《電磁場與電磁波》（第四版）習題集：第2章電磁場的基本規(guī)律

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1、第2章 電磁場的基本規(guī)律 電磁學的三大實驗定律（庫侖定律、安培定律和法拉第電磁感應定律）的提出，標志著人類對宏觀電磁現(xiàn)象的認識從定性階段到定量階段的飛躍。以三大定律為基礎，麥克斯韋提出兩個基本假設（關于有旋電場的假設和關于位移電流的假設），進而歸納總結出描述宏觀電磁現(xiàn)象的總規(guī)律——麥克斯韋方程組。 本章先介紹電磁場的源量（電荷和電流），再從基本實驗定律引入電磁場的場量，并討論其散度和旋度，最后討論媒質的電磁特性和麥克斯韋方程組。 2.1電荷守恒定律 電荷周圍要產生電場，電流周圍要產生磁場，電荷和電流是產生電磁場的源量。 2.1.1 電荷及電荷密度 自然界中存在兩種電荷：正電荷和負

2、電荷。帶電體所帶電量的多少稱為電荷量。迄今為止能檢測到的最小電荷量是質子和電子的電荷量，稱為基本電荷的電量，其值為C（庫侖）。質子帶正電，其電荷量為e；電子帶負電，其電荷量為-e。任何帶電體的電荷量都只能是一個基本電荷量的整數(shù)倍。也就是說，帶電體上的電荷是以離散的方式分布的。 在研究宏觀電磁現(xiàn)象時，人們所觀察到的是帶電體上大量微觀帶電粒子的總體效應，而帶電粒子的尺寸遠小于帶電體的尺寸。因此，可以認為電荷是以一定形式連續(xù)分布在帶電體上，并用電荷密度來描述這種分布。 1. 電荷體密度 電荷連續(xù)分布于體積V’內，用電荷體密度描述其分布。設體積元內的電荷量為，則該體積內任一源點處的電荷體密度為

3、 (2.1.1) 式中的r’是源點的位置矢量，電荷體密度的電位為。利用電荷體密度可求出體積內V’的總電荷量 (2.1.2) 2.電荷面密度 電荷連續(xù)分布于厚度可以忽略的曲面上，用電荷面密度描述其分布。設面積元上的電荷量為，則該曲面上任一源點處的電荷面密度為 (2.1.3) 電荷面密度的電位為。面積上總電荷量為 (2.1.4) 3.電荷線密度 電荷連續(xù)分布于橫

4、截面積可以忽略的細線上，用電荷線密度描述其分布。設長度元上的電荷量為，則該細線上任一源點處的電荷線密度為 (2.1.5) 電荷線密度的電位為。細線l’上的總電荷量為 (2.1.6) 4. 點電荷 點電荷是電荷分布的一種極限情況，可將其視為一個體積很小而電荷密度很大的帶電小球的極限。當帶電體的尺寸遠小于觀察點至帶電體的距離時，帶電體的形狀及其中的電荷分布已無關緊要，就可將帶電體所帶電荷看成集中在帶電體的中心上，即將帶電體抽象為一個幾何點模型，稱為點電荷。 設電荷q分布在中

5、心位于坐標原點、半徑為a的小球體內。在的球外區(qū)域，電荷密度為零；在的球內區(qū)域，電荷密度為很大的數(shù)值。當a趨于零（即）時，電荷密度為無窮大，但對整個空間而言，電荷的總電量仍為q。點電荷的這種密度分布可用數(shù)學上的函數(shù)來描述。位于坐標原點的點電荷q的電荷密度可用函數(shù)表示為 (2.1.7) 式中的r是位置矢量，而 且 若點電荷q的位置矢量為r’，其電荷密度則為 (2.1.8) 式中 且 應該指出，在這里我們只是將函數(shù)作為點電荷密度分布的一種形式

6、，并從極限的意義來理解它。點電荷的概念在電磁理論中占有很重要的地位。 2.1.2 電流及電流密度 電流是由電荷作定向運動形成的，通常用電流強度來描述其大小。設在時間內通過某一截面S的電荷量為，則通過該截面S的電流強度定義為 (2.1.9) 電流強度一般簡稱為電流，它的單位為A（安培）。若電荷的運動速度不隨時間改變，則為恒定電流，用表示。 在電磁理論研究中，常用到體電流模型、面電流模型和線電流模型。 1. 體電流 電荷在某一體積內定向運動所形成的電流稱為體電流。一般情況下，在導體內某一截面上不同的點，電流的大小和方向往往是不同的。為了描

7、述該截面上電流的分布，引入電流密度矢量，其定義為：空間任一點的方向是該點上正電荷運動的方向，的大小等于在該點與垂直的單位面積的電流，即 (2.1.10) 電流密度的單位是。式(2.1.10)中的為電流密度的方向，也是面積元的正法線單位矢量，如圖2.1.1所示。也稱為體電流密度矢量，但要注意它的單位是。通過任意截面的電流則為 (2.1.11) J 圖2.1.1 體電流密度矢量 en d 0 圖2.1

8、.2 面電流密度矢量 2. 面電流 電荷在一個厚度可以忽略的薄層內定向運動所形成的電流稱為面電流，用面電流密度矢量來描述其分布，如圖2.1.2所示。與電流方向垂直的橫截面厚度趨于零，面積元變?yōu)榫€元，則面電流密度矢量為 (2.1.12) 面電流密度的單位是。式中的為面電流方向單位矢量。通過薄導體層上任意有向曲線l的電流為 (2.1.13) 式中的為薄導體層的法向單位矢量。 3. 線電流 電荷在一個橫截面積可以忽略的細線中作定向流動所形成的電流稱為線電流，可以認為電流是集中

