《電磁場與電磁波》（第四版）習(xí)題集：第7章導(dǎo)行電磁波

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1、第7章 導(dǎo)行電磁波 前面我們討論了電磁波在無界空間的傳播以及電磁波對平面分界面的反射與透射現(xiàn)象。在這一章中我們將討論電磁波在有界空間的傳播，即導(dǎo)波系統(tǒng)中的電磁波。所謂導(dǎo)波系統(tǒng)是指引導(dǎo)電磁波沿一定方向傳播的裝置，被引導(dǎo)的電磁波稱為導(dǎo)行波。常見的導(dǎo)波系統(tǒng)有規(guī)則金屬波導(dǎo)（如矩形波導(dǎo)、圓波導(dǎo)）、傳輸線（如平行雙線、同軸線）和表面波波導(dǎo)（如微帶線），圖7.0.1給出了一些常見的導(dǎo)波系統(tǒng)。 b 圓柱形波導(dǎo) a 矩形波導(dǎo) c 同軸線傳輸線 d 雙線傳輸線 e 微帶線 圖7.0.1 常見的幾種導(dǎo)波系統(tǒng) 導(dǎo)波系

2、統(tǒng)中電磁波的傳輸問題屬于電磁場邊值問題，即在給定邊界條件下解電磁波動(dòng)方程，這時(shí)我們可以得到導(dǎo)波系統(tǒng)中的電磁場分布和電磁波的傳播特性。在這一章中，將用該方法討論矩形波導(dǎo)、圓波導(dǎo)和同軸線中的電磁波傳播問題以及諧振腔中的場分布及相關(guān)參數(shù)。然而，當(dāng)邊界比較復(fù)雜時(shí)，用這種方法得到解析解就很困難，這時(shí)如果是雙導(dǎo)體（或多導(dǎo)體）導(dǎo)波系統(tǒng)且傳播的電磁波頻率不太高，就可以引入分布參數(shù)，用“電路”中的電壓和電流等效前面波導(dǎo)中的電場和磁場，這種方法稱為“等效傳輸線”法。這一章我們還將用該方法討論平行雙線和同軸線中波的傳播特性。 7.1導(dǎo)行電磁波概論 任意截面的均勻?qū)Рㄏ到y(tǒng)如圖7.1.1所示。為討論簡單又不失一般性

3、，可作如下假設(shè)： （1）波導(dǎo)的橫截面沿z方向是均勻的，即導(dǎo)波內(nèi)的電場和磁場分布只與坐標(biāo)x,y有關(guān)，與坐標(biāo)z無關(guān)。 （2）構(gòu)成波導(dǎo)壁的導(dǎo)體是理想導(dǎo)體，即。 （3）波導(dǎo)內(nèi)填充的媒質(zhì)為理想介質(zhì)，即，且各向同性。 （4）所討論的區(qū)域內(nèi)沒有源分布，即。 （5）波導(dǎo)內(nèi)的電磁場是時(shí)諧場，角頻率為。 z x y o 圖7.1.1任意截面的均勻波導(dǎo) 設(shè)波導(dǎo)中電磁波沿+z方向傳播，對于角頻率為的時(shí)諧場，由假設(shè)條件（1）和（2）可將其電磁場量表示為 (7.1.1) 式中稱為傳播常數(shù)，表征導(dǎo)波系統(tǒng)中電

4、磁場的傳播特性。為導(dǎo)波系統(tǒng)中的場分布。而我們將進(jìn)行的工作就是在不同導(dǎo)波系統(tǒng)的邊界條件下求解麥克斯韋方程組，得到傳播常數(shù)和相應(yīng)的場分布。 由假設(shè)條件（4），討論區(qū)域內(nèi)沒有源分布，則波導(dǎo)內(nèi)的電磁場滿足的麥克斯韋方程為 (7.1.2） (7.1.3) 將以上二式在直角坐標(biāo)系中展開，可得到x、y、z 三個(gè)分量的6個(gè)標(biāo)量方程。 (7.1.4a) (7.1.4b)

5、 (7.1.4c) (7.1.4d) (7.1.4e) (7.1.4f) 將以上6個(gè)方程經(jīng)過簡單運(yùn)算可將波導(dǎo)中的橫向場分量、、、用兩個(gè)縱向場分量和來表示。得 (7.1.5a) (7.1.5b) (7.1.5

6、c) (7.1.5d) 式中 式（7.1.5a）~(7.1.5d)為均勻?qū)Рㄏ到y(tǒng)中縱向場分量與橫向場分量的關(guān)系式。由該關(guān)系式可知，波導(dǎo)中的橫向場分量可由縱向場分量確定。我們還可以根據(jù)縱向場分量和的存在與否，對波導(dǎo)中傳播的電磁波進(jìn)行分類。 （1）橫電磁波又稱為TEM波，這種波既無分量又無分量。 （2）橫磁波又稱為TM波，這種波包含了非零的分量，但。 （3）橫電波又稱為TE波，這種波包含了非零的分量，但。 7.1.1. TEM波 對于TEM波，因?yàn)楹?，所以，除?，否則由式(7.1.5a)~(7.1.5d)只能得到

7、零解。因此對于TEM波有 (7.1.6) 從而可得到波導(dǎo)中的TEM波的傳播特性： 傳播常數(shù) 相速度 (7.1.7) 波阻抗 (7.1.7) 電場與磁場的關(guān)系 (7.1.8) 從以上的分析可知，導(dǎo)波系統(tǒng)中的TEM波的傳播特性與無界空間中的均勻平面波的傳播特性相同。 另外，單導(dǎo)體波導(dǎo)不能支持TEM波。這是因?yàn)榧偃缭诓▽?dǎo)

8、內(nèi)存在TEM波，由于磁場只有橫向分量，則磁力線應(yīng)在橫向平面內(nèi)閉合，這時(shí)就要求在波導(dǎo)內(nèi)存在縱向的傳導(dǎo)電流或位移電流。但是，因?yàn)槭菃螌?dǎo)體波導(dǎo)，其內(nèi)沒有縱向傳導(dǎo)電流。又因?yàn)門EM波的縱向電場，所以也沒有縱向的位移電流。 7.1.2 TM波和TE波 1.橫磁波(TM波) 在傳播方向上沒有磁場分量，即。故由式(7.1.5a)~(7.1.5d)得到TM波的縱向場分量與橫向場分量關(guān)系 (7.1.9a) (7.1.9b) (7.1

