2018屆高三數(shù)學一輪復(fù)習： 第1章 第2節(jié) 命題及其關(guān)系、充分條件與必要條件

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1、 第二節(jié)　命題及其關(guān)系、充分條件與必要條件 [考綱傳真]　1.理解命題的概念；了解“若p，則q”形式的命題及其逆命題、否命題與逆否命題，會分析四種命題的相互關(guān)系.2.理解必要條件、充分條件與充要條件的意義． 1．命題 用語言、符號或式子表達的，可以判斷真假的陳述句叫做命題，其中判斷為真的語句叫做真命題，判斷為假的語句叫做假命題． 2．四種命題及其相互關(guān)系 (1)四種命題間的相互關(guān)系 圖1-2-1 (2)四種命題的真假關(guān)系 ①兩個命題互為逆否命題，它們有相同的真假性； ②兩個命題互為逆命題或互為否命題，它們的真假性沒有關(guān)系． 3．充分條件與必要條件 (1)如果

2、p?q，則p是q的充分條件，q是p的必要條件． (2)如果p?q，那么p與q互為充要條件． (3)如果pq，且qp，則p是q的既不充分也不必要條件． 4．集合與充要條件 設(shè)集合A＝{x|x滿足條件p}，B＝{x|x滿足條件q}，則有： (1)若A?B，則p是q的充分條件，若AB，則p是q的充分不必要條件． (2)若B?A，則p是q的必要條件，若BA，則p是q的必要不充分條件． (3)若A＝B，則p是q的充要條件． 1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)“x2＋2x－3<0”是命題．(　　) (2)命題“若p，則q”的否命題是“

3、若p，則綈q”．(　　) (3)當q是p的必要條件時，p是q的充分條件．(　　) (4)“若p不成立，則q不成立”等價于“若q成立，則p成立”．(　　) [解析]　(1)錯誤．該語句不能判斷真假，故該說法是錯誤的． (2)錯誤．否命題既否定條件，又否定結(jié)論． (3)正確．q是p的必要條件說明p?q，所以p是q的充分條件． (4)正確．原命題與逆否命題是等價命題． [答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 2．(教材改編)命題“若α＝，則tan α＝1”的逆否命題是(　　) A．若α≠，則tan α≠1 B．若α＝，則tan α≠1 C．若tan α≠1，則α≠

4、D．若tan α≠1，則α＝ C　[“若p，則q”的逆否命題是“若綈q，則 綈p”，顯然綈q：tan α≠1，綈p：α≠，所以該命題的逆否命題是“若tan α≠1，則α≠”．] 3．已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，則“a＝3”是“A?B”的(　　) 【導(dǎo)學號：01772005】 A．充分不必要條件　　 B.必要不充分條件 C．充要條件 D.既不充分也不必要條件 A　[a＝3時，A＝{1,3}，顯然A?B. 但A?B時，a＝2或3. ∴“a＝3”是“A?B”的充分不必要條件．] 4．命題“若a＞－3，則a＞－6”以及它的逆命題、否命題、逆否命題中假命題的個數(shù)為(

5、　　) A．1　　　 B.2 C.3　　　 D.4 B　[原命題正確，從而其逆否命題也正確；其逆命題為“若a＞－6，則a＞－3”是假命題，從而其否命題也是假命題． 因此4個命題中有2個假命題．] 5．(2016·天津高考)設(shè)x＞0，y∈R，則“x＞y”是“x＞|y|”的(　　) A．充要條件 B．充分而不必要條件 C．必要而不充分條件 D．既不充分也不必要條件 C　[當x＝1，y＝－2時，x＞y，但x＞|y|不成立； 若x＞|y|，因為|y|≥y，所以x＞y. 所以x＞y是x＞|y|的必要而不充分條件．] 四種命題的關(guān)系及其真假判斷 　(1)命題“若x2

