2018年高考數(shù)學(xué) 命題角度6.1 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題大題狂練 理

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2018年高考數(shù)學(xué) 命題角度6.1 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題大題狂練 理_第1頁(yè)
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1、 命題角度1:利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題 1.已知函數(shù)(). (1)若函數(shù)的最小值為,求的值; (2)設(shè)函數(shù),試求的單調(diào)區(qū)間; 【答案】(1)(2)詳見(jiàn)解析 【解析】 試題分析:(1)先求函數(shù)導(dǎo)數(shù):,再討論導(dǎo)函數(shù)在定義區(qū)間上是否有零點(diǎn):①當(dāng)時(shí),函數(shù)在上單調(diào)遞增,此時(shí)無(wú)最小值,舍去;②當(dāng)時(shí),函數(shù)在單調(diào)遞減;在 上單調(diào)遞增.即再時(shí),函數(shù)取最小值,因此,解得.(2)先求函數(shù)導(dǎo)數(shù):,再討論導(dǎo)函數(shù)在定義區(qū)間上是否有零點(diǎn):①當(dāng)時(shí),,函數(shù)在上單調(diào)遞增;②當(dāng)時(shí),有兩個(gè)根 或,再比較大小,分類討論. (2)由題意,得, 則, ①當(dāng)時(shí),,函數(shù)在上單調(diào)遞增; ②當(dāng)時(shí),由,得或, (A

2、)若,則,此時(shí),函數(shù)在上單調(diào)遞減; (B)若,則, 由,解得,由,解得, 所以函數(shù)在上單調(diào)遞增,在與上單調(diào)遞減; (C)若,則, 同理可得,函數(shù)在上單調(diào)遞增,在與上單調(diào)遞減. 綜上所述,的單調(diào)區(qū)間如下: ①當(dāng)時(shí),函數(shù)在上單調(diào)遞增; ②當(dāng)時(shí),函數(shù)在上單調(diào)遞減; ③當(dāng)時(shí),函數(shù)的增區(qū)間為,減區(qū)間為與; ④當(dāng)時(shí),函數(shù)的增區(qū)間為,減區(qū)間為與. 2. 已知是常數(shù). (Ⅰ)求曲線在點(diǎn)處的切線方程; (Ⅱ)設(shè),討論函數(shù)的單調(diào)性. 【答案】(Ⅰ) ; (Ⅱ)在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減. 【解析】試題分析: (Ⅰ) 把x=1代入解析式求出切點(diǎn)坐標(biāo),對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)得到斜率,根據(jù)點(diǎn)斜式寫(xiě)出切

3、線方程;(Ⅱ)把代入得到,求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),再進(jìn)行配方判斷導(dǎo)函數(shù)的正負(fù),按照極值點(diǎn)是否在定義域內(nèi)分四類進(jìn)行討論,得出函數(shù)的單調(diào)性. 試題解析:(Ⅰ) 因?yàn)?所以,故曲線在點(diǎn)處的切線方程為 所以, 在和單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減; ④當(dāng)時(shí),由得 (舍去) 所以, 在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減. 點(diǎn)睛:本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義和函數(shù)單調(diào)性的判斷問(wèn)題的綜合應(yīng)用,屬于中檔題目. 函數(shù)y=f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義,就是曲線y=f(x)在點(diǎn)P(x0,y0)處的切線的斜率 ,過(guò)點(diǎn)P的切線方程為: ,求函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)P(x0,y0)處的切線方程與求函數(shù)y=f(x)過(guò)點(diǎn)P(x0,y0)的切線方

4、程意義不同,前者切線有且只有一條,且方程為y-y0=f′(x0)(x-x0),后者可能不只一條. 3.已知函數(shù)在處有極值. (Ⅰ)求實(shí)數(shù)的值; (Ⅱ)設(shè),討論函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性. 【答案】(1) 在處有極值時(shí),,(2)見(jiàn)解析. 【解析】試題分析:(Ⅰ)求出導(dǎo)函數(shù),由∴且,求得或,檢驗(yàn)后可得結(jié)果;(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值,分五種情況討論,分別比較極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值即可得結(jié)果. 試題解析:(Ⅰ)定義域?yàn)椋? ∵在處有極值, ∴且, 即 解得:或 當(dāng)時(shí),, 當(dāng)時(shí), ∴在處有極值時(shí),. (Ⅱ)由(Ⅰ)可知,其單調(diào)性和極值分布情況如表:

5、 + 0 - 0 + 增 極大 減 極小 增 ∴①當(dāng),即時(shí),在區(qū)間上的單調(diào)遞增; ②當(dāng),即時(shí),在區(qū)間上單調(diào)遞增,在區(qū)間上單調(diào)遞減;③當(dāng)且,即時(shí),在區(qū)間上單調(diào)遞減; ④當(dāng),即時(shí),在區(qū)間上的單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增; ⑤時(shí),在區(qū)間上單調(diào)遞增. 綜上所述,當(dāng)時(shí)函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性為: 或時(shí),單調(diào)遞增; 時(shí),在上的單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減; 時(shí),單調(diào)遞減; 時(shí),在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增. 【方法點(diǎn)晴】本題主要考查的是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值與最值,屬于難題.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)一步求函數(shù)最值的步驟:①確定

6、函數(shù)的定義域;②對(duì)求導(dǎo);③令,解不等式得的范圍就是遞增區(qū)間;令,解不等式得的范圍就是遞減區(qū)間;④根據(jù)單調(diào)性求函數(shù)的極值及最值(閉區(qū)間上還要注意比較端點(diǎn)處函數(shù)值的大?。? 4.已知函數(shù). (1)當(dāng)時(shí),判斷的單調(diào)性; (2)若在上為單調(diào)增函數(shù),求實(shí)數(shù) 的取值范圍. 【答案】(1)在上為增函數(shù);(2). 【解析】試題分析:(1)當(dāng)時(shí),對(duì)函數(shù)求導(dǎo)后因式分解,根據(jù)導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的知識(shí)可寫(xiě)出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.(2)當(dāng)時(shí),可判斷函數(shù)導(dǎo)數(shù)恒為非負(fù)數(shù),函數(shù)遞增符合題意.當(dāng)和時(shí),利用函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)判斷出不符合題意.故. 試題解析: (1)當(dāng)時(shí), ,所以在上為減函數(shù),在 上為增函數(shù),即,從而可得:

7、在定義域 上為增函數(shù). (2) ①當(dāng)時(shí),由于,所以滿足在 上為單調(diào)增函數(shù),即; ②當(dāng)時(shí), ,由方程的判別式: ,所以方程有兩根,且由知, 在上為減函數(shù),由可知,在時(shí), ,這與 在上為單調(diào)增函數(shù)相矛盾. ③ 當(dāng)時(shí), , 在上為減函數(shù),由可知,在時(shí), ,這與 在上為單調(diào)增函數(shù)也是相矛盾. 綜上所述:實(shí)數(shù)的取值范圍是. 點(diǎn)睛:本題主要考查導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的求解,考查利用導(dǎo)數(shù)解決已知函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上遞增求參數(shù)的取值范圍,考查分類討論的數(shù)學(xué)思想方法.第一問(wèn)已知的值,利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,其基本步驟是:求函數(shù)導(dǎo)數(shù)、對(duì)導(dǎo)數(shù)進(jìn)行通分因式分解、畫(huà)出導(dǎo)函數(shù)圖像、畫(huà)出原函數(shù)圖像,最后根據(jù)圖像來(lái)研究題目所

8、求的問(wèn)題.第二問(wèn)由于一階導(dǎo)數(shù)無(wú)法解決問(wèn)題,故考慮用二階導(dǎo)數(shù)來(lái)解決. 5.已知函數(shù),其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù). (1)函數(shù)的圖象能否與軸相切?若能與軸相切,求實(shí)數(shù)的值;否則,請(qǐng)說(shuō)明理由; (2)若函數(shù)在上單調(diào)遞增,求實(shí)數(shù)能取到的最大整數(shù)值. 【答案】(1)見(jiàn)解析;(2)1. 【解析】【試題分析】(1)依據(jù)題設(shè)條件運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義建立方程進(jìn)行分析求解;(2)依據(jù)題設(shè)條件借助等比數(shù)列的求和公式及等差數(shù)列的求和公式進(jìn)行求解: (1), 假設(shè)函數(shù)的圖象與軸相切于點(diǎn),則有, 即, 由②可知,代入①中可得. ∵, ∴,即, ∵, ∴方程無(wú)解, 故無(wú)論取何值,函數(shù)的圖象都不與軸相切.