9、.9c) (7.1.9d) 同樣可以定義TM波的波阻抗，并由式(7.1.9a)~(7.1.9d)得 (7.1.10) TM波電場和磁場關(guān)系為 (7.1.11) 2.橫電波(TE波) 在傳播方向上沒有磁電分量，即。故由式(7.1.5a)~(7.1.5d)得TE波的縱向場分量與橫向場分量關(guān)系 (7.1.12a)

10、 (7.1.12b) (7.1.12c) (7.1.12d) TE波的波阻抗 (7.1.13) TE波電場和磁場的關(guān)系為 (7.1.14) 對于TM波和TE波，因?yàn)榛?，所?，因此 TM波和TE的傳播常數(shù) (7.1.15) 式中稱為截止波數(shù)，其值由波導(dǎo)的形狀、大小和傳播的波型決定。而傳播常數(shù)的值決定了

11、TM波和TE波的傳播特性。 金屬空芯波導(dǎo)內(nèi)可以存在TM波和TE波，它們的傳播特性由傳播常數(shù)的取值范圍確定，由式(7.1.15)可知，的取值范圍由截止波數(shù)決定。不同形狀、不同大小的波導(dǎo)其截止波數(shù)的表示不同，而同一個(gè)波導(dǎo)中，如果傳播的波的類型不同，其截止波數(shù)也不同，我們將在后面具體波導(dǎo)的分析中進(jìn)一步討論這個(gè)問題。 7.2 矩形波導(dǎo) 圖7.2.1 矩形波導(dǎo) x a o z y b 圖7.2.1所示矩形波導(dǎo)，寬邊尺寸為a，窄邊尺寸為b。波導(dǎo)內(nèi)填充電參數(shù)為、的理想介質(zhì)，波導(dǎo)壁為理想導(dǎo)體。由于矩形波導(dǎo)是單導(dǎo)體波導(dǎo)，故不能傳輸TEM波。下面討論矩形波導(dǎo)中TM波和TE波場分布以及它們的在波

12、導(dǎo)中的傳播特性。 7.2.1 矩形波導(dǎo)中的場分布 1．矩形波導(dǎo)中TM波的場分布 對于TM波，因?yàn)?，由?7.1.9a)~(7.1.9d)可知，波導(dǎo)內(nèi)的電磁場量由確定。在給定的矩形波導(dǎo)中，滿足下面的波動(dòng)方程和邊界條件： (7.2.1) 由均勻?qū)Рㄏ到y(tǒng)的假設(shè)， (7.2.2) 將其代入式(7.2.1)，得 (7.2.3) 其中，稱為截止波數(shù)。 該方程可利用分離變量法求解。設(shè)其解為：

13、(7..2.4) 將式(7.2.4)代入式(7.2.3)，然后等式兩邊同除以，得 (7.2.5) 式(7..2.5)中左邊僅為x的函數(shù)，等式右邊僅為y的函數(shù)，要使其相等，必須各等于常數(shù)。于是，由(7.2.5)可分離出兩個(gè)常微分方程 (7.2.6a) (7.2.6b) 且 (7.2.7) 式(7.2.6)的通解為

14、(7.2.8) 對于圖7-3所示的矩形波導(dǎo)，由于在x=0和x=a的邊界上，滿足 ， (7.2.9) 于是將式(7.2.9)代入式 (7.2.8)得 (7.2.10) (7.2.11) 同理得式(7.2.6b)的通解 (7.2.12) 由邊界條件 ， (7.2.13) 于是得

15、 (7.2.14) (7.2.15) 所以，得到矩形波導(dǎo)中TM波的縱向場分量 (7.2.16) 式中E0=AC由激勵(lì)源強(qiáng)度決定。 由式(7.2.7)得截止波數(shù) (7.2.17) 利用式(7.1.9a)~ (7.1.9d)可求得TM的其他橫向場分量 (7.2.18a) (7.2.18b) （7.2.18c） (7.2.18d) 2．矩形波導(dǎo)中TE波的場分布 對于TE波，波導(dǎo)內(nèi)的電磁場量由確定，在給定的矩形波導(dǎo)中，滿足下

16、面的波動(dòng)方程和邊界條件： (7.2.19) 仿照前面對TM的討論，可以得到TE波的縱向場分量 (7.2.20) 式中H0=CD由激勵(lì)源強(qiáng)度決定 截止波數(shù) (7.2.21) 利用式(7.1.12a)~ (7.1.12d)可求得TE的其他橫向場分量 (7.2.22a) (7.2.22b) （7.2.22c） (7.2.22d) 對于矩形波導(dǎo)中的TM波和TE波有下面的結(jié)論： （1） m和n有不同的取值，對應(yīng)于m、n的每一種組合即為一

17、種可能的傳播模式：TMmn或TEmn，稱為TMmn?；騎Emn模； （2）不同的模式對應(yīng)不同的截止波數(shù)； （3） 由于相同的m、n組合，TMmn模和TEmn模的截止波數(shù)相同，這種情況稱為模式的簡并。 （4）對于TEmn其m和n可以為0（但不能同時(shí)為0），而對于TMmn模其m和n都不能為0，故不存TM0n和TMm0模。 7.2.2 矩形波導(dǎo)中波的傳播特性 矩形波導(dǎo)中的TM和TE波的場量均可表示為 (7.2.23) 其中 (7.2.24) 稱為傳播常數(shù)，矩形波導(dǎo)中TM波和TE波的傳播特性與其取值范圍有關(guān)。 （1）當(dāng)

18、傳播常數(shù)為實(shí)數(shù)，即時(shí)，式(7.2.23)表示衰減的場分布。矩形波導(dǎo)中不能傳播相應(yīng)模式的波。此時(shí) (7.2.25) 相應(yīng)的相位常數(shù)、波導(dǎo)波長不存在，而波阻抗、為純虛數(shù)。 （2）當(dāng)傳播常數(shù)為虛數(shù)，即，式(7.2.23)表示沿正z方向傳播的波。此時(shí) (7.2.26) 由此可得相位常數(shù) (7.2.27) 波導(dǎo)波長（波導(dǎo)中相位變化時(shí)波傳播的距離） (7.2.28) 相速度 (7.2.29) 波阻抗