9、在細導線的軸線上。長度元中流過電流I，將稱為電流元，也是電磁理論中的重要概念。 2.1.3 電荷守恒定律與電流連續(xù)性方程 實驗表明，電荷是守恒的，它既不能被創(chuàng)造，也不能被消滅，只能從物體的一部分轉移到另一部分，或者從一個物體轉移到另一個物體。也就是說，在一個與外界沒有電荷交換的系統(tǒng)內，正、負電荷的代數(shù)和在任何物理過程中始終保持不變，這就是電荷守恒定律。 根據(jù)電荷守恒定律，單位時間內從閉合面內流出的電荷量應等于閉合面所限定的體積V內的電荷減少量，即 (2.1.14) 此即電流連續(xù)性方程的積分形式。設定閉合面所限定的體積V不隨時間變化，則將全

10、導數(shù)寫成偏導數(shù)，式(2.1.14)變?yōu)? (2.1.15) 應用散度定理，，式（2.1.15）可寫為 (2.1.16) 因閉合面S是任意取的，因此它所限定的體積V也是任意的。故從式(2.1.16)得 (2.1.17) 此式稱為電流連續(xù)性方程的微分形式。 當研究恒定電流場時，要維持電流不隨時間改變，就要求電荷在空間的分布也不隨時間改變。因此，對于恒定電流場必然有 ， (

11、2.1.18) 這表明從任意閉合面穿出的恒定電流為零，或恒定電流場是一個無散度的場。 2.2 真空中靜電場的基本規(guī)律 空間位置固定、電量不隨時間變化的電荷產生的電場，稱為靜電場。描述電場的基本物理量是電場強度矢量。根據(jù)亥姆霍茲定理，靜電場的性質由其散度和旋度來描述。在這一節(jié)中，首先討論靜電場的基本實驗定律——庫侖定律，在此基礎上導出電場強度的表達式，進而討論電場強度的散度和旋度。 2.2.1 庫侖定律 電場強度 1. 庫侖定律 庫侖定律是關于兩個點電荷之間作用力的定量描述，它以“點電荷”模型為基礎。法國科學家?guī)靵鐾ㄟ^著名的“扭秤實驗”于1785年總結出來的，其數(shù)學表示式為

12、 (2.2.1) 式中的表示點電荷對點電荷的作用力，表示由指向的單位矢量，，如圖2.2.1所示。稱為真空（或自由空間）的介電常數(shù)。的單位是N（牛）。 若真空中有N個點電荷，分別位于，則位于處的點電荷q受到的作用力等于其余每個點電荷對q的作用力的疊加，表示為 (2.2.2) 這就是靜電力的疊加原理。 實驗表明，任何電荷都在自己周圍空間產生電場，而電場對于處在其中的任何其它電荷都有作用力。 如圖2.2.2所示，產生電場的源是點電荷q，它所在位置稱為

13、源點，位置矢量是；取試驗電荷，它所在的位置稱為場點，位置矢量是。根據(jù)庫侖定律，受到的作用力為 (2.2.3) 可見，此作用力與試驗電荷的比值僅與產生電場的源電荷q以及試驗電荷所在點的位置有關，故可以用它來描述電場。因此，電場強度矢量的定義為 (2.2.4) 式中取的極限是表明試驗電荷應為電量足夠小的點電荷，以使其引入不會擾動源電荷q的電場。將式(2.2.3)代入式(2.2.4)，即得到點電荷的電場強度 (2.2.5)

14、可見，電場強度E是一個矢量函數(shù)。點電荷的電場強度的大小等于單位正電荷在該點所受電場力的大小，其方向與正電荷在該點所受電場力方向一致。電場強度的單位是。 對于由N個點電荷產生的電場，根據(jù)電場強度與點電荷量成正比關系，可利用疊加原理得到場點r處的電場強度等于各個點電荷單獨產生的電場強度的矢量和，即 (2.2.6) 對于電荷分別以體密度、面密度和線密度連續(xù)分布的帶電體，我們可以將帶電體分割成很多小帶電單元，而每個帶電單元可看作一個點電荷，這樣就可由式(2.2.6)計算電場強度。 若電荷按體密度分布在體積內，則小體積元所帶電荷量。據(jù)式(2.2.6)，場點r的電

15、場強度為 上式右端實際上是定義了一個體積分，故上式可寫為 (2.2.7) 同樣可導出電荷分別按面電荷密度和線電荷密度連續(xù)分布時，場點r處的電場強度計算公式 (2.2.8) (2.2.9) 例2.2.1 計算電偶極子的電場強度 d Ed +q -q o 圖2.2.3 電偶極子 z 解：電偶極子是相距很小距離d的兩個等值異號的點電荷組成的電荷系統(tǒng)，如圖2.2.3所示。采用球坐標系，使電偶極子的中心與坐標系的原

16、點O重合，并使電偶極子軸與z軸重合。場點的電場強度E就是+q產生的電場強度和-q產生的電場強度的矢量和。 在球坐標系中，場點的位置矢量為，兩個點電荷的位置矢量分別為和。根據(jù)式(2.2.6)，得 在電磁理論中，我們常常感興趣的是遠離電偶極子區(qū)域內（即）的場。此時 將上式中的應用二項式公式展開，并忽略所有包含d/r的二次方和高次方項，則有 同樣 這樣，當時，點的電場強度近似為 引入電偶極矩，則上式變?yōu)? 在球坐標系中 則 故 在分析電介質的極化時，電偶極子是一個重要概念。 例2.2.2 計算均勻

17、帶電的環(huán)形薄圓盤軸線上任意點的電場強度。 P(0,0,z) a b r R ds’ dE y z x 圖2.2.4 均勻帶電的環(huán)形薄圓盤 解： 如圖2.2.4所示，環(huán)形薄圓盤的內半徑為a，外半徑為b，電荷面密度為。在環(huán)形薄圓盤上取面積元，用圓柱坐標系表示為，其位置矢量為，它所帶的電量為，而薄圓盤軸線上的場點的位置矢量為。由式（2.2.8），得 由于 故 此結果表明，均勻帶電環(huán)形薄圓盤軸線上任一點的電場強度只有軸向分量，這是因為對于軸線上的場點P，源電荷分布具有軸對稱性。因此在P點一側的每一

18、個可以產生電場強度徑向分量的電荷元，總是在另一側有相對應的電荷元產生的電場強度徑向分量與它相抵消，故點P處沒有電場強度的徑向分量。 2.2.2 靜電場的散度與旋度 亥姆霍茲定理指出，任一矢量場由它的散度、旋度和邊界條件惟一地確定。因此，要確定靜電場，需先討論它的散度和旋度。 1. 靜電場的散度和高斯定理 高斯定理是靜電場的基本定理，它是平方反比定律（庫侖定律）的必然結果。將式(2.2.7)寫為 式中 利用，可將寫為 （2.2.10） 對式(2.2.10)兩邊取散度，得 利用關系式，上式變?yōu)?

