高三數學北師大版文一輪教師用書：第4章 第3節(jié)　三角函數的圖像與性質 Word版含解析

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1、 第三節(jié)　三角函數的圖像與性質 [最新考綱]　1.能畫出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的圖像，了解三角函數的周期性.2.理解正弦函數、余弦函數在[0,2π]上的性質(如單調性、最大值和最小值、圖像與x軸的交點等)，理解正切函數在區(qū)間內的單調性． (對應學生用書第64頁) 1．用五點法作正弦函數和余弦函數的簡圖 正弦函數y＝sin x，x∈[0,2π]圖像的五個關鍵點是：(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)． 余弦函數y＝cos x，x∈[0,2π]圖像的五個關鍵點是：(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)． 2．正弦函數、余弦函數、正切函數的圖

2、像與性質 函數 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 圖像 定義域 R R 值域 [－1,1] [－1,1] R 單調性 遞增區(qū)間： ， k∈Z， 遞減區(qū)間： ， k∈Z 遞增區(qū)間： [2kπ－π，2kπ]， k∈Z， 遞減區(qū)間： [2kπ，2kπ＋π]， k∈Z 遞增區(qū)間 ，k∈Z 奇偶性 奇函數 偶函數 奇函數 對稱性 對稱中心(kπ，0)，k∈Z 對稱中心，k ∈Z 對稱中心，k∈Z 對稱軸x＝kπ＋(k∈Z) 對稱軸x＝kπ(k∈Z) 周期性 2π 2π π 1．正弦

3、曲線、余弦曲線相鄰兩對稱中心、相鄰兩對稱軸之間的距離是半個周期，相鄰的對稱中心與對稱軸之間的距離是個周期． 2．正切曲線相鄰兩對稱中心之間的距離是半個周期． 3．對于函數y＝Asin(ωx＋φ)，其對稱軸一定經過圖像的最高點或最低點，對稱中心的橫坐標一定是函數的零點. 一、思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)函數y＝sin x的圖像關于點(kπ，0)(k∈Z)中心對稱． (　　) (2)正切函數y＝tan x在定義域內是增函數． (　　) (3)已知y＝ksin x＋1，x∈R，則y的最大值為k＋1. (　　) (4)y＝sin |x|與y＝|sin x|都是周

4、期函數． (　　) [答案](1)√　(2)×　(3)×　(4)× 二、教材改編 1．函數y＝tan 2x的定義域是(　　) A. B. C. D. D　[由2x≠kπ＋，k∈Z，得x≠＋，k∈Z， ∴y＝tan 2x的定義域為.] 2．函數f(x)＝cos的最小正周期是________． π　[T＝＝π.] 3．y＝sin的單調減區(qū)間是________． (k∈Z)　[由＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z得，＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.] 4．y＝3sin在區(qū)間上的值域是________． 　[當x∈時，2x－∈， sin∈， 故3sin∈， 即y＝3si

5、n的值域為.] (對應學生用書第65頁) ⊙考點1　三角函數的定義域和值域 　 1．三角函數定義域的求法 求三角函數定義域實際上是構造簡單的三角不等式(組)，常借助三角函數線或三角函數圖像來求解． 2．求三角函數最值或值域的常用方法 (1)直接法：直接利用sin x和cos x的值域求解． (2)化一法：把所給三角函數化為y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，由正弦函數單調性寫出函數的值域． (3)換元法：把sin x，cos x，sin xcos x或sin x±cos x換成t，轉化為二次函數求解． 　1.函數f(x)＝－2tan的定義域是(　　) A． B．

6、C． D． D　[由正切函數的定義域，得2x＋≠kπ＋，k∈Z， 即x≠＋(k∈Z)，故選D.] 2．(2019·全國卷Ⅰ)函數f(x)＝sin－3cos x的最小值為________． －4　[f(x)＝sin－3cos x＝－cos 2x－3cos x＝－2cos2x－3cos x＋1， 令cos x＝t，則t∈[－1,1]． f(t)＝－2t2－3t＋1＝－2＋， 易知當t＝1時，f(t)min＝－2×12－3×1＋1＝－4. 故f(x)的最小值為－4.] 3．已知函數f(x)＝sin，其中x∈，若f(x)的值域是，則實數a的取值范圍是________． 　[∵x∈

7、，∴x＋∈， ∵當x＋∈時，f(x)的值域為， ∴由函數的圖像(圖略)知≤a＋≤，∴≤a≤π.] 4．函數y＝sin x－cos x＋sin xcos x的值域為________． 　[設t＝sin x－cos x，則t2＝sin2x＋cos2x－2sin x·cos x，sin xcos x＝，且－≤t≤. ∴y＝－＋t＋＝－(t－1)2＋1，t∈[－，]． 當t＝1時，ymax＝1； 當t＝－時，ymin＝－－. ∴函數的值域為.] 　求解三角函數的值域(最值)常見的幾種類型 (1)形如y＝asin x＋bcos x＋c的三角函數化為y＝Asin(ωx＋φ)＋c的形式，

