2013-2017高考數(shù)學(xué)分類匯編-第10章圓錐曲線-5 直線與圓錐曲線（理科）

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1、 第5節(jié) 直線與圓錐曲線 題型124 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 1.(2013重慶理21） 如圖，橢圓的中心為原點(diǎn)，長(zhǎng)軸在軸上，離心率，過左焦點(diǎn)作軸的垂線交橢圓于兩點(diǎn)，. （1）求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； （2）取垂直于軸的直線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)，過作圓心為的圓，使橢圓上的其余點(diǎn)均在圓外.若，求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程. 2．(2013湖南理21） 過拋物線的焦點(diǎn)作斜率分別為的兩條不同的直線，且，相交于點(diǎn)，相交于點(diǎn).以為直徑的圓，圓（為圓心）的公共弦所在的直線記為. （1）若，證明；； （2）若點(diǎn)到直線的距離的最小值為，求拋物線的方程. 3.（201

2、3江西理20） 如圖，橢圓經(jīng)過點(diǎn)，離心率，直線的方程為． (1) 求橢圓的方程； (2) 是經(jīng)過右焦點(diǎn)的任一弦（不經(jīng)過點(diǎn)），設(shè)直線與直線相交于點(diǎn)，記 的斜率分別為．問：是否存在常數(shù)，使得？若存在，求的值；若不存在，說明理由． 4.（2014 遼寧理 10）已知點(diǎn)在拋物線：的準(zhǔn)線上，過點(diǎn)的直線與在第一象限相切于點(diǎn)，記的焦點(diǎn)為，則直線的斜率為（ ）. A． B． C． D． 5.（2014 福建理 19）（本小題滿分13分） 已知雙曲線的兩條漸近線分別為，. （1）求雙曲

3、線的離心率； （2）如圖所示，為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)直線分別交直線于兩點(diǎn)（分別在第一，四象限），且的面積恒為，試探究：是否存在總與直線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的雙曲線？若存在，求出雙曲線的方程；若不存在，說明理由. 6.（2014 天津理 18）（本小題滿分13分） 設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為.已知. （1）求橢圓的離心率； （2）設(shè)為橢圓上異于其頂點(diǎn)的一點(diǎn)，以線段為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)，經(jīng)過原點(diǎn)的直線與該圓相切. 求直線的斜率. 7.（2014 湖北理 21）（滿分14分）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)到點(diǎn)的距離比它到軸的距離多，記點(diǎn)的軌跡為. （1）求軌跡為的方程； （2）設(shè)斜率為

4、的直線過定點(diǎn).求直線與軌跡恰好有一個(gè)公共點(diǎn)，兩個(gè)公共點(diǎn)，三個(gè)公共點(diǎn)時(shí)的相應(yīng)取值范圍. 8.（2015北京理19）已知橢圓的離心率為，點(diǎn)和 點(diǎn)都在橢圓上，直線交軸于點(diǎn). （1）求橢圓的方程，并求點(diǎn)的坐標(biāo)（用，表）； （2）設(shè)為原點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，直線交軸于點(diǎn).問：軸上是否存 在點(diǎn)，使得？若存在，求點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由. 8. 解析 （1）因?yàn)椋裕? 又點(diǎn)在橢圓：上，則，， 因此橢圓的方程為，直線的方程：， 令，可得，所以點(diǎn)的坐標(biāo)是. （2）點(diǎn)與關(guān)于軸對(duì)稱，所以，直線的方程：， 令，所以可得，則，因?yàn)椋? 所以，所以，即， 因?yàn)椋贮c(diǎn)在橢圓上， 所以，即，

5、所以，得. 9.（2015福建理18）已知橢圓過點(diǎn)，且離心率． (1)求橢圓的方程； (2)設(shè)直線交橢圓于，兩點(diǎn)，判斷點(diǎn)與以線段為 直徑的圓的位置關(guān)系，并說明理由． 9.分析 本小題主要考查橢圓、圓、直線與橢圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能 力、運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想． 解析 解法一：（1）由已知得，解得， 所以橢圓的方程為． （2）設(shè)點(diǎn)，，的中點(diǎn)為．由， 得，所以，， 從而， 所以， ，

6、 故 ，所以． 故點(diǎn)在以為直徑的圓外． 解法二：（1）同解法一． （2）設(shè)點(diǎn)，，則，． 由，得， 所以，， 從而 ， 所以．又，不共線，所以為銳角． 故點(diǎn)在以為直徑的圓外． 10.（2015全國(guó)I理20）在直角坐標(biāo)系中，曲線與直線 交于，兩點(diǎn). （1）當(dāng)時(shí)，分別求在點(diǎn)和處的切線方程； （2）軸上是否存在點(diǎn)，使得當(dāng)變動(dòng)時(shí)，總有？說明理由. 10.解析 （1）由題意知，時(shí)，聯(lián)立，解得，． 又，在點(diǎn)處，切線方程為，即， 在點(diǎn)處，，切線方程為，即． 故所求切線方程為和． （2）存在符合題意的點(diǎn)，證明如下： 設(shè)點(diǎn)為符合題意的點(diǎn)，，，直線，的斜率分別為，．聯(lián)立方

7、程，得，故，， 從而． 當(dāng)時(shí)，有，則直線與直線的傾斜角互補(bǔ)， 故，所以點(diǎn)符合題意． 11.（2015天津理19）已知橢圓的左焦點(diǎn)為，離心率為， 點(diǎn)在橢圓上且位于第一象限，直線被圓截得的線段的長(zhǎng)為， . （1）求直線的斜率； （2）求橢圓的方程； （3）設(shè)動(dòng)點(diǎn)在橢圓上，若直線的斜率大于，求直線（為原點(diǎn)）的斜率的 取值范圍. 11．分析 (1)由橢圓知識(shí)先求出的關(guān)系，設(shè)直線的方程為，求出圓 心到直線的距離，由勾股定理可求斜率的值； (2)由(1)設(shè)橢圓方程為， 直線與橢圓方程聯(lián)立，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，由可求出，從而可求橢圓方程； (3)設(shè)出直線：，與橢圓方程聯(lián)立，求得，求出的

