高三數學北師大版文一輪教師用書：第9章 第6節(jié)　拋物線 Word版含解析

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1、 第六節(jié)　拋物線 [最新考綱]　1.掌握拋物線的定義、幾何圖形、標準方程及簡單幾何性質(范圍、對稱性、頂點、離心率).2.理解數形結合思想.3.了解拋物線的實際背景及拋物線的簡單應用． (對應學生用書第158頁) 1．拋物線的概念 平面內與一個定點F和一條定直線l(l不經過點F)的距離相等的點的軌跡叫做拋物線．點F叫做拋物線的焦點，直線l叫做拋物線的準線． 2．拋物線的標準方程與幾何性質 標準方程 y2＝2px (p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py (p>0) x2＝－2py (p>0) p的幾何意義：焦點F到準線l的距離 圖形

2、 頂點坐標 O(0,0) 對稱軸 x軸 y軸 焦點坐標 F F F F 離心率 e＝1 準線方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 范圍 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 開口方向 向右 向左 向上 向下 焦半徑P(x0，y0) |PF|＝x0＋ |PF|＝－x0＋ |PF|＝y(tǒng)0＋ |PF|＝－y0＋ 與拋物線焦點弦有關的幾個常用結論 設AB是過拋物線y2＝2px(p＞0)焦點F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，α為弦AB的傾斜角．則 (1)x1x2＝，y1y2＝－p2. (2)弦

3、長|AB|＝x1＋x2＋p＝. (3)以弦AB為直徑的圓與準線相切． (4)通徑：過焦點垂直于對稱軸的弦，長等于2p，通徑是過焦點最短的弦． 一、思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)平面內與一個定點F和一條定直線l的距離相等的點的軌跡一定是拋物線． (　　) (2)拋物線y2＝4x的焦點到準線的距離是4. (　　) (3)拋物線既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形． (　　) (4)方程y＝ax2(a≠0)表示的曲線是焦點在x軸上的拋物線，且其焦點坐標是，準線方程是x＝－. (　　) [答案](1)×　(2)×　(3)×　(4)× 二、教材改編 1．拋物線

4、y＝x2的準線方程是(　　) A．y＝－1　　 B．y＝－2 C．x＝－1 D．x＝－2 A　[∵y＝x2，∴x2＝4y，∴準線方程為y＝－1.] 2．若拋物線y＝4x2上的一點M到焦點的距離為1，則點M的縱坐標是(　　) A.　　　B.　　　C.　　　D．0 B　[M到準線的距離等于M到焦點的距離，又準線方程為y＝－，設M(x，y)，則y＋＝1， ∴y＝.] 3．過拋物線y2＝4x的焦點的直線l交拋物線于P(x1，y1)，Q(x2，y2)兩點，如果x1＋x2＝6，則|PQ|等于(　　) A．9 B．8 C．7 D．6 B　[拋物線y2＝4x的焦點為F(1,0)，準線

5、方程為x＝－1.根據題意可得，|PQ|＝|PF|＋|QF|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝8.] 4．已知拋物線的頂點是原點，對稱軸為坐標軸，并且經過點P(－2，－4)，則該拋物線的標準方程為________． y2＝－8x或x2＝－y　[設拋物線方程為y2＝2px(p≠0)或x2＝2py(p≠0)．將P(－2，－4)代入，分別得方程為y2＝－8x或x2＝－y.] (對應學生用書第159頁) ⊙考點1　拋物線的定義及應用 　與拋物線有關的最值問題的解題策略 (1)將拋物線上的點到準線的距離轉化為該點到焦點的距離，構造出“兩點之間線段最短”，使問題得解； (2)將拋物線上

