2018屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)： 第10章 第1節(jié) 分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理

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1、 第十章　計數(shù)原理、概率、隨機變量及其分布 [深研高考·備考導(dǎo)航]　為教師授課、學(xué)生學(xué)習(xí)提供豐富備考資源 [五年考情] 考點 2016年 2015年 2014年 2013年 2012年 計數(shù)原理、排列組合 全國卷Ⅱ·T5， 全國卷Ⅲ·T12 全國卷·T2 二項式定理 全國卷Ⅰ·T14 全國卷Ⅰ·T10 全國卷Ⅱ·T15 全國卷Ⅱ·T13 全國卷Ⅰ·T9 全國卷Ⅱ·T5 隨機事件的概率、古典概型與幾何概型 全國卷Ⅰ·T4 全國卷Ⅱ·T10 全國卷Ⅰ·T5 全國卷Ⅱ·T5 全國卷Ⅱ·T14 條件概率、二項分布、離散型隨機

2、變量的分布列、均值與方差 全國卷Ⅰ·T19 全國卷Ⅱ·T18 全國卷Ⅰ·T4 全國卷Ⅱ·T18 全國卷Ⅰ·T19 全國卷Ⅱ·T19 全國卷·T18 [重點關(guān)注] 綜合近5年全國卷高考試題，我們發(fā)現(xiàn)高考命題在本章呈現(xiàn)以下規(guī)律： 1．從考查題型看：一般有1～2個客觀題，1個解答題；從考查分值看，占10～22分，基礎(chǔ)題主要考查對基礎(chǔ)知識和基本方法的應(yīng)用意識，中檔題主要考查轉(zhuǎn)化與化歸思想及運算求解能力． 2．從考查知識點看：主要考查計數(shù)原理、排列與組合、二項式定理、隨機事件的概率、古典概型與幾何概型、離散型隨機變量及其分布列、離散型隨機變量的均值與方差． 3．從命題思路上看

3、： (1)計數(shù)原理、排列組合與古典概型相結(jié)合考查． (2)幾何概型與線性規(guī)劃、定積分等知識相結(jié)合考查． (3)隨機事件的概率、離散型隨機變量及其分布列、離散型隨機變量的均值與方差和統(tǒng)計知識交匯考查． (4)相互獨立事件、二項分布、超幾何分布、正態(tài)分布、實際問題等其他知識交匯考查． [導(dǎo)學(xué)心語] 1．全面系統(tǒng)復(fù)習(xí)，深刻理解知識本質(zhì) (1)重視計數(shù)原理、二項式定理的理解，深刻把握排列組合、隨機事件、古典概型、幾何概型、離散型隨機變量及其分布列、條件概率、二項分布、離散型隨機變量的均值與方差、正態(tài)分布等概念，研究事件的概率，注意該事件的特征，用適當(dāng)?shù)母怕誓Ｐ颓蠼猓? (2)注意各類概率

4、公式和概率模型的理解和應(yīng)用，掌握其適用條件和用法． 2．抓住重點、針對訓(xùn)練 通過對近5年全國卷高考試題分析，可以預(yù)測，在2017年，本章問題考查的重點是： (1)計數(shù)原理、二項式定理、古典概型、幾何概型． (2)離散型隨機變量及其分布列、期望與方差．做針對性訓(xùn)練，通過小題強化概率各種題型的計算，通過解答題訓(xùn)練鞏固離散型隨機變量及分布列問題． 3．重視轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用 研究計數(shù)原理、概率、隨機變量及其分布列問題，轉(zhuǎn)化與化歸思想貫穿始終，首先需要將實際問題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的計數(shù)問題、排列組合問題、概率計算問題、離散型隨機變量的分布列與均值、方差等的計算問題，其次將概率的計算轉(zhuǎn)化為計數(shù)問題