9、 (2)記, 由題意知在上恒成立. 由,可得, 的必要條件是, 若,則, 當(dāng)時(shí), ,故, 下面證明:當(dāng)時(shí),不等式恒成立. 令,則. 記,則, 當(dāng)時(shí), 單調(diào)遞增且; 當(dāng)時(shí), 單調(diào)遞減且, ∵. ∴存在唯一的使得,且當(dāng)時(shí), , 單調(diào)遞減; 當(dāng)時(shí), 單調(diào)遞增. ∴, ∵, ∴, ∴, ∵,∴,∴, 從而恒成立,故能取得的最大整數(shù)為1. 點(diǎn)睛:本題以含參數(shù)的函數(shù)解析式為背景,設(shè)立了兩道問(wèn)題,旨在考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)在研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)等方面的綜合運(yùn)用。求解第一問(wèn)時(shí),先依據(jù)題設(shè)建立方程組求出方程,然后依據(jù)方程有解還是無(wú)解,從而使得問(wèn)題獲解;解答第二問(wèn)時(shí),先依據(jù)

10、題設(shè)構(gòu)造函數(shù)用, 然后運(yùn)用導(dǎo)數(shù)知識(shí)進(jìn)行分析推證,從而使得問(wèn)題簡(jiǎn)捷巧妙獲解。 6. 已知函數(shù). (Ⅰ)若,求函數(shù)在上的最小值; (Ⅱ)若函數(shù)在上存在單調(diào)遞增區(qū)間,求實(shí)數(shù)的取值范圍; 【答案】(1)1 (2). 【解析】 試題分析:(Ⅰ)當(dāng)時(shí),,其定義域?yàn)?,? 所以在上是增函數(shù),當(dāng)時(shí),. 故函數(shù)在上的最小值是1. 7.己知函數(shù), . (I)求函數(shù)上零點(diǎn)的個(gè)數(shù); (II)設(shè),若函數(shù)在上是增函數(shù).求實(shí)數(shù)的取值范圍. 【答案】(Ⅰ)零點(diǎn)個(gè)數(shù)為 (II)的取值范圍是 【解析】試題分析:(1)先求得, 時(shí), 恒成立,可證明時(shí), ,可得在上單調(diào)遞減,根據(jù)零點(diǎn)定

11、理可得結(jié)果;(2)化簡(jiǎn)為分段函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,討論兩種情況,分別分離參數(shù)求最值即可求得實(shí)數(shù)的取值范圍. 試題解析:(Ⅰ)函數(shù) , 求導(dǎo),得, 當(dāng)時(shí), 恒成立, 當(dāng)時(shí), , ∴ , ∴在上恒成立,故在上單調(diào)遞減. 又, , 曲線在[1,2]上連續(xù)不間斷, ∴由函數(shù)的零點(diǎn)存在性定理及其單調(diào)性知,?唯一的∈(1,2),使, 所以,函數(shù)在上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為1. (II)由(Ⅰ)知:當(dāng)時(shí), >0,當(dāng)時(shí), <0. ∴當(dāng)時(shí), = 求導(dǎo),得 由于函數(shù)在上是增函數(shù), 故在, 上恒成立. ②當(dāng)時(shí), , 當(dāng)時(shí), 在上恒成立, 綜合①②知,當(dāng)時(shí),函數(shù)在上是增函數(shù).

