2018年高考數(shù)學(xué) 熱點題型和提分秘籍 專題09 函數(shù)模型及其應(yīng)用 文

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1、 專題09 函數(shù)模型及其應(yīng)用 1．了解指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的增長特征，結(jié)合具體實例體會直線上升、指數(shù)增長、對數(shù)增長等不同函數(shù)類型增長的含義。 2．了解函數(shù)模型(如指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、分段函數(shù)等在社會生活中普遍使用的函數(shù)模型)的廣泛應(yīng)用。 熱點題型一 一次函數(shù)或二次函數(shù)模型 例1、提高過江大橋的車輛通行能力可改善整個城市的交通狀況。在一般情況下，大橋上的車流速度v(單位：千米/小時)是車流密度x(單位：輛/千米)的函數(shù)。當(dāng)橋上的車流密度達(dá)到200輛/千米時，造成堵塞，此時車流速度為0千米/小時；當(dāng)車流密度不超過20輛/千米時，車流速度為60千米/小時。研究表

2、明：當(dāng)20≤x≤200時，車流速度v是車流密度x的一次函數(shù)。 (1)當(dāng)0≤x≤200時，求函數(shù)v(x)的表達(dá)式。 (2)當(dāng)車流密度x為多大時，車流量(單位時間內(nèi)通過橋上某觀測點的車輛數(shù)，單位：輛/小時)f(x)＝x·v(x)可以達(dá)到最大，并求出最大值。(精確到1輛/小時)。 【提分秘籍】一次函數(shù)、二次函數(shù)模型問題的常見類型及解題策略 (1)直接考查一次函數(shù)、二次函數(shù)模型。 解決此類問題應(yīng)注意三點： ①二次函數(shù)的最值一般利用配方法與函數(shù)的單調(diào)性解決，但一定要密切注意函數(shù)的定義域，否則極易出錯； ②確定一次函數(shù)模型時，一般是借助兩個點來確定，常用待定系數(shù)法； ③解決函數(shù)應(yīng)

3、用問題時，最后要還原到實際問題。 (2)以分段函數(shù)的形式考查。 解決此類問題應(yīng)關(guān)注以下三點： ①實際問題中有些變量間的關(guān)系不能用同一個關(guān)系式給出，而是由幾個不同的關(guān)系式構(gòu)成，如出租車票價與路程之間的關(guān)系，應(yīng)構(gòu)建分段函數(shù)模型求解； ②構(gòu)造分段函數(shù)時，要力求準(zhǔn)確、簡潔，做到分段合理、不重不漏； ③分段函數(shù)的最值是各段的最大(或最小)者的最大者(最小者)。 提醒：(1)構(gòu)建函數(shù)模型時不要忘記考慮函數(shù)的定義域。 (2)對構(gòu)造的較復(fù)雜的函數(shù)模型，要適時地用換元法轉(zhuǎn)化為熟悉的函數(shù)問題求解。 【舉一反三】 某電信公司推出兩種手機收費方式：A種方式是月租20元，B種方式是月租0元。一個月的

4、本地網(wǎng)內(nèi)打出電話時間t(分鐘)與打出電話費s(元)的函數(shù)關(guān)系如圖，當(dāng)通話150分鐘時，這兩種方式電話費相差(　　) A．10元　　　 B．20元 C．30元 D.元 【答案】A 熱點題型二 函數(shù)y＝x＋模型的應(yīng)用 例2、某村計劃建造一個室內(nèi)面積為800 m2的矩形蔬菜溫室，在溫室內(nèi)，沿左、右兩側(cè)與后側(cè)內(nèi)墻各保留1 m寬的通道，沿前側(cè)內(nèi)墻保留3 m寬的空地，當(dāng)矩形溫室的邊長各為多少時，蔬菜的種植面積最大？最大面積是多少？ 【解析】設(shè)溫室的左側(cè)邊長為x m， 則后側(cè)邊長為 m?！嗍卟朔N植面積 y＝(x－4)＝808－2(4＜x＜400)。 ∵x＋≥2＝8