19、 （2.2.11） 再利用函數(shù)的挑選性，有 則由式(2.2.11)得 因已假設電荷分布在區(qū)域V內，故可將上式寫為 (2.2.12) 這就是高斯定理的微分形式，它表明空間任意一點電場強度的散度與該處的電荷密度有關，靜電荷是靜電場的通量源。電荷密度為正，稱為發(fā)散源；電荷密度為負，則稱為匯聚源。 對的兩邊取體積分，則有 而，故得 (2.2.13) 這就是高斯定理的積分形式，它表明電場強度矢量穿過閉合曲面S的通量等于該閉合面所包圍的總電荷與之比。

20、 如果電荷分布有一定的對稱性，則可利用高斯定理的積分形式很方便地計算電場強度。 2.靜電場的旋度 在式(2.2.10)中，微分算符是對場點坐標求導，與源點坐標無關，故可將算符從積分號中移出，即 對上式兩邊取旋度，即 上式右邊括號內是一個連續(xù)標量函數(shù)，而任何一個標量函數(shù)的梯度再求旋度時恒等于零，故上式右邊恒為零，則得 (2.2.14) 此結果表明靜電場是無旋場。 將式(2.2.14)對任意曲面S求積分，并利用斯托克斯定理，得 (2.2.15) 上

21、式表明，在靜電場E中，沿任意閉合路徑C的積分恒等于零。其物理含義是將單位正電荷沿靜電場中的任一個閉合路徑移動一周，電場力不做功。 2.3 真空中恒定磁場的基本規(guī)律 恒定電流產生的磁場稱為恒定磁場，或稱為靜磁場。描述磁場的基本物理量是磁感應強度矢量。根據(jù)亥姆霍茲定理，恒定磁場的性質由其散度和旋度來描述。在這一節(jié)中，首先討論恒定磁場的基本實驗定律——安培定律，在此基礎上導出磁感應強度的表達式，進而討論磁感應強度的散度和旋度。 2.3.1 安培力定律 磁感應強度 1. 安培力定律 實驗結果表明，載有恒定電流的兩個回路之間存在相互作用力。法國物理學家安培通過實驗于1820年總結出兩電流

22、回路之間相互作用力的規(guī)律，稱為安培力定律。如圖2.3.1所示，真空中的靜止細導線回路和，它們分別載有恒定電流和，安培從實驗結果總結出回路對回路的作用力為 (2.3.1) 式中為真空的磁導率；電流元的位置矢量為、電流元的位置矢量為；兩電流元之間的距離為R，表示為矢量 即 故式(2.3.1)可表示為 (2.3.2) 可以證明載流回路對載流回路的作用力，即滿足牛頓力學的第三定律。 圖2.3.1 兩個電流回路間的相互作用力

23、 2. 磁感應強度 按照宏觀電磁場理論的觀點，載流回路對載流回路的作用力是回路的磁場對回路中的電流的作用力，即電流在其周圍產生磁場，這個磁場對的作用力為。同樣，是電流產生的磁場對的作用力。根據(jù)這一觀點，將式（2.3.2）改寫為 (2.3.3) 將式中括號內的被積函數(shù)視為電流在電流元所在點產生的磁場，稱為磁感應強度，表示為 (2.3.4) 這是一個矢量函數(shù)，它與回路的位置和形狀以及電流的大小和方向有關。 將此定義應用到任意電流回路，回路上任一電流元所在點稱為源點，其位置矢量用表示；

24、需要計算磁感應強度B的點稱為場點，其位置矢量用r表示，則得 (2.3.5) 回路C上的任一電流元所產生的磁感應強度可表示為 (2.3.6) 式（2.3.6）和式（2.3.5）都稱為畢奧——薩伐爾定律，它是畢奧、薩伐爾于1820年根據(jù)閉合回路的實驗結果，通過理論上的分析總結出來的，應該說是與安培力定律在同一時期各自獨立提出來的。 磁感應強度的B的單位是T（特斯拉），或。 對于體電流密度為的體分布電流，電流元為，則分布于體積內的體電流產生的磁感應強度為

25、 (2.3.7) 同樣對于面電流密度為的面分布電流，電流元為，則分布于曲面S上的面電流產生的磁感應強度為 (2.3.8) 磁感應強度B是描述磁場的基本物理量，它是一個矢量函數(shù)。式(2.3.5)、(2.3.7)和(2.3.8)都是由已知電流分布計算磁感應強度的公式。它們都是矢量積分，只有形狀較簡單的載流體才能利用這些公式得到解析結果。 例2.3.1 計算線電流圓環(huán)軸線上任一點的磁感應強度。 解：設圓環(huán)的半徑為a，流過的電流為I。為計算方便取線電流圓環(huán)位于xy平面上，則所求場點為P(0,0,z),如圖 2.3.2所示。采用圓柱坐標系，圓環(huán)

