情形，求出相應(yīng)的特定項，最后進行合并即可． 　1.(x2＋2)5的展開式的常數(shù)項是(　　) A．－3 B．－2 C．2 D．3 D　[能夠使其展開式中出現(xiàn)常數(shù)項，由多項式乘法的定義可知需滿足：第一個因式取x2項，第二個因式取項得x2××C(－1)4＝5；第一個因式取2，第二個因式取(－1)5得2×(－1)5×C＝－2，故展開式的常數(shù)項是5＋(－2)＝3，故選D.] 2．若(x2－a)10的展開式中x6的系數(shù)為30，則a等于(　　) A. B． C．1 D．2 D　[由題意得10的展開式的通項公式是Tk＋1＝C·x10－k·k＝Cx10－2k，10的展開式中含x4(當k＝3時)，x6(當k＝2時)項的系數(shù)分別為C，C，因此由題意得C－aC＝120－45a＝30，由此解得a＝2，故選D.] 　形如(a＋b＋c)n的展開式問題 　求三項展開式中某些特定項的系數(shù)的方法 (1)通過變形先把三項式轉(zhuǎn)化為二項式，再用二項式定理求解． (2)兩次利用二項式定理的通項公式求解． (3)由二項式定理的推證方法知，可用排列、組合的基本原理去求，即把三項式看作幾個因式之積，要得到特定項看有多少種方法從這幾個因式中取因式中的量． 　(1)將3展開后，常數(shù)項是________． (2)6的展開式中，x3y3的系數(shù)是________．(用數(shù)字作答) (3)設(shè)(x2－3x＋2)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，則a1等于________． (1)－160　(2)－120　(3)－240　[(1)3＝6展開式的通項是C()6－k·k＝(－2)k·Cx3－k. 令3－k＝0，得k＝3. 所以常數(shù)項是C(－2)3＝－160. (2)6表示6個因式x2－＋y的乘積，在這6個因式中，有3個因式選y，其余的3個因式中有2個選x2，剩下一個選－，即可得到x3y3的系數(shù)．即x3y3的系數(shù)是CC×(－2)＝20×3×(－2)＝－120. (3)(x2－3x＋2)5＝(x－1)5(x－2)5，其展開式中x的系數(shù)a1＝C(－1)4×(－2)5＋(－1)5C(－2)4＝－240.] 　二項式定理研究兩項和的展開式，對于三項式問題，一般是通過合并、拆分或進行因式分解，轉(zhuǎn)化成二項式定理的形式去求解． 　1.(2015·全國卷Ⅰ)(x2＋x＋y)5的展開式中，x5y2項的系數(shù)為(　　) A．10 B．20　　　 C．30　 D．60 C　[法一：利用二項展開式的通項公式求解． (x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5， 含y2的項為T3＝C(x2＋x)3·y2. 其中(x2＋x)3中含x5的項為Cx4·x＝Cx5. 所以x5y2項的系數(shù)為CC＝30.故選C. 法二：利用組合知識求解． (x2＋x＋y)5為5個x2＋x＋y之積，其中有兩個取y，兩個取x2，一個取x即可，所以x5y2的系數(shù)為CCC＝30.故選C.] 2.6的展開式中含xy的項的系數(shù)為(　　) A．30 B．60 C．90 D．120 B　[展開式中含xy的項來自C(－y)15，5展開式通項為Tr＋1＝(－1)rCx5－r，令5－r＝1?r＝3， 5展開式中x的系數(shù)為(－1)3C， 所以6的展開式中含xy的項的系數(shù)為C(－1)C(－1)3＝60，故選B.] 考點2　二項式系數(shù)的和與各項的系數(shù)和問題 　賦值法在求各項系數(shù)和中的應(yīng)用 (1)對形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子求其展開式的各項系數(shù)之和，常用賦值法． (2)若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，則f(x)展開式中各項系數(shù)之和為f(1)，奇數(shù)項系數(shù)之和為a0＋a2＋a4＋…＝，偶數(shù)項系數(shù)之和為a1＋a3＋a5＋…＝. 　