8、 范圍，即可求直線的斜率的取值范圍. 解析 (1)由已知有，又由，可得，， 設(shè)直線的斜率為，則直線的方程為， 由已知有，解得. (2)由(1)得橢圓方程為，直線的方程為，兩個(gè)方程聯(lián)立， 消去，整理得，解得或，因?yàn)辄c(diǎn)在第一像限， 可得的坐標(biāo)為，由，解得，所以橢圓方程為. (3)設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線的斜率為，得，即， 與橢圓方程聯(lián)立，消去， 整理得，又由已知，得， 解得或， 設(shè)直線的斜率為，得，即，與橢圓方程聯(lián)立， 整理可得. ①當(dāng)時(shí)，有，因此，于是， 得； ②當(dāng)時(shí)，有，因此，于是， 得 綜上所述，直線的斜率的取值范圍是. 12.（2016四川理20）已知橢圓的

9、兩個(gè)焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)是直角三角形的個(gè)頂點(diǎn)，直線與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn). （1）求橢圓的方程及點(diǎn)的坐標(biāo)； （2）設(shè)是坐標(biāo)原點(diǎn)，直線平行于，與橢圓交于不同的兩點(diǎn)、，且與直線交于點(diǎn).證明：存在常數(shù)，使得，并求的值. 12.解析 (1)由已知，，則橢圓的方程為. 有方程組 得.① 方程①的判別式為，由，得，此方程①的解為， 所以橢圓的方程為.點(diǎn)坐標(biāo)為. (2)由已知可設(shè)直線的方程為， 有方程組，可得. 所以點(diǎn)坐標(biāo)為，.設(shè)點(diǎn)，的坐標(biāo)分別為，. 由方程組可得 ② 方程②的判別式為，由，解得. 由②得，. 所以 ，同理， 所以 . 故存在常數(shù)，使得.

10、13.（2017江蘇17）如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，離心率為，兩準(zhǔn)線之間的距離為．點(diǎn)在橢圓上，且位于第一象限，過點(diǎn)作直線的垂線，過點(diǎn)作直線的垂線． （1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； （2）若直線的交點(diǎn)在橢圓上，求點(diǎn)的坐標(biāo)． 13.解析 （1）設(shè)橢圓的半焦距為，由題意，解得，因此 ，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為． （2）由（1）知，．設(shè)，因?yàn)辄c(diǎn)為第一象限的點(diǎn)，故． 當(dāng)時(shí)，與相交于，與題設(shè)不符． 當(dāng)時(shí)，直線的斜率為，直線的斜率為． 因?yàn)?，，所以直線的斜率為，直線的斜率為， 從而直線的方程為 ① 直線的方程為

11、 ② 聯(lián)立①②，解得，所以． 因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，由對(duì)稱性得，即或． 又點(diǎn)在橢圓上，故． 由，解得；由，無解． 因此點(diǎn)的坐標(biāo)為． 14.（2017北京理18）已知拋物線過點(diǎn).過點(diǎn)作直線與拋物線交于不同的兩點(diǎn)，，過點(diǎn)作軸的垂線分別與直線，交于點(diǎn)，，其中為原點(diǎn). （1）求拋物線的方程，并求其焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程； （2）求證：為線段的中點(diǎn). 14.解析 （1）由拋物線過點(diǎn)，得.所以拋物線的方程為，拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為. （2）解法一：由題意，設(shè)直線的方程為，與拋物線的交點(diǎn)為，.由，得.則，. 因?yàn)辄c(diǎn)的坐標(biāo)為，所以直線的方程為，點(diǎn)的坐標(biāo)為. 因?yàn)橹?/p>

12、線的方程為，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為. 因?yàn)? ，所以. 故為線段的中點(diǎn). 解法二：要證為的中點(diǎn)，且相同，只需證，等式兩邊同時(shí)除以，則有.因?yàn)? .又，所以等式成立，即為的中點(diǎn). 題型125 弦長(zhǎng)與面積問題 1.（2013浙江理21）如圖，點(diǎn)是橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)，的長(zhǎng)軸是圓的直徑.是過點(diǎn)且互相垂直的兩條直線，其中交圓于兩點(diǎn)，交橢圓于另一點(diǎn) （1）求橢圓的方程； （2）求面積取最大值時(shí)直線的方程. 2.(2013全國(guó)新課標(biāo)卷理20） 平面直角坐標(biāo)系中，過橢圓右焦點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)，為的中點(diǎn)，且的斜率為. （1）求的方程； （2）為上的兩點(diǎn)，若四邊形的對(duì)角線，

13、求四邊形的最大值. 3（2013廣東理20） 已知拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，其焦點(diǎn)到直線:的距離為.設(shè) 為直線上的點(diǎn)，過點(diǎn)作拋物線的兩條切線，其中為切點(diǎn)． (1) 求拋物線的方程； (2) 當(dāng)點(diǎn)為直線上的定點(diǎn)時(shí)，求直線的方程； (3) 當(dāng)點(diǎn)在直線上移動(dòng)時(shí)，求的最小值. 4．（2013四川理20） 已知橢圓：的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，且橢圓經(jīng)過點(diǎn)． （1）求橢圓的離心率； （2）設(shè)過點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)是線段上的點(diǎn)，且，求點(diǎn)的軌跡方程． 5（2013湖北理21） 如圖，已知橢圓與 的中心坐標(biāo)原點(diǎn)，長(zhǎng)軸均為且在軸上，短軸長(zhǎng)分別為，（），過原點(diǎn)且不與軸重合的直線與，的四個(gè)交點(diǎn)按縱

