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1、
空間幾何體的表面積與體積備考策略
主標題：空間幾何體的表面積與體積備考策略
副標題：通過考點分析高考命題方向，把握高考規(guī)律，為學生備考復習打通快速通道。
關(guān)鍵詞：表面積，體積，備考策略
難度：2
重要程度：4
內(nèi)容
考點一 空間幾何體的表面積
【例1】（15北京理科）某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的表面積是
A． B． C． D．5
【答案】C
【解析】
試題分析：根據(jù)三視圖恢復成三棱錐，其中平面ABC，取AB棱的中點D，連接CD、PD，有，底面ABC為等腰三角形底邊AB上的高CD為2
2、，AD=BD=1,PC=1, ,,，,三棱錐表面積.
【備考策略】 (1)以三視圖為載體考查幾何體的表面積，關(guān)鍵是能夠?qū)o出的三視圖進行恰當?shù)姆治觯瑥娜晥D中發(fā)現(xiàn)幾何體中各元素間的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系．
(2)多面體的表面積是各個面的面積之和；組合體的表面積應注意重合部分的處理．
(3)圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面是曲面，計算側(cè)面積時需要將這個曲面展為平面圖形計算，而表面積是側(cè)面積與底面圓的面積之和．
考點二 空間幾何體的體積
【例2】某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為( )．
A．16＋8π B．8＋8π
C．16＋
3、16π D．8＋16π
(2)如圖所示，已知三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱長均為1，且AA1⊥底面ABC，則三棱錐B1－ABC1的體積為 ( )．
A. B.
C. D.
解析 (1)由三視圖可知該幾何體由長方體和圓柱的一半組成．其中長方體的長、寬、高分別為4,2,2，圓柱的底面半徑為2、高為4.所以V＝2×2×4＋×22×π×4＝16＋8π.故選A.
(2)三棱錐B1－ABC1的體積等于三棱錐A－B1BC1的體積，三棱錐A－B1BC1的高為，底面積為，故其體積為××＝.
答案 (1)A (2)A
【備考策略】(1)求解以三視圖為載體的空間幾何體的體積的關(guān)
4、鍵是由三視圖確定直觀圖的形狀以及直觀圖中線面的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，利用相應體積公式求解；(2)若所給幾何體的體積不能直接利用公式得出，則常用等積法、分割法、補形法等方法進行求解．
考點三 球與空間幾何體的接、切問題
【例3】 (1)已知某一多面體內(nèi)接于球構(gòu)成一個簡單組合體，如果該組合體的正視圖、側(cè)視圖、俯視圖均如圖所示，且圖中的四邊形是邊長為2的正方形，則該球的表面積是______________．
(2)(2013·遼寧卷)已知直三棱柱ABC－A1B1C1的6個頂點都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，則球O的半徑為 ( )．
A.
5、B．2
C. D．3
審題路線 (1)正方體內(nèi)接于球?正方體的體對角線長等于球的直徑?求得球的半徑?代入球的表面積公式(注意只算球的表面積)．
(2)BC為過底面ABC的截面圓的直徑?取BC中點D，則球心在BC的垂直平分線上，再由對稱性求解．
解析 (1)由三視圖知，棱長為2的正方體內(nèi)接于球，故正方體的體對角線長為2，即為球的直徑．
所以球的表面積為S＝4π·2＝12π.
(2)因為在直三棱柱中AB＝3，AC＝4，AA1＝12，AB⊥AC，所以BC＝5，且BC為過底面ABC的截面圓的直徑，取BC中點D，則OD⊥底面ABC，則O在側(cè)面BCC1B1內(nèi)，矩形BCC1B1的對角線長
6、即為球的直徑，所以2r＝＝13，即r＝.
答案 (1)12π (2)C
【備考策略】解決球與其他幾何體的切、接問題，關(guān)鍵在于仔細觀察、分析，弄清相關(guān)元素的關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，選準最佳角度作出截面(要使這個截面盡可能多地包含球、幾何體的各種元素以及體現(xiàn)這些元素之間的關(guān)系)，達到空間問題平面化的目的．
考點四 幾何體的展開與折疊問題
【例4】 (1)如圖所示，在邊長為4的正方形紙片ABCD中，AC與BD相交于O，剪去△AOB，將剩余部分沿OC，OD折疊，使OA，OB重合，則以A，B，C，D，O為頂點的四面體的體積為________．
(2)如圖所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，
7、△ABC為直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝CC1＝3.P是BC1上一動點，則CP＋PA1的最小值為________(其中PA1表示P，A1兩點沿棱柱的表面距離)．
解析 (1)折疊后的四面體如圖所示．
OA，OC，OD兩兩相互垂直，且OA＝OC＝OD＝2，體積V＝ S△OCD·OA＝××(2)3＝.
(2)由題意知，把面BB1C1C沿BB1展開與面AA1B1B在一個平面上，如圖所示，連接A1C即可．
則A1、P、C三點共線時，CP＋PA1最小，
∵∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝C1C＝3，
∴A1B1＝AB＝＝5，∴A1C1＝5＋3＝8，
∴A1C＝＝.故CP＋PA1的最小值為.
答案 (1) (2)
【備考策略】 (1)有關(guān)折疊問題，一定要分清折疊前后兩圖形(折前的平面圖形和折疊后的空間圖形)各元素間的位置和數(shù)量關(guān)系，哪些變，哪些不變．
(2)研究幾何體表面上兩點的最短距離問題，常選擇恰當?shù)哪妇€或棱展開，轉(zhuǎn)化為平面上兩點間的最短距離問題．
高考數(shù)學專題復習教案： 空間幾何體的表面積與體積備考策略