6、的點到焦點的距離轉化為點到準線的距離，利用“與直線上所有點的連線中，垂線段最短”解決． (1)(2019·長春模擬)已知拋物線y2＝4x的焦點為F，準線l與x軸的交點為K，拋物線上一點P.若|PF|＝5，則△PFK的面積為(　　) A．4 B．5　　　　 C．8　　　　 D．10 (2)(2019·福州模擬)已知拋物線y2＝4x的焦點F，點A(4，3)，P為拋物線上一點，且點P不在直線AF上，則當△PAF周長取最小值時，線段PF的長為(　　) A．1 B. C．5 D. (1)A　(2)B　[(1)由拋物線的方程y2＝4x，可得F(1,0)，K(－1,0)，準線方程為x＝－1

7、.設P(x0，y0)，則|PF|＝x0＋1＝5，即x0＝4，不妨設P(x0，y0)在第一象限，則P(4，4)，所以S△PKF＝|FK||y0|＝×2×4＝4.故選A. (2)如圖，求△PAF周長的最小值，即求|PA|＋|PF|的最小值．設點P在準線上的投影為D，根據拋物線的定義，可知|PF|＝|PD|，因此|PA|＋|PF|的最小值，即|PA|＋|PD|的最小值，可得當D，P，A三點共線時，|PA|＋|PD|最小，此時P，F(1,0)，線段PF的長為＋1＝.故選B.] 　拋物線上的點到焦點的距離和到準線的距離相互轉化是解題的關鍵． 　1.(2019·臨川模擬)若拋物線y2＝2px(p＞0

8、)上的點A(x0，)到其焦點的距離是A到y(tǒng)軸距離的3倍，則p等于(　　) A. B．1 C. D．2 D　[由拋物線y2＝2px知其準線方程為x＝－.又點A到準線的距離等于點A到焦點的距離，∴3x0＝x0＋，∴x0＝，∴A.∵點A在拋物線y2＝2px上，∴＝2.∵p＞0，∴p＝2.故選D.] 2．動圓過點(1,0)，且與直線x＝－1相切，則動圓的圓心的軌跡方程為________. y2＝4x　[設動圓的圓心坐標為(x，y)，則圓心到點(1,0)的距離與到直線x＝－1的距離相等，根據拋物線的定義易知動圓的圓心的軌跡方程為y2＝4x.] 3．已知拋物線方程為y2＝4x，直線l的方

9、程為x－y＋5＝0，在拋物線上有一動點P到y(tǒng)軸的距離為d1，到直線l的距離為d2，則d1＋d2的最小值為________． 3－1　[由題意知，拋物線的焦點為F(1,0)． 點P到y(tǒng)軸的距離d1＝|PF|－1， 所以d1＋d2＝d2＋|PF|－1. 易知d2＋|PF|的最小值為點F到直線l的距離，故d2＋|PF|的最小值為＝3，所以d1＋d2的最小值為3－1.] ⊙考點2　拋物線的標準方程與幾何性質 1．求拋物線標準方程的方法 求拋物線的標準方程的主要方法是定義法和待定系數法．若題目已給出拋物線的方程(含有未知數p)，那么只需求出p即可；若題目未給出拋物線的方程，對于焦點在

10、x軸上的拋物線的標準方程可統(tǒng)一設為y2＝ax(a≠0)，a的正負由題設來定；焦點在y軸上的拋物線的標準方程可設為x2＝ay(a≠0)，這樣就減少了不必要的討論． 2．拋物線性質的應用技巧 (1)利用拋物線方程確定其焦點、準線時，關鍵是將拋物線方程化成標準方程． (2)要結合圖形分析，靈活運用平面圖形的性質簡化運算． (1)頂點在原點，對稱軸為坐標軸，且過點P(－4，－2)的拋物線的標準方程是(　　) A．y2＝－x B．x2＝－8y C．y2＝－8x或x2＝－y D．y2＝－x或x2＝－8y (2)(2018·北京高考)已知直線l過點(1,0)且垂直于x軸，若l被拋物線y2＝4a