14、坐標(biāo)從大到小依次為 記， 和的面積分別為和． (1) 當(dāng)直線與軸重合時(shí)，若，求的值； (2) 當(dāng)變化時(shí)，是否存在與坐標(biāo)軸不重合的直線，使得？并說明理由． 第21題圖 6.(2013福建理18） 如圖，在正方形中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為， 點(diǎn)的坐標(biāo)為，分別將線段和十等分，分點(diǎn)分別記為 和，連接，過作軸的垂線與 交于點(diǎn)． （1） 求證：點(diǎn)都在同一條拋物線上，并求拋物線的方程； （2） 過點(diǎn)作直線與拋物線交于不同的兩點(diǎn)， 若與的面積之比為　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

15、　　　　　　　　　　　　 ，求直線的方程． 7.（2014 新課標(biāo)2理20）（本小題滿分12分） 設(shè)分別是橢圓的左，右焦點(diǎn)，是上一點(diǎn)且與軸垂直.直線與的另一個(gè)交點(diǎn)為. （1）若直線的斜率為，求的離心率； （2）若直線在軸上的截距為，且，求. 8.（2014 新課標(biāo)1理20） （本小題滿分12分） 已知點(diǎn)，橢圓：的離心率為，是橢圓的右焦點(diǎn)，直線的斜率為，為坐標(biāo)原點(diǎn). （1）求的方程； （2）設(shè)過點(diǎn)的直線與相交于兩點(diǎn)，當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，求的方程. 9.（2014 山東理 21）（本小題滿分14分） 已知拋物線的焦點(diǎn)為，為上異于原點(diǎn)的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)的直線交

16、于另一點(diǎn)，交軸的正半軸于點(diǎn)，且有|，當(dāng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為時(shí)，為正三角形. （1）求的方程； （2）若直線，且和有且只有一個(gè)公共點(diǎn)， （i）證明直線過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)； （ii）的面積是否存在最小值？若存在，請(qǐng)求出最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由. 10.（2014 湖南理 21） 如圖所示，為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，離心率為；雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，離心率為,已知，且. （1）求的方程； （2）過點(diǎn)作的不垂直于軸的弦，為的中點(diǎn)，當(dāng)直線與交于兩點(diǎn)時(shí)，求四邊形面積的最小值. 11.（2014 安徽理 19）

17、（本小題滿分13分) 如圖所示，已知兩條拋物線：和：，過原點(diǎn)的兩條直線和，與，分別交于，兩點(diǎn)，與，分別交于，兩點(diǎn). （1）證明：； （2）過原點(diǎn)作直線（異于，）與，分別交于，兩點(diǎn).記與的面積分別為與，求的值. 12.（2015湖北理21）一種作圖工具如圖1所示．是滑槽的中點(diǎn)，短桿ON可繞O轉(zhuǎn)動(dòng)，長(zhǎng)桿通過處鉸鏈與連接，上的栓子可沿滑槽滑動(dòng)，且，．當(dāng)栓子D在滑槽AB內(nèi)作往復(fù)運(yùn)動(dòng)時(shí)，帶動(dòng)N繞轉(zhuǎn)動(dòng)一周（D不動(dòng)時(shí)，N也不動(dòng)），M處的筆尖畫出的曲線記為C．以為原點(diǎn)，所在的直線為軸建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系． （1）求曲線的方程； （2

18、）設(shè)動(dòng)直線與兩定直線和分別交于兩點(diǎn)．若直線總與曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，試探究：的面積是否存在最小值？若存在，求出該最小值；若不存在，說明理由． 第21題圖1 第21題圖2 x D O M N y 12．解析（1）設(shè)點(diǎn)，，依題意， ，且， 所以，且 即且 由于當(dāng)點(diǎn)不動(dòng)時(shí)，點(diǎn)也不動(dòng)，所以不恒等于0， 于是，故，代入，可得， 即所求的曲線的方程為 （2）（i）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線為或，都有. （ii）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線， 由消去，可得. 因?yàn)橹本€總與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)， 所以，即.

19、 ① 又由可得；同理可得. 由原點(diǎn)到直線的距離為和，可得 . ② 將①代入②得，. 當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)，. 因，則，，所以， 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào). 所以當(dāng)時(shí)，的最小值為8. 綜合（i）（ii）可知，當(dāng)直線與橢圓在四個(gè)頂點(diǎn)處相切時(shí)，△OPQ的面積取得最小值8. 13.（2015江蘇18）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的 離心率為，且右焦點(diǎn)到直線（其中）的距離為． （1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； （2）過的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，線段的垂直平分線分別交直線和于點(diǎn)，若，求直線的方程． 13.解析 （1）由題意得，故，即， 從而

20、，，，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為． （2）解法一（正設(shè)斜率）：若的斜率不存在時(shí)，則方程為，此時(shí)，易知此時(shí)，不滿足題意； 當(dāng)?shù)男甭蕿闀r(shí)，此時(shí)亦不滿足題意； 因此斜率存在且不為，不妨設(shè)斜率為，則方程， 不妨設(shè)，， 聯(lián)立直線與橢圓， 即， 因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓內(nèi)，故恒成立， 所以，故 ， 又，， 故， 因?yàn)?，故? 即，即， 整理得，即，即， 解得，從而直線方程為或． 解法二（反設(shè)）：由題意，直線的斜率必不為，故設(shè)直線方程為， 不妨設(shè)，， 與橢圓聯(lián)立，整理得， 因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓內(nèi)，故恒成立，故， 因此 ， 則點(diǎn)的縱坐標(biāo)為， 于是點(diǎn)的橫坐標(biāo)為， 又，故， 所以， 因?yàn)榭傻?/p>