19、 (7.2.30) (7.2.31) （3） 當(dāng)傳播常數(shù)為零，即，這是臨界情況，矩形波導(dǎo)中也不能傳播相應(yīng)模式的波。此時(shí) (7.2.32) 則 即波數(shù)與截止波數(shù)相等，令 式中 (7.2.33) 稱為截止角頻率。相應(yīng)的截止頻率為 (7.2.34) 截止波長為 (7.2.35) 由以上討論可得出結(jié)論：

20、 當(dāng)工作頻率大于截止頻率，即，波導(dǎo)中可以傳播相應(yīng)TMmn模和TEmn模式的電磁波；當(dāng)工作頻率小于或等于截止頻率，即，波導(dǎo)中不能傳播相應(yīng)TMmn模和TEmn模式的電磁波。 將引入的截止頻率代入式(7.2.26)~ (7.2.31)可把相應(yīng)的傳播特性參數(shù)用截止頻率表示： 傳播常數(shù) (7.2.36) 相位常數(shù) (7.2.37) 波導(dǎo)波長 (7.2.38) 式中為無界空間中的波長。 相速度 (7.2.39) 式中為無界空間中的相速度。 波阻抗 (7.2.4

21、0) (7.2.41) 例7.2.1 （1）寫出邊長為a和b的矩形波導(dǎo)中TM11模場量的瞬時(shí)表達(dá)式；（2）求其截止頻率、波導(dǎo)波長、相速度及波阻抗；（3）畫出xy平面和yz平面的電力線和磁力線。 解 ：（1）將式(7.2.16)和式(7.2.18a)~(8.2.18d)的復(fù)數(shù)表示 乘以，然后取其實(shí)部，并令m=n=1可得TM11模的瞬時(shí)場表示 (7.2.42a) (7.2.42b) (7.2.42c) (7.2.42d) (7.2.42e)

22、 (7.2.42f) 式中 (2) 截止波長 截止頻率 波導(dǎo)波長 相速度 波阻抗 (3) 場圖 y O z y x O 圖7.2.2 矩形波導(dǎo)中TM11模的場線 例7.2.2 在尺寸為的矩形波導(dǎo)中，傳輸模，工作頻率。 （1） 求截止波長、波導(dǎo)波長和波阻抗。 （2） 若波導(dǎo)的寬邊尺寸增大一倍，上述參數(shù)如何變化？還能傳輸什么模式？ （3） 若波導(dǎo)的窄邊尺寸增大一倍，上述參數(shù)如何變化？還能傳輸什么

23、模式？ 解 截止波長、波導(dǎo)波長和波阻抗可由相應(yīng)的公式直接求解。當(dāng)波導(dǎo)尺寸發(fā)生變化，相應(yīng)模式的截止波長（截止頻率）將發(fā)生變化，從而導(dǎo)致參數(shù)、、的變化。由于模式的截止波長（截止頻率）發(fā)生了變化，而工作頻率不變，致使波導(dǎo)中原本不能傳輸?shù)哪Ｊ匠蔀榭梢詡鬏數(shù)哪Ｊ剑ɑ虿▽?dǎo)中原本可以傳輸?shù)哪Ｊ阶優(yōu)椴荒軅鬏數(shù)哪Ｊ剑? （1） （2）當(dāng)時(shí) 此時(shí) 而工作波長，可見此時(shí)能傳輸?shù)哪Ｊ綖椤? （3）當(dāng)時(shí) 此時(shí) 而工作波長，可見此時(shí)能傳輸?shù)哪Ｊ綖椤? 7.2.3 矩形波導(dǎo)中的主模 1．矩形波導(dǎo)的主模 當(dāng)工作頻率和波導(dǎo)尺寸給定后，矩形波導(dǎo)中可以傳

24、播的電磁波模式滿足條件。在矩形波導(dǎo)的眾多傳播模式當(dāng)中，有一個(gè)截止頻率最低的模式。因?yàn)? (7.2.43) 若矩形波導(dǎo)的寬邊為a，窄邊為b，則模的截止頻率最低，稱為矩形波導(dǎo)中的主模。其傳播特性參數(shù)為 (7.2.44) (7.2.45) (7.2.46) (7.2.47) 由式(7.

25、2.20)和式(7.2.22a)~(7.2.22d)，可得的場分量 (7.2.48a) (7.2.48b) (7.2.48c) (7.2.48d) 瞬式值表達(dá)式為 (7.2.49a) (7.2.49b) (7.2.49c) (7.2.49d) 根據(jù)式(7.2.50a)~ (7.2.50f)可畫出t=0時(shí)，xy、yz和xz平面模

26、的場圖。如圖7.2.3所示。 圖7.2.3a TE10波的電場分布 圖7.2.3b TE10波的磁場分布 圖7.2.3c TE10波的立體電磁場分布 當(dāng)波導(dǎo)中存在電磁波時(shí)，由于磁場的感應(yīng)，在波導(dǎo)內(nèi)壁上會(huì)產(chǎn)生感應(yīng)面電流，即波導(dǎo)的傳導(dǎo)電流。設(shè)波導(dǎo)壁由理想導(dǎo)體構(gòu)成，因此，該電流為面分布，稱為管壁電流。管壁電流由磁場產(chǎn)生，所以它的分布取決于傳播波型的磁場分布。由理想導(dǎo)體表面的邊界條件可知，分布于波導(dǎo)壁上的管壁電流密