26、上的電流元為，其位置矢量為，而場點P的位置矢量為，故得 圖 2.3.2 線電流圓環(huán)軸線上的B 由式(2.3.5)得軸線上任一點P(0,0,z)的磁感應強度為 可見，線電流圓環(huán)軸線上的磁感應強度只有軸向分量，這是因為圓環(huán)上各對稱點處的電流元在場點P產生的磁場強度的徑向分量相互抵消。 在圓環(huán)的中心點上，z=0，磁感應強度最大，即 當場點P遠離圓環(huán)，即z>>a時，因故 2.3.2 恒定磁場的散度與旋度 恒定磁場的性質也由它的散度和旋度確定。與庫侖定律是靜電場理論的基礎相同，畢奧——薩伐爾定律是恒定磁場的理論基

27、礎。下面直接根據(jù)畢奧——薩伐爾定律來分析恒定磁場的散度和旋度。 1.恒定磁場的散度和磁通連續(xù)性原理 利用，將式（2.3.7）改寫為 (2.3.9) 再利用矢量恒等式，上式可寫為 又因算符是對場點坐標進行微分，而僅是源點坐標的函數(shù)，故有，于是有 (2.3.10) 對上式兩端取散度，由于對任意矢量函數(shù)有，故得到 (2.3.11) 此結果表明磁感應強度B 的散度恒為零，即磁場是一個無通量源的矢量場。 利用散度定理，由式（2.3.11）得

28、 （2.3.12） 此結果表明穿過任意閉合面的磁感應強度的通量等于零，磁感應線（磁力線）是無頭無尾的閉合線。將式（2.3.12）稱為磁通連續(xù)性原理的積分形式，相應地將式（2.3.11）稱為磁通連續(xù)性原理的微分形式。磁通連續(xù)性原理表明自然界中無孤立磁荷存在。 2.恒定磁場的旋度和安培環(huán)路定理 對式(2.3.10)兩端取旋度，并利用矢量恒等式，得 (2.3.13) 應用和函數(shù)的挑選性，上式右邊第二項可表示為 (2.3.14) 利用恒等式、（見例1.3.1）以及、，可得到

29、 (2.3.15) 將式(2.3.15)代入式(2.3.13) 右邊第一項，并應用散度定理，得 (2.3.16) 式中的S是區(qū)域V的邊界面。由于電流分布在區(qū)域V內，在邊界面S上，電流沒有法向分量，故。 將式(2.3.14)和(2.3.16)代入式(2.3.13)，得 (2.3.17) 此結果表明恒定磁場是有旋場，恒定電流是產生恒定磁場的旋渦源。式(2.3.23)稱為安培環(huán)路定理的微分形式。 對式(2.3.23)兩端取面積分 應用斯托克斯定理，上式為

30、 (2.3.18) 此結果表明，靜磁場的磁感應強度在任意閉合曲線上的環(huán)量等于閉合曲線交鏈的恒定電流的代數(shù)和與的乘積。式(2.3.24)稱為安培環(huán)路定理的積分形式。 2.4 媒質的電磁特性 物理學知識告訴我們，任何物質都是由分別帶正電荷（原子核）和負電荷（電子）的粒子組成，這些帶電粒子之間存在相互作用力。當物質被引入電磁場中時，它們將和電磁場產生相互作用而改變其狀態(tài)。從宏觀效應看，物質對電磁場的響應可分為極化、磁化和傳導三種現(xiàn)象。不同物質，其帶電粒子之間的相互作用力往往差異很大。導體中，帶正電荷的原子核與帶負電荷的電子間的相互作用力很小，即使在微弱的外

31、電場作用下，電子也會發(fā)生定向運動。在這里，傳導是主要現(xiàn)象。電介質的主要特征是電子和原子核結合的相當緊密，電子被原子核緊緊地束縛住，相應地把電介質中的電荷稱為束縛電荷。在外電場作用下，束縛電荷只能作微小位移，在這里，極化是主要現(xiàn)象。研究物質的磁場特性時，把物質稱為磁介質。磁介質的主要特征是電子的軌道運動和自旋形成小環(huán)電流，在外磁場作用下，這些小環(huán)電流的取向將發(fā)生變化。磁化是磁介質中的主要現(xiàn)象。 本節(jié)將簡要討論電介質的極化、磁介質的磁化以及媒質的導電性。 2.4.1電介質的極化 電位移矢量 1.電介質的極化 在討論物質的電效應時，將物質稱為電介質。根據(jù)電介質中束縛電荷的分布特征，把電介質

32、的分子分為無極分子和有極分子兩類。無極分子的正負電荷中心重合，因此對外產生的合成電場為零，不顯示電特性。有極分子的正負電荷中心不重合，構成一個電偶極子。但由于許許多多電偶極子雜亂無章地排列，使得合成電偶極矩相抵消，因而對外產生的合成電場為零，即不顯示電性。需指出的是，此處引入“電荷中心”的概念是為了形象地說明電介質極化的過程。物質分子中的正、負電荷并不集中在一個點，將分子中的全部負電荷用一個單獨的負電荷等效，這個等效負電荷的位置，就稱為這個分子的“負電荷中心”。同樣，該分子中的正電荷也可定義一個“正電荷中心”。 在外電場的作用下，無極分子中的正電荷沿電場方向移動，負電荷逆電場方向移動，導致正

33、負電荷中心不再重合形成許多排列方向與外電場大體一致的電偶極子，它們對外產生的電場不再為零。對于有極分子，它的每個電偶極子在外電場的作用下要產生轉動，最終使每個電偶極子的排列方向大體與外電場方向一致，它們對外產生的電場也不再為零。這種電介質中的束縛電荷在外電場作用下發(fā)生位移的現(xiàn)象，稱為電介質的極化，束縛電荷也稱為極化電荷。電介質極化的結果是電介質內部出現(xiàn)許許多多順著外電場方向排列的電偶極子，這些電偶極子產生的電場將改變原來的電場分布。也就是說，電介質對電場的影響可歸結為極化電荷產生的附加電場的影響。因此，電介質內的電場強度E可視為自由電荷產生的外電場E0與極化電荷產生的附加電場的疊加，即

