《空間向量的數(shù)乘運算》教案.doc

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第二課時3.1.2空間向量的數(shù)乘運算（二） 教學要求：了解共線或平行向量的概念，掌握表示方法；理解共線向量定理及其推論；掌握空間直線的向量參數(shù)方程；會運用上述知識解決立體幾何中有關的簡單問題． 教學重點：空間直線、平面的向量參數(shù)方程及線段中點的向量公式． 教學過程： 一、復習引入 1. 回顧平面向量向量知識：平行向量或共線向量？怎樣判定向量與非零向量是否共線？ 方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量．由于任何一組平行向量都可以平移到同一條直線上，所以平行向量也叫做共線向量． 向量與非零向量共線的充要條件是有且只有一個實數(shù)λ，使＝λ.稱平面向量共線定理， 二、新課講授 1.定義：與平面向量一樣，如果表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量．平行于記作//． 2．關于空間共線向量的結論有共線向量定理及其推論： 共線向量定理：空間任意兩個向量、（≠0），//的充要條件是存在實數(shù)λ，使＝λ. 理解：⑴上述定理包含兩個方面： ①性質定理：若∥（≠0），則有＝，其中是唯一確定的實數(shù)。 ②判斷定理：若存在唯一實數(shù)，使＝（≠0），則有∥（若用此結論判斷、所在直線平行，還需（或）上有一點不在（或）上）. ⑵對于確定的和，＝表示空間與平行或共線，長度為 ||，當>0時與同向，當<0時與反向的所有向量. 3. 推論：如果l為經(jīng)過已知點A且平行于已知非零向量的直線，那么對于任意一點O，點P在直線l上的充要條件是存在實數(shù)t滿足等式 ． 其中向量叫做直線l的方向向量. 推論證明如下： ∵　l//a ， ∴　對于l上任意一點P，存在唯一的實數(shù)t，使得．(*) 又∵　對于空間任意一點O，有， 　∴　 ， ． ① 若在l上取，則有．(**) 又∵ ∴ ．② 　當時，．③ 理解：⑴ 表達式①和②都叫做空間直線的向量參數(shù)表示式，③式是線段的中點公式．事實上，表達式(*)和(**)既是表達式①和②的基礎，也是直線參數(shù)方程的表達形式． ⑵ 表達式①和②三角形法則得出的，可以據(jù)此記憶這兩個公式． O A B C D ⑶ 推論一般用于解決空間中的三點共線問題的表示或判定． 空間向量共線（平行）的定義、共線向量定理與平面向量完全相同，是平面向量相關知識的推廣． 4. 出示例1：用向量方法證明順次連接空間四邊形四邊中點的四邊形是平行四邊形. （ 分析：如何用向量方法來證明？） 5. 出示例2：如圖O是空間任意一點，C、D是線段AB的三等分點，分別用、表示、. 三、鞏固練習： 第三課時3.1.2空間向量的數(shù)乘運算（三） 教學要求：了解向量與平面平行、共面向量的意義，掌握向量與平面平行的表示方法；理解共面向量定理及其推論；掌握點在已知平面內的充要條件；會用上述知識解決立幾中有關的簡單問題． 教學重點：點在已知平面內的充要條件． 教學難點：對點在已知平面內的充要條件的理解與運用． 教學過程： 一、復習引入 1. 空間向量的有關知識——共線或平行向量的概念、共線向量定理及其推論以及空間直線的向量表示式、中點公式． 2. 必修④《平面向量》，平面向量的一個重要定理——平面向量基本定理：如果e1、e2是同一平面內兩個不共線的向量，那么對這一平面內的任意一個向量a，有且只有一對實數(shù)λ1、λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.其中不共線向量e1、e2叫做表示這一平面內所有向量的一組基底． 二、新課講授 1. 定義：如果表示空間向量a的有向線段所在直線與已知平面α平行或在平面α內，則稱向量a平行于平面α，記作a//α． 向量與平面平行，向量所在的直線可以在平面內，而直線與平面平行時兩者是沒有公共點的． 2. 定義：平行于同一平面的向量叫做共面向量．共面向量不一定是在同一平面內的，但可以平移到同一平面內． 3. 討論：空間中任意三個向量一定是共面向量嗎？請舉例說明． 結論：空間中的任意三個向量不一定是共面向量．例如：對于空間四邊形ABCD，、、這三個向量就不是共面向量． 4. 討論：空間三個向量具備怎樣的條件時才是共面向量呢？ 5. 得出共面向量定理：如果兩個向量a、b不共線，則向量p與向量a、b共面的充要條件是存在實數(shù)對x，y，使得 p= xa+yb ． 證明：必要性：由已知，兩個向量a、b不共線． ∵ 向量p與向量a、b共面 ∴ 由平面向量基本定理得：存在一對有序實數(shù)對x，y，使得 p= xa+yb． 充分性：如圖， ∵　xa，yb分別與a、b共線， ∴　xa，yb都在a、b確定的平面內． 又∵　xa+yb是以｜xa｜、｜yb｜為鄰邊的平行四邊形的一條對角線所表示的向量，并且此平行四邊形在a、b確定的平面內， ∴　 p= xa+yb在a、b確定的平面內，即向量p與向量a、b共面． 說明：當p、a、b都是非零向量時，共面向量定理實際上也是p、a、b所在的三條直線共面的充要條件，但用于判定時，還需要證明其中一條直線上有一點在另兩條直線所確定的平面內． 6. 共面向量定理的推論是：空間一點P在平面MAB內的充要條件是存在有序實數(shù)對x，y，使得，① 或對于空間任意一定點O，有 ．② 分析：⑴推論中的x、y是唯一的一對有序實數(shù)； ⑵由得：， ∴ ③ 公式①②③都是P、M、A、B四點共面的充要條件． 7. 例題：課本例1 ，解略． → 小結：向量方法證明四點共面 三、鞏固練習 1. 練習：課本 練習3題. 2. 作業(yè)：課本 練習2題.