《數(shù)學文高考二輪專題復習與測試:第二部分 專題二第2講 數(shù)列的求和及綜合應用 Word版含解析》由會員分享,可在線閱讀,更多相關《數(shù)學文高考二輪專題復習與測試:第二部分 專題二第2講 數(shù)列的求和及綜合應用 Word版含解析(7頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、
A級 基礎通關
一、選擇題
1.已知Tn為數(shù)列的前n項和,若m>T10+1 013恒成立,則整數(shù)m的最小值為( )
A.1 026 B.1 025 C.1 024 D.1 023
解析:因為=1+,所以Tn=n+1-,
所以T10+1 013=11-+1 013=1 024-.
又m>T10+1 013,
所以整數(shù)m的最小值為1 024.
答案:C
2.(2019·廣東廣州天河一模)數(shù)列{an}滿足a1=1,對任意n∈N*的都有an+1=1+an+n,則++…+=( )
A. B.2 C. D.
解析:an+1-an=n+1,且a1=1,
2、
所以利用疊加法,得an=,
則=2,
故+++…+=2(1-+-+…+-) =2=.
答案:C
3.已知數(shù)列{an}滿足an+1-an=2,a1=-5,則|a1|+|a2|+…+|a6|=( )
A.9 B.15 C.18 D.30
解析:因為an+1-an=2,a1=-5,所以數(shù)列{an}是公差為2,首項為-5的等差數(shù)列.
所以an=-5+2(n-1)=2n-7.
數(shù)列{an}的前n項和Sn==n2-6n.
令an=2n-7≥0,解得n≥.
所以n≤3時,|an|=-an;n≥4時,|an|=an.
則|a1|+|a2|+…+|a6|=-a1-a2-a3
3、+a4+a5+a6=S6-2S3=62-6×6-2(32-6×3)=18.
答案:C
4.(2019·衡水中學月考)數(shù)列an=,其前n項之和為,則在平面直角坐標系中,直線(n+1)x+y+n=0在y軸上的截距為( )
A.-10 B.-9 C.10 D.9
解析:由于an==-,
所以Sn=++…+
=1-.
因此1-=,所以n=9.
所以直線方程為10x+y+9=0.
令x=0,得y=-9,所以在y軸上的截距為-9.
答案:B
5.(2019·廣州調(diào)研)已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若S3=7,S6=63,則數(shù)列{nan}的前n項和Tn為( )
4、
A.-3+(n+1)×2n B.3+(n+1)×2n
C.1+(n+1)×2n D.1+(n-1)×2n
解析:設等比數(shù)列的公比為q,易知q>0且q≠1.
依題意解得
因此an=a1qn-1=2n-1,所以nan=n·2n-1.
則Tn=1·20+2·21+3·22+…+n·2n-1.①
2Tn=1·21+2·22+…+(n-1)·2n-1+n·2n.②
由①-②,得-Tn=1+2+22+…+2n-1-n·2n=(1-n)·2n-1.
所以Tn=1+(n-1)·2n.
答案:D
二、填空題
6.已知[x]表示不超過x的最大整數(shù),例如:[2.3]=2,[-1.5]
5、=-2.在數(shù)列{an}中,an=[lg n],n∈N*,記Sn為數(shù)列{an}的前n項和,則S2 018=________.
解析:當1≤n≤9時,an=[lg n]=0,
當10≤n≤99時,an=[lg n]=1,
當100≤n≤999時,an=[lg n]=2,
當1 000≤n≤2 018時,an=[lg n]=3.
故S2 018=9×0+90×1+900×2+1 019×3=4 947.
答案:4 947
7.(2019·長沙模擬)曲線y=x+ln x(n∈N*)在x=處的切線斜率為an,若bn=,則{bn}的前n項和Tn=________.
解析:由y′=+,知an
6、=+=n,
所以bn===-.
因此Tn=++…+=1-=.
答案:
8.已知數(shù)列{an},{bn}的前n項和分別為Sn,Tn,bn-an=2n+1,且Sn+Tn=2n+1+n2-2,則2Tn=________.
解析:因為Tn-Sn=b1-a1+b2-a2+…+bn-an=2+22+…+2n+n=2n+1+n-2.
又Sn+Tn=2n+1+n2-2.
相加,得2Tn=2n+2+n2+n-4=2n+2+n(n+1)-4.
答案:2n+2+n(n+1)-4
三、解答題
9.(2019·佛山調(diào)研)設數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且2Sn=3an-3.
(1)求{an}的通項公
7、式;
(2)若bn=,求數(shù)列{bn}的前n項和.
解:(1)因為2Sn=3an-3,所以2Sn-1=3an-1-3(n≥2),
所以2an=3an-3an-1(n≥2),即=3(n≥2).
因為2Sn=3an-3,所以2S1=3a1-3,所以a1=3.
則數(shù)列{an}是以首項為3,公比為3的等比數(shù)列,故an=3n.
(2)因為bn====-,
所以Tn=b1+b2+b3+…+bn=++…+=1-=.
10.(2019·成都七中聯(lián)考)在數(shù)列{an}中,已知a1=,且=(n∈N*).
(1)求{an}的通項公式;
(2)求{an}的前n項和Sn.
解:(1)由=得,=· (n
8、∈N*).
又a1=,所以是以為首項、為公比的等比數(shù)列.
于是=,則an=(n∈N*).
故{an}的通項公式為an=(n∈N*).
(2)由Sn=+++…++,
得Sn=+++…++,
兩式相減,得Sn=+++…+-=-=1-.
于是{an}的前n項和Sn=2-(n∈N*).
B級 能力提升
11.已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=2an-1(n∈N*),設bn=1+log2an,則數(shù)列的前n項和Tn=________.
解析:因為Sn=2an-1(n∈N*),
所以當n=1時,a1=1.
當n≥2時,an=Sn-Sn-1,得an=2an-1,
所以an=2n-1,從而bn=1+log2an=n.
故Tn=++…+=++…+=.
答案:
12.(2019·河南百校聯(lián)盟模擬)已知Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和,a3=5,S7=49.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)設bn=,Tn為數(shù)列{bn}的前n項和,求證:Tn<3.
(1)解:設數(shù)列{an}的公差為d.
由題設得解得
所以an=a1+(n-1)d=2n-1.
(2)證明:由(1)知,bn==,
所以Tn=+++…+,
Tn=+++…++,
兩式相減得Tn=++++…+-=--,
故Tn=3--=3-<3.