2018屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)： 第2章 第1節(jié) 函數(shù)及其表示

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1、 第二章　函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 [深研高考·備考導(dǎo)航]　為教師授課、學(xué)生學(xué)習(xí)提供豐富備考資源 [五年考情] [重點(diǎn)關(guān)注] 1．從近五年全國(guó)卷高考試題來(lái)看，函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用是每年高考命題的重點(diǎn)與熱點(diǎn)，既有客觀題，又有解答題，中高檔難度． 2．函數(shù)的概念、圖象及其性質(zhì)是高考考查的主要內(nèi)容，函數(shù)的定義域、解析式、圖象是高考考查的重點(diǎn)，函數(shù)性質(zhì)與其他知識(shí)的綜合是歷年高考的熱點(diǎn)． 3．導(dǎo)數(shù)的幾何意義，導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)單調(diào)性、極值、最值、函數(shù)的零點(diǎn)等方面的應(yīng)用是高考的重點(diǎn)與熱點(diǎn)． 4．本章內(nèi)容集中體現(xiàn)了四大數(shù)學(xué)思想：函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)討論、轉(zhuǎn)化與化歸的思想，且常與方程、不等式、導(dǎo)

2、數(shù)等知識(shí)交匯命題，體現(xiàn)了綜合與創(chuàng)新． [導(dǎo)學(xué)心語(yǔ)] 1．注重基礎(chǔ)：對(duì)函數(shù)的概念、圖象、性質(zhì)(單調(diào)性、奇偶性、周期性)、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)單調(diào)性、極值、最值、函數(shù)的零點(diǎn)等方面的應(yīng)用，要熟練掌握并靈活應(yīng)用. 2．加強(qiáng)交匯，強(qiáng)化綜合應(yīng)用意識(shí)：在知識(shí)的交匯點(diǎn)處命制試題，已成為高考的一大亮點(diǎn)，函數(shù)的觀點(diǎn)和方法貫穿于高中數(shù)學(xué)的全過(guò)程，因此，應(yīng)加強(qiáng)函數(shù)與三角函數(shù)、數(shù)列、不等式、解析幾何、導(dǎo)數(shù)等各章節(jié)之間的聯(lián)系． 3．把握思想：數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想、分類(lèi)討論思想和等價(jià)轉(zhuǎn)化思想在解決各種與函數(shù)有關(guān)的問(wèn)題中均有應(yīng)用，復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)引起足夠重視． 第一節(jié)　函數(shù)及其表示 [考綱傳真]　1

3、.了解構(gòu)成函數(shù)的要素，會(huì)求一些簡(jiǎn)單函數(shù)的定義域和值域；了解映射的概念.2.在實(shí)際情境中，會(huì)根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?如圖象法、列表法、解析法)表示函數(shù).3.了解簡(jiǎn)單的分段函數(shù)，并能簡(jiǎn)單應(yīng)用(函數(shù)分段不超過(guò)三段)． 1．函數(shù)與映射的概念 函數(shù) 映射 兩集合A，B 設(shè)A，B是兩個(gè)非空的數(shù)集 設(shè)A，B是兩個(gè)非空的集合 對(duì)應(yīng)關(guān)系f：A→B 如果按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對(duì)應(yīng) 如果按某一個(gè)確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)元素x，在集合B中都有唯一確定的元素y與之對(duì)應(yīng) 名稱(chēng) 稱(chēng)f：A→B為從

4、集合A到集合B的一個(gè)函數(shù) 稱(chēng)f：A→B為從集合A到集合B的一個(gè)映射 記法 函數(shù)y＝f(x)，x∈A 映射：f：A→B 2.函數(shù)的有關(guān)概念 (1)函數(shù)的定義域、值域 在函數(shù)y＝f(x)，x∈A中，自變量x的取值范圍(數(shù)集A)叫做函數(shù)的定義域；函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數(shù)的值域． (2)函數(shù)的三要素：定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系和值域． (3)相等函數(shù)：如果兩個(gè)函數(shù)的定義域相同，并且對(duì)應(yīng)關(guān)系完全一致，則這兩個(gè)函數(shù)為相等函數(shù)． (4)函數(shù)的表示法 表示函數(shù)的常用方法有解析法、圖象法和列表法． 3．分段函數(shù) (1)若函數(shù)在其定義域的不同子集上，因?qū)?yīng)關(guān)系不同而分別用幾個(gè)不同的

