高三數學北師大版理一輪教師用書：第8章 第3節(jié) 平行關系 Word版含解析

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1、 第三節(jié)　平行關系 [最新考綱]　1.以立體幾何的定義、公理和定理為出發(fā)點，認識和理解空間中線面平行的有關性質與判定定理.2.能運用公理、定理和已獲得的結論證明一些有關空間圖形的平行關系的簡單命題． 1．直線與平面平行的判定定理和性質定理 文字語言 圖形語言 符號語言 判定定理 平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行(簡記為“線線平行?線面平行”) ?l∥α 性質定理 一條直線與一個平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行(簡記為“線面平行?線線平行”) ?a∥b 2.平面與平面平行的判定定理和性質定理

2、 文字語言 圖形語言 符號語言 判定定理 一個平面內的兩條相交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行(簡記為“線面平行?面面平行”) ?α∥β 性質定理 如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行 ?a∥b 平行關系中的三個重要結論 (1)垂直于同一條直線的兩個平面平行，即若a⊥α，a⊥β，則α∥β. (2)垂直于同一個平面的兩條直線平行，即若a⊥α，b⊥α，則a∥b. (3)平行于同一個平面的兩個平面平行，即若α∥β，β∥γ，則α∥γ. 一、思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)若一條直線平行于一個平面，則這條直線平行

3、于這個平面內的任一條直線．(　　) (2)如果一個平面內的兩條直線平行于另一個平面，那么這兩個平面平行．(　　) (3)如果兩個平面平行，那么分別在這兩個平面內的兩條直線平行或異面．(　　) (4)若直線a與平面α內無數條直線平行，則a∥α.(　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 二、教材改編 1．已知直線a與直線b平行，直線a與平面α平行，則直線b與平面α的關系為(　　) A．平行　 B．相交 C．直線b在平面α內 D．平行或直線b在平面α內 D　[依題意，直線a必與平面α內的某直線平行，又a∥b，因此直線b與平面α的位置關系是平行或直線b在平面α內

4、．] 2．下列命題中正確的是(　　) A．若a，b是兩條直線，且a∥b，那么a平行于經過b的任何平面 B．若直線a和平面α滿足a∥α，那么a與α內的任何直線平行 C．平行于同一條直線的兩個平面平行 D．若直線a，b和平面α滿足a∥b，a∥α，bα，則b∥α D　[A錯誤，a可能在經過b的平面內；B錯誤，a與α內的直線平行或異面；C錯誤，兩個平面可能相交．] 3．平面α∥平面β的一個充分條件是(　　) A．存在一條直線a，a∥α，a∥β B．存在一條直線a，aα，a∥β C．存在兩條平行直線a，b，aα，bβ，a∥β，b∥α D．存在兩條異面直線a，b，aα，bβ

5、，a∥β，b∥α D　[若α∩β＝l，a∥l，aα，aβ，則a∥α，a∥β，故排除A；若α∩β＝l，aα，a∥l，則a∥β，故排除B；若α∩β＝l，aα，a∥l，bβ，b∥l，則a∥β，b∥α，故排除C；故選D.] 4．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是DD1的中點，則BD1與平面ACE的位置關系為________． 平行　[如圖所示，連接BD交AC于F，連接EF，則EF是△BDD1的中位線， ∴EF∥BD1， 又EF平面ACE， BD1平面ACE， ∴BD1∥平面ACE.] 考點1　與線、面平行相關命題的判定 　判斷與平行關系相關命題的真假，必須熟悉線

6、、面平行關系的各個定義、定理，無論是單項選擇還是含有選擇項的填空題，都可以從中先選出最熟悉最容易判斷的選項先確定或排除，再逐步判斷其余選項． 　1.(2019·全國卷Ⅱ)設α，β為兩個平面，則α∥β的充要條件是(　　) A．α內有無數條直線與β平行 B．α內有兩條相交直線與β平行 C．α，β平行于同一條直線 D．α，β垂直于同一平面 B　[由面面平行的判定定理知：α內兩條相交直線都與β平行是α∥β的充分條件，由面面平行性質定理知，若α∥β，則α內任意一條直線都與β平行，所以α內兩條相交直線都與β平行是α∥β的必要條件，故選B.] 2．(2017·全國卷Ⅰ)如圖，在下列四個正方體中

7、，A，B為正方體的兩個頂點，M，N，Q為所在棱的中點，則在這四個正方體中，直線AB與平面MNQ不平行的是(　　) A　[A項，作如圖①所示的輔助線，其中D為BC的中點，則QD∥AB. ∵QD∩平面MNQ＝Q，∴QD與平面MNQ相交， ∴直線AB與平面MNQ相交． B項，作如圖②所示的輔助線，則AB∥CD，CD∥MQ， ∴AB∥MQ. 又AB平面MNQ，MQ平面MNQ，∴AB∥平面MNQ. C項，作如圖③所示的輔助線，則AB∥CD，CD∥MQ， ∴AB∥MQ. 又AB平面MNQ，MQ平面MNQ，∴AB∥平面MNQ. D項，作如圖④所示的輔助線，則AB∥CD，CD∥