27、度為 式中為管壁面的外法線方向單位矢量，H是管壁內(nèi)側(cè)面上的磁場強(qiáng)度。將模磁場的各分量代入上式就可得到矩形波導(dǎo)中傳播 模時(shí)的管壁電流分布（設(shè)t=0） 根據(jù)以上計(jì)算結(jié)果，將波導(dǎo)內(nèi)壁的電流分布繪于圖7.2.4中。 圖7.2.4 矩形波導(dǎo)中TE10模的管壁電流 研究波導(dǎo)的管壁電流分布的實(shí)際意義在于：在實(shí)際應(yīng)用中，波導(dǎo)與波導(dǎo)之間往往需要進(jìn)行連接，在連接處應(yīng)盡可能保證管壁電流暢通，才不至于引起波導(dǎo)內(nèi)電磁波的反射。而在測量波導(dǎo)的傳播特性時(shí)，又往往需要在波導(dǎo)壁上開槽，這些槽口應(yīng)盡可能不破壞管壁電流，否則會(huì)引起波導(dǎo)內(nèi)電磁場的改變，測量失去意義，因而這些槽口的位置應(yīng)開在不切

28、斷管壁電流的地方。根據(jù)以上對TE10模管壁電流的分析，并結(jié)合圖7.2.4，當(dāng)波導(dǎo)中傳播TE10模時(shí)，在波導(dǎo)寬邊壁中央(x=a/2)處縱向開槽，將不會(huì)切斷管壁電流，如圖7.2.5所示。但在另一種情況下，若需從一個(gè)波導(dǎo)中耦合出一定能量激勵(lì)另一個(gè)波導(dǎo)時(shí)，或?qū)⒉▽?dǎo)開口作為天線使用時(shí)，則應(yīng)把槽開在最大限度切斷管壁電流的位置，如圖7.2.6所示。 圖7.2.5 波導(dǎo)管壁中央開槽用作測量線示意圖 圖7.2.6 波導(dǎo)管壁開槽切斷管壁電流示意圖 2. 單模傳輸 由的表達(dá)式可知，在矩形波導(dǎo)中，TMmn和TEmn的截止波長相同，這種情況稱為“簡并”。例如TE11和TM

29、11就是簡并模。對于不同的模式，相應(yīng)的截止波長也不同。為便于比較，對給定尺寸a和b（）的矩形波導(dǎo)，取不同的m和n即可由式(7.2.35)計(jì)算出各模式的截止波長之值，并以的長短為序在同一坐標(biāo)軸上繪出截止波長分布圖，如圖7.2.7所示。通常把這種各模式的截止波長分布圖稱為模式分布圖。截止波長最長的模式即為前面討論的TE10模，稱為主模，其余模式稱為高次模。在圖中有三個(gè)區(qū)： TE10 TE20 TE01 TE11，TM11 TE30 0 2b a 2a 截止區(qū) 單模區(qū) 多模區(qū) 圖7.2.7矩形波導(dǎo)中的模式分布圖 （1

30、） 截止區(qū)：為。由于是矩形波導(dǎo)中能出現(xiàn)的最長截止波長，因此，當(dāng)工作波長時(shí)，電磁波就不能在波導(dǎo)中傳播，所以該區(qū)稱為“截止區(qū)”。 （2） 單模區(qū)：為。在這一區(qū)域只有一個(gè)TE10模出現(xiàn)，若工作波長在，就只能傳輸TE10模，其它模式都處于截止?fàn)顟B(tài)，這種情況稱為“單模傳輸”，因此該區(qū)稱為“單模區(qū)”。在使用波導(dǎo)傳輸能量時(shí)，通常要求工作在單模狀態(tài)。 （3）多模區(qū)：為。若工作波長在，則波導(dǎo)中至少會(huì)出現(xiàn)兩種以上的波型，故該區(qū)稱為多模區(qū)。 因此，為保證在矩形波導(dǎo)中只有TE10模單模傳輸，在波導(dǎo)尺寸給定的情況下，選擇電磁波的工作波長應(yīng)滿足 一般取b=(0.4~0.5)a 。 例7.2.3 有一內(nèi)充空

31、氣、截面尺寸為的矩形波導(dǎo)，以主模工作在。若要求工作頻率至少高于主摸截止頻率的和至少低于次高模截止頻率的。(1)給出尺寸a和b的設(shè)計(jì)；(2)根據(jù)設(shè)計(jì)的尺寸，計(jì)算在工作頻率時(shí)的波導(dǎo)波長和波阻抗。 解：（1）根據(jù)單模傳輸?shù)臈l件，工作波長大于主模的截止波長而小于次高模的截止波長。對于的矩形波導(dǎo)，其主模為，相應(yīng)的截止波長。當(dāng)波導(dǎo)尺寸時(shí)，其次高模為模，相應(yīng)的截止波長。 由題意 解得 且 （2）若取，此時(shí) 相速度 波導(dǎo)波長 波阻抗 7.2.4 矩形波導(dǎo)中的傳輸功率 根據(jù)坡印廷定理，波導(dǎo)中某個(gè)波型的傳輸功率為 （7.2.

32、50） 式中，Z為該波型的波阻抗。 若矩形波導(dǎo)中傳輸?shù)碾姶挪Ｊ綖槟?，則相應(yīng)的傳輸功率為 (7.2.51) 根據(jù)式（7.2.48）得到的波場分量，上式中是分量在波導(dǎo)寬邊中心處的振幅值。于是波導(dǎo)中傳輸模時(shí)的功率容量為 (7.2.52) 式中為擊穿電場幅值。若波導(dǎo)以空氣填充，因?yàn)榭諝獾膿舸﹫鰪?qiáng)為30KV/cm，故空氣填充的矩形波導(dǎo)的功率容量為 (7.2.53) 可見波導(dǎo)尺寸越大，頻率越高，功率容量就越大。然而實(shí)際上不能采用極限功率傳輸，因?yàn)椴▽?dǎo)中還可能存在

33、反射波和局部電場不均勻等問題。一般取容許功率為 (7.2.54) 7.3圓柱形波導(dǎo) 除矩形波導(dǎo)外，圓柱形波導(dǎo)也是應(yīng)用較多的一種導(dǎo)波系統(tǒng)。其形狀如圖7.3.1所示。波導(dǎo)的半徑為a，波導(dǎo)內(nèi)填充電參數(shù)為和的完純介質(zhì)，波導(dǎo)管壁由理想導(dǎo)體構(gòu)成。設(shè)電磁波沿+z方向傳播，波導(dǎo)內(nèi)的電磁場為時(shí)諧場，其角頻率等，波導(dǎo)內(nèi)電磁場的復(fù)數(shù)形式為 (7.3.1) 圖7.3.1 圓柱形波導(dǎo) y x z 將麥克斯韋方程 在圓柱坐標(biāo)系中展開得