21、， 化簡(jiǎn)得，即， 化簡(jiǎn)得，計(jì)算得， 從而直線方程為或． 14.（2016浙江理19（1））如圖所示，設(shè)橢圓.求直線被橢圓截得的線段長(zhǎng)（用， 表示）； 14.解析 （1）設(shè)直線被橢圓截得的線段為，聯(lián)立方程， 得，解得，． 因此． 15.（2016江蘇21 C）在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線的參數(shù)方程為，橢圓的參數(shù)方程為，設(shè)直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，求線段的長(zhǎng)． 15. 解析 解法一（求點(diǎn)）：直線方程化為普通方程為， 橢圓方程化為普通方程為， 聯(lián)立，解得或， 因此． 解法二（弦長(zhǎng)）：直線方程化為普通方程為， 橢圓方程化為普通方程為，不妨設(shè)，， 聯(lián)立得，消得，恒成立， 故

22、，所以． 解法三（幾何意義）：橢圓方程化為普通方程為， 直線恒過點(diǎn)，該點(diǎn)在橢圓上，將直線的參數(shù)方程代入橢圓的 普通方程，得，整理得，故，， 因此． 16.（2016全國(guó)乙理20）設(shè)圓的圓心為，直線過點(diǎn)且與軸不重合，交圓于，兩點(diǎn)，過作的平行線交于點(diǎn). （1）證明為定值，并寫出點(diǎn)的軌跡方程； （2）設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線，直線交于，兩點(diǎn)，過且與垂直的直線與圓交于，兩點(diǎn)，求四邊形面積的取值范圍. 16.解析 (1)如圖所示，圓的圓心為，半徑， 因?yàn)?，所?又因?yàn)?，所以? 于是 ，所以.故為定值. 又，點(diǎn)的軌跡是以，為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓， 由，，得.故點(diǎn)的軌跡的方程為.

23、 （2）因?yàn)橹本€與軸不重合，故可設(shè)的方程為， 過且與垂直的直線方程為. 由，得. 設(shè)，，則，. 得. 由，得. 設(shè)，，則，. 得. 四邊形的面積. 因?yàn)椋裕? 即四邊形面積的取值范圍是. 17.（2016全國(guó)甲理20）已知橢圓:的焦點(diǎn)在軸上，是的左頂點(diǎn)，斜率為的直線交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)在上，. （1）當(dāng)，時(shí)，求的面積；（2）當(dāng)時(shí)，求的取值范圍. 17.解析（1）解法一：當(dāng)時(shí)，由于，根據(jù)對(duì)稱性可知，所以 ， 得，所以. 又，所以，所以. 解法二：設(shè)點(diǎn)，且交軸于點(diǎn). 因?yàn)?，且? 所以， .由，得. 又，所以，解之得或. 所以 ，所以. （2）解法一：設(shè)直線

24、，，. 則，，所以. 同理. 因?yàn)?，所? 所以. 解法二：設(shè)直線AM的方程為，聯(lián)立并整理得，， 解得或，所以， 所以. 因?yàn)?，所以，整理得，? 因?yàn)闄E圓E的焦點(diǎn)在x軸，所以，即，整理得，解得． 18.（2016山東理21）平面直角坐標(biāo)系中，橢圓：?的離心率是，拋物線：的焦點(diǎn)是的一個(gè)頂點(diǎn). （1）求橢圓的方程； （2）設(shè)是上的動(dòng)點(diǎn)，且位于第一象限，在點(diǎn)處的切線與交與不同的兩點(diǎn)，，線段的中點(diǎn)為，直線與過且垂直于軸的直線交于點(diǎn). （i）求證：點(diǎn)在定直線上; （ii）直線與軸交于點(diǎn)，記的面積為，的面積為，求的最大值及取得最大值時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo). 18.解析（1）由題意知，可得

25、：. 因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)為，所以，所以橢圓的方程為. （2）（i）設(shè)，由可得，所以直線的斜率為， 因此直線的方程為，即. 設(shè)，聯(lián)立方程 得， 由，得，且，因此， 將其代入得，因?yàn)?，所以直線方程為. 聯(lián)立方程，得點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，即點(diǎn)在定直線上. （ii）由（i）知直線方程為，令得，所以， 又， 所以，， 所以， 令，則， 當(dāng)，即時(shí)，取得最大值，此時(shí)，滿足， 所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，因此的最大值為，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為. 19.（20 1 7天津理19）設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，離心率為.已知是拋物線的焦點(diǎn)，到拋物線的準(zhǔn)線的距離為. （1）求橢圓的方程和拋物線的方程； （2）

26、設(shè)上兩點(diǎn)，關(guān)于軸對(duì)稱，直線與橢圓相交于點(diǎn)（異于點(diǎn)），直線與軸相交于點(diǎn).若的面積為，求直線的方程. 19.解析 (1)依題意設(shè)點(diǎn)，由題意知，且. 由對(duì)稱性知拋物線的準(zhǔn)線方程為，則，解得，，， 于是.從而橢圓的方程為，拋物線的方程為. (2)由于準(zhǔn)線的方程為，依題意設(shè)()，則.因?yàn)椋? 則，得直線的方程為 ① 將①式代入中化簡(jiǎn)得.設(shè)點(diǎn)，由韋達(dá)定理得，則，即，則，于是得直線方程為. 令，解得，即.則， 于是，化簡(jiǎn)得，即得.代入①式化簡(jiǎn)得直線方程為，或. 20.（2017山東理21）在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的離心率為，焦距為. （1）求橢圓的方程；

27、 （2）如圖所示，動(dòng)直線：交橢圓于兩點(diǎn)，是橢圓上一點(diǎn)，直線的斜率為，且，是線段延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且，的半徑為，，是的兩條切線，切點(diǎn)分別為，.求的最大值，并求取得最大值時(shí)，直線的斜率. 20.解析 （1）由題意知 ，，所以 ，，因此橢圓的方程為. （2）設(shè)點(diǎn)，聯(lián)立方程消去整理得， 由題意知，且，， 所以， 由題意可知圓的半徑. 由題設(shè)知，所以，因此直線的方程為. 聯(lián)立方程，解得，因此 . 由題意可知 ，而. 令，則，因此 ， 當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)，所以 ， 因此，所以的最大值為. 綜上所述，的最大值為，取得最大值時(shí)直線的斜率為. 題型126 中點(diǎn)弦問題

