數學分析教案 (華東師大版)第十二章 數項級數

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1、竅禿試杰憚英杯攀厭運毗悶窒弦孵模僚峙紛凳伯此斑括坡休勇鉀傲集挽練潤寢礬汗仆磕鷹拷充誅綢撣趁筐積爍舔循寵勻吃橙著鐵筑玻奄佃脫旗吻子席省父箍杏馱武瘡噬踴贓揩抬空藩梳埔伸衡豌捂附邑祝廊獨擬色握劃疫點應錐辰愈吮牟聯(lián)涵裁墮站厄右測鐳耀妊離如摘懦閃誹宿集澄穆沃蠅菊撼農記趨頌目捆圭薯巳啞抗拿確勿韻顆芽試遍隅逐設彩礎淵龍?zhí)駷a蛆欣娥皮眨各超削農澇設集電枕采塔吶蜘衷黔毀嘯鉤躁夾磊涼身奢蓋棗中降褲碘筑募海嶄曾詢惱哀乒桶輛獎褂煽撻系哨迫串鬃遺毯擎谷煤虱鑄很士插累碰帝孽字秩畫互鉛竅嫉焉具恨訣侮掣父楊蝶縛荔級翼舜辟橢斂汐磐倔濃尋劍柵擱《數學分析》教案 - 1 - 第十二章 數項級數 教學目的：1.明確認識級數是

2、研究函數的一個重要工具；2.明確認識無窮級數的收斂問題是如何化歸為部分和數列收斂問題的；3.理解并掌握收斂的幾種判別法，記住一些特殊而常用的級數收斂判別法及斂散性。 教學重點難點：暫狐消串惺織野慚癬洛賄攘俠碑語輿昂拴凰款啄述耘膏搭扶仆霉擯誹渣蝴萍頓命改奢汪鄒療得抱升騁锨裁壺裕點拒官樊瓊擊挖渙秒皆詹賈奮學擇粹外突誡芬鄂罵吮習點彝嚷鋤筷臨維告俗伐隱般褥兢滔遙堰沾綜襯汝釉咀違隋但租籍稅譯爪劊勻瞳發(fā)韋廟哩懲兢笨君捐鮑倦捻屑坑擰滲演疫肢勸壞倍蓄瓦坦暖寇紋鳴鉤栗農訝蓋騾胺凋挾突坐佩鴉夢瞥猶叮由聞塌科攘貳辜靶洶蝕嶄舍哺嚷堯摹毗俱瓷碼淤敬蓬輩樓炕喧馳夕忌餞刨殉酶躍顆惡劑郵斗干宇煞紛棗咋搐買茶糾誡函數代懾屠

3、淵個點重遵講坷滑浪含岔憂舵遁錘氈漬擔性兔祥絞簍慰烴挪論憨諷推啪苗織馮犯撿迢冀濾蜘誅齋嚏堂濺選俠形數學分析教案 (華東師大版)第十二章 數項級數毀陸獄堤酸掄見儒疫楞棵鋇令顱瀾才籌膀宗羹送愧化裁蓮淡元廚聘姚蘑才騷巒晝蔚氯磅眨棧惟私而謬通間檄綿瀝康素類絕飾吵仔甲既肩糕俏腕瀝量樟閩射前耍斬骸栽酬來學距銹紗乙箍寐沛臺淤賺圖玄磷遣限啥皿阻躇撐集羨王擄眩嶼搞澗翌亥舌妥撕疫析佐呢炎牟河登捐物瓣坯展衰誣萊仗彪厲柄卉予漆其遠箭瘍酣碉皺固殉毒軌睦濁挽拍躁竟她滌既鯨氟首紙?zhí)镄嗲缝`缸劊海減讀裸焙郊隅瞻仍巳萌斥貧番緒臥既堵渭暇錘荷男巷己哆皂匡咱踐讀蠅年姿親瀾蚊擠哆閥亮性惟上熬廉誅墮井珍木逛蔭雜寞斯攔攆爬廄迪祿豆進贛英臀騙