11、x截得的線段長為4，則拋物線的焦點坐標為________． (1)D　(2)(1,0)　[(1)(待定系數法)設拋物線為y2＝mx，代入點P(－4，－2)，解得m＝－1，則拋物線方程為y2＝－x；設拋物線為x2＝ny，代入點P(－4，－2)，解得n＝－8，則拋物線方程為x2＝－8y. (2)由題知直線l的方程為x＝1， 則直線與拋物線的交點為(1，±2)(a＞0)． 又直線被拋物線截得的線段長為4，所以4＝4，即a＝1.所以拋物線的焦點坐標為(1,0)．] 　若拋物線的焦點位置不確定，應分焦點在x軸和y軸兩種情況求解，如本例(1)． [教師備選例題] 1．點M(5,3)到拋物線y

12、＝ax2的準線的距離為6，那么拋物線的標準方程是(　　) A．x2＝y(tǒng)　　　 B．x2＝y(tǒng)或x2＝－y C．x2＝－y D．x2＝12y或x2＝－36y D　[將y＝ax2化為x2＝y(tǒng).當a>0時，準線y＝－，則3＋＝6，∴a＝.當a<0時，準線y＝－，則＝6，∴a＝－. ∴拋物線方程為x2＝12y或x2＝－36y.] 2．(2016·全國卷Ⅰ)以拋物線C的頂點為圓心的圓交C于A，B兩點，交C的準線于D，E兩點．已知|AB|＝4，|DE|＝2，則C的焦點到準線的距離為(　　) A．2 B．4 C．6　　　　 D．8 B　[設拋物線的方程為y2＝2px(p＞0)，圓的方程為x

13、2＋y2＝r2. ∵|AB|＝4，|DE|＝2， 拋物線的準線方程為x＝－， ∴不妨設A，D. ∵點A，D在圓x2＋y2＝r2上， ∴ ∴＋8＝＋5，∴p＝4(負值舍去)． ∴C的焦點到準線的距離為4.] 　1.若雙曲線C：2x2－y2＝m(m＞0)與拋物線y2＝16x的準線交于A，B兩點，且|AB|＝4，則m的值是________． 20　[y2＝16x的準線l：x＝－4，因為C與拋物線y2＝16x的準線l：x＝－4交于A，B兩點，|AB|＝4， 設A在x軸上方， 所以A(－4,2)，B(－4，－2)， 將A點坐標代入雙曲線方程得2×(－4)2－(2)2＝m，所以m＝

14、20.] 2．已知拋物線x2＝2py(p＞0)的焦點為F，點P為拋物線上的動點，點M為其準線上的動點，若△FPM為邊長是4的等邊三角形，則此拋物線的方程為________． x2＝4y　[由△FPM為等邊三角形，得|PM|＝|PF|，由拋物線的定義得PM垂直于拋物線的準線，設P，則點M，因為焦點F，△FPM是等邊三角形，所以 解得因此拋物線方程為x2＝4y.] ⊙考點3　直線與拋物線的綜合問題 　直線與拋物線的交點問題 　直線與拋物線交點問題的解題思路 (1)求交點問題，通常解直線方程與拋物線方程組成的方程組． (2)與交點相關的問題通常借助根與系數的關系或用向量法解決． 　

15、(2017·全國卷Ⅰ)設A，B為曲線C：y＝上兩點，A與B的橫坐標之和為4. (1)求直線AB的斜率； (2)設M為曲線C上一點，C在M處的切線與直線AB平行，且AM⊥BM，求直線AB的方程． [解](1)設A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則x1≠x2，y1＝，y2＝，x1＋x2＝4， 于是直線AB的斜率k＝＝＝1. (2)由 y＝，得y′＝. 設M(x3，y3)，由題設知＝1，解得x3＝2，于是M(2,1)． 設直線AB的方程為y＝x＋m， 故線段AB的中點為N(2,2＋m)，|MN|＝|m＋1|. 將y＝x＋m代入y＝得x2－4x－4m＝0. 當Δ＝16(m＋1