5、、長度或面積的計算問題，將求分布列問題轉(zhuǎn)化為概率的計算問題，將復(fù)雜事件的概率計算轉(zhuǎn)化為簡單事件的概率計算． 第一節(jié)　分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理 [考綱傳真]　1.理解分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理.2.能正確區(qū)分“類”和“步”，并能利用兩個原理解決一些簡單的實際問題． 1．分類加法計數(shù)原理 完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m＋n種不同的方法． 2．分步乘法計數(shù)原理 完成一件事需要兩個步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m×n種不同的方法．

6、 1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)在分類加法計數(shù)原理中，兩類不同方案中的方法可以相同．(　　) (2)在分類加法計數(shù)原理中，每類方案中的方法都能直接完成這件事．(　　) (3)在分步乘法計數(shù)原理中，每個步驟中完成這個步驟的方法是各不相同的．(　　) (4)在分步乘法計數(shù)原理中，事情是分兩步完成的，其中任何一個單獨的步驟都能完成這件事．(　　) [答案]　(1)×　(2)√　(3)√　(4)× 2．(教材改編)從0,1,2,3,4,5這六個數(shù)字中，任取兩個不同數(shù)字相加，其和為偶數(shù)的不同取法的種數(shù)有(　　) A．30　　 B.20　

7、 C.10　　 D.6 D　[從0,1,2,3,4,5六個數(shù)字中，任取兩數(shù)和為偶數(shù)可分為兩類：①取出的兩數(shù)都是偶數(shù)，共有3種方法；②取出的兩數(shù)都是奇數(shù)，共有3種方法，故由分類加法計數(shù)原理得共有N＝3＋3＝6種．] 3．從集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取兩個互不相等的數(shù)a，b組成復(fù)數(shù)a＋bi，其中虛數(shù)有(　　) A．30個 B.42個 C.36個 D.35個 C　[∵a＋bi為虛數(shù)，∴b≠0，即b有6種取法，a有6種取法， 由分步乘法計數(shù)原理知可以組成6×6＝36個虛數(shù)．] 4．(2016·全國卷Ⅱ)如圖10-1-1，小明從街道的E處出發(fā)，先到F處與小紅會合，再一起到

8、位于G處的老年公寓參加志愿者活動，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為(　　) 圖10-1-1 A．24 B.18 C.12 D.9 B　[分兩步，第一步，從E→F，有6條可以選擇的最短路徑；第二步，從F→G，有3條可以選擇的最短路徑．由分步乘法計數(shù)原理可知有6×3＝18條可以選擇的最短路程．] 5.現(xiàn)有4種不同的顏色要對如圖10-1-2所示的四個部分進行著色，要求有公共邊界的兩塊不能用同一種顏色，則不同的著色方法共有________種． 圖10-1-2 48　[按A→B→C→D順序分四步涂色，共4×3×2×2＝48種不同的著色方法．] 分類加法計數(shù)

9、原理 　(1)三個人踢毽子，互相傳遞，每人每次只能踢一下，由甲開始踢，經(jīng)過4次傳遞后，毽子又被踢回給甲，則不同的傳遞方式共有(　　) A．4種　　 B.6種　 C.10種　　 D.16種 (2)(2017·青島二中月考)滿足a，b∈{－1,0,1,2}，且關(guān)于x的方程ax2＋2x＋b＝0有實數(shù)解的有序數(shù)對(a，b)的個數(shù)為(　　) 【導(dǎo)學(xué)號：01772376】 A．14 B.13 C.12 D.10 (1)B　(2)B　[(1)分兩類：甲第一次踢給乙時，滿足條件有3種方法(如圖)，甲乙丙乙甲甲乙甲丙甲 同理，甲先傳給丙時，滿足條件有3種方法． 由分類加法計數(shù)原理，共有