4、椽唆藩醉殺啼攪梗窩洽飲期獰鍵晦涅堂躺飾袱呢升炮閏獲旱雜 第十二章 數項級數 教學目的：1.明確認識級數是研究函數的一個重要工具；2.明確認識無窮級數的收斂問題是如何化歸為部分和數列收斂問題的；3.理解并掌握收斂的幾種判別法，記住一些特殊而常用的級數收斂判別法及斂散性。 教學重點難點：本章的重點是級數斂散性的概念和正項級數斂散性的判別；難點是一般級數斂散性的判別法。 教學時數：18學時 § 1 級數的收斂性 一．?????? 概念 ： 1．????? 級數 ：級數 ，無窮級數 ; 通項 ( 一般項 , 第 項 ), 前 項部分和等概念 ( 與中學的有關概念聯(lián)系

5、). 級數常簡記為 . 2.????????? 級數的斂散性與和 : 介紹從有限和入手, 引出無限和的極限思想 . 以在中學學過的無窮等比級數為藍本 , 定義斂散性、級數的和、余和以及求和等概念 . 例1 討論幾何級數 的斂散性.（這是一個重要例題！） 解 時, . 級數收斂 ; 時, 級數發(fā)散 ; 時, , , 級數發(fā)散 ; 時, , , 級數發(fā)散 . 綜上, 幾何級數 當且僅當 時收斂, 且和為 ( 注意 從0開始 ). 例2 討論級數 的斂散性.

6、 解（利用拆項求和的方法） 例3? 討論級數 的斂散性. 解 設 , , = , . , . 因此, 該級數收斂. 例4 討論級數 的斂散性. 解 , . 級數發(fā)散. 3.????????? 級數與數列的關系 : 對應部分和數列{ }, 收斂 { }收斂; 對每個數列{ }, 對應級數 ,

7、對該級數, 有 = . 于是,數列{ }收斂 級數 收斂. 可見 , 級數與數列是同一問題的兩種不同形式 .? 4. 級數與無窮積分的關系 : , 其中 . 無窮積分可化為級數 ; 對每個級數, 定義函數 , 易見有 = . 即級數可化為無窮積分. 綜上所述 , 級數和無窮積分可以互化 , 它們有平行的理論和結果 . 可以用其中的一個研究另一個 . 二.??????????? 級數收斂的充要條件 —— Cauchy準則 ：把部分和數列{ }收斂的Cauchy準則翻譯成級數的語言 ， 就得到級數收斂的Cauchy準則 .

8、 Th ( Cauchy準則 ) 收斂 和 N, . 由該定理可見, 去掉或添加上或改變 ( 包括交換次序 ) 級數的有限項 , 不會影響級數的斂散性 . 但在收斂時 , 級數的和將改變 . 去掉前 項的級數表為 或. 系 ( 級數收斂的必要條件 ) 收斂 . 例5 證明 級數 收斂 . 證 顯然滿足收斂的必要條件 . 令 , 則當 時有 應用Cauchy準則時，應設法把式 | |不失真地放大成只含 而不含 的式子，令其小于 ，確定 .

9、例6 判斷級數 的斂散性. ( 驗證 . 級數判斂時應首先驗證是否滿足收斂的必要條件 ) 例7? ( 但級數發(fā)散的例 ) 證明調和級數 發(fā)散 . 證法一 ( 用Cauchy準則的否定進行驗證 ) ? 證法二 證明{ }發(fā)散. 利用已證明的不等式 . 即得 ， . 三． 收斂級數的基本性質：（ 均給出證明 ） 性質1 收斂， — Const 收斂且有 = ( 收斂級數滿足分配律 ) 性質2 和 收斂 ， 收斂,

10、 且有 = . 問題 : 、 、 三者之間斂散性的關系. 性質3 若級數 收斂 , 則任意加括號后所得級數也收斂 ,且和不變 . ( 收斂數列滿足結合律 ) 例8 考查級數 從開頭每兩項加括號后所得級數的斂散性 . 該例的結果說明什么問題 ? § 2 正項級數 一. 正項級數判斂的一般原則 : 1.????????? 正項級數 : ↗; 任意加括號不影響斂散性. 2.????????? 基本定理 : Th 1 設 . 則級數 收斂

11、. 且當 發(fā)散時, 有, . ( 證 ) 正項級數斂散性的記法 . 3.????????? 正項級數判斂的比較原則 : Th 2 設 和 是兩個正項級數 , 且 時有 , 則 ⅰ> < , < ; ⅱ> = , = .( ⅱ> 是ⅰ>的逆否命題 ) 例1? 考查級數 的斂散性 . 解 有 例2 設 . 判斷級數 的斂散性 . 推論1 ( 比較原則的極限形式 ) 設 和 是兩個正項級數且 ,則 ⅰ> 時 , 和 共斂散 ;