34、 (7.3.2a) (7.3.2b) (7.3.2c) (7.3.3a) (7.3.3b) (7.3.3c) 同樣可用兩個(gè)縱向場分量和來表示其余場分量 (7.3.4) (7.3.5) (7.3.6)

35、 (7.3.7) 7.3.1圓柱形波導(dǎo)中的場分布 由于圓柱形波導(dǎo)是單導(dǎo)體波導(dǎo)，其中不能傳播TEM波，只能傳播TM波和TE波。求解圓柱形波導(dǎo)內(nèi)TM波和TE波的場量分布方法與求矩形波導(dǎo)內(nèi)場量分布的方法類似，不同的是應(yīng)采用圓柱坐標(biāo)系。 1. 圓柱形波導(dǎo)中TM波的場分布 對于TM波，=0, 滿足的方程和邊界條件為 (7.3.8) 在圓柱坐標(biāo)系下，以上方程應(yīng)為 (7.3.9) 考慮，則式(7.3.9)變?yōu)? (7.3.10) 式中

36、 (7.3.11) 應(yīng)用分離變量法解得 (7.3.12) 式中為m階第一類貝塞爾函數(shù)，由激勵(lì)源強(qiáng)度決定。 將式(7.3.11)代入式(7.3.4)~ (7.3.7)，并考慮到可得到圓柱形波導(dǎo)中波的場分量為 (7.3.13a) (7.3.13b) (7.3.13c) (7.3.13d) (7.3

37、.13e) (7.3.13f) 由邊界條件可得截止波數(shù) (7.3.14) 式中為m階貝塞爾函數(shù)的第n個(gè)零點(diǎn)。將上式代入式(7.3.13a)~ (7.3.13f)，則得圓柱形波導(dǎo)中的模場分布。表7.3.1給出了的前幾個(gè)值。 表7.3.1 的根 m n=1 n=2 n=3 n=4 n=5 0 2.405 5.520 8.654 11.792 14.931 1 3.832 7.016 10.173 13.324 16

38、.471 2 5.136 8.417 11.620 14.796 17.960 2. 圓柱形波導(dǎo)中TE波的場分布 對于TE波,=0, 滿足的方程和邊界條件為 與討論TM波類似，可得到圓柱形波導(dǎo)中TE波的場分量 (7.3.15a) (7.3.15b) (7.3.15c) (7.3.15d) (7.3.15e)

39、 (7.3.15f) 由邊界條件可得截止波數(shù) (7.3.16) 式中為的根。將上式代入式(7.3.15a)~ (7.3.15f)，則得到圓柱形波導(dǎo)中的模場分布。 表7.3.2給出了的前幾個(gè)值。 表7.3.2 的根 m n=1 n=2 n=3 n=4 0 3.832 7.016 10.174 13.324 1 1.841 5.332 8.536 11.706 2 3.054 6.705 9.965 13.

40、107 3 4.201 8.015 11.344 7.3.2圓柱形波導(dǎo)中波的傳播特性 與矩形波導(dǎo)相同，圓柱形波導(dǎo)中模和的傳播特性由相應(yīng)的傳播常數(shù)確定，而傳播常數(shù)、波數(shù)k及截止波數(shù)三者滿足關(guān)系。對于給定尺寸（半徑a）的圓柱形波導(dǎo)，模和模的截止波數(shù)分別由式（7.3.14）和式(7.3.16)確定，相應(yīng)的截止頻率 (7.3.17) 截止波長 (7.3.18) 當(dāng)電磁波的工作頻率f大于相應(yīng)模式的截止頻率（或工作波長小于相應(yīng)模式的截止波長）波導(dǎo)中就可以傳

41、播該模式的電磁波。相應(yīng)的傳播特性參數(shù)如下： 相位常數(shù) (7.3.19) 相速度 (7.3.20) 波導(dǎo)波長 (7.3.21) 波阻抗 (7.3.22) (7.3.23) 與矩形波導(dǎo)一樣，我們也可以根據(jù)模式截止波長的大小，繪出圓柱形波導(dǎo)中截止波長的分布圖，如圖7.3.2所示。 TE11 TM01 TE21 TE01 TM11 TE21

42、 TM21 TE12 TM02 Ⅲ Ⅱ Ⅰ a 2a 3a 圖7.3.2 圓柱形波導(dǎo)中模式分布圖 從以上的分析可以看出： （1） 圓柱形波導(dǎo)中存在無窮多個(gè)可能的傳播模式——模和模。 （2） 圓柱形波導(dǎo)中最低截止頻率模式是模，其截止波長為3.41a,它是圓柱形波導(dǎo)中的主模。 （3） 圓柱形波導(dǎo)中存在模式的雙重簡并： 其一： 不同模式具有相同的截止波長。例如因此模和存在模式簡并現(xiàn)象，這種簡并稱為E－H

43、簡并，這和矩形波導(dǎo)中的模式簡并相同。 其二： 從TE波和TM波的場分量表示式可知，當(dāng)時(shí)，對于同一個(gè)?；蚰６加袃蓚€(gè)場結(jié)構(gòu)，它們與坐標(biāo)的關(guān)系分別為和，這種簡并稱為極化簡并，是圓柱形波導(dǎo)中特有的。 7.3.3圓柱形波導(dǎo)中的三種典型模式 模、模和模是圓柱形波導(dǎo)中的三種典型模式，它們的截止波長分別為 ，， 1.主模 電力線 磁力線 圖7.3.3 圓波導(dǎo)中 模 模具有最長的截止波長，是圓波導(dǎo)中的主模，其場分布如圖7.3.3所示。由于存在極化簡并 ，難于實(shí)現(xiàn)單模傳輸。而且圓波導(dǎo)中的單模工作頻帶寬度比矩形波導(dǎo)中模的單模工作頻帶寬度窄，因此一般圓波導(dǎo)不用于中、遠(yuǎn)距離傳輸電磁能量。然而，在一些