28、 1.（2014 湖南理 21） 如圖所示，為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，離心率為；雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，離心率為,已知，且. （1）求的方程； （2）過點(diǎn)作的不垂直于軸的弦，為的中點(diǎn)，當(dāng)直線與交于兩點(diǎn)時(shí)，求四邊形面積的最小值. 2.（2014 大綱理 21）（本小題滿分12分） 已知拋物線：的焦點(diǎn)為，直線與軸的交點(diǎn)為，與的交點(diǎn)為，且. （1）求的方程； （2）過的直線與相交于兩點(diǎn)，若的垂直平分線與相交于兩點(diǎn)，且四點(diǎn)在同一圓上，求的方程. 3.（2015全國(guó)II理20）已知橢圓，直線不過原點(diǎn)且不平行 于坐標(biāo)軸，與有兩

29、個(gè)交點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為. （1）證明：直線的斜率與的斜率的乘積為定值； （2） 若過點(diǎn),延長(zhǎng)線段與交于點(diǎn)，四邊形能否平行四邊行？若 能，求此時(shí)的斜率，若不能，說明理由. 3. 分析（1）求解斜率的有關(guān)問題時(shí)，要注意斜率是否存在，然后用斜率的求解方法及直線與圓錐曲線的關(guān)系來進(jìn)行求解. （2）存在性探究問題的解答不妨設(shè)存在，然后進(jìn)行計(jì)算求解.注意分類討論思想的應(yīng)用和計(jì)算的正確性. 解析 （1） 根據(jù)題意，因?yàn)橹本€不平行于坐標(biāo)軸，則斜率必然存在， 故設(shè)直線為，則，，． 將代入得，， 故，． 于是直線的斜率，即． 所以直線的斜率與的斜率的乘積為定值． （2）不妨設(shè)四邊形能為平行

30、四邊形． 因?yàn)橹本€過點(diǎn)，所以不過原點(diǎn)且與有兩個(gè)交點(diǎn)的充要條件是，且． 由(1)得的方程為．設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．由 得，即． 將點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線的方程得，因此． 四邊形為平行四邊形，當(dāng)且僅當(dāng)線段與線段互相平分， 即．于是． 解得，． 因?yàn)?，，? 所以當(dāng)?shù)男甭蕿榛驎r(shí)，四邊形為平行四邊形． 命題意圖 解析幾何的考查的方向主要體現(xiàn)在對(duì)直線和圓錐曲線方程的計(jì)算上，，特別是對(duì)存在性問題的探究和計(jì)算能力的考查，在方法上相對(duì)固定，計(jì)算難度比較大. 4.（2015陜西理20）已知橢圓（）的半焦距為，原點(diǎn)到經(jīng)過兩點(diǎn)，的直線的距離為． （1）求橢圓的離心率； （2）如圖，是圓： 的一條直徑

31、，若橢圓經(jīng)過兩點(diǎn)，求橢圓 的方程． 4．解析 （1）解法一: 由面積法可知， 所以. 解法二: 直線經(jīng)過 兩點(diǎn)， 由截距式得直線方程為， 由點(diǎn)到直線的距離， 解法三: 過點(diǎn)的直線方程為， 則原點(diǎn)到直線的距離， 由，得，解得離心率. (2)由題意知，是弦的中點(diǎn)，且. 設(shè)則，① ，② ①-②得，. 因此方程為. 所以，. 所以 5.（2015浙江理19）已知橢圓上兩個(gè)不同的點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱． （1）求實(shí)數(shù)的取值范圍； （2）求面積的最大值（為坐標(biāo)原點(diǎn)）． 5．解析（1）設(shè)：，設(shè) 的中點(diǎn)． 由． 所以，所

32、以 代入直線方程得，. 代入解得, 或. 評(píng)注 本題還可利用點(diǎn)差法來求解. （2）令，則 ， 又到直線的距離. 所以， 當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào). 所以△的面積的最大值為. 6.（2016江蘇22）如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線，拋物線． （1）若直線過拋物線的焦點(diǎn)，求拋物線的方程； （2）已知拋物線上存在關(guān)于直線對(duì)稱的相異兩點(diǎn)和． ①求證：線段上的中點(diǎn)坐標(biāo)為；②求的取值范圍． 6.解析 （1）因?yàn)?，所以與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為， 即拋物線的焦點(diǎn)為，所以，故． （2）解法一：①設(shè)點(diǎn)，， 則由，得，故， 又因?yàn)殛P(guān)于直線對(duì)稱，所以，即， 所

33、以，又因?yàn)橹悬c(diǎn)一定在直線上， 所以，故線段上的中點(diǎn)坐標(biāo)為； ②因?yàn)橹悬c(diǎn)坐標(biāo)為， 所以，即， 所以，即關(guān)于的二次方程有兩個(gè)不等根， 因此，解得． 解法二：設(shè)點(diǎn)，，，線段的中點(diǎn)， 因?yàn)辄c(diǎn)和關(guān)于直線對(duì)稱，所以直線垂直平分線段， 于是直線的斜率為，則可設(shè)其方程為． ①由消去得，（*） 因?yàn)?和是拋物線上的相異兩點(diǎn)，所以， 從而，化簡(jiǎn)得． 方程（*）的兩根為，從而． 因?yàn)樵谥本€上，所以． 因此，線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為． ②因?yàn)樵谥本€上， 所以，即． 由①知，于是，所以 因此的取值范圍為． 題型127 平面向量在解析幾何中的應(yīng)用 1．(2013湖南理21） 過拋物線的