34、 (2.4.1) 為了分析計算極化電荷產生的附加電場，需了解電介質的極化特性。不同的電介質的極化程度是不一樣的，引入極化強度來描述電介質的的極化程度。把單位體積中的電偶極矩的矢量和，稱為極化強度，表示為 (2.4.2) 式中的為體積中第i個分子的平均電矩。P是一個宏觀矢量函數(shù)。若電介質的某區(qū)域內各點的P相同，則稱該區(qū)域是均勻極化的，否則就是非均勻極化。 對于線性和各向同性電介質，其極化強度P與電介質中的合成電場強度E成正比，表示為

35、 (2.4.3) 式中稱為電介質的電極化率，是一個正實數(shù)。 現(xiàn)在來找出極化電荷與極化強度的關系。圖2.4.1(a)表示一塊極化電介質模型，每個分子用一個電偶極子表示，它的電偶極矩等于該分子的平均電偶極矩。 S E 圖2.4.1 電介質的極化模型 (a) 極化電荷的排列 (b) 求閉合面包圍的極化電荷 在均勻極化的狀態(tài)下閉合面S內的電偶極子的凈極化電荷為零，不會出現(xiàn)極化電荷的體密度分布。對于非均勻極化狀態(tài)，電介質內部的凈極化電荷就不為零。但在電介質的表面上，不論是均勻極化，還是非均勻極化

36、，表面上總是要出現(xiàn)面密度分布的極化電荷。如圖2.4.1(a)表示的電介質左表面上有負的極化電荷，右表面上有正的極化電荷。 為求得極化電荷與極化強度的關系式，在電介質中的任意閉合曲面S上取一個面積元dS，其法向單位矢量為，并近似認為dS上的P不變。在電介質極化時，設每個分子的正負電荷的平均相對位移為d，則分子電偶極矩為p=qd，d由負電荷指向正電荷。以dS為底、d為斜高構成一個體積元，如圖2.4.1(b)所示。顯然，只有電偶極子中心在內的分子的正電荷才穿出面積元dS。設電介質單位體積中的分子數(shù)為N，則穿出面積元dS的正電荷為 (2.4.4

37、) 因此，從閉合面S穿出的正電荷為。與之對應，留在閉合面S內的極化電荷量為 (2.4.5) 式中應用了散度定理。因閉合面S是任意取的，故S限定的體積V內的極化電荷體密度應為 (2.4.6) 為了計算電介質表面上出現(xiàn)的極化電荷面密度，可在電介質內緊貼表面取一個閉合面，從該閉合面穿出的極化電荷就是電介質表面上的極化電荷。由式(2.4.4)可知，從面積元dS穿過的極化電荷量是，故電介質表面上的極化電荷面密度為 (

38、2.4.7) 2.電位移矢量和電介質中的高斯定理 前面已提到，電介質在外電場作用下發(fā)生的極化現(xiàn)象歸結為電介質內出現(xiàn)極化電荷。電介質內的電場可視為自由電荷和極化電荷在真空中產生的電場疊加，即 。將真空中的高斯定律推廣到電介質中，得 (2.4.8) 即極化電荷也是產生電場的通量源。將式(2.4.6)代入式(2.4.8)中，得 (2.4.9) 可見，矢量的散度僅與自由電荷體密度有關。我們把這一矢量稱為電位移矢量，表示為 (2.4.1

39、0) 這樣式(2.4.9)變?yōu)? (2.4.11) 這就是電介質中高斯定律的微分形式。它表明電介質內任一點的電位移矢量的散度等于該點的自由電荷體密度，即D的通量源是自由電荷，電位移線從正的自由電荷出發(fā)而終止于負的自由電荷。 對式(2.4.11)兩端取體積分并應用散度定理，得 或 (2.4.12) 這就是電介質中高斯定律的積分形式。它表明電位移矢量穿過任一閉合面的通量等于該閉合面內的自由電荷的代數(shù)和。由此式還可以看出電位移矢量D的單位是。 3.電介質的本

40、構關系 對于所有電介質，式(2.4.10)都是成立的。若是線性和各向同性電介質，將式(2.4.3)代入式(2.4.10)得 (2.4.13) 式中的稱為電介質的介電常數(shù)，單位為（法拉/米）。稱為電介質的相對介電常數(shù)，無量綱。表2.4.1列出部分電介質的相對介電常數(shù)的近似值。 式(2.4.13)稱為線性和各向同性電介質的本構關系。此關系方程表明在線性和各向同性電介質中，D和E的方向相同，大小成正比。 表2.4.1 部分電介質的相對介電常數(shù) 電介質 電介質 空氣 聚苯乙烯泡沫塑料 干燥木頭 石蠟

41、膠合板 聚乙烯 聚苯乙烯 PVC 琥珀 橡膠 紙 有機玻璃 干燥沙質土壤 1.0006 1.03 2~4 2.1 2.1 2.26 2.6 2.7 3 3 3 3.4 3.4 尼龍（固態(tài)） 石英 膠木 鉛玻璃 云母 氯丁橡膠 大理石 硅 酒精 甘油 蒸餾水 二氧化鈦 鈦酸鋇 3.8 5 5 6 6 7 8 12 25 50 81 89~173 1200 順便指出，前面所說的均勻電介質，是指其介電常數(shù)處處相等，不是空間坐標的函數(shù)；若是非均勻電介質，則是空間坐標的標量函數(shù)。線性電介質是指與E的大小無

42、關；反之，則是非線性電介質。各向同性電介質，是指與E的方向無關，是標量，D和E的方向相同。另有一類電介質稱為各向異性電介質，在這類電介質中，D和E的方向不同，介電常數(shù)是一個張量，表示為。這時，D和E的關系式可寫為 (2.4.14) 在本書的第五章將簡要討論電磁波在各向異性媒質中的傳播特性。 例2.4.1 半徑為a的球形區(qū)域內充滿分布不均勻的體密度電荷，設其體密度為。若已知電場分布為 式中的A為常數(shù)，試求電荷體密度。 解：由高斯定律的微分形式，得 對于本題所給定的E，將在球坐標系中展開得 在的區(qū)域內 在的區(qū)域內 可見