16、)>0，即m>－1時，x1,2＝2±2. 從而|AB|＝|x1－x2|＝4. 由題設知|AB|＝2|MN|，即4＝2(m＋1)，解得m＝7. 所以直線AB的方程為y＝x＋7. (1)對于拋物線x2＝ay(a≠0)，直線與拋物線相切問題多用到導數的有關知識． (2)本例第(2)問中，找出隱含條件|AB|＝2|MN|是解題的關鍵． 　拋物線的焦點弦問題 　解決拋物線的弦及弦中點問題的常用方法 (1)有關直線與拋物線的弦長問題，要注意直線是否過拋物線的焦點．若過拋物線的焦點，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不過焦點，則必須用一般弦長公式． (2)涉及拋物線的弦長、中點、距

17、離等相關問題時，一般利用根與系數的關系采用“設而不求”“整體代入”等解法． 提醒：涉及弦的中點、斜率時一般用“點差法”求解． 　(2018·全國卷Ⅱ)設拋物線C：y2＝4x的焦點為F，過F且斜率為k(k>0)的直線l與C交于A，B兩點，|AB|＝8. (1)求l的方程； (2)求過點A，B且與C的準線相切的圓的方程． [解](1)由題意得F(1,0)，l的方程為y＝k(x－1)(k>0)． 設A(x1，y1)，B(x2，y2)． 由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0. Δ＝16k2＋16>0，故x1＋x2＝. 所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝(x1＋1)＋(x2＋1)＝

18、. 由題設知＝8，解得k＝1或k＝－1(舍去)． 因此l的方程為y＝x－1. (2)由(1)得AB的中點坐標為(3,2)，所以AB的垂直平分線方程為y－2＝－(x－3)，即y＝－x＋5. 設所求圓的圓心坐標為(x0，y0)，則 解得或 因此所求圓的方程為 (x－3)2＋(y－2)2＝16或(x－11)2＋(y＋6)2＝144. (1)本例第(1)問中，x1＋x2是建立等式的紐帶．(2)本例第(2)問中，設出圓心坐標(x0，y0)，構造關于x0，y0的方程組是關鍵． 　1.(2019·開封模擬)已知直線y＝kx＋t與圓x2＋(y＋1)2＝1相切且與拋物線C：x2＝4y交于不

19、同的兩點M，N，則實數t的取值范圍是(　　) A．(－∞，－3)∪(0，＋∞) B．(－∞，－2)∪(0，＋∞) C．(－3,0) D．(－2,0) A　[由直線與圓相切得，＝1，即k2＝t2＋2t， 由得x2－4kx－4t＝0. 由題意知Δ＝16k2＋16t＞0. 即t2＋3t＞0，解得t＞0或t＜－3.故選A.] 2．(2018·全國卷Ⅰ)設拋物線C：y2＝4x的焦點為F，過點(－2,0)且斜率為的直線與C交于M，N兩點，則·＝(　　) A．5 B．6 C．7 D．8 D　[法一：過點(－2,0)且斜率為的直線的方程為y＝(x＋2)，由得x2－5x＋4＝0，解得

20、x＝1或x＝4，所以或不妨設M(1,2)，N(4,4)，易知F(1,0)，所以＝(0,2)，＝(3,4)，所以·＝8.故選D. 法二：過點(－2,0)且斜率為的直線的方程為y＝(x＋2)，由得x2－5x＋4＝0，設M(x1，y1)，N(x2，y2)，則y1＞0，y2＞0，根據根與系數的關系，得x1＋x2＝5，x1x2＝4.易知F(1,0)，所以＝(x1－1，y1)，＝(x2－1，y2)，所以·＝(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝x1x2－(x1＋x2)＋1＋4＝4－5＋1＋8＝8.故選D.] 3．已知拋物線y2＝16x的焦點為F，過F作一條直線交拋物線于A，B兩點，若|AF|＝6，則|B