5、0， ∴y≤808－2×80＝648。 當(dāng)且僅當(dāng)x＝，即x＝40時取等號， 此時＝20，y最大值＝648(m2)。 即當(dāng)矩形溫室的邊長各為40 m,20 m時，蔬菜的種植面積最大，最大面積是648 m2。 【提分秘籍】 應(yīng)用函數(shù)y＝x＋模型的關(guān)鍵點 (1)明確對勾函數(shù)是正比例函數(shù)f(x)＝ax與反比例函數(shù)f(x)＝疊加而成的。 (2)解決實際問題時一般可以直接建立f(x)＝ax＋的模型，有時可以將所列函數(shù)關(guān)系式轉(zhuǎn)化為f(x)＝ax＋的形式。 (3)利用模型f(x)＝ax＋求解最值時，要注意自變量的取值范圍，及取得最值時等號成立的條件。 【舉一反三】 為了在夏季降溫和冬季

6、供暖時減少能源損耗，房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層。某幢建筑物要建造可使用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬元。該建筑物每年的能源消耗費用C(單位：萬元)與隔熱層厚度x(單位：cm)滿足關(guān)系C(x)＝(0≤x≤10)，若不建隔熱層，每年能源消耗費用為8萬元，設(shè)f(x)為隔熱層建造費用與20年的能源消耗費用之和。 (1)求k的值及f(x)的表達(dá)式。 (2)隔熱層修建多厚時，總費用f(x)達(dá)到最小，并求最小值。 熱點題型三 指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)模型 例3．某醫(yī)藥研究所開發(fā)的一種新藥，如果成年人按規(guī)定的劑量服用，據(jù)監(jiān)測：服藥后每毫升血液中的含藥量y(微克)與時間t(小時)

7、之間近似滿足如圖所示的曲線。 (1)寫出第一次服藥后，y與t之間的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)＝f(t)； (2)據(jù)進(jìn)一步測定：每毫升血液中含藥量不少于0.25微克時，治療有效。求服藥一次后治療有效的時間是多長？ 【解析】(1)設(shè)y＝ 當(dāng)t＝1時，由y＝4得k＝4。 由1－a＝4得a＝3。則y＝ (2)由y≥0.25得或解得≤t≤5。因此，服藥一次后治療有效的時間是5－＝小時。 【提分秘籍】應(yīng)用指數(shù)函數(shù)模型應(yīng)注意的問題 (1)指數(shù)函數(shù)模型的應(yīng)用類型。常與增長率相結(jié)合進(jìn)行考查，在實際問題中有人口增長、銀行利率、細(xì)胞分裂等增長問題可以利用指數(shù)函數(shù)模型來解決。 (2)應(yīng)用指數(shù)函數(shù)模型時的關(guān)鍵

8、。關(guān)鍵是對模型的判斷，先設(shè)定模型，再將已知有關(guān)數(shù)據(jù)代入驗證，確定參數(shù)，從而確定函數(shù)模型。 (3)y＝a(1＋x)n通常利用指數(shù)運算與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求解。 【舉一反三】 里氏震級M的計算公式為：M＝lgA－lgA0，其中A是測震儀記錄的地震曲線的最大振幅，A0是相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)地震的振幅。假設(shè)在一次地震中，測震儀記錄的最大振幅是1 000，此時標(biāo)準(zhǔn)地震的振幅為0.001，則此次地震的震級為__________級；9級地震的最大振幅是5級地震最大振幅的__________倍。 【答案】6　10 000 【2017江蘇，14】設(shè)是定義在且周期為1的函數(shù)，在區(qū)間上, 其中集合，則方程的

