高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 17-18版 第9章 第44課 兩條直線的位置關(guān)系

第44課 兩條直線的位置關(guān)系 [最新考綱] 內(nèi)容 要求 A B C 直線的平行關(guān)系與垂直關(guān)系 √ 兩條直線的交點(diǎn) √ 兩點(diǎn)間的距離、點(diǎn)到直線的距離 √ 1．兩條直線平行與垂直的判定 (1)兩條直線平行 ①對(duì)于兩條不重合的直線l1，l2，若其斜率分別為k1，k2，則有l(wèi)1∥l2?k1＝k2. ②當(dāng)直線l1，l2不重合且斜率都不存在時(shí)，l1∥l2. (2)兩條直線垂直 ①如果兩條直線l1，l2的斜率存在，設(shè)為k1，k2，則有l(wèi)1⊥l2?k1·k2＝－1. ②當(dāng)其中一條直線的斜率不存在，而另一條直線的斜率為0時(shí)，l1⊥l2. 2．兩條直線的交點(diǎn)的求法 直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1，B1，C1，A2，B2，C2為常數(shù))，則l1與l2的交點(diǎn)坐標(biāo)就是方程組的解． 3．距離 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)兩點(diǎn)之間的距離|P1P2| d＝ 點(diǎn)P0(x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0的距離 d＝ 平行線Ax＋By＋C1＝0與Ax＋By＋C2＝0間的距離 d＝ 1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”) (1)當(dāng)直線l1和l2斜率都存在時(shí)，一定有k1＝k2?l1∥l2.(　　) (2)如果兩條直線l1與l2垂直，則它們的斜率之積一定等于－1.(　　) (3)點(diǎn)P(x0，y0)到直線y＝kx＋b的距離為.(　　) (4)已知直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1，B1，C1，A2，B2，C2為常數(shù))，若直線l1⊥l2，則A1A2＋B1B2＝0.(　　) (5)若點(diǎn)P，Q分別是兩條平行線l1，l2上的任意一點(diǎn)，則P，Q兩點(diǎn)的最小距離就是兩條平行線的距離．(　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)√ 2．(教材改編)已知點(diǎn)(a,2)(a>0)到直線l：x－y＋3＝0的距離為1，則a等于________． －1　[由題意得＝1，即|a＋1|＝， 又a>0，∴a＝－1.] 3．直線l：(a－2)x＋(a＋1)y＋6＝0，則直線l恒過定點(diǎn)________． (2，－2)　[直線l的方程變形為a(x＋y)－2x＋y＋6＝0， 由解得x＝2，y＝－2， 所以直線l恒過定點(diǎn)(2，－2)．] 4．已知直線l1：ax＋(3－a)y＋1＝0，l2：x－2y＝0.若l1⊥l2，則實(shí)數(shù)a的值為________． 2　[由＝－2，得a＝2.] 5．若直線l1：x＋ay＋6＝0與l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0平行，則l1與l2間的距離為________． 　[由l1∥l2，得a(a－2)＝1×3， ∴a＝3或a＝－1. 但a＝3時(shí)，l1與l2重合，舍去， ∴a＝－1，則l1：x－y＋6＝0，l2：x－y＋＝0. 故l1與l2間的距離d＝＝.] 兩條直線的平行與垂直 　(1)設(shè)a∈R，則“a＝1”是“直線l1：ax＋2y－1＝0與直線l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的________條件. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：62172240】 (2)過點(diǎn)(－1,3)且垂直于直線x－2y＋3＝0的直線方程為________． (1)充分不必要　(2)2x＋y－1＝0　[(1)當(dāng)a＝1時(shí)，顯然l1∥l2， 若l1∥l2，則a(a＋1)－2×1＝0， 所以a＝1或a＝－2. 所以a＝1是直線l1與直線l2平行的充分不必要條件． (2)直線x－2y＋3＝0的斜率為，從而所求直線的斜率為－2. 