5、式子來(lái)表示，這種函數(shù)稱(chēng)為分段函數(shù)． (2)分段函數(shù)的定義域等于各段函數(shù)的定義域的并集，其值域等于各段函數(shù)的值域的并集，分段函數(shù)雖由幾個(gè)部分組成，但它表示的是一個(gè)函數(shù)． 1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”) (1)函數(shù)是特殊的映射．(　　) (2)函數(shù)y＝1與y＝x0是同一個(gè)函數(shù)．(　　) (3)與x軸垂直的直線(xiàn)和一個(gè)函數(shù)的圖象至多有一個(gè)交點(diǎn)．(　　) (4)分段函數(shù)是兩個(gè)或多個(gè)函數(shù)．(　　) [答案]　(1)√　(2)×　(3)√　(4)× 2．(教材改編)函數(shù)y＝＋的定義域?yàn)?　　) A.　　　　　 B.(－∞，3)∪(3，＋∞) C

6、.∪(3，＋∞) D.(3，＋∞) C　[由題意知 解得x≥且x≠3.] 3．(2017·東北三省四市二聯(lián))已知函數(shù)f(x)＝則f＝(　　) A．4　　　 B.　　 C.－4　　　 D.－ B　[∵f＝log5＝log55－2＝－2， ∴f＝f(－2)＝2－2＝，故選B.] 4．(2015·全國(guó)卷Ⅱ)已知函數(shù)f(x)＝ax3－2x的圖象過(guò)點(diǎn)(－1,4)，則a＝________. －2　[∵f(x)＝ax3－2x的圖象過(guò)點(diǎn)(－1,4)， ∴4＝a×(－1)3－2×(－1)，解得a＝－2.] 5．給出下列四個(gè)命題： ①函數(shù)是其定義域到值域的映射； ②f(x)＝＋是一個(gè)函

7、數(shù)； ③函數(shù)y＝2x(x∈N)的圖象是一條直線(xiàn)； ④f(x)＝lg x2與g(x)＝2lg x是同一個(gè)函數(shù)． 其中正確命題的序號(hào)是________． 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：01772018】 ①　[由函數(shù)的定義知①正確． ∵滿(mǎn)足的x不存在，∴②不正確． ∵y＝2x(x∈N)的圖象是位于直線(xiàn)y＝2x上的一群孤立的點(diǎn)，∴③不正確． ∵f(x)與g(x)的定義域不同，∴④也不正確．] 求函數(shù)的定義域 　(1)(2016·江蘇高考)函數(shù)y＝的定義域是________． (2)(2017·鄭州模擬)若函數(shù)y＝f(x)的定義域?yàn)閇0,2]，則函數(shù)g(x)＝的定義域是____

8、____． (1)[－3,1]　(2)[0,1)　[(1)要使函數(shù)有意義，需3－2x－x2≥0，即x2＋2x－3≤0，得(x－1)(x＋3)≤0，即－3≤x≤1，故所求函數(shù)的定義域?yàn)閇－3,1]． (2)由0≤2x≤2，得0≤x≤1，又x－1≠0，即x≠1， 所以0≤x<1，即g(x)的定義域?yàn)閇0,1)．] [規(guī)律方法]　1.求給出解析式的函數(shù)的定義域，可構(gòu)造使解析式有意義的不等式(組)求解． 2．(1)若已知f(x)的定義域?yàn)閇a，b]，則f(g(x))的定義域可由a≤g(x)≤b求出； (2)若已知f(g(x))的定義域?yàn)閇a，b]，則f(x)的定義域?yàn)間(x)在x∈[a