43、，體密度電荷只分布在的球形區(qū)域內，球外無電荷分布。 例2.4.2 半徑為a 、介電常數(shù)為的球形電介質內的極化強度為，式中的k為常數(shù)。（1）計算極化電荷體密度和面密度；（2）計算電介質球內自由電荷體密度。 解：（1）電介質球內的極化電荷體密度為 在處的極化電荷面密度為 (b) 因，故 即 而，故電介質球內的自由電荷體密度為 2.4.2 磁介質的磁化 磁場強度 1. 磁介質的磁化 i 圖2.4.2 分子電流模型 研究物質的磁效應時，我們將物質稱為磁介質。在物理學中，通常用一個簡單的原子模型來解釋物質的磁性。電子在自己的軌道上以恒定速度繞原子核

44、運動，形成一個環(huán)形電流，它相當于一個磁偶極子，將其磁偶極矩稱為軌道磁矩。另外，電子和原子核本身還要自旋，這種自旋形成的電流也相當于一個磁偶極子，將其磁偶極矩稱為自旋磁矩。通常可以忽略原子的自旋，每個磁介質分子（或原子）等效于一個環(huán)形電流，稱為分子電流（束縛電流）。分子電流的磁偶極矩稱為分子磁矩，表示為 (2.4.15) 式中的i為分子電流，為分子電流所圍的面積元矢量。其方向與i流動的方向成右手螺旋關系，如圖2.4.2所示。 不存在外磁場時，磁介質中的各個分子磁矩的取向是雜亂無章的，其合成磁矩幾乎為零，即，對外不顯磁性，如圖2.4.3(

45、a)所示。當有外磁場作用時， 分子磁矩沿外磁場取向，其合成磁矩不為零，即，對外顯示磁性，這就是磁介質的磁化，如圖2.4.3(b)所示。 B (a) 合成磁矩為零 (b) 存在外磁場時合成磁矩不為零 圖2.4.3 磁介質的磁化模型 將以上討論歸納一下可看出，磁介質與磁場的相互作用表現(xiàn)在兩個方面。其一，外加磁場使磁介質中的分子磁矩沿外磁場取向，磁介質被磁化；其二，被磁化的磁介質要產生附加磁場，從而使原來的磁場分布發(fā)生變化。 如同將電介質中的電場強度E看作是在真空中自由電荷產生的電場強度和極化電荷產生的電場強度的疊加那樣，磁介質中的磁感應強度B也可

46、看作是在真空中傳導電流產生的磁感應強度和磁化電流產生的磁感應強度的疊加，即 引入磁化強度M，用它來描述磁介質磁化的程度。把單位體積中的分子磁矩的矢量和稱為磁化強度，表示為 (2.4.16) 式中的表示體積內第i個分子的磁矩。M是一個宏觀的矢量點函數(shù)，它的單位是A/m（安培/米）。若磁介質的某區(qū)域內各點的M相同，稱之為均勻磁化，否則就稱非均勻磁化。 圖2.4.4 穿過S面的磁化電流與磁化強度的關系 (a) 環(huán)繞曲線C的分子電流 (b) 曲線C上的圓柱形體積元 B S C

47、 磁介質被磁化后，其內部和表面可能出現(xiàn)宏觀電流分布，這就是磁化電流。正如電介質被極化后的極化電荷與極化強度密切相關那樣，磁介質的磁化電流也和磁化強度密切相關。下面就來討論這種關系。 在磁介質中任意取一個由邊界回路C限定的曲面S，使S面的法線方向與回路C的繞行方向構成右手螺旋關系，如圖2.4.4(a)所示?，F(xiàn)在來計算穿過曲面S的磁化電流,顯然只有那些環(huán)繞周界曲線C的分子電流才對磁化電流有貢獻。這是因為其余的分子電流或者不穿過曲面S，或者是與曲面S沿相反方向穿越兩次而使其作用相抵消。為了求得與M的關系，在周界曲線C上取長度元，其方向與分子磁矩的方向成角。以分子電流環(huán)面積

48、為底、為斜高作一個圓柱體，如圖2.4.4(b)所示。此時只有分子電流中心在圓柱體內的分子電流才對此圓柱體內的磁化電流有貢獻。設磁介質單位體積中的分子數(shù)為N，每個分子的磁矩為，則與長度元交鏈的磁化電流為 穿過整個曲面S的磁化電流為 (2.4.17) 式中應用了矢量分析中的斯托克斯定理。 將磁化電流表示為磁化電流密度的積分，即 (2.4.18) 比較式(2.4.17)和(2.4.18)得 (2.4.19) 這就是磁

49、介質內磁化電流體密度與磁化強度的關系式，可用來計算磁介質內部的磁化電流分布。 為了求得磁介質表面上的磁化電流面密度，在磁介質內緊貼表面取一長度元，此處的表示磁介質表面的切向單位矢量。與此長度元交鏈的磁化電流為，故磁化電流面密度為，式中的是磁化強度矢量M的切向分量，磁化電流面密度可表示為 (2.4.20) 式中的為磁介質表面的法向單位矢量。 2. 磁場強度和磁介質中的安培環(huán)路定理 前面分析了磁介質的磁化以及磁化后的磁介質產生的宏觀磁效應這兩個方面的問題，磁化電流就是把這兩個方面的問題聯(lián)系起來的物理量。因此，在無界的磁介質內

50、的磁場相當于傳導電流I和磁化電流在無界的真空中產生的磁場的疊加。將真空中的安培環(huán)路定理推廣到磁介質中，得 (2.4.21) 即考慮磁化電流也是產生磁場的漩渦源。將式(2.4.19)代入式(2.4.21)，可得 (2.4.22) 引入包含磁化效應的物理量——磁場強度H，即令 (2.4.23) 磁場強度的單位為A/m（安培/米）。則式(2.4.22)變?yōu)? (2.4