又直線過點(diǎn)P(－1,3)， 所以所求直線的方程為y－3＝－2(x＋1)，即2x＋y－1＝0.] [規(guī)律方法]　1.判定直線間的位置關(guān)系，要注意直線方程中字母參數(shù)取值的影響，不僅要考慮到斜率存在的一般情況，還要考慮到斜率不存在的特殊情況，同時(shí)還要注意x，y的系數(shù)不能同時(shí)為零這一隱含條件． 2．在判斷兩直線平行、垂直時(shí)，也可直接利用直線方程的系數(shù)間的關(guān)系得出結(jié)論，可避免討論．另外當(dāng)A2B2C2≠0時(shí)，比例式與，的關(guān)系容易記住，在解答選擇、填空題時(shí)，有時(shí)比較方便． [變式訓(xùn)練1]　已知過點(diǎn)A(－2，m)和點(diǎn)B(m,4)的直線為l1，直線2x＋y－1＝0為l2，直線x＋ny＋1＝0為l3.若l1∥l2，l2⊥l3，則實(shí)數(shù)m＋n的值為________． －10　[∵l1∥l2，∴kAB＝＝－2，解得m＝－8. 又∵l2⊥l3，∴×(－2)＝－1， 解得n＝－2，∴m＋n＝－10.] 兩直線的交點(diǎn)與距離問題 　(1)直線l過點(diǎn)P(－1,2)且到點(diǎn)A(2,3)和點(diǎn)B(－4,5)的距離相等，則直線l的方程為________． (2)過點(diǎn)P(3,0)作一直線l，使它被兩直線l1：2x－y－2＝0和l2：x＋y＋3＝0所截的線段AB以P為中點(diǎn)，求此直線l的方程. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：62172241】 (1)x＋3y－5＝0或x＝－1　[法一：當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0. 由題意知＝， 即|3k－1|＝|－3k－3|，∴k＝－， ∴直線l的方程為y－2＝－(x＋1)，即x＋3y－5＝0. 當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l的方程為x＝－1，也符合題意． 法二：當(dāng)AB∥l時(shí)，有k＝kAB＝－，直線l的方程為 y－2＝－(x＋1)，即x＋3y－5＝0. 當(dāng)l過AB中點(diǎn)時(shí)，AB的中點(diǎn)為(－1,4)， ∴直線l的方程為x＝－1. 故所求直線l的方程為x＋3y－5＝0或x＝－1.] (2)設(shè)直線l與l1的交點(diǎn)為A(x0，y0)，則直線l與l2的交點(diǎn)B(6－x0，－y0)， 由題意知解得 即A，從而直線l的斜率k＝＝8， 直線l的方程為y＝8(x－3)，即8x－y－24＝0. [規(guī)律方法]　1.求過兩直線交點(diǎn)的直線方程，先解方程組求出兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，再結(jié)合其他條件寫出直線方程；也可利用過交點(diǎn)的直線系方程，再求參數(shù)． 2．利用距離公式應(yīng)注意：①點(diǎn)P(x0，y0)到直線x＝a的距離d＝|x0－a|，到直線y＝b的距離d＝|y0－b|；②兩平行線間的距離公式要把兩直線方程中x，y的系數(shù)化為相等． [變式訓(xùn)練2]　若直線l過點(diǎn)A(1，－1)與已知直線l1：2x＋y－6＝0相交于B點(diǎn)，且AB＝5，求直線l的方程． [解]?、龠^點(diǎn)A(1，－1)與y軸平行的直線為x＝1. 解方程組求得B點(diǎn)坐標(biāo)為(1,4)， 此時(shí)AB＝5，即直線l的方程為x＝1. ②設(shè)過點(diǎn)A(1，－1)且與y軸不平行的直線為y＋1＝k(x－1)， 解方程組 得x＝且y＝(k≠－2，否則l與l1平行)． 則B點(diǎn)坐標(biāo)為. 又A(1，－1)，且AB＝5， 所以2＋2＝52，解得k＝－. 因此y＋1＝－(x－1)，即3x＋4y＋1＝0. 綜上可知，所求直線的方程為x＝1或3x＋4y＋1＝0. 對(duì)稱問題 　(1)平面直角坐標(biāo)系中直線y＝2x＋1關(guān)于點(diǎn)(1,1)對(duì)稱的直線方程是________． (2)光線從A(－4，－2)點(diǎn)射出，到直線y＝x上的B點(diǎn)后被直線y＝x反射到y(tǒng)軸上的C點(diǎn)，又被y軸反射，這時(shí)反射光線恰好過點(diǎn)D(－1,6)，則BC所在的直線方程是________． (1)y＝2x－3　(2)10x－3y＋8＝0　[(1)法一：在直線l上任取一點(diǎn)P′(x，y)，其關(guān)于點(diǎn)(1,1)的對(duì)稱點(diǎn)P(2－x,2－y)必在直線y＝2x＋1上， ∴2－y＝2(2－x)＋1，即2x－y－3＝0. 