9、解的個數(shù)是 ▲ . 【答案】8 【解析】由于，則需考慮的情況， 【2016高考北京文數(shù)】已知，，若點在線段上，則的最大值為（ ） A.?1 B.3 C.7 D.8 【答案】C 【解析】由題意得，AB：， ∴，當(dāng)時等號成立，即的最大值為7，故選C. 【2016高考北京文數(shù)】函數(shù)的最大值為_________. 【答案】2 【解析】，即最大值為2. 【2016高考四川文科】某公司為激勵創(chuàng)新，計劃逐年加大研發(fā)獎金投入.若該公司2015年全年投入研發(fā)資金130萬元，在此基礎(chǔ)上，每年投入的研發(fā)資金比

10、上一年增長12％，則該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過200萬元的年份是( ) (參考數(shù)據(jù)：lg1.12=0.05，lg1.3=0.11，lg2=0.30) (A)2018年 (B) 2019年 (C)2020年 (D)2021年 【答案】B 【2015高考上海，文21】（本小題14分）本題共2小題，第1小題6分，第2小題8分. 如圖，三地有直道相通，千米，千米，千米.現(xiàn)甲、乙兩警員同時從地出發(fā)勻速前往地，經(jīng)過小時，他們之間的距離為（單位：千米）.甲的路線是，速度為5千米/小時，乙的路線是，速度為8千米/小時.乙到達(dá)地后原地等待.設(shè)時乙到達(dá)地.

11、 （1）求與的值； （2）已知警員的對講機的有效通話距離是3千米.當(dāng)時，求的表達(dá)式，并判斷在上得最大值是否超過3？說明理由. 【答案】（1），千米；（2）超過了3千米. 【解析】（1），設(shè)此時甲運動到點，則千米， 所以千米. 【2015高考四川，文8】某食品的保鮮時間(單位：小時)與儲藏溫度(單位：℃)滿足函數(shù)關(guān)系(為自然對數(shù)的底數(shù)，為常數(shù)).若該食品在℃的保鮮時間是小時，在℃的保鮮時間是小時，則該食品在℃的保鮮時間是( ) (A)16小時 (B)20小時 (C)24小時 (D)21小時 【答案】C 【解析

12、】由題意，得，于是當(dāng)x＝33時，y＝e33k＋b＝(e11k)3·eb＝×192＝24(小時) （2014·北京卷）加工爆米花時，爆開且不糊的粒數(shù)占加工總粒數(shù)的百分比稱為“可食用率”．在特定條件下，可食用率p與加工時間t(單位：分鐘)滿足函數(shù)關(guān)系p＝at2＋bt＋c(a，b，c是常數(shù))，圖1-2記錄了三次實驗的數(shù)據(jù)．根據(jù)上述函數(shù)模型和實驗數(shù)據(jù)，可以得到最佳加工時間為(　　) 圖1-2 A．3.50分鐘 B．3.75分鐘 C．4.00分鐘 D．4.25分鐘 【答案】B　 （2014·陜西卷）如圖1-2所示，修建一條公路需要一段環(huán)湖彎曲路段與兩條直道平滑連接(相切)．已

13、知環(huán)湖彎曲路段為某三次函數(shù)圖像的一部分，則該函數(shù)的解析式為(　　) 圖1-2 A．y＝x3－x2－x B．y＝x3＋x2－3x C．y＝x3－x D．y＝x3＋x2－2x 【答案】A　 【解析】由題意可知，該三次函數(shù)的圖像過原點，則其常數(shù)項為0，不妨設(shè)其解析式為y＝f(x)＝ax3＋bx2＋cx，則f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，∴f′(0)＝－1，f′(2)＝3，可得c＝－1，3a＋b＝1.又y＝ax3＋bx2＋cx過點(2，0)，∴4a＋2b＝1，∴a＝，b＝－，c＝－1，∴y＝f(x)＝x3－x2－x. 1．抽氣機每次抽出容器內(nèi)空氣的60%，要使容器內(nèi)剩下的空氣