51、.24) 這是安培環(huán)路定理的微分形式，它表明磁介質內某點的磁場強度H的旋度，等于該點的傳導電流密度。 對式(2.4.24)取面積分并應用斯托可斯定理 (2.4.25) 這是磁介質中的安培環(huán)路定理的積分形式，它表明磁場強度沿磁介質內任意閉合路徑的環(huán)量，等于與該閉合路徑交鏈的傳導電流。 3. 磁介質的本構關系 對所有的磁介質，式(2.4.23)都是成立的。實驗表明，對于線性和各向同性磁介質，磁化強度M與磁場強度H成正比，表示為 (2.4.26) 式中的稱為磁介質的磁化率，是一個無量綱

52、的常數(shù)，不同的磁介質有不同的磁化率。 將式(2.4.26)代入式(2.4.23)得，即 (2.4.27) 此式稱為各向同性磁介質的本構關系。式中稱為磁介質的磁導率，單位為H/m（亨利/米）；稱為磁介質的相對磁導率，無量綱。真空中，無磁化效應，。 的磁介質，稱為順磁體，此時；的磁介質，稱為抗磁體，此時。但無論是順磁體，還是抗磁體，它們的磁化效應都很弱，通常都將其統(tǒng)稱為非鐵磁性物質，認為。另有一類磁介質稱為鐵磁性物質，B和H的關系是非線性的，是H的函數(shù)，且與原始的磁化狀態(tài)有關。值可達幾百、幾千，甚至更大。表2.4.2列出部分材料的相對磁導率近似值。 表

53、 2.4.2 材料的相對磁導率 材料 種類 材料 種類 鉍 金 銀 銅 水 空氣 鋁 鈀 抗磁體 抗磁體 抗磁體 抗磁體 抗磁體 順磁體 順磁體 順磁體 0.99983 0.99996 0.99998 0.99999 0.99999 1.0000004 1.000021 1.00082 2-81坡莫合金 鈷 鎳 錳鋅鐵氧體 低碳鋼 坡莫合金45 純鐵 鐵鎳合金 鐵磁體 鐵磁體 鐵磁體 鐵磁體 鐵磁體 鐵磁體 鐵磁體 鐵磁體 130 250 600 1500 2000 2500 40

54、00 100,000 對于各向異性磁介質，是張量，表示為。此時B和H的關系式可寫為 (2.4.28) 在本書的第五章將簡要討論電磁波在各向異性磁介質中的傳播特性。 O r z 圖2.4.5 球形磁介質的磁化強度 例 2.4.3 半徑的球形磁介質的磁化強度為，如圖2.4.5所示。式中的A、B為常數(shù)，求磁化電流密度。 解：磁化電流體密度為 處的磁化電流面密度為 式中的。在球面上任一點，有，而直角坐標系中的單位矢量換成球坐標系中的單位矢量表示為 所以題給的磁化強度換成球坐標系表示為 故 例2.4.4

55、 內、外半徑分別為和的圓筒形磁介質中，沿軸向有電流密度為的傳導電流。如圖2.4.6所示。設磁介質的磁導率為，求磁化電流分布。 圖2.4.6 圓筒形磁介質 J z b a 解： 設圓筒形磁介質為無限長，則其磁場分布具有軸對稱性，可利用安培環(huán)路定理求各個區(qū)域內由傳導電流J產生的磁場分布。 在的區(qū)域，據(jù)式（2.4.25）得 故 在的區(qū)域，得 故 在的區(qū)域，得 故 磁介質的磁化強度 則磁介質圓筒內的磁化電流密度為 在磁介質圓筒內表面上， 在磁介質圓筒外表面上， 2.4.3 媒質的傳導特性 導電媒

56、質內部有許許多多能自由運動的帶電粒子（自由電子或正、負粒子），它們在外電場的作用下可以做宏觀定向運動而形成電流。 對于線性和各向同性導電媒質，媒質內任一點的電流密度矢量J和電場強度E成正比，表示為 (2.4.29) 這就是歐姆定律的微分形式。式中的比例系數(shù)稱為媒質的電導率，單位是（西門子/米）或。電導率的值與媒質構成有關，表2.4.3列出部分材料的電導率。歐姆定律是對某些材料電特性的表述，滿足式(2.4.29)的材料稱為歐姆材料。 另外，設在導電媒質中，體密度為的電荷在電場力的作用下以平均速度v運動，則作用于體積元

57、內的電荷的電場力為。若在dt時間內，電荷的移動距離為dl，則電場力所做的功為 式中的。故電場對體積元提供的功率為 則電場對單位體積提供的功率為 (2.4.30) 電場提供的功率以熱的形式作為焦耳熱消耗在導電媒質的電阻上。式(2.4.30)稱為焦耳定律的微分形式。 表 2.4.3 材料的相對電導率 材料 電導率 材料 電導率 海水 4 鉛 鐵氧體 錫 硅 黃銅 石墨 鋅 鑄鐵 鎢 汞 鋁 不銹鋼 金 康銅 銅 硅

58、鋼 銀 整個體積中的導電媒質消耗的功率為 (2.4.31) 此即稱為焦耳定律的積分形式。 對于線性和各向同性導體，J和E的關系滿足式(2.4.29)，則式(2.4.30)和(2.4.31)可分別表示為 (2.4.32) (2.4.33) 至此，我們討論了媒質的極化特性、磁化特性和導電特性，它們分別用介電常數(shù)、磁導率和電導率來描述。 2.5 電磁感應定律和位移電流 前面討論了靜止電荷產生靜電場，恒定電流產