10、3＋3＝6種傳遞方法． (2)①當(dāng)a＝0時，有x＝－，b＝－1,0,1,2，有4種可能； ②當(dāng)a≠0時，則Δ＝4－4ab≥0，ab≤1， (ⅰ)當(dāng)a＝－1時，b＝－1,0,1,2，有4種可能； (ⅱ)當(dāng)a＝1時，b＝－1,0,1，有3種可能； (ⅲ)當(dāng)a＝2時，b＝－1,0，有2種可能． ∴有序數(shù)對(a，b)共有4＋4＋3＋2＝13個．] [規(guī)律方法]　1.第(2)題常見的錯誤： (1)想當(dāng)然認(rèn)為a≠0； (2)誤認(rèn)為a≠b. 2．分類標(biāo)準(zhǔn)是運用分類計數(shù)原理的難點所在，應(yīng)抓住題目中的關(guān)鍵詞、關(guān)鍵元素、關(guān)鍵位置． (1)根據(jù)題目特點恰當(dāng)選擇一個分類標(biāo)準(zhǔn)． (2)分類時應(yīng)注

11、意完成這件事情的任何一種方法必須屬于某一類，并且分別屬于不同種類的兩種方法是不同的方法，不能重復(fù)． [變式訓(xùn)練1]　從集合{1,2,3，…，10}中任意選出三個不同的數(shù)，使這三個數(shù)成等比數(shù)列，這樣的等比數(shù)列的個數(shù)為(　　) A．3　　　　 B.4　　　 C.6　　　　 D.8 D　[以1為首項的等比數(shù)列為1,2,4；1,3,9.以2為首項的等比數(shù)列為2,4,8. 以4為首項的等比數(shù)列為4,6,9. 把這4個數(shù)列的順序顛倒，又得到另外的4個數(shù)列， ∴所求的數(shù)列共有2(2＋1＋1)＝8個．] 分步乘法計數(shù)原理 　(1)(2017·山東威海模擬)某學(xué)校開設(shè)“藍(lán)天工程博覽課程”，

12、組織6個年級的學(xué)生外出參觀包括甲博物館在內(nèi)的6個博物館，每個年級任選一個博物館參觀，則有且只有兩個年級選擇甲博物館的情況有(　　) A．C·45種　　　　　 B.A·54種 C．C·A種 D.C·54種 (2)有六名同學(xué)報名參加三個智力項目，每項限報一人，且每人至多參加一項，則共有________種不同的報名方法． (1)D　(2)120　[(1)有兩個年級選擇甲博物館共有C種情況，其余四個年級每個年級各有5種選擇情況， 故有且只有兩個年級選擇甲博物館的情況有C×54種． (2)每項限報一人，且每人至多參加一項，因此可由項目選人，第一個項目有6種選法，第二個項目有5種選法，第三個

13、項目只有4種選法，由分步乘法計數(shù)原理，得共有報名方法6×5×4＝120種．] [規(guī)律方法]　1.利用分步乘法計數(shù)原理應(yīng)注意：(1)要按事件發(fā)生的過程合理分步，即分步是有先后順序的．(2)各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各步驟都完成才算完成這件事． 2．在第(1)題中，除僅有兩個年級選擇甲博物館外，其余4個年級易錯誤認(rèn)為有45種選擇方法．導(dǎo)致錯選A項． [變式訓(xùn)練2]　(1)設(shè)集合A＝{－1,0,1}，B＝{0,1,2,3}，定義A*B＝{(x，y)|x∈A∩B，y∈A∪B}，則A*B中元素的個數(shù)為________． (2)將甲、乙、丙、丁四名學(xué)生分到兩個不同的班，每個班至少分到一名