44、特殊情況下，例如，在傳輸圓極化波時(shí)，采用圓波導(dǎo)中的模就比較方便。由于圓波導(dǎo)中的模的場分布與矩形波導(dǎo)中的的場分布類似，因此容易實(shí)現(xiàn)從矩形波導(dǎo)到圓波導(dǎo)的變換。 2. 圓對稱模 電力線 磁力線 圖7.3.4圓波導(dǎo)中TM01模的場分布 模是圓波導(dǎo)中的第一個(gè)高次模，不存在極化簡并，也不存在E－H簡并，其場分布具有軸對稱性，如圖7.3.4所示。模的這一特點(diǎn)適合于用作天線機(jī)械掃描裝置中的旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)的工作模式，但由于模不是圓波導(dǎo)中的主模，故在使用過程中應(yīng)設(shè)法抑止主模。 3. 低損耗模 也是軸對稱模，不存在極化簡并,但與

45、存在E－H簡并，是圓波導(dǎo)中的高次模。其場分布如圖7.3.5所示。由圖可見，磁場沒有分量，因此波導(dǎo)管壁電流無縱向分量。于是當(dāng)傳輸功率一定時(shí)，隨著頻率的增高，管壁的熱損耗將下降，故其損耗相對于其它模式來說是最低的。模的這一特點(diǎn)適合于用作高Q值諧振腔的工作模式，以及毫米波遠(yuǎn)距離波導(dǎo)傳輸。圓波導(dǎo)中的模是目前毫米波波導(dǎo)傳輸?shù)淖罴涯Ｊ?。在毫米波波段，?biāo)準(zhǔn)圓波導(dǎo)模的衰減為矩形波導(dǎo)中模衰減的1/4~1/8。目前圓波導(dǎo)中的模不但用于通信干線中，也用于電子設(shè)備的連接和雷達(dá)天線的饋線。同樣，由于模不是圓波導(dǎo)中的主模，故在使用過程中應(yīng)設(shè)法抑止其它模式。 圖7.3.5 圓波導(dǎo)中TE01模的場分布 電力線 磁

46、力線 例7.3.1 一空氣填充的圓柱形波導(dǎo)中TE01模，已知，工作頻率，求波導(dǎo)波長。 解： 故 例 7.3.2 一空氣填充的圓柱形波導(dǎo)，周長為25.1cm，其工作頻率為，求該波導(dǎo)內(nèi)可能傳播模式。 解：工作波長為 截止波長大于工作波長（）的模式可以傳播。 該波導(dǎo)的半徑為 模的截止波長為 模和的截止波長為 模的截止波長為 模的截止波長為 其余模式的截止波長都小于10cm，所以該圓柱形波導(dǎo)中可能傳播的模式為和。 7.4 同軸波導(dǎo) 同軸波導(dǎo)是一種由內(nèi)、外導(dǎo)體構(gòu)成的雙導(dǎo)體導(dǎo)波系統(tǒng)，也稱為同軸線，其形

47、狀如圖7.4.1所示，內(nèi)導(dǎo)體半徑為a，外導(dǎo)體的內(nèi)半徑為b，內(nèi)外導(dǎo)體之間填充電參數(shù)為、的理想介質(zhì)，內(nèi)外導(dǎo)體為理想導(dǎo)體。由于同軸線是雙導(dǎo)體波導(dǎo)，因此它既可以傳播TEM波，也可以傳播TE波、TM波。設(shè)電磁波沿+z方向傳播，相應(yīng)的場為時(shí)諧場， 波導(dǎo)內(nèi)電磁場的復(fù)數(shù)形式為 圖7.4.1 同軸波導(dǎo) x z y 7.4.1同軸波導(dǎo)中的TEM波 同軸波導(dǎo)是雙導(dǎo)體波導(dǎo)，其內(nèi)可以傳播TEM波。對于TEM波，而磁力線是閉合曲線，電場和磁場都在橫截面內(nèi)，即，故將麥克斯韋方程 在圓柱坐標(biāo)系中展開得

48、 (7.4.1a) (7.4.1b) (7.4.1c) (7.4.1d) 考慮沿+z方向的傳播因子，式（7.4.1b）的解為 (7.4.2) 將式(7.4.2)代入式(7.4.1a)得 (7.4.3) 同軸波導(dǎo)中TEM模的場分布如圖7.4.2所示。 電力線 磁力線 圖7.4.2 同

49、軸波導(dǎo)中TEM模的場分布 由式（7.1.6）得TEM波的傳播常數(shù) (7.4.4) 式中 為TEM波的相位常數(shù)。其余傳播特性參數(shù)分別為： 相速度 (7.4.5) 波阻抗 (7.4.6) 從以上的分析可知，TEM波是無色散波，其截止波數(shù)，即。因此同軸波導(dǎo)中的主模是TEM模。 同軸波導(dǎo)中傳輸TEM模時(shí)，其傳輸功率為

50、 （7.4.7） 式中。 由式(7.4.3)可知，同軸波導(dǎo)中傳播TEM模時(shí)，在r=a處電場最大，且等于 （7.4.8） 若假設(shè)該處的電場強(qiáng)度等于同軸波導(dǎo)中所填充媒質(zhì)的擊穿電場強(qiáng)度，則擊穿時(shí)有，將其代入式（7.4.7），得同軸波導(dǎo)傳輸TEM模時(shí)的功率容量為 （7.4.9） 7.4.2同軸波導(dǎo)中的高次模 在實(shí)際應(yīng)用中，同軸波導(dǎo)都是以TEM模（主模）方式工作。但是，當(dāng)工作頻率過高時(shí)，在同軸波導(dǎo)中還將出現(xiàn)一系列的高次模： TM模和TE模。同軸波導(dǎo)中的TM

51、模和TE模的分析方法與圓柱形波導(dǎo)中TM模和TE模的分析方法相似。即在給定的邊界條件下求解或滿足的波動(dòng)方程，從而可以得到同軸波導(dǎo)中不同模和模的場分布以及相應(yīng)模式的截止波長。 根據(jù)計(jì)算得到同軸波導(dǎo)中和的截止波長分別為 （7.4.10） 于是同軸波導(dǎo)幾個(gè)較低階的模式分布如圖7.4.3所示。 TM01 0 TE11 TEM 圖7.4.3 同軸波導(dǎo)中模式分布圖 為保證同軸波導(dǎo)在給定工作頻帶內(nèi)只傳輸TEM模，就必須使工作波長大于第一個(gè)次高?！５慕刂共ㄩL，即

