《數(shù)學(xué)理高考二輪專題復(fù)習(xí)與測試:第二部分 專題五 第2講 橢圓、雙曲線、拋物線 Word版含解析》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《數(shù)學(xué)理高考二輪專題復(fù)習(xí)與測試:第二部分 專題五 第2講 橢圓、雙曲線、拋物線 Word版含解析(10頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、
A級 基礎(chǔ)通關(guān)
一、選擇題
1.已知橢圓+=1(a>b>0)的離心率為,則( )
A.a(chǎn)2=2b2 B.3a2=4b2
C.a(chǎn)=2b D.3a=4b
解析:由e==,則a=2c.
又a2=b2+c2,所以3a2=4b2.
答案:B
2.(2019·天一聯(lián)考)設(shè)雙曲線C:-=1的左右焦點分別為F1、F2,過點F1的直線與雙曲線C交于M,N兩點,其中M在左支上,點N在右支上,若∠F2MN=∠F2NM,則|MN|=( )
A.8 B.4 C.8 D.4
解析:由∠F2MN=∠F2NM,知|F2M|=|F2N|,
又|MF2|-|MF1|=4,
2、|NF1|-|NF2|=4.
兩式相加,得|NF1|-|MF1|=8,
故|MN|=|NF1|-|MF1|=8.
答案:C
3.已知橢圓C:+=1(a>b>0)的左焦點為F,C與過原點的直線相交于A,B兩點,連接AF,BF.若|AB|=10,|BF|=8,cos ∠ABF=,則C的離心率為( )
A. B. C. D.
解析:如圖所示,在△AFB中,|AB|=10,|BF|=8,cos ∠ABF=,
由余弦定理得|AF|2=|AB|2+|BF|2-2|AB||BF|
cos ∠ABF=100+64-2×10×8×=36,
所以|AF|=6,∠BFA=90°,
3、
設(shè)F′為橢圓的右焦點,連接BF′,AF′.
根據(jù)對稱性可得四邊形AFBF′是矩形.
所以|BF′|=6,|FF′|=10,所以2a=8+6,2c=10,
解得a=7,c=5,所以e==.
答案:B
4.(2019·長郡中學(xué)模擬)已知F1,F(xiàn)2是雙曲線-=1(a>0,b>0)的左、右焦點,若點F2關(guān)于雙曲線漸近線的對稱點A滿足∠F1AO=∠AOF1(O為坐標原點),則雙曲線的漸近線方程為( )
A.y=±x B.y=±2x
C.y=±x D.y=±x
解析:設(shè)F2A與漸近線y=x交于點M,且O,M分別為F1F2、F2A的中點,
故OM∥F1A,則F1A⊥F2A,O
4、A=OF1=c.
又∠F1AO=∠AOF1,所以△F1OA為正三角形,
所以∠MOF2=,
故雙曲線的漸近線為y=±x.
答案:A
5.(2019·全國卷Ⅱ)設(shè)F為雙曲線C:-=1(a>0,b>0)的右焦點,O為坐標原點,以O(shè)F為直徑的圓與圓x2+y2=a2交于P,Q兩點.若|PQ|=|OF|,則C的離心率為( )
A. B. C.2 D.
解析:設(shè)雙曲線C:-=1(a>0,b>0)的右焦點F的坐標為(c,0).由圓的對稱性及條件|PQ|=|OF|可知,PQ是以O(shè)F為直徑的圓的直徑,且PQ⊥OF.
設(shè)PQ與OF交于點M,連接OP,如圖所示.
則|OP|=
5、a,|OM|=|MP|=,
由|OM|2+|MP|2=|OP|2,得2·=a2,
故=,離心率e=.
答案:A
二、填空題
6.(2019·江蘇卷)在平面直角坐標系xOy中,若雙曲線x2-=1(b>0)經(jīng)過點(3,4),則該雙曲線的漸近線方程是________.
解析:因為雙曲線x2-=1(b>0)經(jīng)過點(3,4),則9-=1(b>0),解得b=,即雙曲線方程為x2-=1,
因此雙曲線的漸近線方程為y=±x.
答案:y=±x
7.(2019·珠海調(diào)研)已知直線l是拋物線y2=2px(p>0)的準線,半徑為3的圓過拋物線頂點O和焦點F,且與直線l相切,則拋物線的方程為_____
6、___.
解析:由已知圓心在OF的中垂線上,故圓心到準線的距離為p,所以p=3,所以p=4,故拋物線的方程為y2=8x.
答案:y2=8x
8.(2019·全國卷Ⅲ)設(shè)F1,F(xiàn)2為橢圓C:+=1的兩個焦點,M為C上一點且在第一象限.若△MF1F2為等腰三角形,則M的坐標為________.
