2018年高考數(shù)學(xué) 常見題型解法歸納反饋訓(xùn)練 第84講 二項(xiàng)式定理的應(yīng)用

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1、 第84講 二項(xiàng)式定理的應(yīng)用 【知識要點(diǎn)】 1、二項(xiàng)式定理： ①項(xiàng)數(shù)：展開式中總共有項(xiàng)，而不是項(xiàng)；②順序：注意正確選擇,,其順序不能更改.與是不同的；③指數(shù)：的指數(shù)從逐項(xiàng)減到，是降冪排列.的指數(shù)從逐項(xiàng)減到，是升冪排列.各項(xiàng)的次數(shù)和等于. 2、二項(xiàng)式通項(xiàng)公式： （） （1）它表示的是二項(xiàng)式的展開式的第項(xiàng)，而不是第項(xiàng)； （2）其中叫二項(xiàng)式展開式第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)，而二項(xiàng)式展開式第項(xiàng)的系數(shù)是字母冪前的常數(shù)； （3）注意. 3、二項(xiàng)式展開式的二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì) （1）對稱性：在二項(xiàng)展開式中，與首末兩項(xiàng)“等距離”的兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等.即=. （2）增減性和最大值：在二項(xiàng)式的展開式中

2、，二項(xiàng)式系數(shù)先增后減，且在中間取得最大值，如果二項(xiàng)式的冪指數(shù)是偶數(shù)，中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大；如果二項(xiàng)式的冪指數(shù)是奇數(shù)，中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等且最大. （3）所有二項(xiàng)式系數(shù)的和等于，即 奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和與偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和相等，即 4、二項(xiàng)展開式的系數(shù)的性質(zhì)： 對于， 5、證明組合恒等式常用賦值法. 6、二項(xiàng)式系數(shù)展開式的系數(shù)最大項(xiàng)和二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng). （1）二項(xiàng)式系數(shù)的最大項(xiàng)：如果二項(xiàng)式的冪指數(shù)是偶數(shù)時(shí)，則中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)取得最大值. 如果二項(xiàng)式的冪指數(shù)是奇數(shù)時(shí)，則中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù),同時(shí)取得最大值. （2）系數(shù)的最大項(xiàng)：求展開式中最大的項(xiàng)，一般采用

3、待定系數(shù)法.設(shè)展開式中各項(xiàng)系數(shù)分別為，設(shè)第項(xiàng)系數(shù)最大，應(yīng)有，從而解出來. 【方法講評】 應(yīng)用一 利用通項(xiàng)公式求的系數(shù) 解題方法 直接代二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)，再化簡. 【例1】在二項(xiàng)式的展開式中倒數(shù)第項(xiàng)的系數(shù)為，求含有的項(xiàng)的系數(shù)？ 【點(diǎn)評】（1）要理解二項(xiàng)式的展開式的系數(shù)的定義，它指的是除去，剩下的所有部分，而二項(xiàng)式的系數(shù)則指的是通項(xiàng)里的組合數(shù).(2)二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)化簡時(shí)，要注意指數(shù)運(yùn)算的性質(zhì)的準(zhǔn)確運(yùn)用. 【反饋檢測1】已知的二項(xiàng)展開式中所有奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)之和為512． （1）求展開式的所有有理項(xiàng)（指數(shù)為整數(shù)）； （2）求展開式中項(xiàng)的系數(shù)． 應(yīng)

4、用二 求二項(xiàng)式展開式的有理數(shù)項(xiàng) 解題方法 先求二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)，再化簡，再令的指數(shù)為整數(shù)解答. 【例2】求二項(xiàng)式展開式中的有理項(xiàng). 【點(diǎn)評】有理項(xiàng)指的是的指數(shù)為整數(shù)，可以是正整數(shù)，也可以是負(fù)整數(shù)和零. 【反饋檢測2】已知的展開式中的二項(xiàng)式系數(shù)之和為. （Ⅰ）證明：展開式中沒有常數(shù)項(xiàng)；（Ⅱ）求展開式中所有有理項(xiàng). 應(yīng)用三 求二項(xiàng)式展開式的系數(shù)最大的項(xiàng)和二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng) 解題方法 （1）二項(xiàng)式系數(shù)的最大項(xiàng)：如果二項(xiàng)式的冪指數(shù)是偶數(shù)時(shí)，則中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)取得最大值.如果二項(xiàng)式的冪指數(shù)是奇數(shù)時(shí)，則中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù),同時(shí)取得最大值. （2）系數(shù)