52、（7.4.11） 該式給出了a+b的取值范圍，要最終確定尺寸，還必須確定的值。我們可以根據(jù)實(shí)際需要選擇該值的大小。比如，當(dāng)要求功率容量最大時(shí)選擇，當(dāng)要求傳輸損耗最小時(shí)選擇，當(dāng)要求耐壓最高時(shí)選擇。 7.5諧振腔 在UHF波段（300MHz~3GHz）以及更高的頻段，制造一般的集中參數(shù)元件非常困難。這是由于電路的幾何尺寸與工作波長相比擬，從而使其成為一個(gè)輻射源，干擾其它的電路與系統(tǒng)。諧振腔則是一種適用于UHF以及更高頻率的諧振元件，它是用金屬導(dǎo)體壁完全密閉的空腔，可以將電磁波全部約束在空腔內(nèi)，同時(shí)其整個(gè)大面積的金屬表面又為電流提供通路。諧振腔具有固定的諧振頻率和很高的Q值（品質(zhì)因素）。本節(jié)將

53、討論矩形諧振腔的性質(zhì)。 x y z a b l O 圖7.5.1 矩形諧振腔 一段長度為l的矩形波導(dǎo)，兩端用金屬板把它封閉起來就構(gòu)成了矩形諧振腔，如圖7.5.1所示。 因?yàn)門M模和TE模都能存在于矩形波導(dǎo)內(nèi)，所以，TM模和TE模也同樣可以存在于矩形諧振腔中。由于諧振腔內(nèi)不存在惟一的縱方向（傳播方向），因此，TM模和TE模的名稱不惟一。 假設(shè)z軸為參考的“傳播方向”。由于在z=0和z=l處存在導(dǎo)體壁，電磁波將在其間來回反射形成駐波，所以在空腔內(nèi)不可能有波的傳播。 1.TMmnp模 在矩形波導(dǎo)中，沿+z方向傳播的TMmn模的場分量為 (7.

54、5.1a) (7.5.1b)) (7.5.1c ) (7.5.1d) (7.5.1e) (7.5.1f) 該模式的電磁波被位于z=l處的端面反射，然后沿-z方向傳播，相應(yīng)的行波因子為，這時(shí)入射波和反射波疊加將形成以或表示的駐波分布。在 z=0和z=l的兩個(gè)面上，Ex和Ey正好是切向分量。由邊界條件，要求該切向分量在z=0和z=l平面上應(yīng)等于零。于是Ex和Ey沿z的駐波分布應(yīng)為，且。Ez則是法向分量，由邊界條件，該法向分量在z=0和z=l不為零，而是決定于該面的感應(yīng)電荷面密度

55、。于是Ez沿z的駐波分布應(yīng)為，且。同理Hx和Hy沿z的駐波分布也應(yīng)為，。于是得矩形諧振腔內(nèi)模的場分布 (7.5.2a) (7.5.2b) (7.5.2c) (7.5.2d) (7.5.2e) (7.5.2f) 由矩形波導(dǎo)中TMmn、TEmn的相位系數(shù)關(guān)系 (7.5.3) 將前面給出的條件代入上式得 (7.5.4) 與之對應(yīng)的頻率即為諧振腔的諧振頻率

56、 (7.5.5) 2.TEmnp模 對于模的駐波分量的復(fù)數(shù)表示，可由矩形波導(dǎo)中模的場分量導(dǎo)出，其 方法與導(dǎo)出模駐波場分量相同。得 (7.5.6a) (7.5.6b) (7.5.6c) (7.5.6d) (7.5.6e) (7.5.6f) 式中與的表達(dá)式與TMmnp模相同。具有相同諧振頻率的不同模式稱為簡并模。對于給定尺寸的諧振腔，諧振頻率最低的模式稱為主模。 例7.5.1有一填充空

57、氣的矩形諧振腔，其沿x,y,z方向的尺寸分別為：(1)；；。試確定相應(yīng)的主模和諧振頻率。 解：選擇z軸作為參考的“傳播方向”，對于TMmnp模，由其場分量的表示式(7.5.2)可知，m和n不能為零，而p可以為零。對于 TEmnp模, 由其場分量的表示式(7.5.6) 可知，m或n均可為零（但不能同時(shí)為零），而p不能為零。因此可能的最低階模式為 相應(yīng)的諧振頻率由式(7.5.5)給出。 （1）當(dāng)時(shí)，最低諧振頻率為 式中c為自由空間的波速。于是得TM110為主模。 （2）當(dāng)時(shí)，最低諧振頻率為 于是得為主模。 （3）當(dāng)時(shí), 的諧振頻率相同 3.矩形諧振腔的品質(zhì)因素 諧

58、振腔可以儲(chǔ)存電場能量和磁場能量。在實(shí)際的諧振腔中，由于腔壁的電導(dǎo)率是有限的，它的表面電阻不為零。這樣將導(dǎo)至能量的損耗。和其它諧振回路一樣，諧振腔的品質(zhì)因素Q定義為 (7.5.7) 式中W為諧振腔中的儲(chǔ)能，WT為一個(gè)周期內(nèi)諧振腔中損耗的能量。設(shè)為諧振腔內(nèi)的時(shí)間平均功率損耗，則一個(gè)周期內(nèi)諧振腔損耗的能量為，得 (7.5.8) 確定諧振腔在諧振頻率的Q值時(shí)，通常是假設(shè)其損耗足夠的小，以致可以用無損耗時(shí)的場分布進(jìn)行計(jì)算。 例7.5.2 計(jì)算矩形諧振腔中模的Q值。

