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1、壓軸題提分練（四）
2 2
X y
1. （2018貴陽模擬）已知橢圓C: a2+ 1（a>b>0）的右焦點為F（c,0）,點P為
橢圓C上的動點，若|PF|的最大值和最小值分別為2+ ?. 3和2- , 3.
（1） 求橢圓C的方程；
（2） 設(shè)不過原點的直線I與橢圓C交于P, Q兩點，若直線OP, PQ, OQ的斜率 依次成等比數(shù)列，求△ OPQ面積的最大值.
a+ c= 2 + 頁 2
解析：（1）由已知得： ？ ，
a— c= 2—V3 _c=V3
2
??b = 4— 3= 1，
x2 2
?橢圓方程為4+y = 1.
⑵設(shè)I: y= kx+ b（易知I存
2、在斜率，且bM 0），
設(shè) P（X1，y1），Q（X2，y2）
由條件知:
k2
y1y2
X1X2—
kx1 + b -kx2+ b
X1X2
2 2
k X1X2 + kb X1 + X2 + b 2
TT = k +
X1X2
kbx1 + X2 + b2
X1X2
kb X1 + X2 + b2
? =0,
X1X2
y= kx+ b
2 2 2
x2 2 ? (4k + 1)x + 8kbx+ 4b — 4= 0,
4 + y =1
2 2 9
???△= (8kb)2 — 4(4k2 + 1)(4b2— 4) > 0,
2
3、2
??4k + 1 — b >0,
8kb —
-X1 + X2 = — 2，②
1 + 4k2
聯(lián)立①②得：-
-壯-8kb2,「4k2= 1,
k 1 + 4k2
一?4 4k2 + 1 — b2
+ k —
2
4k2 + 1
-10 — 5b2.
點O到直線I的距離d —
|b| = |b|
'1+ k 1 + 4
1 1 2
??Szopq = 2|PQ| d= 2介「10— 5b x
= |b「：2- b2
—'2 — b2 b2— ' — b2— 1 2+ 1.
2 2 2
??4k — 1 且 4k + 1 — b >0,
4、
2
?g b2v
b2— 1 ? b= ± 1
所以當彳2 1 ?直線I為：y—±^±時,
l4k — 1 k— ±2
(Saopq) max — 1.
2. (2018保定模擬)已知函數(shù)f(x) — ax— ln x. (a是常數(shù)，且a>0)
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；
⑵當y—f(x)在x— 1處取得極值時，若關(guān)于x的方程f(x)+ 2x—x2 + b在ij, 2上 恰有兩個不相等的實數(shù)根，求實數(shù) b的取值范圍.
1 ax— 1
解析：(1)由已知函數(shù)f(x)的定義域為x>0, f' (x)— a—-— ——,
x x
1 1
由 f' (x)>0得 x>
5、a,由 f' (x)v0,得 0vxva.
a a
所以函數(shù)f(x)的單調(diào)減區(qū)間為g, a，單調(diào)增區(qū)間為i中，+*.
(2)由題意，得f' (1) — 0.
?'a= 1,
??f(x) = x— In x,
2 2
??f(x) + 2x=x + b, 即卩 x— In x+ 2x= x + b.
2
?x — 3x+ In x+ b = 0,
2
2 1 2x — 3x+1
設(shè) g(x) = x — 3x + In x + b(x > 0),貝U g' (x) = 2x — 3 + 一 =
x x
2x— 1 x— 1
x .
當x€ g, 2時，g' (x), g(x)的變化情況如下表:
x
1
2
(2, 1)
1
(1,2)
2
g' (x)
0
一
0
+
g(x)
5 b— 5
—I n2
b — 2
b— 2+
In 2
???方程f(x) + 2x= x2 + b在p 2, 2上恰有兩個不相等的實數(shù)根,
g 1》0 b— 4— ln 2》0
g 1 v 0, ? b— 2< 0
g 2 > 0 b— 2+ In 2 > 0
5 一5 、
?4+ In 2< bv2 即 b€^+ In 2, 2丿
第一部分題型專項練壓軸題提分練