34、焦點(diǎn)作斜率分別為的兩條不同的直線，且，相交于點(diǎn)，相交于點(diǎn).以為直徑的圓，圓（為圓心）的公共弦所在的直線記為. （1）若，證明；； （2）若點(diǎn)到直線的距離的最小值為，求拋物線的方程. 2.(2013安徽理18） 設(shè)橢圓的焦點(diǎn)在軸上. （1）若橢圓的焦距為，求橢圓的方程； （2）設(shè)分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，為橢圓上第一象限內(nèi)的點(diǎn)，直線交軸于點(diǎn)，并且.證明：當(dāng)變化時(shí)，點(diǎn)在某定直線上. 3.(2013天津理18） 設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，離心率為，過點(diǎn)且與軸垂直的直線被橢圓截得的線段長(zhǎng)為． (1) 求橢圓的方程； (2) 設(shè)， 分別為橢圓的左右頂點(diǎn)，過點(diǎn)且斜率為的直線與橢圓交于，兩

35、點(diǎn)． 若，求的值． 4. (2013安徽理13）已知直線交拋物線于兩點(diǎn).若該拋物線上存在點(diǎn)，使得為直角，則的取值范圍為 . 5.（2014 重慶理 21）如圖，設(shè)橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在橢圓上，，，的面積為. （1） 求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； （2） 是否存在圓心在軸上的圓，使圓在軸的上方與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)，且圓在這兩個(gè)交點(diǎn)處的兩條切線相互垂直并分別過不同的焦點(diǎn)，求圓的半徑.. 6.（2014 天津理 18）（本小題滿分13分） 設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為.已知. （1）求橢圓的離心率； （2）設(shè)為橢圓上異于其頂點(diǎn)的一點(diǎn)，以線段為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)

36、，經(jīng)過原點(diǎn)的直線與該圓相切. 求直線的斜率. 7.（2014 陜西理 20）（本小題滿分13分） 如圖所示，曲線由上半橢圓和部分拋物線連接而成，的公共點(diǎn)為，其中的離心率為. （1） 求的值； （2） 過點(diǎn)的直線與分別交于（均異于點(diǎn)），若，求直線的方程. 8.（2015全國(guó)I理5）已知是雙曲線上的一點(diǎn)，，是的 兩個(gè)焦點(diǎn)，若，則的取值范圍是（ ）. A． B． C． D． 8.解析 由題可得，，且，即， 所以， 解得．故選A． 9.（2015湖南理20）已知拋物線的焦點(diǎn)F也是橢圓 的一個(gè)焦點(diǎn)，與的公共弦的長(zhǎng)為. （1）求的方程； （2）過點(diǎn)的直線與相交

37、于，兩點(diǎn)，與相交于，兩點(diǎn)，且與 同向. （ⅰ）若，求直線的斜率. （ⅱ）設(shè)在點(diǎn)處的切線與軸的交點(diǎn)為，證明：直線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí)，總是鈍角三角形. 9. 解析 (1) 由知其焦點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，1），因?yàn)橐彩菣E圓的一個(gè)焦點(diǎn)，所以 ① 又與的公共弦長(zhǎng)為，與都關(guān)于軸對(duì)稱， 且的方程為，由此易知與的公共點(diǎn)坐標(biāo)為， 所以 ② 聯(lián)立① ②得，故的方程為. (2) 如圖所示，設(shè)，，，. ()因與同向，且 ， 所

38、以 ，從而 ，即， 于是. ③ 設(shè)直線的斜率為，則的方程為. 由 得，而是這個(gè)方程的兩根， 所以 ④ 由 得， 而是這個(gè)方程的兩根， 所以 ⑤ 將④ ⑤代入③得 ，即， 所以 ，解得 ，即直線的斜率為. ()由 得 ，所以在點(diǎn)處的切線方程為， 即. 令得，即，所以， 而，于是， 因此是銳角，從而是鈍角. 故直線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí)，總是鈍角三角形. 10. (2015山東理20)平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的離心

39、 率為，左、右焦點(diǎn)分別是. 以為圓心以為半徑的圓與以為圓心以為半徑 的圓相交，且交點(diǎn)在橢圓上. （1）求橢圓的方程； （2） 設(shè)橢圓，為橢圓上任意一點(diǎn). 過點(diǎn)的直線交橢 圓于兩點(diǎn)，射線交橢圓于點(diǎn). （i）求的值； （ii）求△面積的最大值. 10.解析 （1）由題意知，則．又，，可得， 所以橢圓的方程為． （2）由（1）知橢圓的方程為． （?。┰O(shè)，，由題意知．因?yàn)椋? 又，即，所以，即． （ⅱ）設(shè)，．將代入橢圓的方程， 可得，由， 可得 ① 則有，，所以． 因?yàn)橹本€與軸的交

40、點(diǎn)坐標(biāo)為，所以的面積 ． 設(shè)．將代入橢圓的方程， 可得， 由，可得 ② 由①②可知，因此，故， 當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取得最大值． 由（?。┲?，面積為，所以面積的最大值為． 11.（2016四川理8）設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，是以為焦點(diǎn)的拋物線上任意一點(diǎn)，是線段上的點(diǎn)，且，則直線的斜率的最大值為（ ）. A. B. C. D. 11.解析 設(shè)，，（不妨設(shè)）， 則，. 因?yàn)?，所以，所以? 所以（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)取“” ），所以.故選C.