8、NQ， ∴AB∥NQ. 又AB平面MNQ，NQ平面MNQ，∴AB∥平面MNQ.故選A.] 　解答此類問題時，特別注意定理所要求的條件是否完備，圖形是否有特殊情況，可通過舉反例、否定結論或用反證法推斷命題是否正確． 考點2　直線與平面平行的判定與性質 　直線與平面平行的判定 　證明線面平行的常用方法 (1)利用線面平行的定義(無公共點)． (2)利用線面平行的判定定理(aα，bα，a∥b?a∥α)． (3)利用面面平行的性質定理(α∥β，aα?a∥β)． (4)利用面面平行的性質(α∥β，aβ，a∥α?a∥β)． 　[一題多解]如圖，在幾何體ABCDE中，四邊形AB

9、CD是矩形，AB⊥平面BEC，BE⊥EC，AB＝BE＝EC＝2，G，F分別是線段BE，DC的中點． 求證：GF∥平面ADE. [證明]　法一：(線線平行，則線面平行)如圖，取AE的中點H，連接HG，HD， 又G是BE的中點， 所以GH∥AB，且GH＝AB. 又F是CD的中點， 所以DF＝CD. 由四邊形ABCD是矩形得 AB∥CD，AB＝CD， 所以GH∥DF，且GH＝DF， 從而四邊形HGFD是平行四邊形， 所以GF∥DH. 又DH平面ADE，GF平面ADE， 所以GF∥平面ADE. 法二：(面面平行，則線面平行) 如圖，取AB的中點M，連接MG，MF.

10、 又G是BE的中點，可知GM∥AE. 又AE平面ADE，GM平面ADE， 所以GM∥平面ADE. 在矩形ABCD中， 由M，F分別是AB，CD的中點得MF∥AD. 又AD平面ADE，MF平面ADE. 所以MF∥平面ADE. 又因為GM∩MF＝M，GM平面GMF，MF平面GMF， 所以平面GMF∥平面ADE. 因為GF平面GMF， 所以GF∥平面ADE. 　 證明直線與平面平行的關鍵是設法在平面內找到一條與已知直線平行的直線，解題的思路是利用幾何體的特征，合理利用中位線定理、線面平行的性質，或者構造平行四邊形、尋找比例式證明兩直線平行，注意內外平行三條件，缺

11、一不可． 　如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，PA＝3，F是棱PA上的一個動點，E為PD的中點，O為AC的中點． (1)證明：OE∥平面PAB； (2)若AF＝1，求證：CE∥平面BDF； (3)若AF＝2，M為△ABC的重心，證明FM∥平面PBC. [證明]　(1)由已知四邊形ABCD為菱形， 又O為AC的中點，所以O為BD的中點， 又E為PD的中點， 所以OE∥PB. 又OE平面PAB，PB平面PAB， 所以OE∥平面PAB. (2)過E作EG∥FD交AP于G，連接CG，FO. 因為EG∥FD，EG平面BDF，FD

12、平面BDF， 所以EG∥平面BDF， 因為底面ABCD是菱形，O是AC的中點， 又因為E為PD的中點，所以G為PF的中點， 因為AF＝1，PA＝3，所以F為AG的中點， 所以OF∥CG. 因為CG平面BDF，OF平面BDF， 所以CG∥平面BDF. 又EG∩CG＝G，EG，CG平面CGE， 所以平面CGE∥平面BDF， 又CE平面CGE，所以CE∥平面BDF. (3)連接AM，并延長，交BC于點Q，連接PQ， 因為M為△ABC的重心，所以Q為BC中點，且＝.又AF＝2，所以＝.所以＝，所以MF∥PQ，又MF平面PBC，PQ平面PBC， 所以FM∥平面PBC.

13、 　直線與平面平行的性質 　應用線面平行的性質定理的關鍵是如何確定交線的位置，有時需要經過已知直線作輔助平面來確定交線． 　如圖所示，四邊形ABCD是平行四邊形，點P是平面ABCD外一點，M是PC的中點，在DM上取一點G，過G和AP作平面交平面BDM于GH. 求證：AP∥GH. [證明]　如圖所示，連接AC交BD于點O，連接MO， ∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴O是AC的中點， 又M是PC的中點，∴AP∥MO. 又MO平面BMD，AP平面BMD， ∴AP∥平面BMD. ∵平面PAHG∩平面BMD＝GH， 且AP平面PAHG，∴AP∥GH. 　要證線線平行，可

