高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)教案： 函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象及應(yīng)用備考策略

函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象及應(yīng)用備考策略 主標(biāo)題：函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象及應(yīng)用備考策略 副標(biāo)題：通過考點分析高考命題方向，把握高考規(guī)律，為學(xué)生備考復(fù)習(xí)打通快速通道。 關(guān)鍵詞：y＝Asin(ωx＋φ)，圖象與性質(zhì)，備考策略 難度：2 重要程度：4 內(nèi)容考點一　函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象畫法與變換 【例1】 (1)已知f(x)＝sin(ω＞0)的圖象與y＝－1的圖象的相鄰兩交點間的距離為π，要得到y(tǒng)＝f(x)的圖象，只需把y＝cos 2x的圖象 (　　)． A．向左平移個單位 B．向右平移個單位 C．向左平移個單位 D．向右平移個單位 (2)已知函數(shù)y＝2sin. ①求它的振幅、周期、初相； ②用“五點法”作出它在一個周期內(nèi)的圖象； ③說明y＝2sin的圖象可由y＝sin x的圖象經(jīng)過怎樣的變換而得到． (1)解析　依題意T＝π，∴T＝π＝，∴ω＝2，∴f(x)＝sin(2x＋)，∴只需y＝cos 2x＝sin(2x＋)＝sin2(x＋) f(x)＝sin(2x＋)． 答案　B (2)解?、賧＝2sin的振幅A＝2，周期T＝＝π，初相φ＝. ②令X＝2x＋，則y＝2sin＝2sin X. 列表，并描點畫出圖象： x － X 0 π 2π y＝sin X 0 1 0 －1 0 y＝2sin 0 2 0 －2 0 ③法一　把y＝sin x的圖象上所有的點向左平移個單位，得到y(tǒng)＝sin的圖象；再把y＝sin的圖象上的點的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍(縱坐標(biāo)不變)，得到y(tǒng)＝sin的圖象；最后把y＝sin的圖象上所有點的縱坐標(biāo)伸長到原來的2倍(橫坐標(biāo)不變)，即可得到y(tǒng)＝2sin的圖象． 法二　將y＝sin x的圖象上所有點的橫坐標(biāo)x縮短到原來的倍(縱坐標(biāo)不變)，得到y(tǒng)＝sin 2x的圖象；再將y＝sin 2x的圖象向左平移個單位，得到y(tǒng)＝sin 2＝sin的圖象；再將y＝sin的圖象上所有點的縱坐標(biāo)伸長到原來的2倍(橫坐標(biāo)不變)，得到y(tǒng)＝2sin的圖象． 【備考策略】 函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的圖象的兩種作法是五點作圖法和圖象變換法． (1)五點法：用“五點法”作y＝Asin(ωx＋φ)的簡圖，主要是通過變量代換，設(shè)z＝ωx＋φ，由z取0，，π，π，2π來求出相應(yīng)的x，通過列表，計算得出五點坐標(biāo)，描點后得出圖象． (2)三角函數(shù)圖象進行平移變換時注意提取x的系數(shù)，進行周期變換時，需要將x的系數(shù)變?yōu)樵瓉淼摩乇?，要特別注意相位變換、周期變換的順序，順序不同，其變換量也不同． 考點二　由圖象求函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的解析式 【例2】 函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π)的部分圖象 如圖所示，則函數(shù)f(x)的解析式為________． 解析　由圖可知A＝， 法一?。剑剑訲＝π，故ω＝2，因此f(x)＝sin(2x＋φ)， 又對應(yīng)五點法作圖中的第三個點，因此2×＋φ＝π，所以φ＝，故f(x)＝sin. 法二　以為第二個“零點”，為最小值點， 列方程組解得 故f(x)＝sin. 答案　f(x)＝sin 【備考策略】 已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分圖象求其解析式時，A比較容易看圖得出，困難的是求待定系數(shù)ω和φ，常用如下兩種方法： (1)由ω＝即可求出ω；確定φ時，若能求出離原點最近的右側(cè)圖象上升(或下降)的“零點”橫坐標(biāo)x0，則令ωx0＋φ＝0(或ωx0＋φ＝π)，即可求出φ. (2)代入點的坐標(biāo)，利用一些已知點(最高點、最低點或“零點”)坐標(biāo)代入解析式，再結(jié)合圖形解出ω和φ，若對A，ω的符號或?qū)Ζ盏姆秶幸螅瑒t可用誘導(dǎo)公式變換使其符合要求. 考點三　函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的性質(zhì)應(yīng)用 【例3】 已知函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)(x∈R，ω，A>0,0<φ<)的最大值為2，最小正周期為π，直線x＝是其圖象的一條對稱軸． (1)求函數(shù)f(x)的解析式； (2)求函數(shù)g(x)＝f－f的單調(diào)遞增區(qū)間． 解　(1)由題意，得A＝2，ω＝＝2， 當(dāng)x＝時，2sin＝±2， 即sin＝±1，所以＋φ＝kπ＋， 解得φ＝kπ＋，又0＜φ＜，所以φ＝. 故f(x)＝2sin. (2)g(x)＝2sin－2sin ＝2sin 2x－2sin ＝2sin 2x－2 ＝sin 2x－cos 2x＝2sin. 由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z， 得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z. 所以函數(shù)g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是，k∈Z. 【備考策略】 函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的性質(zhì) (1)奇偶性：φ＝kπ時，函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)為奇函數(shù)；φ＝kπ＋(k∈Z)時，函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)為偶函數(shù)． (2)周期性：y＝Asin(ωx＋φ)存在周期性，其最小正周期為T＝. (3)單調(diào)性：根據(jù)y＝sin t和t＝ωx＋φ(ω＞0)的單調(diào)性來研究，由－＋2kπ≤ωx＋φ≤＋2kπ(k∈Z)得單調(diào)增區(qū)間；由＋2kπ≤ωx＋φ≤＋2kπ(k∈Z)得單調(diào)減區(qū)間． (4)對稱性：利用y＝sin x的對稱中心為(kπ，0)(k∈Z)求解，令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，求得x、ω. 利用y＝sin x的對稱軸為x＝kπ＋(k∈Z)求解，令ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)得其對稱軸．