6、－3x－4＝0，則x＝4”的逆否命題及其真假性為(　　) A．“若x＝4，則x2－3x－4＝0”為真命題 B．“若x≠4，則x2－3x－4≠0”為真命題 C．“若x≠4，則x2－3x－4≠0”為假命題 D．“若x＝4，則x2－3x－4＝0”為假命題 (2)原命題為“若z1，z2互為共軛復(fù)數(shù)，則|z1|＝|z2|”，關(guān)于逆命題，否命題，逆否命題真假性的判斷依次如下，正確的是(　　) A．真，假，真　　　 B.假，假，真 C．真，真，假 D.假，假，假 (1)C　(2)B　[(1)根據(jù)逆否命題的定義可以排除A，D，由x2－3x－4＝0，得x＝4或－1，所以原命題為假命題，所以其逆

7、否命題也是假命題． (2)由共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)，原命題為真命題，因此其逆否命題也為真命題． 當z1＝1＋2i，z2＝2＋i時，顯然|z1|＝|z2|，但z1與z2不共軛，所以逆命題為假命題，從而它的否命題亦為假命題．] [規(guī)律方法]　1.已知原命題寫出該命題的其他命題時，先要分清命題的條件與結(jié)論．特別注意的是，如果命題不是“若p，則q”形式的命題，需先改寫為“若p，則q”的形式． 2．給出一個命題，要判斷它是真命題，需經(jīng)過嚴格的推理證明；而要說明它是假命題，只需舉一反例即可． 3．由于原命題與其逆否命題的真假性相同，所以有時可以利用這種等價性間接地證明命題的真假． [變式訓(xùn)練1]　原命

8、題為“若＜an，n∈N*，則{an}為遞減數(shù)列”，關(guān)于其逆命題、否命題、逆否命題真假性的判斷依次如下，正確的是(　　) A．真，真，真 B.假，假，真 C．真，真，假 D.假，假，假 A　[由＜an，得an＋an＋1＜2an，即an＋1＜an. 所以當＜an時，必有an＋1＜an， 則{an}是遞減數(shù)列． 反之，若{an}是遞減數(shù)列，必有an＋1＜an， 從而有＜an. 所以原命題及其逆命題均為真命題，從而其否命題及其逆否命題也均是真命題．] 充分條件與必要條件的判斷 　(1)(2014·全國卷Ⅱ)函數(shù)f(x)在x＝x0處導(dǎo)數(shù)存在．若p：f′(x0)＝0；q：x＝x

9、0是f(x)的極值點，則(　　) A．p是q的充分必要條件 B．p是q的充分條件，但不是q的必要條件 C．p是q的必要條件，但不是q的充分條件 D．p既不是q的充分條件，也不是q的必要條件 (2)設(shè)x∈R，則“|x－2|＜1”是“x2＋x－2＞0”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 (1)C　(2)A　[(1)當f′(x0)＝0時，x＝x0不一定是f(x)的極值點， 比如，y＝x3在x＝0時，f′(0)＝0，但在x＝0的左右兩側(cè)f′(x)的符號相同，因而x＝0不是y＝x3的極值點． 由極值的定義知，x＝x0是f(x

10、)的極值點必有f′(x0)＝0. 綜上知，p是q的必要條件，但不是充分條件． (2)|x－2|＜1?1＜x＜3，x2＋x－2＞0?x＞1或x＜－2. 由于{x|1＜x＜3}是{x|x＞1或x＜－2}的真子集． 所以“|x－2|＜1”是“x2＋x－2＞0”的充分不必要條件．] [規(guī)律方法]　充分條件、必要條件的三種判斷方法 (1)定義法：根據(jù)p?q，q?p進行判斷，適用于定義、定理判斷性問題． (2)集合法：根據(jù)p，q成立的對象的集合之間的包含關(guān)系進行判斷，多適用于命題中涉及字母的范圍的推斷問題． (3)等價轉(zhuǎn)化法：根據(jù)一個命題與其逆否命題的等價性，把判斷的命題轉(zhuǎn)化為其逆否命題進