21、F|＝________. 12　[不妨設A(x1，y1)，B(x2，y2)(A在B上方)，根據焦半徑公式|AF|＝x1＋＝x1＋4＝6，所以x1＝2，y1＝4，所以直線AB的斜率為k＝＝－2，所以直線方程為y＝－2(x－4)，與拋物線方程聯(lián)立得x2－10x＋16＝0，即(x－2)(x－8)＝0，所以x2＝8，故|BF|＝8＋4＝12.] 課外素養(yǎng)提升⑧　數學運算——“設而不求”在解析幾何中的妙用 (對應學生用書第160頁) 1．數學運算是指在明晰運算對象的基礎上，依據運算法則解決數學問題的過程，解析幾何正是利用數學運算解決幾何問題的一門科學． 2．“設而不求”是簡化運算的一種重要手段

22、，它的精彩在于設而不求，化繁為簡．解題過程中，巧妙設點，避免解方程組，常見類型有：(1)靈活應用“點、線的幾何性質”解題；(2)根據題意，整體消參或整體代入等. 巧妙運用拋物線定義得出與根與系數關系的聯(lián)系，從而設而不求 【例1】　(2019·泰安模擬)在平面直角坐標系xOy中，雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的右支與焦點為F的拋物線x2＝2py(p＞0)交于A，B兩點，若|AF|＋|BF|＝4|OF|，則該雙曲線的漸近線方程為________． y＝±x　[設A(xA，yA)，B(xB，yB)，由拋物線定義可得|AF|＋|BF|＝y(tǒng)A＋＋yB＋＝4×?yA＋yB＝p， 由可得a2y2

23、－2pb2y＋a2b2＝0， 所以yA＋yB＝＝p，解得a＝b，故該雙曲線的漸近線方程為y＝±x.] [評析]　根據拋物線的定義把|AF|＋|BF|用A，B點的縱坐標表示，再把雙曲線方程和拋物線方程聯(lián)立得到A，B點縱坐標和的關系，然后進一步求解即可． 【素養(yǎng)提升練習】 1．(2019·懷化模擬)過拋物線y2＝4x的焦點作兩條互相垂直的弦AB，CD，則四邊形ACBD面積的最小值為(　　) A．8 B．16　　　　 C．32　　　　 D．64 C　[焦點F的坐標為(1,0)，所以可設直線AB的方程為y＝k(x－1)，代入y2＝4x并整理得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0， 所以

24、x1＋x2＝2＋，|AB|＝x1＋x2＋2＝4＋. 同理可得|CD|＝4＋4k2.所以四邊形ACBD的面積 S＝|AB||CD|＝··4(k2＋1)＝8·＝8≥32，當且僅當k＝±1時取等號．故選C.] 中點弦或對稱問題，可以利用“點差法”， “點差法”實質上是“設而不求”的一種方法 【例2】(1)△ABC的三個頂點都在拋物線E：y2＝2x上，其中A(2,2)，△ABC的重心G是拋物線E的焦點，則BC所在直線的方程為________． (2)拋物線E：y2＝2x上存在兩點關于直線y＝k(x－2)對稱，則k的取值范圍是________． (1)x＋y＋＝0　(2)(－，)　[(1

25、)設B(x1，y1)，C(x2，y2)，邊BC的中點為M(x0，y0)，易知G，則 從而即M， 又y＝2x1，y＝2x2，兩式相減得(y1＋y2)(y1－y2)＝2(x1－x2)，則直線BC的斜率kBC＝＝＝＝＝－1，故直線BC的方程為y－(－1)＝－，即4x＋4y＋5＝0. (2)當k＝0時，顯然成立． 當k≠0時，設兩對稱點為B(x1，y1)，C(x2，y2)，BC的中點為M(x0，y0)，由y＝2x1，y＝2x2，兩式相減得(y1＋y2)(y1－y2)＝2(x1－x2)，則直線BC的斜率kBC＝＝＝＝，由對稱性知kBC＝－，點M在直線y＝k(x－2)上，所以y0＝－k，y0＝k(