9、，b]時(shí)的值域． [變式訓(xùn)練1]　(1)函數(shù)f(x)＝＋的定義域?yàn)?　　) A．(－3,0]　　　　　 B.(－3,1] C．(－∞，－3)∪(－3,0] D.(－∞，－3)∪(－3,1] (2)已知函數(shù)f(2x)的定義域?yàn)閇－1,1]，則f(x)的定義域?yàn)開(kāi)_______. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：01772019】 (1)A　(2)　[(1)由題意，自變量x應(yīng)滿(mǎn)足解得∴－3＜x≤0. (2)∵f(2x)的定義域?yàn)閇－1,1]， ∴≤2x≤2，即f(x)的定義域?yàn)?] 求函數(shù)的解析式 　(1)已知f＝lg x，求f(x)的解析式． (2)已知f(x)是二次函數(shù)且f(0

10、)＝2，f(x＋1)－f(x)＝x－1，求f(x)的解析式． (3)已知f(x)＋2f＝x(x≠0)，求f(x)的解析式． [解]　(1)令＋1＝t，由于x＞0，∴t＞1且x＝， ∴f(t)＝lg，即f(x)＝lg(x＞1)． (2)設(shè)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由f(0)＝2，得c＝2，f(x＋1)－f(x)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)－ax2－bx＝x－1，即2ax＋a＋b＝x－1， ∴即∴f(x)＝x2－x＋2. (3)∵f(x)＋2f＝x，∴f＋2f(x)＝. 聯(lián)立方程組 解得f(x)＝－(x≠0)． [規(guī)律方法]　求函數(shù)解析式的常用方法 (1)待定系數(shù)

11、法：若已知函數(shù)的類(lèi)型，可用待定系數(shù)法； (2)換元法：已知復(fù)合函數(shù)f(g(x))的解析式，可用換元法，此時(shí)要注意新元的取值范圍； (3)構(gòu)造法：已知關(guān)于f(x)與f或f(－x)的表達(dá)式，可根據(jù)已知條件再構(gòu)造出另外一個(gè)等式，通過(guò)解方程組求出f(x)； (4)配湊法：由已知條件f(g(x))＝F(x)，可將F(x)改寫(xiě)成關(guān)于g(x)的表達(dá)式，然后以x替代g(x)，即得f(x)的表達(dá)式． [變式訓(xùn)練2]　(1)已知f(＋1)＝x＋2，則f(x)＝________. (2)已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，且f(x)＝2·f·－1，則f(x)＝________. (1)x2－1(x≥

12、1)　(2) ＋(x＞0)　[(1)(換元法)設(shè)＋1＝t(t≥1)，則＝t－1， 所以f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1(t≥1)， 所以f(x)＝x2－1(x≥1)． (配湊法)f(＋1)＝x＋2＝(＋1)2－1， 又＋1≥1，∴f(x)＝x2－1(x≥1)． (2)在f(x)＝2f·－1中，用代替x， 得f＝2f(x)·－1， 由 得f(x)＝ ＋(x＞0)．] 分段函數(shù)及其應(yīng)用 ?角度1　求分段函數(shù)的函數(shù)值 　(1)(2015·全國(guó)卷Ⅱ)設(shè)函數(shù)f(x)＝則f(－2)＋f(log212)＝(　　) A．3 B.6 C．9 D.12 (2)

13、(2017·東北三省四市一聯(lián))已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?－∞，＋∞)，如果f(x＋2 016)＝那么f·f(－7 984)＝(　　) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：01772020】 A．2 016　　　 B. C.4　　　 D. (1)C　(2)C　(1)∵－2<1， ∴f(－2)＝1＋log2(2＋2)＝1＋log24＝1＋2＝3. ∵log212>1，∴f(log212)＝2log212－1＝＝6. ∴f(－2)＋f(log212)＝3＋6＝9.故選C. (2)當(dāng)x≥0時(shí)，有f(x＋2 016)＝sin x，∴f＝sin＝1；當(dāng)x＜0時(shí)，f(x＋2 016)＝lg(－x)，∴f(－7 9