(1)在n的展開式中，各項系數(shù)和與二項式系數(shù)和之比為32∶1，則x2的系數(shù)為(　　) A．50 B．70 C．90 D．120 (2)(2019·汕頭質(zhì)檢)若(x＋2＋m)9＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a9(x＋1)9，且(a0＋a2＋…＋a8)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝39，則實數(shù)m的值為________． (1)C　(2)－3或1　[(1)令x＝1，則n＝4n，所以n的展開式中，各項系數(shù)和為4n，又二項式系數(shù)和為2n，所以＝2n＝32，解得n＝5.二項展開式的通項Tr＋1＝Cx5－rr＝C3rx5－r，令5－r＝2，得r＝2， 所以x2的系數(shù)為C32＝90，故選C. (2)令x＝0，則(2＋m)9＝a0＋a1＋a2＋…＋a9， 令x＝－2，則m9＝a0－a1＋a2－a3＋…－a9， 又(a0＋a2＋…＋a8)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝(a0＋a1＋a2＋…＋a9)(a0－a1＋a2－a3＋…＋a8－a9)＝39， ∴(2＋m)9·m9＝39， ∴m(2＋m)＝3， ∴m＝－3或m＝1.] 　 (1)利用賦值法求解時，注意各項的系數(shù)是指某一項的字母前面的數(shù)值(包括符號)． (2)在求各項的系數(shù)的絕對值的和時，首先要判斷各項系數(shù)的符號，然后將絕對值去掉，再進行賦值． 　1.在二項式(1－2x)n的展開式中，偶數(shù)項的二項式系數(shù)之和為128，則展開式的中間項的系數(shù)為(　　) A．－960 B．960 C．1 120 D．1 680 C　[因為偶數(shù)項的二項式系數(shù)之和為2n－1＝128，所以n－1＝7，n＝8，則展開式共有9項，中間項為第5項，因為(1－2x)8的展開式的通項Tr＋1＝C(－2x)r＝C(－2)rxr，所以T5＝C(－2)4x4，其系數(shù)為C(－2)4＝1 120.] 2．在(1－x)(1＋x)4的展開式中，含x2項的系數(shù)是b.若(2－bx)7＝a0＋a1x＋…＋a7x7，則a1＋a2＋…＋a7＝________. －128　[在(1－x)(1＋x)4的展開式中，含x2項的系數(shù)是b，則b＝C－C＝2. 在(2－2x)7＝a0＋a1x＋…＋a7x7中， 令x＝0得a0＝27，令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a7＝0. ∴a1＋a2＋…＋a7＝0－27＝－128.] 3．(a＋x)(1＋x)4的展開式中x的奇數(shù)次冪項的系數(shù)之和為32，則a＝________. 3　[設(shè)(a＋x)(1＋x)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5， 令x＝1，得16(a＋1)＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5，① 令x＝－1，得0＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5.② ①－②，得16(a＋1)＝2(a1＋a3＋a5)， 即展開式中x的奇數(shù)次冪項的系數(shù)之和為a1＋a3＋a5＝8(a＋1)，所以8(a＋1)＝32，解得a＝3.] 考點3　二項式系數(shù)的性質(zhì) 　二項式系數(shù)的最值問題 　求二項式系數(shù)的最大值，則依據(jù)(a＋b)n中n的奇偶及二次項系數(shù)的性質(zhì)求解． 　1.二項式n的展開式中只有第11項的二項式系數(shù)最大，則展開式中x的指數(shù)為整數(shù)的項的個數(shù)為(　　) A．3 B．5 C．6 D．