8、再求值域(最值)． (2)形如y＝asin2x＋bsin x＋c的三角函數，可先設sin x＝t，化為關于t的二次函數求值域(最值)． (3)形如y＝asin3x＋bsin2x＋csin x＋d，類似于(2)進行換元，然后用導數法求最值． ⊙考點2　三角函數的單調性 (1)形如y＝Asin(ωx＋φ)的函數的單調性問題，一般是將ωx＋φ看成一個整體，再結合圖像利用y＝sin x的單調性求解． (2)如果函數中自變量的系數為負值，要根據誘導公式把自變量系數化為正值，再確定其單調性． 　求三角函數的單調性 (1)函數f(x)＝tan的單調遞增區(qū)間是(　　) A.(k∈Z) B.(

9、k∈Z) C.(k∈Z) D.(k∈Z) (2)(2019·大連模擬)函數y＝sin x＋cos x的單調遞增區(qū)間是________． (1)B　(2)　[(1)由kπ－＜2x－＜kπ＋(k∈Z)， 得－＜x＜＋(k∈Z)， 所以函數f(x)＝tan的單調遞增區(qū)間為(k∈Z)，故選B. (2)∵y＝sin x＋cos x＝sin， 由2kπ－≤x＋≤2kπ＋(k∈Z)， 解得2kπ－≤x≤2kπ＋(k∈Z)． ∴函數的單調遞增區(qū)間為(k∈Z)， 又x∈，∴單調遞增區(qū)間為.] 　本例(2) 在整體求得函數y＝sin x＋cos x的增區(qū)間后，采用對k賦值的方式求得x∈上的

10、區(qū)間． 　根據函數的單調性求參數 (1)(2019·西安模擬)已知ω＞0，函數f(x)＝sin在上單調遞減，則ω的取值范圍是(　　) A．(0,2]　　　　　　 B. C. D. (2)(2018·全國卷Ⅱ)若f(x)＝cos x－sin x在[0，a] 是減函數，則a的最大值是(　　) A. B. C. D．π (1)D　(2)C　[(1)由2kπ＋≤ωx＋≤2kπ＋，得＋≤x≤＋，k∈Z， 因為f(x)＝sin在上單調遞減， 所以解得因為k∈Z，ω＞0，所以k＝0， 所以≤ω≤，即ω的取值范圍為.故選D. (2)f(x)＝cos x－sin x＝－sin， 當x－

11、∈，即x∈時， sin單調遞增，－sin 單調遞減， ∴是f(x)在原點附近的單調遞減區(qū)間， 結合條件得[0，a]?， ∴a≤，即amax＝，故選C.] 　已知單調區(qū)間求參數范圍的三種方法 子集法 求出原函數的相應單調區(qū)間，由已知區(qū)間是所求某區(qū)間的子集，列不等式(組)求解 反子集法 由所給區(qū)間求出整體角的范圍，由該范圍是某相應正、余弦函數的某個單調區(qū)間的子集，列不等式(組)求解 周期性法 由所給區(qū)間的兩個端點到其相應對稱中心的距離不超過周期列不等式(組)求解 　1.若函數f(x)＝sin ωx(ω＞0)在區(qū)間上單調遞增，在區(qū)間上單調遞減，則ω＝________. 　[

12、由已知得＝，∴T＝，∴ω＝＝.] 2．函數f(x)＝sin的單調減區(qū)間為________． (k∈Z)　[由已知，得函數為y＝－sin，欲求函數的單調減區(qū)間，只需求y＝sin的單調增區(qū)間即可． 由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z， 得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z. 故所求函數的單調減區(qū)間為(k∈Z)．] ⊙考點3　三角函數的周期性、奇偶性、對稱性 　求解三角函數y＝sin(ωx＋φ)(ω＞0)的周期性、奇偶性、對稱性問題，其實質都是根據y＝sin x的對應性質，利用整體代換的思想求解． 　三角函數的周期性 (1)(2019·全國卷Ⅱ)下列函數中，以為周期且在區(qū)間單調遞增的是(

13、　　) A．f(x)＝|cos 2x| B．f(x)＝|sin 2x| C．f(x)＝cos|x| D．f(x)＝sin|x| (2)若函數f(x)＝2tan的最小正周期T滿足1＜T＜2，則自然數k的值為________． (1)A　(2)2或3　[(1)對于選項A，作出y＝|cos 2x|的部分圖像，如圖1所示，則f(x)在上單調遞增，且最小正周期T＝，故A正確． 對于選項B，作出f(x)＝|sin 2x|的部分圖像，如圖2所示，則f(x)在上單調遞減，且最小正周期T＝，故B不正確．對于選項C，∵f(x)＝cos|x|＝cos x， ∴最小正周期T＝2π，故C不正確． 對于選項

