2015年高考數(shù)學(xué)（文科）真題分類匯編N單元選修4系列

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1、 數(shù) 學(xué) N單元 選修4系列 N1 選修4-1 幾何證明選講 15．N1[2015·廣東卷] (幾何證明選講選做題)如圖1-1，AB為圓O的直徑，E為AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，過(guò)E作圓O的切線，切點(diǎn)為C，過(guò)A作直線EC的垂線，垂足為D.若AB＝4，CE＝2，則AD＝________. 圖1-1 15．3　[解析] 連接OC，則OC⊥DE，∴OC∥AD，∴＝.由切割線定理得CE2＝BE·AE，∴BE(BE＋4)＝12，解得BE＝2，∴AD＝＝＝3. 22．N1[2015·全國(guó)卷Ⅰ] 選修4-1：幾何證

2、明選講 如圖1-7，AB是⊙O的直徑，AC是⊙O的切線，BC交⊙O于點(diǎn)E. (1)若D為AC的中點(diǎn)，證明：DE是⊙O的切線； (2)若OA＝CE，求∠ACB的大小． 圖1-7 22．解：(1)證明：連接AE，由已知得，AE⊥BC，AC⊥AB. 在Rt△AEC中，由已知得，DE＝DC，故∠DEC＝∠DCE. 連接OE，則∠OBE＝∠OEB. 又∠ACB＋∠ABC＝90°，所以∠DEC＋∠OEB＝90°，故∠OED＝90°，即DE是⊙O的切線． (2)設(shè)CE＝1，AE＝x，由已知得AB＝2，BE＝. 由射影定理可得，AE2＝CE·BE，所以x2＝，即x4＋x

3、2－12＝0， 可得x＝，所以∠ACB＝60°. 22．N1[2015·全國(guó)卷Ⅱ] 選修4-1：幾何證明選講 如圖1-9，O是等腰三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，⊙O與△ABC的底邊BC交于M，N兩點(diǎn)，與底邊上的高AD交于點(diǎn)G，且與AB，AC分別相切于E，F(xiàn)兩點(diǎn)． (1)證明：EF∥BC； (2)若AG等于⊙O的半徑，且AE＝MN＝2，求四邊形EBCF的面積． 圖1-9 22．解：(1)證明：由于△ABC是等腰三角形，AD⊥BC，所以AD是∠CAB的平分線． 又因?yàn)椤袿分別與AB，AC相切于點(diǎn)E，F(xiàn)，所以AE＝AF，故AD⊥EF. 從而EF∥BC. (2)由(1)知，AE＝AF，A

4、D⊥EF，故AD是EF的垂直平分線．又EF為⊙O的弦，所以O(shè)在AD上． 連接OE，OM，則OE⊥AE. 由AG等于⊙O的半徑得AO＝2OE，所以∠OAE＝30°， 因此△ABC和△AEF都是等邊三角形． 因?yàn)锳E＝2，所以AO＝4，OE＝2. 因?yàn)镺M＝OE＝2，DM＝MN＝，所以O(shè)D＝1.于是AD＝5，AB＝. 所以四邊形EBCF的面積為×2×－×(2)2×＝. 22．N1[2015·陜西卷] 選修4-1：幾何證明選講 如圖1-7，AB切⊙O于點(diǎn)B，直線AO交⊙O于D，E兩點(diǎn)，BC⊥DE，垂足為C. (1)證明：∠CBD＝∠DBA； (2)若AD＝3DC，BC＝，求⊙O的

5、直徑． 圖1-7 22．解：(1)證明：因?yàn)镈E為⊙O的直徑， 所以∠BED＋∠EDB＝90°. 又BC⊥DE，所以∠CBD＋∠EDB＝90°， 從而∠CBD＝∠BED. 又AB切⊙O于點(diǎn)B， 得∠DBA＝∠BED， 所以∠CBD＝∠DBA. (2)由(1)知BD平分∠CBA， 則＝＝3. 又BC＝，從而AB＝3， 所以AC＝＝4， 所以AD＝3. 由切割線定理得AB2＝AD·AE， 即AE＝＝6， 故DE＝AE－AD＝3， 即⊙O的直徑為3. 6．N1[2015·天津卷] 如圖1-2，在圓O中，M，N是弦AB的三等分點(diǎn)，弦CD，CE分別經(jīng)過(guò)點(diǎn)M，N，若

6、CM＝2，MD＝4，CN＝3，則線段NE的長(zhǎng)為(　　) 圖1-2 A. B．3 C. D. 6．A　[解析] 根據(jù)相交弦定理知，CM·MD＝AM·MB，CN·NE＝AN·NB.又因?yàn)镸，N 是弦AB 的三等分點(diǎn)，所以CM·MD＝CN·NE，即2×4＝3×NE，所以NE＝. N2 選修4-2 矩陣 N3 選修4-4 參數(shù)與參數(shù)方程 23．N3[2015·全國(guó)卷Ⅰ] 選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程 在直角坐標(biāo)系xOy中，直線C1：x＝－2，圓C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系． (1)求C1，C2的極坐