11、行判斷，適用于條件和結(jié)論帶有否定性詞語的命題． [變式訓(xùn)練2]　(2016·武漢模擬)設(shè)集合M＝{1,2}，N＝{a2}，則“a＝1”是“N?M”的(　　) 【導(dǎo)學號：01772006】 A．必要不充分條件 B.充分不必要條件 C．充要條件 D.既不充分也不必要條件 B　[若a＝1，則集合N＝{1}，此時滿足N?M.若N?M，則a2＝1或2，所以a＝±1或a＝±.故“a＝1”是“N?M”的充分不必要條件．] 充分條件、必要條件的應(yīng)用 　已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S的必要條件，求m的取值范圍． [

12、解]　由x2－8x－20≤0得 －2≤x≤10， ∴P＝{x|－2≤x≤10}.3分 ∵x∈P是x∈S的必要條件， 則S?P， ∴∴0≤m≤3.8分 綜上，可知0≤m≤3時，x∈P是x∈S的必要條件.12分 [遷移探究1]　本例條件不變，問是否存在實數(shù)m，使x∈P是x∈S的充要條件． [解]　由例題知P＝{x|－2≤x≤10}.2分 若x∈P是x∈S的充要條件，則P＝S， ∴8分 ∴ 這樣的m不存在.12分 [遷移探究2]　本例條件不變，若綈P是綈S的必要不充分條件，求實數(shù)m的取值范圍． [解]　由例題知P＝{x|－2≤x≤10}． ∵綈P是綈S的必要不充分條件，

13、∴P是S的充分不必要條件， ∴P?S且SP，4分 ∴[－2,10][1－m,1＋m]， ∴或8分 ∴m≥9，即m的取值范圍是[9，＋∞).12分 [規(guī)律方法]　充分條件、必要條件的應(yīng)用，一般表現(xiàn)在參數(shù)問題的求解上．解題時需注意： (1)把充分條件、必要條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系，然后根據(jù)集合之間的關(guān)系列出關(guān)于參數(shù)的不等式(組)求解． (2)要注意區(qū)間端點值的檢驗． [變式訓(xùn)練3]　(1)(2017·長沙模擬)已知命題p：a≤x≤a＋1，命題q：x2－4x<0，若p是q的充分不必要條件，則a的取值范圍是________． (2)方程ax2＋2x＋1＝0(a∈R，a為常

14、數(shù))的解集只有一個負實根的充要條件是________． (1)(0,3)　(2)a≤0或a＝1　[(1)令M＝{x|a≤x≤a＋1}，N＝{x|x2－4x<0}＝{x|0

15、綜上，方程的解集只有一個負實根的充要條件是a≤0或a＝1.] [思想與方法] 1．寫出一個命題的逆命題、否命題及逆否命題的關(guān)鍵是分清原命題的條件和結(jié)論，然后按定義來寫；在判斷原命題及其逆命題、否命題以及逆否命題的真假時，要借助原命題與其逆否命題同真或同假，逆命題與否命題同真或同假來判定． 2．充分條件、必要條件的幾種判斷方法 (1)定義法：直接判斷“若p，則q”“若q，則p”的真假． (2)等價法：利用A?B與綈B?綈A；B?A與綈A?綈B；A?B與綈B?綈A的等價關(guān)系，對于條件或結(jié)論是否定形式的命題，一般運用等價法． (3)利用集合間的包含關(guān)系判斷：設(shè)A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，若A?B，則p是q的充分條件或q是p的必要條件；若AB，則p是q的充分不必要條件，若A＝B，則p是q的充要條件． [易錯與防范] 1．當一個命題有大前提而要寫出其他三種命題時，必須保留大前提． 2．判斷命題的真假及寫四種命題時，一定要明確命題的結(jié)構(gòu)，可以先把命題改寫成“若p，則q”的形式． 3．判斷條件之間的關(guān)系要注意條件之間關(guān)系的方向，正確理解“p的一個充分而不必要條件是q”等語言的含義．