14、少于原來的0.1%，則至少要抽(參考數(shù)據(jù)：lg2＝0.301 0，lg3＝0.477 1)(　　) A． 15次　　　　　　　　　 B．14次 C．9次 D．8次 【答案】D 2．某位股民購進(jìn)某支股票，在接下來的交易時間內(nèi)，他的這支股票先經(jīng)歷了n次漲停(每次上漲10%)，又經(jīng)歷了n次跌停(每次下跌10%)，則該股民這支股票的盈虧情況(不考慮其他費用)為(　　) A．略有盈利 B．略有虧損 C．沒有盈利也沒有虧損 D．無法判斷盈虧情況 【答案】B 【解析】設(shè)該股民購進(jìn)股票的資金為a，則交易結(jié)束后，所剩資金為：a(1＋10%)n·(1－1

15、0%)n＝a·(1－0.01)n＝a·0.09n

16、導(dǎo)致交通事故的主要原因之一，交通法規(guī)規(guī)定：駕駛員在駕駛機動車時血液中酒精含量不得超過0.2 mg/mL.如果某人喝了少量酒后，血液中酒精含量將迅速上升到0.8 mg/mL，在停止喝酒后，血液中酒精含量就以每小時50%的速度減少，則他至少要經(jīng)過________小時后才可以駕駛機動車(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 5．某公司在甲、乙兩地銷售一種品牌車，利潤(單位：萬元)分別為L1＝5.06x－0.15x2和L2＝2x，其中x為銷售量(單位：輛)．若該公司在這兩地共銷售15輛車，則能獲得的最大利潤為(　　) A．45.606萬元 B．45.6萬元 C．45.56

17、萬元 D．45.51萬元 【答案】B 【解析】設(shè)在甲地銷售x輛車，則在乙地銷售(15－x)輛車，獲得的利潤為y＝5.06x－0.15x2＋2(15－x)＝－0.15x2＋3.06x＋30，當(dāng)x＝－＝10.2時，y最大，但x∈N*，所以當(dāng)x＝10時，ymax＝－15＋30.6＋30＝45.6，故選B. 6．某購物網(wǎng)站在2015年11月開展“全部6折”促銷活動，在11日當(dāng)天購物還可以再享受“每張訂單金額(6折后)滿300元時可減免100元”．某人在11日當(dāng)天欲購入原價48元(單價)的商品共42件，為使花錢總數(shù)最少，他最多需要下的訂單張數(shù)為(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案

18、】C 【解析】為使花錢總數(shù)最少，需使每張訂單滿足“每張訂單金額(6折后)滿300元時可減免100元”，即每張訂單打折前原金額不少于500元．由于每件原價48元，因此每張訂單至少11件，所以最多需要下的訂單張數(shù)為3張． 7．一水池有兩個進(jìn)水口，一個出水口，每個進(jìn)水口的進(jìn)水速度如圖甲所示．出水口的出水速度如圖乙所示，某天0點到6點，該水池的蓄水量如圖丙所示． 給出以下3個論斷：①0點到3點只進(jìn)水不出水；②3點到4點不進(jìn)水只出水；③4點到6點不進(jìn)水不出水，則一定正確的是(　　) A．① B．①② C．①③ D．①②③ 【答案】A 8．如圖所示，將桶1中的水緩慢注入空桶2中，開始

19、時桶1中有a升水，t min后剩余的水符合指數(shù)衰減曲線y1＝ae－nt，那么桶2中的水就是y2＝a－ae－nt.假設(shè)過5 min后，桶1和桶2的水量相等，則再過m min后桶1中的水只有升，則m的值為(　　) A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【解析】由題意得，ae－5n＝a－ae－5n，則e－n＝.再經(jīng)過m min后，桶1中的水只有升，則有ae－n(5＋m)＝，即e－n(5＋m)＝2－3，亦即＝3，∴＝3，解得m＝10.故選D. 9．某企業(yè)投入100萬元購入一套設(shè)備，該設(shè)備每年的運轉(zhuǎn)費用是0.5萬元，此外每年都要花費一定的維護(hù)費，每一年的維護(hù)費為2萬元，由于設(shè)備老化

