2018屆高三數(shù)學一輪復習： 重點強化課4 直線與圓

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1、 重點強化課(四)　直線與圓 [復習導讀]　1.本部分的主要內容是直線方程和兩條直線的位置關系、圓的方程、直線與圓的位置關系.2.高考對本部分的考查主要涉及直線的傾斜角與斜率的關系、兩直線的位置關系的判斷；距離公式的應用、圓的方程的求法以及直線與圓的位置關系，常與向量、橢圓、雙曲線、拋物線的幾何性質相結合考查.3.另外，應認真體會數(shù)形結合思想的應用，充分利用直線、圓的幾何性質簡化運算． 重點1　直線方程與兩直線的位置關系 　(1)(2017·江西南昌模擬)直線(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0過定點 (　　) 【導學號：01772303】 A．(1，－3)　　　　 B.(

2、4,3) C．(3,1) D.(2,3) (2)(2017·濟南調研)一條光線從點(－2，－3)射出，經y軸反射后與圓(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，則反射光線所在直線的斜率為(　　) A．－或－ B.－或－ C．－或－ D.－或－ (1)C　(2)D　[(1)2mx＋x＋my＋y－7m－4＝0，即(2x＋y－7)m＋(x＋y－4)＝0， 由解得則直線過定點(3,1)． (2)由已知，得點(－2，－3)關于y軸的對稱點為(2，－3)，由入射光線與反射光線的對稱性，知反射光線一定過點(2，－3)． 設反射光線所在直線的斜率為k，則反射光線所在直線的方程為y＋3＝k(x－

3、2)，即kx－y－2k－3＝0. 由反射光線與圓相切，則有d＝＝1， 解得k＝－或k＝－.] [規(guī)律方法]　1.直線過定點問題，可將直線中的參數(shù)賦值，解方程組得交點坐標． 2．直線方程常與直線垂直、平行、距離等知識交匯考查，考查直線方程的求法以及直線間的位置關系等．注意數(shù)形結合思想、分類討論思想的應用． [對點訓練1]　(2017·福建龍巖二模)已知m，n為正整數(shù)，且直線2x＋(n－1)y－2＝0與直線mx＋ny＋3＝0互相平行，則2m＋n的最小值為(　　) A．7 B.9 C．11 D.16 B　[直線2x＋(n－1)y－2＝0與直線mx＋ny＋3＝0互相平行， ∴2n

4、＝m(n－1)， ∴m＋2n＝mn， 又m>0，n>0，得＋＝1. ∴2m＋n＝(2m＋n)＝5＋＋≥5＋2＝9. 當且僅當＝時取等號． ∴2m＋n的最小值為9.] 重點2　圓的方程 　(1)若圓x2＋y2－ax＋2y＋1＝0與圓x2＋y2＝1關于直線y＝x－1對稱，過點C(－a，a)的圓P與y軸相切，則圓心P的軌跡方程為(　　) 【導學號：01772304】 A．y2－4x＋4y＋8＝0　　 B.y2＋2x－2y＋2＝0 C．y2＋4x－4y＋8＝0 D.y2－2x－y－1＝0 (2)(2015·全國卷Ⅱ)過三點A(1,3)，B(4,2)，C(1，－7)的圓交y軸于

5、M，N兩點，則|MN|＝(　　) A．2 B.8 C．4 D.10 (1)C　(2)C　[(1)由圓x2＋y2－ax＋2y＋1＝0與圓x2＋y2＝1關于直線y＝x－1對稱，可知兩圓半徑相等且兩圓圓心連線的中點在直線y＝x－1上，故可得a＝2，即點C(－2,2)． ∴過點C(－2,2)且與y軸相切的圓的圓心的軌跡方程為(x＋2)2＋(y－2)2＝x2，整理得y2＋4x－4y＋8＝0. (2)設圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 則解得 ∴圓的方程為x2＋y2－2x＋4y－20＝0. 令x＝0，得y＝－2＋2或y＝－2－2， ∴M(0，－2＋2)，N(0，－2－2)或

6、M(0，－2－2)，N(0，－2＋2)，∴|MN|＝4.] [規(guī)律方法]　求圓的方程時，應根據(jù)條件選用合適的圓的方程．一般來說，求圓的方程有兩種方法： (1)幾何法，通過研究圓的性質進而求出圓的基本量．確定圓的方程時，常用到的圓的三個性質：①圓心在過切點且垂直切線的直線上；②圓心在任一弦的中垂線上；③兩圓內切或外切時，切點與兩圓圓心三點共線． (2)代數(shù)法，即設出圓的方程，用待定系數(shù)法求解． [對點訓練2]　(2017·河北唐山二模)直線l：＋＝1與x軸、y軸分別相交于點A，B，O為坐標原點，則△OAB內切圓的方程為__________． 【導學號：01772305】 (x－1)

7、2＋(y－1)2＝1　[由題意，設△OAB的內切圓的圓心為M(m，m)，則半徑為|m|. 直線l的方程＋＝1可化為3x＋4y－12＝0， 由題意可得＝m，解得m＝1或m＝6(不符合題意，舍去)． ∴△OAB內切圓的方程為(x－1)2＋(y－1)2＝1.] 重點3　直線與圓的綜合問題 ?角度1　圓的切線 　如圖1，已知圓C與x軸相切于點T(1,0)，與y軸正半軸交于兩點A，B(B在A的上方)，且|AB|＝2. (1)圓C的標準方程為________________； (2)圓C在點B處的切線在x軸上的截距為__________． 圖1 (1)(x－1)2＋(y－)2＝

8、2　(2)－－1　[(1)由題意知點C的坐標為(1，)，圓的半徑r＝. 所以圓的方程為(x－1)2＋(y－)2＝2. (2)在(x－1)2＋(y－)2＝2中， 令x＝0，解得y＝±1，故B(0，＋1)． 直線BC的斜率為＝－1， 故切線的斜率為1，切線方程為y＝x＋＋1. 令y＝0，解得x＝－－1， 故所求截距為－－1.] ?角度2　直線與圓相交的弦長問題 　(2016·全國卷Ⅲ)已知直線l：mx＋y＋3m－＝0與圓x2＋y2＝12交于A，B兩點，過A，B分別作l的垂線與x軸交于C，D兩點．若|AB|＝2，則|CD|＝________. 4　[由直線l：mx＋y＋3m－＝0

9、知其過定點(－3，)，由圓x2＋y2＝12知半徑r＝2，又|AB|＝2，所以圓心O到直線l的距離為d＝. 由|AB|＝2得2＋()2＝12，解得m＝－.又直線l的斜率為－m＝，所以直線l的傾斜角α＝. 畫出符合題意的圖形如圖所示，過點C作CE⊥BD，則∠DCE＝.在Rt△CDE中，可得|CD|＝＝2×＝4.] ?角度3　直線、圓與相關知識的交匯 　(2015·全國卷Ⅰ)已知過點A(0,1)且斜率為k的直線l與圓C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N兩點． (1)求k的取值范圍； (2)若·＝12，其中O為坐標原點，求|MN|. [解]　(1)由題設可知直線l的方程為y＝

10、kx＋1.2分 因為直線l與圓C交于兩點，所以<1， 解得