4、實數(shù)的取值范圍；
（3）已知R且， ，求證：方程
在區(qū)間上有實數(shù)根.
【答案】⑴見解析;⑵;⑶見解析.
【解析】試題分析：（1）利用判別式定二次函數(shù)的零點個數(shù)：（2）零點個數(shù)問題轉(zhuǎn)化為圖象交點個數(shù)問題，利用判別式處理即可；（3）方程在區(qū)間上有實數(shù)根，即有零點，結(jié)合零點存在定理可以證明.
試題解析：
⑴
,
當(dāng)時， ，函數(shù)有一個零點；
當(dāng)時， ，函數(shù)有兩個零點
⑶設(shè)，
則
,
在區(qū)間上有實數(shù)根，
即方程在區(qū)間上有實數(shù)根.
點睛：已知函數(shù)有零點求參數(shù)取值范圍常用的方法和思路
(1)直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解
5、不等式確定參數(shù)范圍；
(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決；
(3)數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解．
4．已知函數(shù)圖象上一點處的切線方程為.
(1)求的值;
(2)若方程在內(nèi)有兩個不等實根,求的取值范圍(其中
為自然對數(shù)的底).
【答案】(1)a=2,b=1.(2) .
【解析】試題分析：
本題考查函數(shù)與方程，函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．(1)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，得出兩個方程，然后求解．(2)先利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)h(x)=f(x)+m=2lnx﹣x2+m的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性與極值點確定關(guān)系然后求解．
6、
(2)由（1）得f(x)=2lnx﹣x2，
令h(x)=f(x)+m=2lnx﹣x2+m，
則，
令h'(x)=0，得x=1(x=﹣1舍去)．
故當(dāng)x∈時，h'(x)＞0，h(x)單調(diào)遞增；
當(dāng)x∈(1，e]時，h'(x)＜0，h(x)單調(diào)遞減．
∵方程h(x)=0在內(nèi)有兩個不等實根，
∴，解得．
∴實數(shù)的取值范圍為.
點睛：根據(jù)函數(shù)零點求參數(shù)取值或范圍的方法
（1）利用零點存在的判定定理構(gòu)建不等式求解；
（2）分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域（最值）問題求解，如果涉及由幾個零點時，還需考慮函數(shù)的圖象與參數(shù)的交點個數(shù)；
（3）利用方程根的分布求解，轉(zhuǎn)化為不等式問題．
（4
7、）轉(zhuǎn)化為兩熟悉的函數(shù)圖象的上、下關(guān)系問題，從而構(gòu)建不等式求解.
5．已知函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù)，
（I）若，函數(shù)
①求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間
②若函數(shù)的值域為,求實數(shù)的取值范圍
（II）若存在實數(shù),使得，且，求證：
【答案】（1）①詳見解析②實數(shù)的取值范圍是；（2）；
試題解析：
（1）當(dāng)時， .
①.
由得，由得.
所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為.
②
當(dāng)時， ，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減；
當(dāng)時， ，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增.
在上單調(diào)遞減，值域為,
因為的值域為，所以，
即.
（2）.
若時， ，此時在上單調(diào)遞增.
由可得，與相矛盾，
8、同樣不能有.
不妨設(shè)，則有.
因為在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，
所以當(dāng)時， .
由，且，可得
故.
又在單調(diào)遞減，且，所以，
所以，同理.
即解得，
所以.
點睛：本題考查函數(shù)的單調(diào)性極值及恒成立問題，涉及函數(shù)不等式的證明，綜合性強，難度大，屬于難題.處理導(dǎo)數(shù)大題時，注意分層得分的原則，力爭第一二問答對，第三問爭取能寫點，一般涉及求函數(shù)單調(diào)性及極值時，比較容易入手，求導(dǎo)后注意分類討論，對于恒成立問題一般要分離參數(shù)，然后利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最大值或最小值，對于含有不等式的函數(shù)問題，一般要構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性來解決，但涉及技巧比較多，需要多加體會.
6．已知函數(shù).
9、
（1）當(dāng)時，求在上的值域；
（2）試求的零點個數(shù)，并證明你的結(jié)論.
【答案】（1）（2）當(dāng)時， 只有一個零點；當(dāng)時， 有兩個零點．
（2）原方程等價于實根的個數(shù)，原命題也等價于在上的零點個數(shù)，討論， ， ，三種情況，分別利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)圖象與零點存在定理可得結(jié)果.
試題解析：（1）當(dāng)時， ，則，
而在上恒成立，所以在上遞減，
， ，
所以在上存在唯一的，使得，而且
當(dāng)時， ， 遞增；當(dāng)時， 遞減；
所以，當(dāng)時， 取極大值，也是最大值，即，
，
所以， 在上的值域為.
