2018屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)： 第8章 第7節(jié) 課時(shí)分層訓(xùn)練51

課時(shí)分層訓(xùn)練(五十一)　拋物線 A組　基礎(chǔ)達(dá)標(biāo) (建議用時(shí)：30分鐘) 一、選擇題 1．(2016·四川高考)拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)坐標(biāo)是(　　) A．(0,2)　　　　　　　 B.(0,1) C．(2,0) D.(1,0) D　[由y2＝4x知p＝2，故拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)．] 2．(2017·廣東茂名二模)若動(dòng)圓的圓心在拋物線y＝x2上，且與直線y＋3＝0相切，則此圓恒過定點(diǎn)(　　) A．(0,2) B.(0，－3) C．(0,3) D.(0,6) C　[直線y＋3＝0是拋物線x2＝12y的準(zhǔn)線，由拋物線的定義知拋物線上的點(diǎn)到直線y＝－3的距離與到焦點(diǎn)(0,3)的距離相等，所以此圓恒過定點(diǎn)(0,3)．] 3．拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)到雙曲線x2－＝1的漸近線的距離是(　　) A. B. C．1 D. B　[由雙曲線x2－＝1知其漸近線方程為y＝±x，即x±y＝0， 又y2＝4x的焦點(diǎn)F(1,0)， ∴焦點(diǎn)F到直線的距離d＝＝.] 4．設(shè)拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M在C上，|MF|＝5.若以MF為直徑的圓過點(diǎn)(0,2)，則C的方程為(　　) A．y2＝4x或y2＝8x B．y2＝2x或y2＝8x C．y2＝4x或y2＝16x D．y2＝2x或y2＝16x C　[由已知得拋物線的焦點(diǎn)F，設(shè)點(diǎn)A(0,2)，點(diǎn)M(x0，y0)． 則＝，＝. 由已知得，·＝0，即y－8y0＋16＝0， 因而y0＝4，M. 由|MF|＝5，得＝5， 又p>0，解得p＝2或p＝8. 故C的方程為y2＝4x或y2＝16x.] 5．O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，若|PF|＝4，則△POF的面積為(　　) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：01772325】 A．2 B.2 C．2 D.4 C　[如圖，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0，y0)， 由|PF|＝x0＋＝4，得x0＝3， 代入拋物線方程得，y＝4×3＝24， 所以|y0|＝2， 所以S△POF＝|OF||y0|＝××2＝2.] 二、填空題 6．(2017·山西四校三聯(lián))過拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)F作傾斜角為45°的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，則弦長(zhǎng)|AB|為__________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：01772326】 8　[設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)．易得拋物線的焦點(diǎn)是F(1,0)，所以直線AB的方程是y＝x－1. 聯(lián)立消去y得x2－6x＋1＝0. 所以x1＋x2＝6，所以|AB|＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8.] 7．如圖8­7­1，正方形ABCD和正方形DEFG的邊長(zhǎng)分別為a，b(a<b)，原點(diǎn)O為AD的中點(diǎn)，拋物線y2＝2px(p>0)經(jīng)過C，F(xiàn)兩點(diǎn)，則＝__________. 圖8­7­1 ＋1　[由題意可得C，F(xiàn)， 則＝＋1(舍去1－)．] 8．(2017·江西九校聯(lián)考)拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，其準(zhǔn)線與雙曲線y2－x2＝1相交于A，B兩點(diǎn)，若△ABF為等邊三角形，則p＝__________. 2　[y2＝2px的準(zhǔn)線為x＝－. 由于△ABF為等邊三角形． 因此不妨設(shè)A，B. 又點(diǎn)A，B在雙曲線y2－x2＝1， 從而－＝1，所以p＝2.] 三、解答題 9．