5、的最大項(xiàng)：求展開式中最大的項(xiàng)，一般采用待定系數(shù)法.設(shè)展開式中各項(xiàng)系數(shù)分別為，設(shè)第項(xiàng)系數(shù)最大，應(yīng)有，從而解出來. 【例3】已知二項(xiàng)式． （1）若展開式中第5項(xiàng)、第6項(xiàng)與第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)成等差數(shù)列，求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)的系數(shù)； （2）若展開式前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和等于79，求展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)． （2）， 解得，設(shè)項(xiàng)系數(shù)最大，由于 ，，第11項(xiàng)最大． 【點(diǎn)評】（1）二項(xiàng)式系數(shù)的最大項(xiàng)：如果二項(xiàng)式的冪指數(shù)是偶數(shù)時(shí)，則中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)取得最大值.如果二項(xiàng)式的冪指數(shù)是奇數(shù)時(shí)，則中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù),同時(shí)取得最大值.（2）系數(shù)的最大項(xiàng)：求展開式中最大的項(xiàng)，一般采用待定系數(shù)法

6、.設(shè)展開式中各項(xiàng)系數(shù)分別為 ，設(shè)第項(xiàng)系數(shù)最大，應(yīng)有，從而解出來. 【反饋檢測3】已知在的展開式中，第5項(xiàng)的系數(shù)與第3項(xiàng)的系數(shù)之比是14：1． （1）求展開式中的系數(shù)； （2）求展開式中系數(shù)絕對值最大的項(xiàng)；． （3）求的值. 應(yīng)用四 求展開式的系數(shù). 解題方法 一般把三項(xiàng)式變成二項(xiàng)式，再代二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式解答. 【例4】 求當(dāng)?shù)恼归_式中的一次項(xiàng)的系數(shù). 【點(diǎn)評】（1）對于三項(xiàng)式的展開式教材上沒有講過，教材上只講了二項(xiàng)式的展開式. 所以我們可以想辦法把三項(xiàng)式轉(zhuǎn)化成二項(xiàng)式，再利用二項(xiàng)式的展開式的性質(zhì)解答. (2)對于三項(xiàng)式的展開式的研究，一般轉(zhuǎn)化成二項(xiàng)式

7、的展開式研究，實(shí)際上就是數(shù)學(xué)的一個(gè)轉(zhuǎn)化的思想的運(yùn)用,把陌生的轉(zhuǎn)化為熟悉的問題解答. 【反饋檢測4】展開式中常數(shù)項(xiàng)為（ ） A．252 B．－252 C．160 D．－160 應(yīng)用五 兩個(gè)二項(xiàng)式相乘的系數(shù)問題 解題方法 一般先分別求兩個(gè)二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)，再對它們進(jìn)行組合研究. 【例5】 在的展開式中，求的系數(shù). 【解析】， 要得到， 當(dāng)?shù)谝粋€(gè)因式取1時(shí)，展開式取5次項(xiàng)，項(xiàng)系數(shù)為 當(dāng)?shù)谝粋€(gè)因式取時(shí)，展開式取4次項(xiàng)，項(xiàng)系數(shù)為 當(dāng)?shù)谝粋€(gè)因式取時(shí)，展開式取3次項(xiàng)，項(xiàng)系數(shù)為 當(dāng)?shù)谝粋€(gè)因式取-

8、時(shí)，展開式取2次項(xiàng)，項(xiàng)系數(shù)為 ∴項(xiàng)系數(shù)為+=-63 【點(diǎn)評】兩個(gè)二項(xiàng)式相乘的系數(shù)問題，一般先分別求兩個(gè)二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)，再對它們進(jìn)行組合 研究. 【反饋檢測5】 應(yīng)用六 二項(xiàng)式展開式的系數(shù)和與差的問題 解題方法 一般利用賦值法解答. 【例6】已知，求： （1）； （2）． 【點(diǎn)評】二項(xiàng)式展開式的系數(shù)和與差的問題，一般利用賦值法解答，主要是給二項(xiàng)式的展開式的變量 賦一些特殊值，如：1，-1，0等. 【反饋檢測6】（1）設(shè)展開式中只有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大．則= ． （2）1＋2＝ ． 應(yīng)用七 整除性問題