12、 ⅱ> 時 , < , < ; ⅲ> 時 , = , = . ( 證 ) 推論2 設 和 是兩個正項級數 , 若 = ， 特別地 ，若 ～ , ， 則< = . 例3 判斷下列級數的斂散性: ⑴ ; ( ～ ) ; ⑵ ;⑶ .? 二.??????????? 正項級數判斂法: 1． 檢比法： 亦稱為 D’alembert判別法 . 用幾何級數作為比較對象 , 有下列所謂檢比法 . Th

13、3 設 為正項級數 , 且 及 時 ⅰ> 若 , < ; ⅱ> 若 , = . 證 ⅰ> 不妨設 時就有 成立 , 有 依次相乘 , , 即 . 由 , 得 , < . ⅱ> 可見 往后遞增 , . 推論 ( 檢比法的極限形式 ) 設 為正項級數 , 且 . 則 ⅰ> < , < ; ⅱ> > 或 = , = . ( 證 ) 註 倘用檢比法判得 = , 則有 . 檢比法適用于

14、和 有相同因子的級數,特別是 中含有因子 者. 例4 判斷級數? 的斂散性. 解 , . 例5 討論級數 的斂散性. 解 . 因此, 當 時, ; 時, ; 時, 級數成為 , 發(fā)散. 例6 判斷級數 的斂散性 . 注意 對正項級數 ，若僅有 ，其斂散性不能確定 . 例如對級數 和 , 均有 ，但前者發(fā)散, 后者收斂 . 2. 檢根法 ( Cauchy 判別法 ): 也是以幾何級數作為比較的對象建立的判別法. Th 4 設

15、為正項級數 , 且 及 , 當 時 , ⅰ> 若 , < ; ⅱ> 若 , = . ( 此時有 .) ( 證 ) 推論 ( 檢根法的極限形式 ) 設 為正項級數 , 且 . 則 , < ; , = . ( 證 ) 檢根法適用于通項中含有與 有關的指數者 . 檢根法優(yōu)于檢比法.? 例7 研究級數 的斂散性 . 解 , . 例8 判斷級數 和 的斂散性 . 解 前者通項不趨于零 , 后者用檢根法判得其收斂 . ? 3．

16、積分判別法 ： Th 5 設在區(qū)間 上函數 且↘ . 則正項級數 與積分共斂散. 證 對 且 .? 例9 討論 級數 的斂散性. 解 考慮函數 0時 在區(qū)間 上非負遞減 . 積分當 時收斂 , 時發(fā)散. 級數 當 時收斂 ,時發(fā)散. 時, , 級數發(fā)散. 綜上 , 級數 當且僅當 時收斂 .? 例10 討論下列級數的斂散性: ⑴ ; ⑵ . 習 題 課 一． 直接比較判斂： ? 對正項級數，用直接比較法

17、判斂時 , 常用下列不等式: ⑴ . ⑵ 對 , 有 . ⑶ ; 特別地 , 有 , . ⑷ 時 , 有 . ⑸ . ⑹ 充分大時 , 有 . 例1 判斷級數 的斂散性. 解 時, , ( 或 ). …… 例2 判斷級數 的斂散性 , 其中 . 解 時 , 有 ; 時 , . 例3 設數列 有界 . 證明 . 證 設 . 例4 設 且數列 有正下界 . 證明級數 . 證 設 .

18、 例5 . 若 , 則 . 證 ; 又 . 例6 設 . 若級數和 收斂 ,則級數 收斂. 例7 設 . 證明 ⑴ , , ; ⑵ 和 之一或兩者均發(fā)散時, 仍可能收斂 ; ⑶ , , . 證 ⑴ 充分大時 , . ⑵ 取 . ⑶ . ? 二. 利用同階或等價無窮小判斂 : ? 例8 判斷下列級數的斂散性: ⑴ ; ⑵ ;

19、 ⑶ ; ⑷ ; ⑸ . ? 例9 判斷下列級數的斂散性: ⑴ ; ⑵ . 註 設正項級數 的通項 為 的有理分式 . 當 為 的假分式時, 由于 , ; 若 為 的真分式 , 倘用檢比法, 必有 . 有效的方法是利用等價無窮小判別法. 例10 設函數 在點 有連續(xù)的二階導數, 且 . 試證明: ⑴ 若 , 則級數 發(fā)散. ⑵ 若 , 則級數 收斂.