7 D　[根據(jù)n的展開式中只有第11項的二項式系數(shù)最大，得n＝20，∴n的展開式的通項為Tr＋1＝C·(x)20－r·r＝()20－r·C·x20－，要使x的指數(shù)是整數(shù)，需r是3的倍數(shù)，∴r＝0,3,6,9,12,15,18，∴x的指數(shù)是整數(shù)的項共有7項．] 2．(2019·南昌模擬)設(shè)m為正整數(shù)，(x＋y)2m展開式的二項式系數(shù)的最大值為a，(x＋y)2m＋1展開式的二項式系數(shù)的最大值為b，若15a＝8b，則m＝________. 7　[(x＋y)2m展開式中二項式系數(shù)的最大值為a＝C， (x＋y)2m＋1展開式中二項式系數(shù)的最大值為b＝C，因為15a＝8b，所以15C＝8C，即15＝8，解得m＝7.] 3．已知(1＋3x)n的展開式中，后三項的二項式系數(shù)的和等于121，則展開式中二項式系數(shù)最大的項為________． C(3x)7和C(3x)8　[由已知得C＋C＋C＝121，則n·(n－1)＋n＋1＝121，即n2＋n－240＝0，解得n＝15(舍去負值)，所以展開式中二項式系數(shù)最大的項為T8＝C(3x)7和T9＝C(3x)8.] 　二項式系數(shù)與項的系數(shù)是完全不同的兩個概念．二項式系數(shù)是指C，C，…，C，它只與各項的項數(shù)有關(guān)，而與a，b的值無關(guān)；而項的系數(shù)是指該項中除變量外的常數(shù)部分，它不僅與各項的項數(shù)有關(guān)，而且也與a，b的值有關(guān)． 　項的系數(shù)的最值問題 　二項展開式系數(shù)最大項的求法 如求(a＋bx)n(a，b∈R)的展開式系數(shù)最大的項，一般是采用待定系數(shù)法，設(shè)展開式各項系數(shù)分別為A1，A2，…，An＋1，且第k項系數(shù)最大，應(yīng)用 從而解出k來，即得． 　已知(＋x2)2n的展開式的二項式系數(shù)和比(3x－1)n的 展開式的二項式系數(shù)和大992，則在2n的展開式中，二項式系數(shù)最大的項為________，系數(shù)的絕對值最大的項為________． －8 064?。?5 360x4　[由題意知，22n－2n＝992，即(2n－32)(2n＋31)＝0，故2n＝32，解得n＝5.由二項式系數(shù)的性質(zhì)知，10的展開式中第6項的二項式系數(shù)最大，故二項式系數(shù)最大的項為T6＝C(2x)55＝－8 064. 設(shè)第k＋1項的系數(shù)的絕對值最大， 則Tk＋1＝C·(2x)10－k·k＝(－1)kC·210－k·x10－2k， 令 得 即 解得≤k≤. ∵k∈Z，∴k＝3. 故系數(shù)的絕對值最大的項是第4項， T4＝－C·27·x4＝－15 360x4.] 　展開式中項的系數(shù)一般不同于二項式系數(shù)，求解時務(wù)必分清． [教師備選例題] 已知(x＋3x2)n的展開式中第3項與第4項的二項式系數(shù)相等． (1)求展開式中二項式系數(shù)最大的項； (2)求展開式中系數(shù)最大的項． [解]　(1)易知n＝5，故展開式共有6項，其中二項式系數(shù)最大的項為第三、第四兩項． 所以T3＝C(x)3·(3x2)2＝90x6， T4＝C(x)2·(3x2)3＝270x. (2)設(shè)展開式中第r＋1項的系數(shù)最大． Tr＋1＝C(x)5－r·(3x2)r＝C·3r·x， 故有即解得≤r≤. 因為r∈N， 所以r＝4，即展開式中第5項的系數(shù)最大． T5＝C·x·(3x2)4＝405x. 　若n的展開式中第6項系數(shù)最大，則不含x的項為(　　) A．210 B．10 C．462 D．252 A　[∵第6項系數(shù)最大，且項的系數(shù)為二項式系數(shù)，∴n的值可能是9,10,11. 設(shè)常數(shù)項為Tr＋1＝Cx3(n－r)x－2r＝Cx3n－5r， 則3n－5r＝0，其中n＝9,10,11，r∈N， ∴n＝10，r＝6， 故不含x的項為T7＝C＝210.]