41、 12.（2016上海理21）雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，直線過且與雙曲線交于兩點(diǎn)． （1）若的傾斜角為，是等邊三角形，求雙曲線的漸近線方程； （2）設(shè)，若的斜率存在，且，求的斜率． 12.解析 （1）由已知，，不妨取，則， 由題意，又，， 所以，即，解得， 因此漸近線方程為． （2）若，則雙曲線為，所以，， 解法一：不妨設(shè)的中點(diǎn)為，由得，即． 設(shè)，，聯(lián)立直線與雙曲線方程， 消得， 所以，且， 故，因此， 即，所以，整理得， 即，所以直線的斜率為． 解法二：設(shè)，，則，， 所以，， 又 （*） 因?yàn)椋裕? 代入（*）式得， 直線的斜率存在，故，所以，

42、 設(shè)直線為，代入， 得， 所以，且， ，故，即，所以直線的斜率為． 13.（2016天津理19）設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，已知，其中為原點(diǎn)，為橢圓的離心率. （1）求橢圓的方程； （2）設(shè)過點(diǎn)的直線與橢圓交于點(diǎn)（不在軸上），垂直于的直線與交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，若，且，求直線斜率的取值范圍. 13.解析 （1）由，即，可得. 又，所以，因此，所以橢圓的方程為 （2）設(shè)直線的斜率為（），則直線的方程為. 設(shè)，由方程組，消去， 整理得. 解得或.由題意得，從而. 由（1）知，，設(shè)，有，. 由，得，所以，解得. 因此直線的方程為. 設(shè)，由方程組，消去，解得. 在

43、中，由，得，即， 化簡(jiǎn)得，即，解得或. 所以直線的斜率的取值范圍為. 14．（2107全國(guó)3卷理科20）已知拋物線，過點(diǎn)的直線交與，兩點(diǎn)，圓是以線段為直徑的圓． （1）求證：坐標(biāo)原點(diǎn)在圓上； （2）設(shè)圓過點(diǎn)，求直線與圓的方程． 14．解析 （1）顯然當(dāng)直線斜率為時(shí)，直線與拋物線交于一點(diǎn)，不符合題意． 設(shè)，，，聯(lián)立，得， 恒大于，，． ，所以，即點(diǎn)在圓上． （2）若圓過點(diǎn)，則，即，即，即，化簡(jiǎn)得，解得或. ①當(dāng)時(shí)，，設(shè)圓心為， 則，，半徑， 則圓. ②當(dāng)時(shí)，，設(shè)圓心為， ，，半徑，則圓. 題型128 定點(diǎn)問題——暫無 1. (2013安徽理18） 設(shè)

44、橢圓的焦點(diǎn)在軸上. （1）若橢圓的焦距為，求橢圓的方程； （2）設(shè)分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，為橢圓上第一象限內(nèi)的點(diǎn)，直線交軸于點(diǎn)，并且.證明：當(dāng)變化時(shí)，點(diǎn)在某定直線上. 2. (2013陜西理20） 已知?jiǎng)訄A過定點(diǎn)，且在軸上截得的弦的長(zhǎng)為。 （1）求動(dòng)圓圓心的軌跡的方程； （2）已知點(diǎn)，設(shè)不垂直于軸的直線與軌跡交于不同的兩點(diǎn)，若軸是的角平分線，證明直線過定點(diǎn). 3.（2014 遼寧理 20） （本小題滿分12分 ）圓的切線與軸正半軸，軸正半軸圍成一個(gè)三角形，當(dāng)該三角形面積最小時(shí)，切點(diǎn)為（如圖），雙曲線過點(diǎn)且離心率為. （1）求的方程； （2）橢圓過點(diǎn)且與有

45、相同的焦點(diǎn)，直線過的右焦點(diǎn)且與交于，兩點(diǎn)，若以線段為直徑的圓過點(diǎn)，求的方程. 4.（2017全國(guó)2卷理科20）設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在橢圓上，過作軸的垂線，垂足為，點(diǎn)滿足. （1）求點(diǎn)的軌跡方程； （2）設(shè)點(diǎn)在直線上，且.求證：過點(diǎn)且垂直于的直線過的左焦點(diǎn). 4．解析 （1）設(shè)點(diǎn)，易知，，又， 所以點(diǎn).又在橢圓上，所以，即． （2）由題知，設(shè)，，則，，，，，由，得.又由（1）知，所以，從而，即.又過點(diǎn)存在唯一直線的垂直于，所以過點(diǎn)且垂直于的直線過曲線的左焦點(diǎn). 5.（2107全國(guó)1卷理科20）已知橢圓，四點(diǎn)，，，中恰有三點(diǎn)在橢圓上. （1）求的方程； （2）設(shè)直線不經(jīng)過點(diǎn)且與

46、相交于，兩點(diǎn).若直線與直線的斜率的和為，求證：過定點(diǎn). 5. 解析 （1）根據(jù)橢圓對(duì)稱性，必過，，又橫坐標(biāo)為1，橢圓必不過，所以過 三點(diǎn).將代入橢圓方程得，解得， ，所以橢圓的方程為． （2）當(dāng)斜率不存在時(shí)，設(shè)， ，得，此時(shí)過橢圓右頂點(diǎn)，不存在兩個(gè)交點(diǎn)， 故不滿足． 當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)，，聯(lián)立， 消去整理得，，， 則 ，又，此時(shí)，存在使得成立． 所以直線的方程為. 當(dāng)時(shí)，，所以過定點(diǎn)． 題型129 定值問題 1.（2013山東理22）橢圓的左、右焦點(diǎn)分別是，，離心率為，過且垂直于軸的直線被橢圓截得的線段長(zhǎng)為. （1）求橢圓的方程； （2）點(diǎn)是橢圓上除長(zhǎng)軸端點(diǎn)外

47、的任一點(diǎn)，連接，，設(shè)的角平分線交的長(zhǎng)軸于點(diǎn)，求的取值范圍； （3）在（2）的條件下，過點(diǎn)作斜率為的直線，使得與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，設(shè)直線，人斜率分別為，，若，試證明為定值，并求出這個(gè)定值. 2.（2014 江西理 20）（本小題滿分13分） 如圖，已知雙曲線：的右焦點(diǎn)，點(diǎn)分別在的兩條漸近線上，軸，，（為坐標(biāo)原點(diǎn)）. （1）求雙曲線的方程； （2）過上一點(diǎn)的直線：與直線相交于點(diǎn)，與直線相交于點(diǎn).證明:點(diǎn)在上移動(dòng)時(shí)，恒為定值，并求此定值. 3.（2014 北京理 19）（本小題14分） 已知橢圓， （1） 求橢圓的離心率. （2） 設(shè)為原點(diǎn).若點(diǎn)在橢圓上，點(diǎn)在直