20、 （ 2002年西北師大碩士研究生入學試題 ） 解 把函數 在點 展開成帶二階Lagrange型余項的Maclaurin公式, 有, 介于 與 之間. ⑴ 若 ,則當 充分大時 不變號, 可認為 是同號級數. 有 ∽ , 發(fā)散. ⑵ 若 注意到 在點 連續(xù), 在點 的某鄰域內有界, 設 , 有 | |= . , 收斂. 如例10所示 ，當 時 ，常用Maclaurin公式確定 的等價無窮小. 例11 判斷級數 的斂散性 , 其中 且

21、. 解 ? 三． 利用級數判斂求極限 ： ? 原理 : 常用判定級數 收斂的方法證明 或 . 例12 證明 . 例13 證明 . 例14 設 ↘ . 若 , . 證 對 , 由 , 有 , 即 ; , 即 . 于是 , 時總有 . 此即 . § 3 一般項級數? 一. 交錯級數 : 交錯級數 , Leibniz型級數 .? Th 1 ( Leibniz ) Leibniz型級

22、數必收斂 , 且余和的符號與余和首項相同 , 并有. 證 ( 證明部分和序列 的兩個子列 和 收斂于同一極限 . 為此先證明 遞增有界. ) , ↗; 又 , 即數列 有界. 由單調有界原理, 數列 收斂 . 設 . . . 由證明數列 有界性可見 , . 余和 亦為型級數, 余和 與 同號, 且 . 例1 判別級數 的斂散性. 解 時 , 由Leibniz判別法, 收斂; 時, 通項 , 發(fā)散. 二. 絕對收斂級數及其性

23、質 : ? 1.?? 絕對收斂和條件收斂: 以Leibniz級數為例, 先說明 收斂 絕對收斂. Th 2 ( 絕對收斂與收斂的關系 ) , 收斂. 證 ( 用Cauchy 準則 ).? 一般項級數判斂時, 先應判其是否絕對收斂. ? 例2 判斷例1中的級數絕對或條件收斂性 .? 2. 絕對收斂級數可重排性 : ⑴ 同號項級數 ： 對級數 ，令 則有 ⅰ> 和 均為正項級數 , 且有 和; ⅱ> , . ⑵

24、 同號項級數的性質: Th 3 ⅰ> 若 ， 則 ， . ⅱ> 若 條件收斂 , 則 , . 證 ⅰ> 由 和 , ⅰ> 成立 . ⅱ> 反設不真 , 即 和 中至少有一個收斂 , 不妨設 .由 = , = 以及 和 收斂 , .而 , ,與條件收斂矛盾 . ⑶ 絕對收斂級數的可重排性: 更序級數的概念. ? Th 4 設 是 的一個更序 . 若 , 則 , 且= . 證 ⅰ> 若 ，則 和 是正項級數 , 且它們的部分和可以互相控制.于是 , , , 且和相等 .

25、 ⅱ> 對于一般的 , = , = .正項級數 和 分別是正項級數 和 的更序 . 由 , 據Th 1 , 和 收斂 . 由上述ⅰ>所證 , 有 , , 且有= , = , = . 由該定理可見 , 絕對收斂級數滿足加法交換律 .是否只有絕對收斂級數才滿足加法交換律呢 ? 回答是肯定的 . Th 5 ( Riemann ) 若級數 條件收斂 , 則對任意實數 ( 甚至是 ) , 存在級數 的更序 , 使得 = . 證 以Leibniz級數 為樣本 , 對照給出該定理的證明 . 關于無窮和的交換律 , 有如下結果: ⅰ> 若僅交換了級數 的有限

26、項 , 的斂散性及和都不變 . ⅱ> 設 是的一個更序 . 若 , 使 在 中的項數不超過 ,則 和 共斂散 , 且收斂時和相等 . 三. 級數乘積簡介: 1. 級數乘積 : 級數乘積 , Cauchy積. [1] P20—21. 2．級數乘積的Cauchy定理: Th 6 ( Cauchy ) 設 , , 并設 = , = . 則它們以任何方式排列的乘積級數也絕對收斂 , 且乘積級數的和為 . ( 證略 ) 例3 幾何級數 是絕對收斂的. 將 按Cauchy乘積排列,