因此，直線l的方程為y＝2x－3. 法二：由題意，l與直線y＝2x＋1平行，設(shè)l的方程為2x－y＋c＝0(c≠1)，則點(diǎn)(1,1)到兩平行線的距離相等， ∴＝，解得c＝－3. 因此所求直線l的方程為y＝2x－3. 法三：在直線y＝2x＋1上任取兩個(gè)點(diǎn)A(0,1)，B(1,3)，則點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)(1,1)對(duì)稱的點(diǎn)M(2,1)，B關(guān)于點(diǎn)(1,1)對(duì)稱的點(diǎn)N(1，－1)．由兩點(diǎn)式求出對(duì)稱直線MN的方程為＝，即y＝2x－3. (2)作出草圖，如圖所示，設(shè)A關(guān)于直線y＝x的對(duì)稱點(diǎn)為A′，D關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為D′， 則易得A′(－2，－4)，D′(1,6)． 由入射角等于反射角可得A′D′所在直線經(jīng)過點(diǎn)B與C. 故BC所在的直線方程為＝，即10x－3y＋8＝0.] [遷移探究1]　在題(1)中“將結(jié)論”改為“求點(diǎn)A(1,1)關(guān)于直線y＝2x＋1的對(duì)稱點(diǎn)”，則結(jié)果如何？ [解]　設(shè)點(diǎn)A(1,1)關(guān)于直線y＝2x＋1的對(duì)稱點(diǎn)為A′(a，b)， 則AA′的中點(diǎn)為， 所以解得 故點(diǎn)A(1,1)關(guān)于直線y＝2x＋1的對(duì)稱點(diǎn)為. [遷移探究2]　在題(1)中“關(guān)于點(diǎn)(1,1)對(duì)稱”改為“關(guān)于直線x－y＝0對(duì)稱”，則結(jié)果如何？ [解]　在直線y＝2x＋1上任取兩個(gè)點(diǎn)A(0,1)，B(1,3)，則點(diǎn)A關(guān)于直線x－y＝0的對(duì)稱點(diǎn)為M(1,0)，點(diǎn)B關(guān)于直線x－y＝0的對(duì)稱點(diǎn)為N(3,1)， ∴根據(jù)兩點(diǎn)式，得所求直線的方程為＝，即x－2y－1＝0. [規(guī)律方法]　1.第(1)題求解的關(guān)鍵是利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式，將直線關(guān)于點(diǎn)的中心對(duì)稱轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱． 2．解決軸對(duì)稱問題，一般是轉(zhuǎn)化為求對(duì)稱點(diǎn)問題，關(guān)鍵是要抓住兩點(diǎn)，一是已知點(diǎn)與對(duì)稱點(diǎn)的連線與對(duì)稱軸垂直；二是已知點(diǎn)與對(duì)稱點(diǎn)為端點(diǎn)的線段的中點(diǎn)在對(duì)稱軸上． [變式訓(xùn)練3]　直線x－2y＋1＝0關(guān)于直線x＋y－2＝0對(duì)稱的直線方程是________． 2x－y－1＝0　[由題意得直線x－2y＋1＝0與直線x＋y－2＝0的交點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1)． 在直線x－2y＋1＝0上取點(diǎn)A(－1,0)， 設(shè)A點(diǎn)關(guān)于直線x＋y－2＝0的對(duì)稱點(diǎn)為B(m，n)， 則解得 故所求直線的方程為＝，即2x－y－1＝0.] [思想與方法] 1．兩直線的位置關(guān)系要考慮平行、垂直和重合．對(duì)于斜率都存在且不重合的兩條直線l1，l2，l1∥l2?k1＝k2；l1⊥l2?k1·k2＝－1.若有一條直線的斜率不存在，那么另一條直線的斜率一定要特別注意． 2．對(duì)稱問題一般是將線與線的對(duì)稱轉(zhuǎn)化為點(diǎn)與點(diǎn)的對(duì)稱，點(diǎn)與線的對(duì)稱，利用坐標(biāo)轉(zhuǎn)移法． [易錯(cuò)與防范] 1．判斷兩條直線的位置關(guān)系時(shí)，首先應(yīng)分析直線的斜率是否存在．