59、 解：由式(7.5.6)，令m=1,n=0,p=1,得的場分量 ，， 時(shí)間平均儲(chǔ)存的電場能量 式中已將代入。再將代入上式，得 時(shí)間平均儲(chǔ)存的磁場能量 于是總的儲(chǔ)能 單位面積的損耗功率 于是總的損耗功率 所以Q值 式中的為導(dǎo)體的表面阻抗。 7.6 傳輸線 在前面幾節(jié)我們采用在給定邊界條件下求解電磁波動(dòng)方程的方法得到導(dǎo)波系統(tǒng)中和諧振腔中的電磁場分布、電磁波的傳播特性。對于能傳輸TEM波的雙導(dǎo)體導(dǎo)波系統(tǒng)，例如平行雙線、同軸線等（又稱傳輸線），在傳輸TEM波的條件下，其電場和磁場只有橫向分布。例如同軸線中、，這時(shí)在z=c(常數(shù))平面

60、內(nèi)，內(nèi)外導(dǎo)體間的電壓和該點(diǎn)的電流都具有實(shí)際意義。因此可用“電路”中的電壓和電流等效傳輸線中的電場和磁場，這種方法稱為“等效電路”法，即將傳輸線作為分布參數(shù)電路處理，得到由傳輸線的單位長度電阻、電感、電容和電導(dǎo)組成的等效電路，然后根據(jù)基爾霍夫定律導(dǎo)出傳輸線上電壓、電流滿足的方程，進(jìn)而討論波的傳輸特性。 7.6.1 傳輸線方程及其解 分布參數(shù)電路是相對于集中參數(shù)電路而言的。當(dāng)傳輸線傳輸高頻信號時(shí)會(huì)出現(xiàn)以下分布參數(shù)效應(yīng)：電流流過導(dǎo)線使導(dǎo)線發(fā)熱，表明導(dǎo)線本身有分布電阻；雙導(dǎo)線之間絕緣不完善而出現(xiàn)漏電流，表明導(dǎo)線之間處處有漏電導(dǎo)；導(dǎo)線之間有電壓，導(dǎo)線間存在電場，表明導(dǎo)線之間有分布電容；導(dǎo)線中通過電流

61、時(shí)周圍出現(xiàn)磁場，表明導(dǎo)線上存在分布電感。當(dāng)傳輸信號的波長遠(yuǎn)大于傳輸線長度時(shí)，有限長的傳輸線上各點(diǎn)的電流（或電壓）的大小和相位可近似認(rèn)為相同，這時(shí)分布參數(shù)效應(yīng)可以不考慮，而作為集中參數(shù)電路處理。但當(dāng)傳輸信號的波長與傳輸線長度可比擬時(shí)，傳輸線上各點(diǎn)的電流（或電壓）的大小和相位各不相同，顯現(xiàn)出分布效應(yīng)，此時(shí)傳輸線就必須作為分布參數(shù)電路處理。 假設(shè)傳輸線的電路參數(shù)是沿線均勻分布的，這種傳輸線稱為均勻傳輸線?？捎靡韵滤膫€(gè)參數(shù)來描述。 ：單位長度的電阻； ：單位長度的電感； ：單位長度的電導(dǎo)； ：單位長度的電容。 以上參數(shù)都可以用穩(wěn)態(tài)場來進(jìn)行定義和計(jì)算。 1. 傳輸線方程 dz TEM波

62、傳輸線的電路模型可用圖7.6.1表示。 Zl o z L 圖7.6.1 傳輸線電路模型 為討論方便，將坐標(biāo)系的原點(diǎn)選在負(fù)載。假設(shè)傳輸線是均勻的，故可在線上任一點(diǎn)z處取線元dz討論，如圖7.6.2所示。 G1dz dz C1dz R1dz L1dz U+dU I+dI 圖7.6.2 線元dz的等效電路 U I 根據(jù)圖7.6.2由基爾霍夫定律，有

63、 (7.6.1) 式中 (7.6.2) 分別代表傳輸線上單位長度的串聯(lián)阻抗和并聯(lián)導(dǎo)納。式(7.6.1)可寫為 (7.6.3) 上式兩端對z求導(dǎo)，得 (7.6.4) 方程(7.6.4)為傳輸線上電壓波和電流波方程，式中 (7.6.5) 稱為傳播常數(shù)，通常是一復(fù)數(shù)，其實(shí)部為衰減常數(shù)，虛部為相位常數(shù)。 2.傳輸線方程的解 方程(7.6.4) 的通解為

64、 (7.6.6) 由式(7.6.3)得 (7.6.7) 式中 (7.6.8) 具有阻抗的量綱，稱為傳輸線的特性阻抗。 式(7.6.6) 和式(7.6.7)為傳輸線上的電壓和電流分布表示式，它們都包含兩項(xiàng)：一項(xiàng)含有因子，代表 沿-z方向（由電源到負(fù)載）傳播的波，稱為入射波；一項(xiàng)含有因子，代表 沿+z方向（由負(fù)載到電源）傳播的波，稱為反射波。 入射波電壓 (7.6.9a) 入射波電流

65、 (7.6.9b) 反射波電壓 (7.6.9c) 反射波電流 (7.6.9d) 式(7.6.6)和(7.6.7)中的常數(shù)A、B應(yīng)由邊界條件確定。下面討論兩種給定條件下方程的解。 （1）已知終端電壓和終端電流 ， (7.6.10) 將式(7.6.10) 代入式(7.6.6)和(7.6.7)中，得 ， (7.6.11)

66、聯(lián)立求解得 ， (7.6.12) 于是 (7.6.13) 上式為已知傳輸線終端電壓和終端電流時(shí)，線上任一點(diǎn)的電壓和電流表達(dá)式。該式說明，傳輸線上的電壓和電流以波的形式存在，且由入射波和反射波組成。于是，式(7.6.13) 又可寫為 (7.6.14) 式中 (7.6.15) 式(7.6.14)還可用雙曲函數(shù)表示 (7.6.16) （2） 已知始端電壓和電流 ， (7.6.17) 將式(7.6.17) 代入式(7.6.6)和(7.6.7)中，得 ， (7.6.18) 聯(lián)立求解得 ， (7.6.19) 于是 (7.6.20) 上式就是已知傳輸線始端電壓和電流時(shí)，線上任一點(diǎn)的電壓和電流表達(dá)式。 7.6.2傳輸線的特性參數(shù) 傳輸線的特性參數(shù)是由傳輸線的尺寸、填充的媒質(zhì)及工作頻率所決定的量。主要有傳輸