（I）若，則
當(dāng)時， 恒成立，則沒有零點；
當(dāng)時， ， ，又在上單調(diào)遞增
10、的，所以有唯一的零點。
（II）若，則
當(dāng)時， 恒成立，則沒有零點；
當(dāng)時， ， ，又在上單調(diào)遞增的，所以有唯一的零點
（III）若，則
當(dāng)時，由 ，則，
則取，則，又，所以在有唯一的零點，
當(dāng)時， ，
，又在上單調(diào)遞增的，所以有唯一的零點
綜上所述，當(dāng)時， 只有一個零點；當(dāng)時， 有兩個零點．
7．已知函數(shù)
（1）若不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍；
（2）在（1）中， 取最小值時，設(shè)函數(shù).若函數(shù)在區(qū)間上恰有兩個零點，求實數(shù)的取值范圍；
（3）證明不等式： （且）.
【答案】(1) ；(2) ；(3)證明見解析.
(2)由(1)可知， ，當(dāng)時， ，
，
11、
在區(qū)間上恰有兩個零點，即關(guān)于的方程在區(qū)間上恰有兩個實數(shù)根. 整理方程得， ，令， ， 令， ，
則， ，于是， 在上單調(diào)遞增.
因為，當(dāng)時， ，從而， 單調(diào)遞減，
當(dāng)時， ，從而， 單調(diào)遞增，
， ， ，
因為，所以實數(shù)的取值范圍是.
(3)由(1)可知，當(dāng)時，有，
當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.
令，則有，其中 .
整理得： ，
當(dāng)時，
， ， ， ，
上面?zhèn)€式子累加得： . 且，
即.命題得證.
8．已知函數(shù)，其中.
（1）設(shè)，討論的單調(diào)性；
（2）若函數(shù)在內(nèi)存在零點，求的范圍.
【答案】（1）見解析；（2）的取值范圍是.
解析：（1
12、）定義域
故 則
若，則 在 上單調(diào)遞減；
若，則 .
（i） 當(dāng) 時，則 ，因此在 上恒有 ，即 在 上單調(diào)遞減；
（ii）當(dāng)時， ，因而在上有，在上有 ；因此 在 上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.
（ii）當(dāng)，考察函數(shù) ，由于 在 上必存在零點.設(shè)在 的第一個零點為，則當(dāng)時， ，故 在 上為減函數(shù)，又 ，
所以當(dāng) 時， ，從而 在 上單調(diào)遞減，故在 上恒有 。即 ，注意到 ，因此，令時，則有，由零點存在定理可知函數(shù) 在 上有零點，符合題意.
點睛：導(dǎo)數(shù)中函數(shù)的含參數(shù)的問題的討論，需要考慮下面的幾個方面：（1）把導(dǎo)函數(shù)充分變形，找出決定導(dǎo)數(shù)符
13、號的核心代數(shù)式，討論其零點是否存在，零點是否在給定的范圍中；（2）零點不容易求得時，需要結(jié)合原函數(shù)的形式去討論，有時甚至需要把原函數(shù)放縮去討論，常見的放縮有等；（3）如果導(dǎo)數(shù)也比較復(fù)雜，可以進(jìn)一步求導(dǎo)，討論導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)數(shù).
9．設(shè)函數(shù)， （）.
（1）當(dāng)時，若函數(shù)與的圖象在處有相同的切線，求的值；
（2）當(dāng)時，若對任意和任意，總存在不相等的正實數(shù)，使得，求的最小值；
（3）當(dāng)時，設(shè)函數(shù)與的圖象交于 兩點．求證： .
【答案】（1）（2）（3）見解析
【解析】試題分析：（1）由導(dǎo)數(shù)幾何意義可得，又，解方程組可得的值；（2）先轉(zhuǎn)化條件為對應(yīng)方程有兩個不等實根，再根據(jù)實根分布充要條件列不等
14、式組，解得的最小值；(3)先根據(jù)零點表示b，代入要證不等式化簡得.再構(gòu)造函數(shù)，以及，結(jié)合導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，即證得結(jié)論
（2）當(dāng)時，則，又，設(shè)，
則題意可轉(zhuǎn)化為方程在上有相異兩實根．
即關(guān)于的方程在上有相異兩實根．
所以，得，
所以對恒成立．
因為，所以（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），
又，所以的取值范圍是，所以．
故的最小值為.
（3）當(dāng)時，因為函數(shù)與的圖象交于兩點，
所以，兩式相減，得.
要證明，即
15、證，
即證，即證.
令，則，此時即證．
令，所以，所以當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞增．
又，所以，即成立；
再令，所以，所以當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞減，
又，所以，即也成立．
綜上所述， 實數(shù)滿足.
點睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式常見類型及解題策略(1) 構(gòu)造差函數(shù).根據(jù)差函數(shù)導(dǎo)函數(shù)符號，確定差函數(shù)單調(diào)性，利用單調(diào)性得不等量關(guān)系，進(jìn)而證明不等式.（2）根據(jù)條件，尋找目標(biāo)函數(shù).一般思路為利用條件將求和問題轉(zhuǎn)化為對應(yīng)項之間大小關(guān)系，或利用放縮、等量代換將多元函數(shù)轉(zhuǎn)化為一元函數(shù).
10．已知函數(shù).
（Ⅰ）討論的單調(diào)性;
（Ⅱ）當(dāng)函數(shù)有兩個不相等的零點時,證明: .
16、
【答案】(1)見解析(2)見解析
試題解析：（Ⅰ）當(dāng)時， 在單調(diào)遞增；
當(dāng)時， 在單調(diào)遞減； 在單調(diào)遞增；
點睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式常見類型及解題策略
(1) 構(gòu)造差函數(shù).根據(jù)差函數(shù)導(dǎo)函數(shù)符號，確定差函數(shù)單調(diào)性，利用單調(diào)性得不等量關(guān)系，進(jìn)而證明不等式.（2）根據(jù)條件，尋找目標(biāo)函數(shù).一般思路為利用條件將求和問題轉(zhuǎn)化為對應(yīng)項之間大小關(guān)系，或利用放縮、等量代換將多元函數(shù)轉(zhuǎn)化為一元函數(shù).
11．已知．
（1）討論的單調(diào)性；
（2）若存在及唯一正整數(shù)，使得，求的取值范圍．
【答案】（1）的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是;(2) 的取值范圍是.
【解析】試題分析：
（1）求出
17、函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，通過對導(dǎo)函數(shù)符號的討論可得函數(shù)的單調(diào)性．（2）由題意得函數(shù)在上的值域為．結(jié)合題意可將問題轉(zhuǎn)化為當(dāng)時，滿足的正整數(shù)解只有1個．通過討論的單調(diào)性可得只需滿足，由此可得所求范圍．
（2）由（1）知當(dāng)時， 取得最小值，
又，
所以在上的值域為．
因為存在及唯一正整數(shù)，使得，
所以滿足的正整數(shù)解只有1個．
因為，
所以，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以，即，
解得．
所以實數(shù)的取值范圍是．
點睛：本題中研究方程根的情況時，通過導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最大（?。┲怠⒑瘮?shù)圖象的變化趨勢等，根據(jù)題目畫出函數(shù)圖象的草圖，通過數(shù)形結(jié)合的思想去分析問題，使問題的解決有
18、一個直觀的形象，然后在此基礎(chǔ)上再轉(zhuǎn)化為不等式（組）的問題，通過求解不等式可得到所求的參數(shù)的取值（或范圍）．
12．設(shè)函數(shù).
（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）若存在、滿足.求證： （其中為的導(dǎo)函數(shù)）
【答案】（1）見解析（2）見解析
試題解析：
（1）由題知 .
當(dāng)，此時函數(shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.
當(dāng)，此時函數(shù)在單調(diào)遞增.
（2）因為，由（1）知
不妨設(shè)，由得，
即，
所以.
， 總成立，
原題得證.
點睛：導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識點，所以在歷屆高考中，對導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查都非常突出 ，本
19、專題在高考中的命題方向及命題角度 從高考來看，對導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個角度進(jìn)行： (1)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系． (2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)． (3)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問題． (4)考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．
13．已知函數(shù).
（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）當(dāng)時，若在上有零點，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】（Ⅰ）見解析（Ⅱ）
試題解析：
解：（Ⅰ）函數(shù)的定義域為，
.
由得或.
當(dāng)時， 在上恒成立，
所以的單調(diào)遞減區(qū)間是，沒有單調(diào)遞增區(qū)間.
當(dāng)時， 的變化情況如下表：
20、
所以的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是.
當(dāng)時， 的變化情況如下表：
所以的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是.
點睛：根據(jù)函數(shù)零點求參數(shù)取值，也是高考經(jīng)常涉及的重點問題，
（1）利用零點存在的判定定理構(gòu)建不等式求解；
（2）分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域（最值）問題求解，如果涉及由幾個零點時，還需考慮函數(shù)的圖象與參數(shù)的交點個數(shù)；
（3）轉(zhuǎn)化為兩熟悉的函數(shù)圖象的上、下關(guān)系問題，從而構(gòu)建不等式求解.
14．已知函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù).