兩條直線都有斜率，可根據(jù)判定定理判斷，若直線無斜率時(shí)，要單獨(dú)考慮． 2．(1)求點(diǎn)到直線的距離時(shí)，應(yīng)先化直線方程為一般式； (2)求兩平行線之間的距離時(shí)，應(yīng)先將方程化為一般式且x，y的系數(shù)對(duì)應(yīng)相等． 課時(shí)分層訓(xùn)練(四十四) A組　基礎(chǔ)達(dá)標(biāo) (建議用時(shí)：30分鐘) 一、填空題 1．已知點(diǎn)A(1，－2)，B(m,2)且線段AB的垂直平分線的方程是x＋2y－2＝0，則實(shí)數(shù)m的值是________． 3　[因?yàn)榫€段AB的中點(diǎn)在直線x＋2y－2＝0上，代入解得m＝3.] 2．(2016·北京高考改編)圓(x＋1)2＋y2＝2的圓心到直線y＝x＋3的距離為________． 　[圓心坐標(biāo)為(－1,0)，所以圓心到直線y＝x＋3即x－y＋3＝0的距離為＝＝.] 3．若直線(a＋1)x＋2y＝0與直線x－ay＝1互相垂直，則實(shí)數(shù)a的值等于________． 1　[由×＝－1，得a＋1＝2a，故a＝1.] 4．(2017·蘇州模擬)已知傾斜角為α的直線l與直線x＋2y－3＝0垂直，則cos的值為________． 　[依題設(shè)，直線l的斜率k＝2， ∴tan α＝2，且α∈[0，π)， 則sin α＝，cos α＝， 則cos＝cos＝sin 2α ＝2sin αcos α＝.] 5．已知直線3x＋4y－3＝0與直線6x＋my＋14＝0平行，則它們之間的距離是________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：62172242】 2　[∵＝≠，∴m＝8， 直線6x＋my＋14＝0可化為3x＋4y＋7＝0， ∴兩平行線之間的距離d＝＝2.] 6．若直線l1：y＝k(x－4)與直線l2關(guān)于點(diǎn)(2,1)對(duì)稱，則直線l2經(jīng)過定點(diǎn)________． (0,2)　[直線l1：y＝k(x－4)經(jīng)過定點(diǎn)(4,0)，其關(guān)于點(diǎn)(2,1)對(duì)稱的點(diǎn)為(0,2)，又直線l1：y＝k(x－4)與直線l2關(guān)于點(diǎn)(2,1)對(duì)稱，故直線l2經(jīng)過定點(diǎn)(0,2)．] 7．當(dāng)0<k<時(shí)，直線l1：kx－y＝k－1與直線l2：ky－x＝2k的交點(diǎn)在第________象限． 二　[由得 又0<k<，則<0，>0， 即x<0，y>0，從而兩直線的交點(diǎn)在第二象限．] 8．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，則直線xsin A＋ay＋c＝0與直線bx－ysin B＋sin C＝0的位置關(guān)系是________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：62172243】 垂直　[在△ABC中，由正弦定理＝，得·＝1. 又xsin A＋ay＋c＝0的斜率k1＝－， bx－ysin B＋sin C＝0的斜率k2＝， 因此k1·k2＝·＝－1，兩條直線垂直．] 9．經(jīng)過直線l1：3x＋2y－1＝0和l2：5x＋2y＋1＝0的交點(diǎn)，且垂直于直線l3：3x－5y＋6＝0的直線l的方程為________． 5x＋3y－1＝0　[由方程組得l1，l2的交點(diǎn)坐標(biāo)為(－1,2)． ∵l3的斜率為，∴l(xiāng)的斜率為－，則直線l的方程為y－2＝－(x＋1)，即5x＋3y－1＝0.] 10．l1，l2是分別經(jīng)過點(diǎn)A(1,1)，B(0，－1)的兩條平行直線，當(dāng)l1與l2間的距離最大時(shí)，直線l1的方程是________． x＋2y－3＝0　[當(dāng)AB⊥l1時(shí)，兩直線l1與l2間的距離最大，由kAB＝＝2，知l1的斜率k＝－， ∴直線l1的方程為y－1＝－(x－1)， 即x＋2y－3＝0.] 二、解答題 11．已知△ABC的頂點(diǎn)A(5,1)，AB邊上的中線CM所在直線方程為2x－y－5＝0，AC邊上的高BH所在直線方程為x－2y－5＝0，求直線BC的方程. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：62172244】 [解]　依題意知：kAC＝－2，A(5,1)， ∴l(xiāng)AC為2x＋y－11＝0， 聯(lián)立lAC、lCM得 ∴C(4,3)． 設(shè)B(x0，y0)，AB的中點(diǎn)M為， 代入2x－y－5＝0，得2x0－y0－1＝0， ∴∴B(－1，－3)， ∴kBC＝， ∴直線BC的方程為y－3＝(x－4)， 即6x－5y－9＝0. 12．已知直線l經(jīng)過直線l1：2x＋y－5＝0與l2：x－2y＝0的交點(diǎn)． (1)若點(diǎn)A(5,0)到l的距離為3，求l的方程； (2)求點(diǎn)A(5,0)到l的距離的最大值． [解]　(1)易知l不可能為l2，可設(shè)經(jīng)過兩已知直線交點(diǎn)的直線系方程為(2x＋y－5)＋λ(x－2y)＝0，即(2＋λ)x＋(1－2λ)y－5＝0. ∵點(diǎn)A(5,0)到l的距離為3， ∴＝3， 則2λ2－5λ＋2＝0，∴λ＝2或λ＝， ∴l(xiāng)的方程為x＝2或4x－3y－5＝0. (2)由 解得交點(diǎn)P(2,1)，如圖，過P作任一直線l，設(shè)d為點(diǎn)A到l的距離，則d≤PA(當(dāng)l⊥PA時(shí)等號(hào)成立)， ∴dmax＝PA＝＝. B組　能力提升 (建議用時(shí)：15分鐘) 1．若點(diǎn)(m，n)在直線4x＋3y－10＝0上，則m2＋n2的最小值是________． 4　[因?yàn)辄c(diǎn)(m，n)在直線4x＋3y－10＝0上，所以4m＋3n－10＝0. 欲求m2＋n2的最小值可先求的最小值， 而表示4m＋3n－10＝0上的點(diǎn)(m，n)到原點(diǎn)的距離，如圖．當(dāng)過原點(diǎn)的直線與直線4m＋3n－10＝0垂直時(shí)，原點(diǎn)到點(diǎn)(m，n)的距離最小為2.所以m2＋n2的最小值為4.] 2．(2017·南京模擬)已知平面上一點(diǎn)M(5,0)，若直線上存在點(diǎn)P使PM＝4，則稱該直線為“切割型直線”．下列直線中是“切割型直線”的是________(填序號(hào))． ①y＝x＋1；②y＝2；③y＝x；④y＝2x＋1. ②③　[設(shè)點(diǎn)M到所給直線的距離為d，①d＝＝3>4，故直線上不存在點(diǎn)P到點(diǎn)M的距離等于4，不是“切割型直線”；②d＝2<4，所以在直線上可以找到兩個(gè)不同的點(diǎn)P，使之到點(diǎn)M的距離等于4，是“切割型直線”；③d＝＝4，所以直線上存在一點(diǎn)P，使之到點(diǎn)M的距離等于4，是“切割型直線”；④d＝＝>4，故直線上不存在點(diǎn)P，使之到點(diǎn)M的距離等于4，不是“切割型直線”．故填②③.] 3．已知兩直線l1：x＋ysin α－1＝0和l2：2x·sin α＋y＋1＝0，求α的值，使得： (1)l1∥l2； (2)l1⊥l2. [解]　(1)法一：當(dāng)sin α＝0時(shí)，直線l1的斜率不存在，l2的斜率為0，顯然l1不平行于l2. 當(dāng)sin α≠0時(shí)，k1＝－，k2＝－2sin α. 要使l1∥l2，需－＝－2sin α， 即sin α＝±. 所以α＝kπ±，k∈Z，此時(shí)兩直線的斜率相等． 故當(dāng)α＝kπ±，k∈Z時(shí)，l1∥l2. 法二：由A1B2－A2B1＝0， 得2sin2α－1＝0，所以sin α＝±. 所以α＝kπ±，k∈Z. 又B1C2－B2C1≠0，所以1＋sin α≠0，即sin α≠－1. 故當(dāng)α＝kπ±，k∈Z時(shí)，l1∥l2. (2)因?yàn)锳1A2＋B1B2＝0是l1⊥l2的充要條件， 所以2sin α＋sin α＝0，即sin α＝0，所以α＝kπ，k∈Z. 故當(dāng)α＝kπ，k∈Z時(shí)，l1⊥l2. 4．已知直線l：(2a＋b)x＋(a＋b)y＋a－b＝0及點(diǎn)P(3,4)． (1)證明直線l過某定點(diǎn)，并求該定點(diǎn)的坐標(biāo)； (2)當(dāng)點(diǎn)P到直線l的距離最大時(shí)，求直線l的方程． [解]　(1)證明：直線l的方程可化為a(2x＋y＋1)＋b(x＋y－1)＝0， 由得 ∴直線l恒過定點(diǎn)(－2,3)． (2)設(shè)直線l恒過定點(diǎn)A(－2,3)，當(dāng)直線l垂直于直線PA時(shí)，點(diǎn)P到直線l的距離最大． 又直線PA的斜率kPA＝＝， ∴直線l的斜率kl＝－5. 故直線l的方程為y－3＝－5(x＋2)，即5x＋y＋7＝0.