9、 解題方法 一般把指數(shù)的底數(shù)拆成與除數(shù)有關(guān)的數(shù)的和，再利用二項(xiàng)式定理展開研究. 【例7】證明：能被64整除 【點(diǎn)評】整除性的問題，一般把指數(shù)的底數(shù)拆成與除數(shù)有關(guān)的數(shù)的和，再利用二項(xiàng)式定理展開研究，拆數(shù)是關(guān)鍵，本題中指數(shù)的底數(shù)是“3”，先變成“9”，再把“9”拆成“8+1”，再利用二項(xiàng)式定理研究就方便了. 【反饋檢測7】求證：能被7整除. 應(yīng)用八 證明不等式等 解題方法 一般對二項(xiàng)式定理進(jìn)行順用或逆用. 【例8】 求證：2<（1+）n<3（）. 【證明】（1+）n=C+C× +C（）2+…+C（）n=1+1+C×+C×+…+C×=2+×+×+…+×<2++

10、 ++…+<2++++…+=2+=3－（）<3.顯然（1+）n=1+1+C×+C×+…+C×>2.所以2<（1+）n<3. 【點(diǎn)評】看到一般要聯(lián)想到是否能利用二項(xiàng)式定理解答，這是一個(gè)觀察聯(lián)想的能力. 【反饋檢測8】 應(yīng)用九 利用二項(xiàng)式定理求近似值 解題方法 一般先把底數(shù)拆成“1”與某個(gè)小數(shù)的和與差，再利用二項(xiàng)式定理研究解答. 【例9】求的近似值，使誤差小于； 【點(diǎn)評】由，當(dāng)?shù)慕^對值與1相比很小且很大時(shí)， 等項(xiàng)的絕對值都很小，因此在精確度允許的范圍內(nèi)可以忽略不計(jì)，因此可以用近似計(jì)算公式： ，在使用這個(gè)公式時(shí)，要注意按問題對精確度的要求，來確定對展開式中各項(xiàng)的取舍

11、，若精確度要求較高，則可以使用更精確的公式：. 【反饋檢測9】某地現(xiàn)有耕地100000畝，規(guī)劃10年后糧食單產(chǎn)比現(xiàn)在增加22%，人均糧食占有量比現(xiàn)在提高10%.如果人口年增加率為1%，那么耕地平均每年至多只能減少多少畝（精確到1畝）？ 高中數(shù)學(xué)常見題型解法歸納及反饋檢測第84講： 二項(xiàng)式定理的應(yīng)用參考答案 【反饋檢測1答案】（1），；（2）． 【反饋檢測2答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）所有有理項(xiàng)為：. 【反饋檢測2詳細(xì)解析】（Ⅰ）依題意得：， 令得 展開式中沒有常數(shù)項(xiàng). （Ⅱ）當(dāng)時(shí)，為有理項(xiàng).展開式中所有有理項(xiàng)為：. 【反饋檢測3答案】（1）；（2

12、）；（3）． 【反饋檢測3詳細(xì)解析】（1）由，解得． 因?yàn)橥?xiàng)：，令 ， 于是系數(shù)為． （2）設(shè)第項(xiàng)系數(shù)絕對值最大，則 解得，于是只能為6 所以系數(shù)絕對值最大的項(xiàng)為． （3）原式==． 【反饋檢測4答案】 【反饋檢測5答案】 【反饋檢測5詳細(xì)解析】 . 【反饋檢測6答案】(1)；（2）. 【反饋檢測6詳細(xì)解析】（1）由二項(xiàng)式系數(shù)的對稱性， （2）即為展開式中各項(xiàng)的系數(shù) 在中令，∴ （2）在＝中， 令，得1＋2 【反饋檢測7答案】見解析. 【反饋檢測8答案】 【反饋檢測8詳細(xì)解析】與已知的有一些差距， 【反饋檢測9答案】耕地平均每年至多只能減少4畝． 【反饋檢測9詳細(xì)解析】設(shè)耕地平均每年減少x畝，現(xiàn)有人口為p人，糧食單產(chǎn)為m噸/畝，依題意 化簡： （畝） 答：耕地平均每年至多只能減少4畝． 11