14、把它們轉化為線面平行．即在應用性質定理時，一般遵循從“高維”到“低維”的轉化，即從“線面平行”到“線線平行”； 而解決線面平行的判定時其順序恰好相反． [教師備選例題] 如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，點M在棱PB上，PD∥平面MAC，求證：M為PB的中點． [證明]　連接BD，設AC與BD的交點為E，連接ME. 因為PD∥平面MAC，平面MAC∩平面PDB＝ME， 所以PD∥ME. 因為四邊形ABCD是正方形，所以E為BD的中點， 所以M為PB的中點． 　如圖，四棱錐P-ABCD中，AD∥BC，AB＝BC＝AD, E，F，H分別是線段AD，PC，C

15、D的中點，AC與BE交于O點，G是線段OF上一點．求證： (1)AP∥平面BEF； (2)GH∥平面PAD. [證明]　(1)連接EC， ∵AD∥BC，BC＝AD，E是AD的中點， ∴BC綊 AE， ∴四邊形ABCE是平行四邊形， ∴O為AC的中點． 又∵F是PC的中點，∴FO∥AP. ∵FO平面BEF，AP平面BEF， ∴AP∥平面BEF. (2)連接FH，OH， ∵F，H分別是PC，CD的中點， ∴FH∥PD. ∵PD平面PAD，FH平面PAD， ∴FH∥平面PAD. 又∵O是AC的中點，H是CD的中點，∴OH∥AD. 又∵AD平面PAD，OH平

16、面PAD， ∴OH∥平面PAD. 又∵FH∩OH＝H，∴平面OHF∥平面PAD. 又∵GH平面OHF，∴GH∥平面PAD. 考點3　平面與平面平行的判定與性質 　證明面面平行的常用方法 (1)利用面面平行的定義． (2)利用面面平行的判定定理：如果一個平面內有兩條相交直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行． (3)利用“垂直于同一條直線的兩個平面平行”． (4)利用“如果兩個平面同時平行于第三個平面，那么這兩個平面平行”． (5)利用“線線平行”“線面平行”“面面平行”的相互轉化． 　如圖所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F，G，H分別是AB，AC，A1B

17、1，A1C1的中點，求證： (1)B，C，H，G四點共面； (2)平面EFA1∥平面BCHG. [證明]　(1)∵G，H分別是A1B1，A1C1的中點， ∴GH是△A1B1C1的中位線，GH∥B1C1. 又∵B1C1∥BC， ∴GH∥BC， ∴B，C，H，G四點共面． (2)在△ABC中，E，F分別為AB，AC的中點， ∴EF∥BC. ∵EF平面BCHG，BC平面BCHG， ∴EF∥平面BCHG. ∵A1G綊EB， ∴四邊形A1EBG是平行四邊形，則A1E∥GB. ∵A1E平面BCHG，GB平面BCHG， ∴A1E∥平面BCHG. ∵A1E∩EF＝E，∴

18、平面EFA1∥平面BCHG. [母題探究] 1．在本例條件下，若點D為BC1的中點，求證：HD∥平面A1B1BA. [證明]　如圖所示，連接HD，A1B， ∵D為BC1的中點，H為A1C1的中點， ∴HD∥A1B. 又HD平面A1B1BA， A1B平面A1B1BA， ∴HD∥平面A1B1BA. 2．在本例條件下，若D1，D分別為B1C1，BC的中點，求證：平面A1BD1∥平面AC1D. [證明]　如圖所示，連接A1C交AC1于點M， ∵四邊形A1ACC1是平行四邊形， ∴M是A1C的中點，連接MD， ∵D為BC的中點， ∴A1B∥DM. ∵A1B平面A1BD1

19、， DM平面A1BD1，∴DM∥平面A1BD1， 又由三棱柱的性質知，D1C1綊BD， ∴四邊形BDC1D1為平行四邊形， ∴DC1∥BD1. 又DC1平面A1BD1， BD1平面A1BD1，∴DC1∥平面A1BD1. 又∵DC1∩DM＝D，　 DC1，DM平面AC1D， ∴平面A1BD1∥平面AC1D. 　本例的證明應用了三種平行關系之間的轉化 其中線面平行是核心，線線平行是基礎，要注意它們之間的靈活轉化． 　如圖所示，四邊形ABCD與四邊形ADEF都為平行四邊形，M，N，G分別是AB，AD，EF的中點．求證： (1)BE∥平面DMF； (2)平面BD

20、E∥平面MNG. [證明]　(1)如圖所示，設DF與GN交于點O， 連接AE，則AE必過點O，連接MO， 則MO為△ABE的中位線， 所以BE∥MO. 因為BE平面DMF， MO平面DMF， 所以BE∥平面DMF. (2)因為N，G分別為平行四邊形ADEF的邊AD，EF的中點， 所以DE∥GN. 因為DE平面MNG，GN平面MNG， 所以DE∥平面MNG. 因為M為AB的中點， 所以MN為△ABD的中位線，所以BD∥MN. 因為BD平面MNG，MN平面MNG， 所以BD∥平面MNG. 因為DE∩BD＝D，BD，DE平面BDE， 所以平面BDE∥平面MNG.