高二數(shù)學(xué) 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式 ppt

1.2.3同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式 在單位圓中，角在單位圓中，角的終邊的終邊OP與與OM、MP組組成直角三角形，成直角三角形，|MP|的長度是的長度是正弦正弦的絕對值，的絕對值，|OM|的長度是的長度是余弦余弦的絕對值，的絕對值，|OP|=1，根據(jù)勾股定理得根據(jù)勾股定理得sin2+cos2=1.又根據(jù)三角函數(shù)的又根據(jù)三角函數(shù)的定定義義有有sin= ,cos=所以所以sin2+cos2=1.yrxr又知又知tan= ,所以所以yxtancossin注意事項：注意事項：1. 公式中的角一定是公式中的角一定是同角同角，否則公式可能，否則公式可能不成立不成立. 如如sin230+cos2601. 2.同角同角不要拘泥于形式不要拘泥于形式， ，6等等都可以等等都可以.2如如sin24+cos24=1. 3. 在運用商數(shù)關(guān)系時，要注意等式成立的在運用商數(shù)關(guān)系時，要注意等式成立的限制條件限制條件. 即即cos0. k+ + ，kZ. 2(1) 當(dāng)我們知道一個角的某一個三角函數(shù)值當(dāng)我們知道一個角的某一個三角函數(shù)值時，可以利用這兩個三角函數(shù)關(guān)系式和三角時，可以利用這兩個三角函數(shù)關(guān)系式和三角函數(shù)定義，函數(shù)定義，求求出這個角的出這個角的其余三角函數(shù)值其余三角函數(shù)值。 同角三角函數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用：同角三角函數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用：(2) 此外，還可用它們此外，還可用它們化簡三角函數(shù)式化簡三角函數(shù)式和和證證明三角恒等式明三角恒等式。 4.常用變形：常用變形：22sin1 cos 22cos1 sin sincos tansincostan2221 costancos222sintan1 sin在公式應(yīng)用中,不僅要注意公式的正用,還要注意公式的逆用、活用活用和變用.例例1 已知已知 ，并且，并且是第二象限角，是第二象限角，求求的其他三角函數(shù)值的其他三角函數(shù)值54sin分析：由平方關(guān)系可求分析：由平方關(guān)系可求cos的值，的值，由已知條件和由已知條件和cos的值可以求的值可以求tan的值，的值，進(jìn)而用倒數(shù)關(guān)系求得進(jìn)而用倒數(shù)關(guān)系求得cot的值的值解：解：sin2+cos2=1，是第二象限角是第二象限角.2243cos1sin1(),55 345354cossintan.43tan1cot例例2已知已知 ，求，求sin、tan的值的值. 178cos分析：分析：cos0是第二或第三象限是第二或第三象限角因此要對角因此要對所在象限分類討論所在象限分類討論. 解：當(dāng)解：當(dāng)是第二象限角時，是第二象限角時，22815sin1 cos1 (),1717 15sin1517tan.8cos817 當(dāng)當(dāng)是第三象限角時，是第三象限角時，22815sin1 cos1 (),1717 15sin1517tan.8cos817 例例3. 已知已知sincos= ,180270.求求tan的值。的值。55解：以題意和基本三角恒等式，得到方程組解：以題意和基本三角恒等式，得到方程組225sincos5sincos1 消去消去sin，得得5cos2 cos2=0， 5由方程解得由方程解得cos= 2 55或或cos= 55因為因為180270，所以，所以cos0，即，即 cos= 55代入原方程組得代入原方程組得sin= 2 55于是于是tan= =2. sincos例例4 化簡：化簡： 1tancossin解：原式解：原式= sincossin1cossincossincoscos=cos. 例例5化簡：化簡： 440sin12解：原式解：原式= 221 sin (36080 )1 sin 80 2cos 80cos80 例例6. 求證：求證：(1)sin4cos4=2sin21；(2) tan2sin2=tan2sin2；(3)cossin1sin1cos證明：（證明：（1）原式左邊原式左邊=(sin2+cos2)(sin2cos2) =sin2cos2 =sin2(1sin2) =2sin21右邊右邊. 所以原等式成立所以原等式成立.(2) 2222sintansintan證明：證明：原式右邊原式右邊=tan2(1cos2) =tan2tan2cos2 2222sintancoscos=tan2sin2=左邊左邊. 因此因此 2222sintansintan(3)cos1sin1sincos證明：左邊證明：左邊coscos(1 sin )cosxxxx=右邊右邊 原等式成立原等式成立.1 sincosxx21 sin(1 sin ) cosxxx證明等式的常用方法：證明等式的常用方法：1.從等式的一邊證得它等于另一邊；從等式的一邊證得它等于另一邊；2.先證明另外一個等式成立，從而推出需要先證明另外一個等式成立，從而推出需要證明的等式成立；證明的等式成立；3.利用作差利用作差(作商作商) )的方的方法法。