59、生靜磁場；靜電場和靜磁場都只是空間坐標的函數(shù)，與時間無關，且靜電場和靜磁場兩者是彼此獨立的。 本節(jié)先介紹法拉第電磁感應定律，引出感應電場的概念，表明時變磁場要產生時變電場。再介紹麥克斯韋關于位移電流的假說，表明時變電場要產生時變磁場。 2.5.1法拉第電磁感應定律 英國物理學家法拉第等人經過10年的實驗探索，終于在1831年取得突破，發(fā)現(xiàn)了導體回路所圍面積的磁通量發(fā)生變化時，回路中就會出現(xiàn)感應電動勢，并引起感應電流。法拉第等人的實驗表明，感應電動勢與穿過回路所圍面積的磁通量的時間變化率成正比。若規(guī)定回路中感應電動勢的參考方向與穿過該回路所圍面積的磁通量通符合右手螺旋關系，如圖2.5.1所

60、示，則感應電動勢為 (2.5.1) S C 圖2.5.1 穿過導體回路的磁通變化產生感應電動勢 這就是法拉第電磁感應定律。感應電動勢的實際方向由的符號（正或負）再與規(guī)定的電動勢的參考方向相比較而定出。若（即磁通隨時間增加時），表明感應電動勢的實際方向與規(guī)定的參考方向相反；若（即磁通隨時間減少時），表明感應電動勢的實際方向與規(guī)定的參考方向相同。因此，感應電流產生的磁通總是對原磁通的變化起阻礙作用。 導體內存在感應電流表明導體內必然存在感應電場，因此，感應電動勢可以表示為感應電場的積分，即

61、 這樣式(2.5.1)可表示為 (2.5.2) 由式(2.5.1)看出，回路中的感應電動勢與構成回路的導體性質無關。也就是說，只要回路所圍面積的磁通發(fā)生變化，就會產生感應電動勢，就存在感應電場。因而，式(2.5.2)適合于任意回路。 在一般的情況下，空間的總電場等于庫侖電場與感應電場的疊加，即。由于，故有 (2.5.3) 這就是推廣了的法拉第電磁感應定律的積分形式。從這個式子可以看出，穿過回路所圍面積的磁通變化是產生感應電動勢的惟一條件。磁通變化可以是磁場隨時間變

62、化而引起，也可以是由于回路移動引起，或者是兩者皆存在所引起。故式(2.5.3)是一個普遍適用的表達式。下面討論幾種情況： （1）如果回路是靜止的，則穿過回路的磁通變化只能是由磁場隨時間變化引起。此時，式(2.5.3)右端對時間求導只施于時變磁場B，即得 (2.5.4) 這是靜止回路位于時變磁場中時，法拉第電磁感應定律的積分形式。利用斯托克斯定理，上式可表示為 上式對任意回路所圍面積S都成立，故必有 (2.5.5) 此即靜止回路位于時變磁場中時，法拉第電磁感應定律

63、的微分形式。 （2）當導體棒以速度在靜態(tài)磁場B中運動時，磁場力將使導體中的自由電荷朝一端運動，從而使另一端帶正電荷，這種正、負電荷分離將形成庫侖力。當電場力與磁場力相互抵消而達到平衡狀態(tài)時，運動導體棒中的自由電荷的凈受力為零。若觀察者隨導體棒一起運動，則作用在單位電荷上的磁場力可看成作用于沿導體的感應電場，即。設導體棒是閉合回路C的一部分，則因回路運動所引起的感應電動勢為 (2.5.6) （3）當導體在時變磁場中運動時，可視為上述兩種情況的合成，故得 (2.5.7) 這是法拉第電磁感應定律積

64、分形式的一般形式。利用斯托克斯定理可導出相對應的微分形式為 (2.5.8) 例2.5.1 長為a、寬為b的矩形環(huán)中有均勻磁場B垂直穿過，如圖2.5.2所示。在以下三種情況下，求矩形環(huán)內的感應電動勢。 (1) ，矩形回路靜止（可滑動導體L不存在）； (2) ，矩形回路的寬邊b=常數(shù)，但其長邊因可滑動導體L以勻速運動而隨時間增大； (3) ，且矩形回路上的可滑動導體L以勻速運動。 解：(1) 均勻磁場B隨時間作簡諧變化，而回路靜止，因而回路內的感應電動勢是由磁場變化產生的。據(jù)式(2.5.4)得 v B x b a 0 y

65、 x L 圖2.5.2 計算矩形環(huán)內的感應電動勢 (2) 均勻磁場B為靜態(tài)場，而回路上的可滑動導體以勻速運動，因而回路內的感應電動勢全部是由導體L在磁場中運動產生的。據(jù)式(2.5.6)得 也可由式(2.5.3)計算 (3) 矩形回路中的感應電動勢是由磁場變化以及可滑動導體L在磁場中運動產生的，據(jù)式(2.5.7)得 例2.5.2 有一個的矩形線圈放置在時變磁場中，初始時刻，線圈平面的法向單位矢量與成角，如圖2.5.3所示。試求： （1）線圈靜止時的感應電動勢； （2）線圈以角速度繞x軸旋轉時的感應電動勢。 x y z

66、 a b B 圖2.5.3 時變場中的矩形線圈 解：（1）線圈靜止時，感應電動勢是由時變磁場引起，用式(2.5.4)計算 （2）線圈繞x軸旋轉時，的指向將隨時間變化。線圈內的感應電動勢可以用兩種方法計算。 方法一：利用式(2.5.3)計算 假定時，則在時刻t時，與y軸的夾角。故 方法二：利用式(2.5.7)計算 上式右端第一項與(a)相同，第二項 故 2.5.2 位移電流 法拉第電磁感應定律揭示了隨時間變化的磁場要激發(fā)電場，那么隨時間變化的電場是否也會激發(fā)磁場呢?麥克斯韋針對將安培環(huán)路定理直接應用到時變電磁場時出現(xiàn)的矛盾，提出了位移電流的假說，對安培環(huán)路定理進行了修正，從而揭示了隨時間變化的電場也要激發(fā)磁場。 前面討論恒定磁場時得到的安培環(huán)路定理的微分形式如式(2.4.24),即 對上式兩端同時取散度，即 電容器 c 圖2.5.4 連接在時變電壓源上的電容器 而，故得，這是恒定電流的連續(xù)性方程，它和電荷守恒定律相矛盾。因此，安培