14、D，作出f(x)＝sin|x|的部分圖像，如圖3所示．顯然f(x)不是周期函數，故D不正確．故選A. 圖1 圖2 ] 圖3 (2)由題意得，1＜＜2， ∴k＜π＜2k，即＜k＜π， 又k∈Z，∴k＝2或3.] 　公式莫忘絕對值，對稱抓住“心”與“軸” (1)公式法求周期 ①函數f(x)＝Asin(ωx＋φ)的周期T＝； ②函數f(x)＝Acos(ωx＋φ)的周期T＝； ③函數f(x)＝Atan(ωx＋φ)的周期T＝. (2)對稱性求周期 ①兩對稱軸距離的最小值等于； ②兩對稱中心距離的最小值等于； ③對稱中心到對稱軸距離的最小值等于. (3)特征點法求

15、周期 ①兩個最大值點之差的最小值等于T； ②兩個最小值點之差的最小值等于T； ③最大值點與最小值點之差的最小值等于. 特征點法求周期實質上就是由圖像的對稱性求周期，因為最值點與函數圖像的對稱軸相對應．(說明：此處的T均為最小正周期) 　三角函數的奇偶性 　已知函數f(x)＝3sin，φ∈(0，π)． (1)若f(x)為偶函數，則φ＝________； (2)若f(x)為奇函數，則φ＝________. (1)π　(2)　[(1)因為f(x)＝3sin為偶函數， 所以－＋φ＝kπ＋，k∈Z， 又因為φ∈(0，π)，所以φ＝. (2)因為f(x)＝3sin為奇函數， 所以

16、－＋φ＝kπ，k∈Z， 又φ∈(0，π)， 所以φ＝.] 　若f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω≠0)，則①f(x)為偶函數的充要條件是φ＝＋kπ(k∈Z)；②f(x)為奇函數的充要條件是φ＝kπ(k∈Z)． 　三角函數的對稱性 (1)已知函數f(x)＝2sin(ω＞0)的最小正周期為4π，則該函數的圖像(　　) A．關于點對稱 B．關于點對稱 C．關于直線x＝對稱 D．關于直線x＝對稱 (2)已知函數y＝sin(2x＋φ)的圖像關于直線x＝對稱，則φ的值為________． (1)B　(2)－　[(1)因為函數f(x)＝2sin(ω＞0)的最小正周期是4π，而T＝＝4π

17、，所以ω＝， 即f(x)＝2sin. 令＋＝＋kπ(k∈Z)，解得x＝＋2kπ(k∈Z)， 故f(x)的對稱軸為x＝＋2kπ(k∈Z)， 令＋＝kπ(k∈Z)，解得x＝－＋2kπ(k∈Z)． 故f(x)的對稱中心為(k∈Z)，對比選項可知B正確． (2)由題意得f＝sin＝±1， ∴＋φ＝kπ＋(k∈Z)，∴φ＝kπ－(k∈Z)． ∵φ∈，∴φ＝－.] 　三角函數圖像的對稱軸和對稱中心的求解方法 若求f(x)＝Asin(ωx＋φ)(ω≠0)圖像的對稱軸，則只需令ωx＋φ＝＋kπ(k∈Z)，求x；若求f(x)＝Asin(ωx＋φ)(ω≠0)圖像的對稱中心的橫坐標，則只需令ωx

18、＋φ＝kπ(k∈Z)，求x. 　1.設函數f(x)＝cos，則下列結論錯誤的是(　　) A．f(x)的一個周期為－2π B．y＝f(x)的圖像關于直線x＝對稱 C．f(x＋π)的一個零點為x＝ D．f(x)在上單調遞減 D　[A項，因為f(x)＝cos的周期為2kπ(k∈Z)，所以f(x)的一個周期為－2π，A項正確； B項，因為f(x)＝cos圖像的對稱軸為直線x＝kπ－(k∈Z)，所以y＝f(x)的圖像關于直線x＝對稱，B項正確； C項，f(x＋π)＝cos.令x＋＝kπ＋(k∈Z)，得x＝kπ－，當k＝1時，x＝， 所以f(x＋π)的一個零點為x＝，C項正確； D項，

19、因為f(x)＝cos的單調遞減區(qū)間為(k∈Z)， 單調遞增區(qū)間為(k∈Z)， 所以是f(x)的單調遞減區(qū)間，是f(x)的單調遞增區(qū)間，D項錯誤．] 2．(2019·成都模擬)已知函數f(x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期為4π，且任意x∈R，有f(x)≤f成立，則f(x)圖像的一個對稱中心坐標是(　　) A. B. C. D. A　[由f(x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期為4π，得ω＝. 因為f(x)≤f恒成立，所以f(x)max＝f， 即×＋φ＝＋2kπ(k∈Z)， 由|φ|＜，得φ＝，故f(x)＝sin. 令x＋＝kπ(k∈Z)，得x＝2kπ－(k∈Z)， 故f(x)圖像的對稱中心為(k∈Z)， 當k＝0時，f(x)圖像的對稱中心為.]