7、標(biāo)方程； (2)若直線C3的極坐標(biāo)方程為θ＝(ρ∈R)，設(shè)C2與C3的交點(diǎn)為M，N，求△C2MN的面積． 23．解：(1)因?yàn)閤＝ρcos θ，y＝ρsin θ，所以C1的極坐標(biāo)方程為ρcos θ＝－2，C2的極坐標(biāo)方程為ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0. (2)將θ＝代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，得ρ2－3ρ＋4＝0，解得ρ1＝2，ρ2＝，故ρ1－ρ2＝，即|MN|＝. 由于圓C2的半徑為1，所以△C2MN的面積為. 23．N3[2015·全國(guó)卷Ⅱ] 選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程 在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1：(t為參數(shù)，t≠0)，其中0≤α

8、<π，在以O(shè)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C2：ρ＝2sin θ，C3：ρ＝2cos θ. (1)求C2與C3交點(diǎn)的直角坐標(biāo)； (2)若C1與C2相交于點(diǎn)A，C1與C3相交于點(diǎn)B，求|AB|最大值． 23．解：(1)曲線C2的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2－2y＝0，曲線C3的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2－2x＝0. 聯(lián)立解得或 所以C2與C3交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(0，0)和，. (2)曲線C1的極坐標(biāo)方程為θ＝α(ρ∈R，ρ≠0)，其中0≤α<π. 因此A的極坐標(biāo)為(2sin α，α)，B的極坐標(biāo)為(2cos α，α)． 所以|AB|＝|2sin α－2cos α|＝4si

9、nα－. 當(dāng)α＝時(shí)，|AB|取得最大值，最大值為4. 12．N3[2015·湖南卷] 在直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．若曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ＝2sin θ，則曲線C的直角坐標(biāo)方程為_(kāi)_______． 12．x2＋y2－2y＝0　[解析] 將曲線C的極坐標(biāo)方程ρ＝2sin θ兩邊同乘一個(gè)ρ，得ρ2＝2ρsin θ，即x2＋y2＝2y，故曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2－2y＝0. 23．N3[2015·陜西卷] 選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程 在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))．以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，⊙C的

10、極坐標(biāo)方程為ρ＝2sin θ. (1)寫(xiě)出⊙C的直角坐標(biāo)方程； (2)P為直線l上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)P到圓心C的距離最小時(shí)，求P的直角坐標(biāo)． 23．解：(1)由ρ＝2sin θ，得ρ2＝2ρsin θ， 從而有x2＋y2＝2y，所以x2＋(y－)2＝3. (2)設(shè)P3＋t，t，又C(0，)， 則|PC|＝＝， 故當(dāng)t＝0時(shí)，|PC|取得最小值， 此時(shí)，P點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(3，0)． 14．N3[2015·廣東卷] (坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．曲線C1的極坐標(biāo)方程為ρ(cos θ＋sin θ)＝－2，曲線C2的參數(shù)方

11、程為(t為參數(shù))，則C1與C2交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為_(kāi)_______． 14．(2，－4)　[解析] 曲線C1的直角坐標(biāo)方程為x＋y＝－2，曲線C2的普通方程為y2＝8x，由得所以C1與C2交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(2，－4)． N4 選修4-5 不等式選講 24．N4[2015·全國(guó)卷Ⅰ] 選修4-5：不等式選講 已知函數(shù)f(x)＝|x＋1|－2|x－a|，a>0. (1)當(dāng)a＝1時(shí)，求不等式f(x)>1的解集； (2)若f(x)的圖像與x軸圍成的三角形面積大于6，求a的取值范圍． 24．解：(1)當(dāng)a＝1時(shí)，f(x)>1化為|x＋1|－2|x－1|－1>0. 當(dāng)x≤－1時(shí)，不等式

12、化為x－4>0，無(wú)解； 當(dāng)－10，解得0，解得1≤x<2. 所以f(x)>1的解集為. (2)由題設(shè)可得，f(x)＝ 所以函數(shù)f(x)的圖像與x軸圍成的三角形的三個(gè)頂點(diǎn)分別為A，B(2a＋1，0)，C(a，a＋1)，△ABC的面積為(a＋1)2. 由題設(shè)得(a＋1)2>6，故a>2， 所以a的取值范圍為(2，＋∞)． 24．N4[2015·全國(guó)卷Ⅱ] 選修4-5：不等式選講 設(shè)a，b，c，d均為正數(shù)，且a＋b＝c＋d.證明： (1)若ab>cd，則＋>＋； (2)＋>＋是|a－b|<|c－d|的充

13、要條件． 24．證明：(1)因?yàn)?＋)2＝a＋b＋2，(＋)2＝c＋d＋2，由題設(shè)a＋b＝c＋d，ab>cd得(＋)2>(＋)2. 因此＋>＋. (2)(i)若|a－b|<|c－d|，則(a－b)2<(c－d)2，即 (a＋b)2－4ab<(c＋d)2－4cd. 因?yàn)閍＋b＝c＋d，所以ab>cd. 由(1)得＋>＋. (ii)若＋>＋，則(＋)2>(＋)2，即a＋b＋2>c＋d＋2. 因?yàn)閍＋b＝c＋d，所以ab>cd. 于是(a－b)2＝(a＋b)2－4ab<(c＋d)2－4cd＝(c－d)2. 因此|a－b|<|c－d|. 綜上，＋>＋是|a－b|<|c－d|的充要條件． 24．N4[2015·陜西卷] 選修4-5：不等式選講 已知關(guān)于x的不等式|x＋a|