26、x0－2)，所以x0＝1.由點M在拋物線內，得y＜2x0，即(－k)2＜2，所以－＜k＜，且k≠0. 綜上，k的取值范圍為(－，)．] [評析](1)先求BC的中點坐標，再用點差法求解． (2)分k＝0和k≠0兩種情況求解，當k＝0時，顯然成立，當k≠0時，用點差法求解． 【素養(yǎng)提升練習】 2．中心為(0,0)，一個焦點為F(0,5)的橢圓，截直線y＝3x－2所得弦中點的橫坐標為，則該橢圓的方程是(　　) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 C　[由題意知c＝5，設橢圓方程為＋＝1，聯(lián)立方程消去y，整理得(10a2－450)x2－12(a2－50)x＋(4－a2)(

27、a2－50)＝0，由根與系數的關系得x1＋x2＝＝1，解得a2＝75，所以橢圓方程為＋＝1.] 求解直線與圓錐曲線的相關問題時，若兩條直線互相垂直或兩直線斜率有明確等量關系，可用“替代法”，“替代法”的實質是設而不求 【例3】　已知F為拋物線C：y2＝2x的焦點，過F作兩條互相垂直的直線l1，l2，直線l1與C交于A，B兩點，直線l2與C交于D，E兩點，則|AB|＋|DE|的最小值為________． 8　[由題意知，直線l1，l2的斜率都存在且不為0，F，不妨設l1的斜率為k，則l1：y＝k，l2：y＝－. 由消去y得k2x2－(k2＋2)x＋＝0， 設A(x1，y1)，B(x

28、2，y2)，則x1＋x2＝1＋. 由拋物線的定義知， |AB|＝x1＋x2＋1＝1＋＋1＝2＋. 同理可得，用－替換|AB|中k，可得|DE|＝2＋2k2，所以|AB|＋|DE|＝2＋＋2＋2k2＝4＋＋2k2≥4＋4＝8，當且僅當＝2k2，即k＝±1時等號成立，故|AB|＋|DE|的最小值為8.] [評析]　設出直線l1的方程，則直線l2的方程也已知，先求|AB|，根據兩直線的關系求|DE|，最后求|AB|＋|DE|的最小值． 3．(2019·銀川模擬)橢圓＋＝1(a＞b＞0)的焦點分別為F1(－1,0)，F2(1,0)，直線l：x＝a2交x軸于點A，且＝2. (1)試求

29、橢圓的方程； (2)過點F1，F2分別作互相垂直的兩條直線與橢圓分別交于D，E，M，N四點(如圖所示)，試求四邊形DMEN面積的最大值和最小值． [解](1)由題意知，|F1F2|＝2c＝2，A(a2,0)， ∵＝2，∴F2為線段AF1的中點， 則a2＝3，b2＝2，則橢圓方程為＋＝1. (2)當直線DE與x軸垂直時，|DE|＝＝， 此時|MN|＝2a＝2，四邊形DMEN的面積S＝＝4. 同理當MN與x軸垂直時， 也有四邊形DMEN的面積S＝＝4. 當直線DE，MN與x軸均不垂直時， 設直線DE：y＝k(x＋1)(k≠0)，D(x1，y1)，E(x2，y2)， 代入橢圓方程，消去y可得(2＋3k2)x2＋6k2x＋3k2－6＝0，則x1＋x2＝，x1x2＝， ∴|x1－x2|＝， ∴|DE|＝|x1－x2|＝. 同理|MN|＝＝， ∴四邊形DMEN的面積S＝＝××＝， 令u＝k2＋，則S＝4－. ∵u＝k2＋≥2，當k＝±1時，u＝2，S＝， 且S是以u為自變量的增函數， 則≤S＜4. 綜上可知，≤S≤4，故四邊形DMEN面積的最大值為4，最小值為.