已知拋物線y2＝2px(p>0)，過點(diǎn)C(－2,0)的直線l交拋物線于A，B兩點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn)為O，·＝12. (1)求拋物線的方程； (2)當(dāng)以|AB|為直徑的圓與y軸相切時(shí)，求直線l的方程． [解]　(1)設(shè)l：x＝my－2，代入y2＝2px中， 得y2－2pmy＋4p＝0.2分 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1＋y2＝2pm，y1y2＝4p， 則x1x2＝＝4， 因?yàn)?#183;＝x1x2＋y1y2＝4＋4p＝12，可得p＝2， 則拋物線的方程為y2＝4x.5分 (2)由(1)知y2＝4x，p＝2，可知y1＋y2＝4m，y1y2＝8.7分 設(shè)AB的中點(diǎn)為M， 則|AB|＝2xM＝x1＋x2＝m(y1＋y2)－4＝4m2－4.① 又|AB|＝|y1－y2|＝.② 由①②得(1＋m2)(16m2－32)＝(4m2－4)2，10分 解得m2＝3，m＝±， 所以直線l的方程為x＋y＋2＝0或x－y＋2＝0.12分 10．已知過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)，斜率為2的直線交拋物線于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1<x2)兩點(diǎn)，且|AB|＝9. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：01772327】 (1)求該拋物線的方程； (2)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，C為拋物線上一點(diǎn)，若＝＋λ，求λ的值． [解]　(1)由題意得直線AB的方程為y＝2， 與y2＝2px聯(lián)立，從而有4x2－5px＋p2＝0， 所以x1＋x2＝.3分 由拋物線定義得|AB|＝x1＋x2＋p＝＋p＝9， 所以p＝4，從而該拋物線的方程為y2＝8x.5分 (2)由(1)得4x2－5px＋p2＝0，即x2－5x＋4＝0，則x1＝1，x2＝4，于是y1＝－2，y2＝4， 從而A(1，－2)，B(4,4).8分 設(shè)C(x3，y3)，則＝(x3，y3)＝(1，－2)＋λ(4,4)＝(4λ＋1,4λ－2).10分 又y＝8x3，所以[2(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)， 整理得(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2.12分 B組　能力提升 (建議用時(shí)：15分鐘) 1．(2014·全國(guó)卷Ⅱ)設(shè)F為拋物線C：y2＝3x的焦點(diǎn)，過F且傾斜角為30°的直線交C于A，B兩點(diǎn)，則|AB|＝(　　) A. B.6 C．12 D.7 C　[∵F為拋物線C：y2＝3x的焦點(diǎn)， ∴F， ∴AB的方程為y－0＝tan 30°，即y＝x－. 聯(lián)立得x2－x＋＝0， ∴x1＋x2＝－＝，即xA＋xB＝. 由于|AB|＝xA＋xB＋p， ∴|AB|＝＋＝12.] 2．(2017·衡水中學(xué)月考)已知直線l：y＝kx＋t與圓：x2＋(y＋1)2＝1相切，且與拋物線C：x2＝4y交于不同的兩點(diǎn)M，N，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是________________． t>0或t<－3　[因?yàn)橹本€l與圓相切，所以＝1?k2＝t2＋2t.再把直線l的方程代入拋物線方程并整理得x2－4kx－4t＝0， 于是Δ＝16k2＋16t＝16(t2＋2t)＋16t>0， 解得t>0或t<－3.] 3．拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)． (1)若＝2 ，求直線AB的斜率； (2)設(shè)點(diǎn)M在線段AB上運(yùn)動(dòng)，原點(diǎn)O關(guān)于點(diǎn)M的對(duì)稱點(diǎn)為C，求四邊形OACB面積的最小值． 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：01772328】 [解]　(1)依題意知F(1,0)，設(shè)直線AB的方程為x＝my＋1. 將直線AB的方程與拋物線的方程聯(lián)立，消去x得 y2－4my－4＝0. 2分 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以y1＋y2＝4m，y1y2＝－4. 因?yàn)椋? ，所以y1＝－2y2. 聯(lián)立上述三式，消去y1，y2得m＝±. 所以直線AB的斜率是±2. 5分 (2)由點(diǎn)C與原點(diǎn)O關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱，得M是線段OC的中點(diǎn)， 從而點(diǎn)O與點(diǎn)C到直線AB的距離相等， 所以四邊形OACB的面積等于2S△AOB.8分 因?yàn)?S△AOB＝2×·|OF|·|y1－y2| ＝＝4， 所以當(dāng)m＝0時(shí)，四邊形OACB的面積最小，最小值是4. 12分