14、學(xué)生，且甲、乙兩名學(xué)生不能分到同一個班，則不同的分法的種數(shù)為________．(用數(shù)字作答) (1)10　(2)8　[(1)易知A∩B＝{0,1}，A∪B＝{－1,0,1,2,3}， ∴x有2種取法，y有5種取法， 由分步乘法計數(shù)原理，A*B的元素有2×5＝10個． (2)第1步把甲、乙分到不同班級有A＝2種分法． 第2步分丙、丁：①丙、丁分到同一班級有2種分法，②丙、丁分到兩個不同的班級有A＝2種分法． 由計數(shù)原理，不同的分法為2×(2＋2)＝8種．] 兩個計數(shù)原理的綜合應(yīng)用 　(1)(2017·杭州調(diào)研)已知集合M＝{1,2,3,4}，集合A，B為集合M的非空子集，若對

15、?x∈A，y∈B，x

16、， 所以滿足題意的“子集對”共有7＋3＋1＋3＋3＝17(個)． (2)區(qū)域A有5種涂色方法；區(qū)域B有4種涂色方法；區(qū)域C的涂色方法可分2類：若C與A涂同色，區(qū)域D有4種涂色方法；若C與A涂不同色，此時區(qū)域C有3種涂色方法，區(qū)域D也有3種涂色方法， 所以共有5×4×4＋5×4×3×3＝260種涂色方法．] [規(guī)律方法]　1.(1)注意在綜合應(yīng)用兩個原理解決問題時，一般是先分類再分步．在分步時可能又用到分類加法計數(shù)原理． (2)注意對于較復(fù)雜的兩個原理綜合應(yīng)用的問題，可恰當(dāng)?shù)禺嫵鍪疽鈭D或列出表格，使問題形象化、直觀化． 2．解決涂色問題，可按顏色的種數(shù)分類，也可按不同的區(qū)域分步完成，

17、第(2)題中，由于共邊的區(qū)域不同色，從而是按區(qū)域A與區(qū)域C是否同色分類處理的． [變式訓(xùn)練3]　(2017·廈門市聯(lián)考)用a代表紅球，b代表藍(lán)球．由加法原理及乘法原理，從1個紅球和1個藍(lán)球中取出若干個球的所有取法可由(1＋a)(1＋b)的展開式1＋a＋b＋ab表示出來，如：“1”表示一個球都不取，“a”表示取出一個紅球，而“ab”則表示把紅球和藍(lán)球都取出來．以此類推，下列各式中，其展開式可用來表示從5個無區(qū)別的紅球、5個無區(qū)別的藍(lán)球中取出若干個球，且所有的藍(lán)球都取出或都不取出的所有取法的是(　　) A．(1＋a＋a2＋a3＋a4＋a5)(1＋b5) B．(1＋a5)(1＋b＋b2＋b3＋

18、b4＋b5) C．(1＋a)5(1＋b＋b2＋b3＋b4＋b5) D．(1＋a5)(1＋b5) A　[分兩步：第一步，5個無區(qū)別的紅球可能取出0個，1個，…，5個，則有1＋a＋a2＋a3＋a4＋a5種不同的取法． 第二步，5個無區(qū)別的藍(lán)球都取出或都不取出，則有1＋b5種不同取法． 由分步乘法計數(shù)原理，共有(1＋a＋a2＋a3＋a4＋a5)(1＋b5)種取法．] [思想與方法] 1．分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理，都涉及完成一件事的不同方法的種數(shù)．區(qū)別在于：分類加法計數(shù)原理與分類有關(guān)，各種方法相互獨立，用其中的任一種方法都可以完成這件事；分步乘法計數(shù)原理與分步有關(guān)，各個步驟相互依存，只有各個步驟都完成了，這件事才算完成． 2．涉及加法與乘法原理的混合問題一般是先分類再分步． 3．要恰當(dāng)畫出示意圖或樹狀圖，使問題的分析更直觀、清楚，便于探索規(guī)律． [易錯與防范] 1．切實理解“完成一件事”的含義，以確定需要分類還是需要分步進行． 2．分類的關(guān)鍵在于要做到“不重不漏”，分步的關(guān)鍵在于要正確設(shè)計分步的程序，即合理分類，準(zhǔn)確分步． 3．確定題目中是否有特殊條件限制．