高中數(shù)學(xué)必修4教案：8_備課資料（2_4_2平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角）

備課資料 一、|a·b|≤|a||b|的應(yīng)用 若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則平面向量的數(shù)量積的性質(zhì)|a·b|≤|a||b|的坐標(biāo)表示為x1x2+y1y2≤≤(x12+y12)(x22+y22). 不等式(x1x2+y1y2)2≤(x12+y12)(x22+y22)有著非常廣泛的應(yīng)用,由此還可以推廣到一般(柯西不等式): (a1b1+a2b2+…+anbn)2≤(a1+a2+…+an)(b1+b2+…+bn). 例1 已知實數(shù)x,y滿足x+y-4=0,則x2+y2的最小值是______; (2)已知實數(shù)x,y滿足(x+2)2+y2=1,則2x-y的最大值是_______. 解析:(1)令m=(x,y),n=(1,1). ∵|m·n|≤|m||n|,∴|x+y|≤, 即2(x2+y2)≥(x+y)2=16.∴x2+y2≥8,故x2+y2的最小值是8. (2)令m=(x+2,y),n=(2,-1),2x-y=t. 由|m·n|≤|m||n|,得|2(x+2)-y|≤ 解得.故所求的最大值是-4. 答案:(1)8 (2)-4 例2 已知a,b∈R,θ∈(0,),試比較與(a+b)2的大小. 解:構(gòu)造向量m=(),n=(cosθ,sinθ),由|m·n|≤|m||n|得 ()2≤()(cos2θ+sin2θ), ∴(a+b)2≤. 同類變式:已知a,b∈R,m,n∈R,且mn≠0,m2n2>a2m2+b2n2,令M=,比較M、N的大小. 解:構(gòu)造向量p=(),q=(n,m),由|p·q|≤|p||q|得 ()2≤()(m2+n2)=(m2+n2)<m2+n2, ∴M>N. 例3 設(shè)a,b∈R,A={(x,y)|x=n,y=na+b,n∈Z},B={(x,y)|x=m,y=3m2+15,m∈Z}, C={(x,y)|x2+y2≤144}是直角坐標(biāo)平面xOy內(nèi)的點集,討論是否存在a和b,使得A∩B=與(a,b)∈C能同時成立. 解:此問題等價于探求a、b是否存在的問題,它滿足 設(shè)存在a和b滿足①②兩式,構(gòu)造向量m=(a,b),n=(n,1). 由|m·n|2≤|m|2|n|2得(na+b)2≤(n2+1)(a2+b2), ∴(3n2+15)2≤144(n2+1)n4-6n2+9≤0. 解得n=±,這與n∈Z矛盾,故不存在a和b滿足條件. 二、備用習(xí)題 1.若a=(2,-3),b=(x,2x),且a·b=,則x等于（ ） A.3 B. C. D.-3 2.設(shè)a=(1,2),b=(1,m),若a與b的夾角為鈍角,則m的取值范圍是（ ） A.m> B.m< C.m> D.m< 3.若a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),則（ ） A.a⊥b B.a∥b C.(a+b)⊥(a-b) D.(a+b)∥(a-b) 4.與a=(u,v)垂直的單位向量是（ ） A.() B.() C.() D.()或() 5.已知向量a=(cos23°,cos67°),b=(cos68°,cos22°),u=a+tb(t∈R),求u的模的最小值. 6.已知a,b都是非零向量,且a+3b與7a-5b垂直,a-4b與7a-2b垂直,求a與b的夾角. 7.已知△ABC的三個頂點為A(1,1),B(3,1),C(4,5),求△ABC的面積. 參考答案: 1.C 2.D 3.C 4.D 5.|a|==1,同理有|b|=1. 又a·b=cos23°cos68°+cos67°cos22° =cos23°cos68°+sin23°sin68°=cos45°= ∴|u|2=(a+tb)2=a2+2ta·b+t2b2=t2+t+1=(t+)2+≥. 當(dāng)t=時,|u|min=. 6.由已知(a+3b)⊥(7a-5b)(a+3b）·(7a-5b)=07a2+16a·b-15b2=0. ① 又(a-4b)⊥(7a-2b)(a-4b)·(7a-2b)=07a2-30a·b+8b2=0. ② ①-②得46a·b=23b2,即a·b= ③ 將③代入①,可得7|a|2+8|b|2-15|b|2=0,即|a|2=|b|2,有|a|=|b|, ∴若記a與b的夾角為θ,則cosθ=. 又θ∈[0°,180°],∴θ=60°,即a與b的夾角為60°. 7.分析:S△ABC=||||sin∠BAC,而||,||易求,要求sin∠BAC可先求出cos∠BAC. 解:∵=(2,1),=(3,4),||=2,||=5, ∴cos∠BAC=.∴sin∠BAC=. ∴S△ABC=||||sin∠BAC=×2×5×=4. 三、新教材新教法的二十四個“化”字訣 新課導(dǎo)入新穎化,揭示概念美麗化;縱橫相聯(lián)過程化,探索討論熱烈化; 探究例題多變化,引導(dǎo)思路發(fā)散化;學(xué)生活動主體化,一石激浪點撥化; 大膽猜想多樣化,論證應(yīng)用規(guī)律化;變式訓(xùn)練探究化,課堂教學(xué)藝術(shù)化; 學(xué)法指導(dǎo)個性化,對待學(xué)生情感化;作業(yè)拋磚引玉化,選題質(zhì)量層次化; 學(xué)生學(xué)習(xí)研究化,知識方法思想化;抓住閃光激勵化,教學(xué)相長平等化; 教學(xué)意識超前化,與時俱進(jìn)媒體化;靈活創(chuàng)新智慧化,學(xué)生素質(zhì)國際化. (設(shè)計者：房增鳳)