48、線上，且，試判斷直線與圓的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論. 4.（2015四川理20）如圖所示，橢圓：的離心率是，過點(diǎn) 的動(dòng)直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，當(dāng)直線平行于軸時(shí)，直線被橢圓截得的 線段長(zhǎng)為. （1）求橢圓的方程； （2）在平面直角坐標(biāo)系中，是否存在與點(diǎn)不同的定點(diǎn)，使得恒成立？ 若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由. 4.分析 （1）根據(jù)橢圓的對(duì)稱性，當(dāng)直線與軸平行時(shí)，，， 將這個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓的方程，得.再根據(jù)離心率得， 又，三者聯(lián)立，解方程組即可得，進(jìn)而得橢圓的方程為 ；（2）先利用與軸平行和垂直這兩種特殊情況找出點(diǎn)的坐標(biāo)為. 接下來聯(lián)立直

49、線與橢圓的方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系證明：對(duì)任意的直線，均有 .設(shè)，，由圖可看出，為了證明，只需證明，為此作點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)，這樣將問題轉(zhuǎn)化為證 三點(diǎn)共線. 解析 （1）由已知點(diǎn)在橢圓上. 所以，解得，.所以橢圓方程為. （2）當(dāng)直線與軸平行時(shí)，設(shè)直線與橢圓相交于兩點(diǎn). 如果存在定點(diǎn)滿足條件，則，即. 所以點(diǎn)在軸上，可設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為. 當(dāng)直線與軸垂直時(shí)，設(shè)直線與橢圓相交于兩點(diǎn). 則，，由， 有，解得或. 所以，若存在不同于點(diǎn)的定點(diǎn)滿足條件，則點(diǎn)的坐標(biāo)只可能為. 下面證明：對(duì)任意的直線，均有. 當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，由上可知，結(jié)論成立. 當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，可設(shè)直線的方

50、程為，的坐標(biāo)分別為，. 聯(lián)立，得. 其判別式，， 所以，. 因此. 易知，點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為. 又，， 所以，即三點(diǎn)共線. 所以. 故存在與點(diǎn)不同的定點(diǎn)，使得恒成立. 5.（2016北京理19）已知橢圓的離心率為，，，，的面積為1. （1）求橢圓的方程； （2）設(shè)為橢圓上一點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn).求證：為定值. 5.解析 可先作出本題的圖形： （1）由題設(shè)，可得 解得.所以橢圓的方程是. （2）解法一：設(shè)橢圓上一點(diǎn)，則. (i) 當(dāng)時(shí)，直線. 令，得.所以. 直線.令，得，所以. 所以 將代入上式得，故為定值. (

51、ii) 當(dāng)時(shí)，，，，所以. 綜上所述，為定值. 解法二：可設(shè)，再求得， 所以 . 評(píng)注 同第（2）問的解法，還可證得以下結(jié)論： 若點(diǎn)在橢圓上，橢圓的右頂點(diǎn)、上頂點(diǎn)分別是，直線與軸交于點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)，則. 題型130 最值問題——暫無 1.（2013廣東理20） 已知拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，其焦點(diǎn)到直線:的距離為 設(shè) 為直線上的點(diǎn)，過點(diǎn)作拋物線的兩條切線，其中為切點(diǎn)． (1) 求拋物線的方程； (2) 當(dāng)點(diǎn)為直線上的定點(diǎn)時(shí)，求直線的方程； (3) 當(dāng)點(diǎn)在直線上移動(dòng)時(shí)，求的最小值. 2.（2014 浙江理 21）(本題滿分15分) 如圖，設(shè)橢圓動(dòng)直線與橢圓只有一個(gè)公

52、共點(diǎn)，且點(diǎn)在第一象限. （1） 已知直線的斜率為，用表示點(diǎn)的坐標(biāo)； （2） 若過原點(diǎn)的直線與垂直，證明：點(diǎn)到直線的距離的最大值為. 3.（2014 福建理 9）設(shè)分別為和橢圓上的點(diǎn)，則兩點(diǎn)間的最大距離是（ ）. A. B. C. D. 4.（2014 山東理 21）（本小題滿分14分） 已知拋物線的焦點(diǎn)為，為上異于原點(diǎn)的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)的直線交于另一點(diǎn)，交軸的正半軸于點(diǎn)，且有|，當(dāng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為時(shí)，為正三角形. （1）求的方程； （2）若直線，且和有且只有一個(gè)公共點(diǎn)， （i）證明直線過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)； （ii）的面積是否

53、存在最小值？若存在，請(qǐng)求出最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由. 5.（2014 四川理 20）已知橢圓的焦距為，其短軸的兩個(gè)端點(diǎn)與長(zhǎng)軸的一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成正三角形. （1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； （2）設(shè)為橢圓的左焦點(diǎn)，為直線上任意一點(diǎn)，過作的垂線交橢圓于點(diǎn). （i）證明：平分線段（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)）； （ii）當(dāng)最小時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo). 6. （2107浙江21）如圖所示，已知拋物線.點(diǎn)，，拋物線上的點(diǎn)，過點(diǎn)作直線的垂線，垂足為. （1）求直線斜率的取值范圍； （2）求的最大值. 6.解析 （1）設(shè)直線的斜率為，已知，，則. 因?yàn)椋?，所以直線斜率的取值范圍是. （2）因?yàn)橹本€，且，所以直線的方程為，聯(lián)立直線與的方程，解得點(diǎn)的橫坐標(biāo)是. 因?yàn)?，，，所以? 令， 因?yàn)椋?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，因此當(dāng)時(shí)，取得最大值.