（1）若函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，試求實數(shù)的取值范圍；
（2）已知函數(shù)，且，若函數(shù)在區(qū)間上恰有3個零點，求實數(shù)的取值范圍．
【答案】(1)
21、 (2)
【解析】試題分析：（1）函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增等價于在區(qū)間上恒成立，可得，函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減等價于在區(qū)間上恒成立，可得，綜合兩種情況可得結(jié)果；（2），由，知在區(qū)間內(nèi)恰有一個零點，設(shè)該零點為，則在區(qū)間內(nèi)不單調(diào)，所以在區(qū)間內(nèi)存在零點，同理， 在區(qū)間內(nèi)存在零點，所以只需在區(qū)間內(nèi)恰有兩個零點即可，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性討論的零點，從而可得結(jié)果．
（2）．
由，知在區(qū)間內(nèi)恰有一個零點，
設(shè)該零點為，則在區(qū)間內(nèi)不單調(diào)，
所以在區(qū)間內(nèi)存在零點，
同理， 在區(qū)間內(nèi)存在零點，
所以在區(qū)間內(nèi)恰有兩個零點．
由（1）知，當(dāng)時， 在區(qū)間上單調(diào)遞增，故在區(qū)間內(nèi)至多有一個
22、零點，不合題意．
當(dāng)時， 在區(qū)間上單調(diào)遞減，
故在內(nèi)至多有一個零點，不合題意；
所以．
15．已知函數(shù)，其中.
（1）設(shè)，討論的單調(diào)性；
（2）若函數(shù)在內(nèi)存在零點，求的范圍.
【答案】（1）見解析；（2）的取值范圍是.
【解析】試題分析：（1）求導(dǎo)可以得到，分三種情況討論導(dǎo)數(shù)的符號.（2）計算可以得到，其導(dǎo)數(shù)為，我們需要討論的符號，故需再構(gòu)建新函數(shù)，其導(dǎo)數(shù)為，結(jié)合原函數(shù)的形式和的形式，我們發(fā)現(xiàn)當(dāng)時恒成立；當(dāng)時， 在上有極小值點 ，結(jié)合可知 在上有零點；當(dāng)時， 恒成立，結(jié)合可知， 在上也是恒成立的，故而在上遞增恒成立.
（i） 當(dāng) 時，則 ，因此在 上恒有 ，
23、即 在 上單調(diào)遞減；
（ii）當(dāng)時， ，因而在上有，在上有 ；因此 在 上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.
（2）設(shè) ,
，設(shè)，
則 .
先證明一個命題：當(dāng)時， .令， ，故在上是減函數(shù)，從而當(dāng)時， ，故命題成立.
若 ,由 可知， .，故 ，對任意都成立，故 在上無零點，因此.
（ii）當(dāng)，考察函數(shù) ，由于 在 上必存在零點.設(shè)在 的第一個零點為，則當(dāng)時， ，故 在 上為減函數(shù)，又 ，
所以當(dāng) 時， ，從而 在 上單調(diào)遞減，故在 上恒有 。即 ，注意到 ，因此，令時，則有，由零點存在定理可知函數(shù) 在 上有零點，符合題意.
點睛：導(dǎo)數(shù)中函數(shù)的含參數(shù)的問題的討論，需要考慮下面
24、的幾個方面：（1）把導(dǎo)函數(shù)充分變形，找出決定導(dǎo)數(shù)符號的核心代數(shù)式，討論其零點是否存在，零點是否在給定的范圍中；（2）零點不容易求得時，需要結(jié)合原函數(shù)的形式去討論，有時甚至需要把原函數(shù)放縮去討論，常見的放縮有等；（3）如果導(dǎo)數(shù)也比較復(fù)雜，可以進(jìn)一步求導(dǎo)，討論導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)數(shù).
16．已知函數(shù)（且）
（1）若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)時，設(shè)，若有兩個相異零點，求證： .
【答案】(1) 當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間是，當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間是.(2)見解析.
【解析】試題分析：（1）由知分， 兩種情況討論即得解；（2），設(shè)的兩個相異零點為，設(shè)，因為， ，所以， ，相
25、減得，相加得.要證，即證，即，即，換元設(shè)上式轉(zhuǎn)化為.構(gòu)造函數(shù)
求導(dǎo)研究單調(diào)性即可得證.
（2），設(shè)的兩個相異零點為，
設(shè)，
∵， ，
∴， ，
∴， .
要證，即證，
即，即，
設(shè)上式轉(zhuǎn)化為.
設(shè)，∴，∴在上單調(diào)遞增，
∴，∴，∴.
點睛：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，考查了分類討論的思想，考查了不等式的證明，利用零點的式子進(jìn)行變形，采用變量集中的方法構(gòu)造新函數(shù)即可證明，綜合性強屬于中檔題
17．設(shè)函數(shù).
（1）求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）若關(guān)于的方程在區(qū)間內(nèi)恰有兩個相異的實根，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】(1) 函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為;(2) 的取值范圍是.
試題解析：
（1）函數(shù)的定義域為
∵
∵，則使的的取值范圍為，
故函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為
故在區(qū)間內(nèi)恰有兩個相異實根
即，解得：
綜上所述， 的取值范圍是
31
2018版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 特色專題訓(xùn)練 專題03 直擊函數(shù)壓軸題中零點問題 理