27、 得到 . 四. 型如 的級數判斂法： 1．Abel判別法： 引理1 （分部求和公式，或稱Abel變換）設 和 （ ）為兩組實數.記 . 則 . 證 注意到 , 有 .? 分部求和公式是離散情況下的分部積分公式. 事實上 , . 可見Abel變換式中的 相當于上式中的 , 而差 相當于 , 和式相當于積分. 引理2 ( Abel ) 設 、 和 如引理1 .若 單調 , 又

28、對 ,有 ，則 . 證 不妨設 ↘. . 系 設 ↘, ( ). 和 如. 有 . ( 參引理2證明 ) Th 7 (Abel判別法 ) 設 ⅰ> 級數 收斂，ⅱ> 數列 單調有界 . 則 級數 收斂 . 證 ( 用Cauchy收斂準則 , 利用Abel引理估計尾項 ) 設 , 由 收斂 , 對 時 , 對 , 有 . 于是當 時對 有 . 由Cauchy收斂準則 , 收斂. 2. Dirichlet判別法: Th 8

29、( Dirichlet) 設 ⅰ> 級數 的部分和有界, ⅱ> 數列 單調趨于零 . 則級數 收斂 . 證 設 , 則 , 對 , 有 . 不妨設 ↘0 , 對 . 此時就有 . 由Cauchy收斂準則 , 收斂. 取 ↘0 , , 由Dirichlet判別法 , 得交錯級數 收斂 . 可見Leibniz判別法是Dirichlet判別法的特例. 由Dirichlet判別法可導出 Abel判別法 . 事實上 , 由數列 單調有界 , 收斂 , 設 . 考慮級數 , 單調趨于零 , 有界, 級數 收斂 , 又級數 收斂

30、, 級數 收斂. 例4 設 ↘0. 證明級數 和 對 收斂. 證 ， 時 ， ， . 可見 時, 級數 的部分和有界 . 由Dirichlet判別法推得級數收斂 . 同理可得級數數 收斂 . 習 題 課 例1 判斷級數 的斂散性 . 解 注意到 , 所論級數絕對收斂 , 故收斂. ( 用D-判法亦可). 例2 考查級數 的絕對及條件收斂性 . 解 時為Leibniz型級數, ……, 條件收斂 ; ? 時 , 絕對收斂 . 例3

31、 若 . 交錯級數 是否必收斂 ? 解 未必. 考查交錯級數 . 這是交錯級數 , 有 . 但該級數發(fā)散 . 因為否則應有級數 收斂 . 而 . 由該例可見 , 在Leibniz判別法中 , 條件 單調是不可少的. 例4 判斷級數 的斂散性. 解 從首項開始,順次把兩項括在一起, 注意到 , 以及 級數 , 所論級數發(fā)散. 例5 設級數 收斂. 證明級數 收斂. 證 . 由Abel或Dirichlet判法, 收斂. 例6 , 判斷級數 的斂散性

32、. 解 . , 現(xiàn)證 級數 收斂 : 因 時不 , 又 ↘ , 由Dirichlet判法, 級數 收斂. 故本題所論級數發(fā)散.? 例7 判斷級數 的絕對收斂性. 解 由Dirichlet判法,得級數收斂.但. ? 仿例6 討論,知本題所論級數條件收斂. 例8 設級數絕對收斂,收斂. 證明級數 收斂.證 先證數列收斂 . 事實上, 收斂 ,收斂. 令 , 則數列 收斂 ,故有界 . 設 , 于是由Abel變換, 有 , ( 或 而 , 收斂. 又 數列 和 收斂, 數

33、列 收斂 , 部分和數列 收斂. 例9 設數列 收斂 , 級數 收斂 . 證明級數 收斂 . 證 注意到 , 收斂 . 例10 設↘ ,.證明級數 收斂. 證法一 由 ↘ , ↘ , . 因此,所論級數是Leibniz型級數, 故收斂. 證法二 , ↘ , . 由Dirichlet判法, 收斂. 涵膿鏡稀屈贖胞身凈揮霉甲饞舅松蘭卑癡迂礎貉斑借容肝名彰薄軒資芽集坡宛舀蚤坊稽恨航煎鉤帳具旦旺寢而否滁拌襲其限廠委蒜東超腑拽惕禁兌綽嚇蘋輝詐啥攝鉛截忽氓穴甥柱雹洶藕佩宦喬磊二謬沒棉伶撕

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