14、84)＝f(－10 000＋2 016)＝lg 10 000＝4，∴f·f(－7 984)＝1×4＝4，故選C.] ?角度2　已知分段函數(shù)的函數(shù)值求參數(shù) 　(1)(2017·成都二診)已知函數(shù)f(x)＝若f(f(－1))＝2，則實(shí)數(shù)m的值為(　　) A．1 B.1或－1 C. D.或－ (2)設(shè)函數(shù)f(x)＝若f＝4，則b＝(　　) A．1　　　 B. C.　　　 D. (1)D　(2)D　[(1)f(f(－1))＝f(1＋m2)＝log2(1＋m2)＝2，m2＝3，解得m＝±，故選D. (2)f＝3×－b＝－b，若－b<1，即b>，則3×－b＝－4b＝4，解得b＝，不符

15、合題意，舍去；若－b≥1，即b≤，則2－b＝4，解得b＝.] ?角度3　解與分段函數(shù)有關(guān)的方程或不等式 　(1)(2017·石家莊一模)已知函數(shù)f(x)＝且f(x)＝－，則x的值為_(kāi)_______． (2)(2014·全國(guó)卷Ⅰ)設(shè)函數(shù)f(x)＝則使得f(x)≤2成立的x的取值范圍是________． (1)－　(2)(－∞，8]　[(1)當(dāng)－1＜x≤0時(shí)，f(x)＝sin＝－，解得x＝－； 當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f(x)＝log2(x＋1)∈(0,1)，此時(shí)f(x)＝－無(wú)解，故x的值為－. (2)當(dāng)x<1時(shí)，x－1<0，ex－1

16、1時(shí)，x≤2，x≤23＝8，∴1≤x≤8. 綜上可知x∈(－∞，8]．] [規(guī)律方法]　1.求分段函數(shù)的函數(shù)值，要先確定要求值的自變量屬于定義域的哪一個(gè)子集，然后代入該段的解析式求值，當(dāng)出現(xiàn)f(f(a))的形式時(shí)，應(yīng)從內(nèi)到外依次求值． 2．已知函數(shù)值或函數(shù)值范圍求自變量的值或范圍時(shí)，應(yīng)根據(jù)每一段的解析式分別求解，但要注意檢驗(yàn)所求自變量的值或范圍是否符合相應(yīng)段的自變量的取值范圍． 易錯(cuò)警示：當(dāng)分段函數(shù)自變量的范圍不確定時(shí)，應(yīng)分類(lèi)討論． [思想與方法] 1．在判斷兩個(gè)函數(shù)是否為同一函數(shù)時(shí)，要緊扣兩點(diǎn)：一是定義域是否相同；二是對(duì)應(yīng)關(guān)系是否相同． 2．定義域優(yōu)先原則：函數(shù)定義域是研究函數(shù)的基礎(chǔ)，對(duì)函數(shù)性質(zhì)的討論，必須在定義域內(nèi)進(jìn)行． 3．求函數(shù)解析式的幾種常用方法：待定系數(shù)法、換元法、配湊法、構(gòu)造法． 4．分段函數(shù)問(wèn)題要分段求解． [易錯(cuò)與防范] 1．求函數(shù)定義域時(shí)，不要對(duì)解析式進(jìn)行化簡(jiǎn)變形，以免定義域發(fā)生變化． 2．用換元法求函數(shù)解析式時(shí)，應(yīng)注意元的范圍，既不能擴(kuò)大，又不能縮小，以免求錯(cuò)函數(shù)的定義域． 3．在求分段函數(shù)的值f(x0)時(shí)，首先要判斷x0屬于定義域的哪個(gè)子集，然后再代入相應(yīng)的關(guān)系式；如果x0的范圍不確定，要分類(lèi)討論．