解析:設(shè)F1為橢圓的左焦點,分析可知點M在以F1為圓心,焦距為半徑的圓上,即在圓(x+4)2+y2=64上.
因為點M在橢圓+=1上,
所以聯(lián)立方程可得解得
又因為點M在第一象限,所以點M的坐標為(3,).
答案:(3,)
三、解答題
9.(2018·全國卷Ⅱ)設(shè)拋物線C:y2=4x的焦
7、點為F,過F且斜率為k(k>0)的直線l與C交于A,B兩點,|AB|=8.
(1)求l的方程;
(2)求過點A,B且與C的準線相切的圓的方程.
解:(1)由題意得F(1,0),l的方程為y=k(x-1)(k>0).
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),
由得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.
Δ=16k2+16>0,故x1+x2=.
所以|AB|=|AF|+|BF|=(x1+1)+(x2+1)=.
由題設(shè)知=8,解得k=-1(舍去),k=1.
因此l的方程為y=x-1.
(2)由(1)得AB的中點坐標為(3,2),所以AB的垂直平分線方程為y-2=-(x-3),即y=
8、-x+5.
設(shè)所求圓的圓心坐標為(x0,y0),則
解得或
因此所求圓的方程為(x-3)2+(y-2)2=16或(x-11)2+(y+6)2=144.
10.(2018·全國卷Ⅲ)已知斜率為k的直線l與橢圓C:+=1交于A,B兩點,線段AB的中點為M(1,m)(m>0).
(1)證明:k<-;
(2)設(shè)F為C的右焦點,P為C上一點,且++=0.
證明:||,||,||成等差數(shù)列,并求該數(shù)列的公差.
(1)證明:設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),
則+=1,+=1.
兩式相減,并由=k得+·k=0.
由題設(shè)知=1,=m,于是k=-.①
由題設(shè)得0
9、
(2)解:由題意得F(1,0).設(shè)P(x3,y3),則
(x3-1,y3)+(x1-1,y1)+(x2-1,y2)=(0,0).
由(1)及題設(shè)得x3=3-(x1+x2)=1,
y3=-(y1+y2)=-2m<0.
又點P在C上,所以m=,
從而P(1,-),||=,
于是||===2-.
同理||=2-.
所以||+||=4-(x1+x2)=3.
故2||=||+||,即||,||,||成等差數(shù)列.
設(shè)該數(shù)列的公差為d,則2|d|=|||-|||=|x1-x2|= .②
將m=代入①得k=-1,
所以l的方程為y=-x+,代入C的方程,并整理得7x2-14x+=0
10、.
故x1+x2=2,x1x2=,代入②解得|d|=.
所以該數(shù)列的公差為或-.
B級 能力提升
11.(2019·全國卷Ⅰ)已知橢圓C的焦點為F1(-1,0),F(xiàn)2(1,0),過F2的直線與C交于A,B兩點.若|AF2|=2|F2B|,|AB|=|BF1|,則C的方程為( )
A.+y2=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
解析:設(shè)橢圓的標準方程為+=1(a>b>0).連接F1A,令|F2B|=m,則|AF2|=2m,|BF1|=3m.
由橢圓的定義知,4m=2a,
得m=,
故|F2A|=a=|F1A|,則點A為橢圓C的上頂點或下頂點.如圖.
不妨設(shè)A
11、(0,-b),由F2(1,0),=2,得B.
由點B在橢圓上,得+=1,
得a2=3,b2=a2-c2=2,橢圓C的方程為+=1.
答案:B
12.(2019·天津卷)設(shè)橢圓+=1(a>b>0)的左焦點為F,上頂點為B.已知橢圓的短軸長為4,離心率為.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)點P在橢圓上,且異于橢圓的上、下頂點,點M為直線PB與x軸的交點,點N在y軸的負半軸上,若|ON|=|OF|(O為原點),且OP⊥MN,求直線PB的斜率.
解:(1)設(shè)橢圓的半焦距為c,依題意2b=4,得b=2.
又e==,且a2=b2+c2=4+c2,
解之得a=,c=1.
所以橢圓的方程為+=1.
(2)由題意,設(shè)P(xP,yP)(xP≠0),M(xM,0).設(shè)直線PB的斜率為k(k≠0),
又B(0,2),則直線PB的方程為y=kx+2,與橢圓方程聯(lián)立整理得(4+5k2)x2+20kx=0,
可得xP=-,
代入y=kx+2得yP=,
進而直線OP的斜率為=.
在y=kx+2中,令y=0,得xM=-.
由題意得N(0,-1),所以直線MN的斜率為-.
由OP⊥MN,得·=-1,化簡得k2=,
從而k=±.
所以,直線PB的斜率為或-.