12、 故實(shí)數(shù)的取值范圍是. 8.己知函數(shù) (其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)), . (I)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間; (II)設(shè),.已知直線是曲線的切線,且函數(shù)上是增函數(shù). (i)求實(shí)數(shù)的值; (ii)求實(shí)數(shù)c的取值范圍. 【答案】(I)見(jiàn)解析;(II)(1);(2). 【解析】試題分析:(I)求導(dǎo)得,討論和即可; (II) (i)由相切得,解方程即可;(ii)先構(gòu)造來(lái)討論和的大小,得,求導(dǎo),得. 由函數(shù)在上是增函數(shù),且曲線在上連續(xù)不斷知: 在, 上恒成立,分兩段討論即可. 試題解析: (Ⅰ)∵, ∴, (Ⅱ)(1)對(duì)求導(dǎo),得, 設(shè)直線與曲線切于點(diǎn),則 解得,∴; (2)記函

13、數(shù) , , 求導(dǎo),得, 當(dāng)時(shí), 恒成立, 當(dāng)時(shí), , ∴ , ∴在上恒成立,故在上單調(diào)遞減. 又, , 曲線在[1,2]上連續(xù)不間斷, ∴由函數(shù)的零點(diǎn)存在性定理及其單調(diào)性知,?唯一的∈(1,2),使. ∴當(dāng)時(shí), >0,當(dāng)時(shí), <0. ∴當(dāng)時(shí), = 求導(dǎo),得 由函數(shù)在上是增函數(shù),且曲線在上連續(xù)不斷知: 在, 上恒成立. ①當(dāng)時(shí), ≥0在上恒成立, 即在上恒成立, 記, ,則, , 當(dāng) 變化時(shí), , 變化情況列表如下: 3 0 極小值 ∴min= 極小值= , 故“在上恒成立”,只需 ,即. ②當(dāng)時(shí), ,

14、當(dāng)時(shí), 在上恒成立, 綜合①②知,當(dāng)時(shí),函數(shù)在上是增函數(shù). 故實(shí)數(shù)的取值范圍是. 9.已知函數(shù),. (1)若直線與函數(shù)的圖象相切,求的值; (2)設(shè),對(duì)于,都有,求實(shí)數(shù)的取值范圍. 【答案】(1);(2). 【解析】【試題分析】(1)依據(jù)題設(shè)條件,借助導(dǎo)數(shù)的幾何意義建立方程求解;(2)先將不等式進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化,再借助題設(shè)條件與求導(dǎo)法則,運(yùn)用導(dǎo)數(shù)知識(shí)分析求解: (1)設(shè)與的切點(diǎn)為, .又. (2),又在上為增函數(shù),不妨設(shè),則,,即,設(shè),在上為減函數(shù),,在恒成立,即.設(shè),,在上為增函數(shù),, ,由已知,故實(shí)數(shù)的取值范圍是. 點(diǎn)睛:本題以含參數(shù)的函數(shù)解析式為背景,旨在考查

15、導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)等方面的綜合運(yùn)用。解答本題的第一問(wèn)時(shí),充分借助導(dǎo)數(shù)的幾何意義,直接建立方程進(jìn)行求解使得問(wèn)題獲解;解答本題的第二問(wèn)時(shí),先將絕對(duì)值不等式進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化與化歸,然后再構(gòu)造函數(shù),將參數(shù)從不等式中分離出來(lái),通過(guò)求函數(shù)的最小值,從而求出實(shí)數(shù)的取值范圍,使得問(wèn)題巧妙獲解。 10.已知函數(shù). (1)若,求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間; (2)若, ,證明: . 【答案】(1) 當(dāng),單調(diào)遞增區(qū)間為;當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增區(qū)間為和;(2)見(jiàn)解析. 【解析】試題分析:(1),求導(dǎo),根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)討論單調(diào)性即可; (2)欲證,即證在上單調(diào)遞減,求導(dǎo)證明即可. 試題解析: (2),則, , 欲證,即證在上單調(diào)遞減, ∵, 令, 則 ∴在上為減函數(shù), 而 ∴,則, ∴在上單調(diào)遞減, 又,∴. - 17 -

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