20、，以后每年的維護(hù)費都比上一年增加2萬元．為使該設(shè)備年平均費用最低，該企業(yè)需要更新設(shè)備的年數(shù)為(　　) A．10 B．11 C．13 D．21 【答案】A 【解析】設(shè)該企業(yè)需要更新設(shè)備的年數(shù)為x，設(shè)備年平均費用為y，則x年后的設(shè)備維護(hù)費用為2＋4＋…＋2x＝x(x＋1)，所以x年的平均費用為y＝＝x＋＋1.5，由均值不等式得y＝x＋＋1.5≥2＋1.5＝21.5，當(dāng)且僅當(dāng)x＝，即x＝10時取等號，所以選A. 10．某學(xué)校制定獎勵條例，對在教育教學(xué)中取得優(yōu)異成績的教職工實行獎勵，其中有一個獎勵項目是針對學(xué)生高考成績的高低對任課教師進(jìn)行獎勵的．獎勵公式為f(n)＝k(n)(n－10)，n>

21、10(其中n是任課教師所在班級學(xué)生的該任課教師所教學(xué)科的平均成績與該科省平均分之差，f(n)的單位為元)，而k(n)＝現(xiàn)有甲、乙兩位數(shù)學(xué)任課教師，甲所教的學(xué)生高考數(shù)學(xué)平均分超出省平均分18分，而乙所教的學(xué)生高考數(shù)學(xué)平均分超出省平均分21分，則乙所得獎勵比甲所得獎勵多(　　) A．600元 B．900元 C．1 600元 D．1 700元 【答案】D 11．一個容器裝有細(xì)沙a cm3，細(xì)沙從容器底下一個細(xì)微的小孔慢慢地勻速漏出，t min后剩余的細(xì)沙量為y＝ae－bt(cm3)，若經(jīng)過8 min后發(fā)現(xiàn)容器內(nèi)還有一半的沙子，則再經(jīng)過________min，容器中的沙子只有開始時的八分之

22、一． 【答案】16 【解析】當(dāng)t＝0時，y＝a；當(dāng)t＝8時，y＝ae－8b＝a， ∴e－8b＝，容器中的沙子只有開始時的八分之一時， 即y＝ae－bt＝a. e－bt＝＝(e－8b)3＝e－24b，則t＝24，所以再經(jīng)過16 min. 12．如圖為某質(zhì)點在4秒鐘內(nèi)做直線運動時，速度函數(shù)v＝v(t)的圖象，則該質(zhì)點運動的總路程s等于________． 【答案】11 cm 【解析】該質(zhì)點運動的總路程等于下圖中陰影部分的面積， ∴s＝×(1＋3)×2＋2×3＋×1×2＝11 cm. 13．某市出租車收費標(biāo)準(zhǔn)如下：起步價為8元，起步里程為3 km(不超過3 km按起步價

23、收費)；超過3 km但不超過8 km時，超過部分按每千米2.15元收費；超過8 km時，超過部分按每千米2. 85元收費，另每次乘坐需付燃油附加費1元．現(xiàn)某人乘坐一次出租車付費22.6元，則此次出租車行駛了________ km. 【答案】9 14．為了預(yù)防流感，某學(xué)校對教室用藥熏消毒法進(jìn)行消毒．已知藥物釋放過程中，室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量y(毫克)與時間t(小時)成正比；藥物釋放完畢后，y與t的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)＝()t－a(a為常數(shù))，如圖所示，根據(jù)圖中提供的信息，回答下列問題： (1)從藥物釋放開始，每立方米空氣中的含藥量y(毫克)與時間t(小時)之間的函數(shù)關(guān)系式為____

24、__________________． (2)據(jù)測定，當(dāng)空氣中每立方米的含藥量不高于0.25毫克時，學(xué)生方可進(jìn)教室，那么從藥物釋放開始，至少需要經(jīng)過________小時后，學(xué)生才能回到教室． 【答案】(1)y＝　(2)0.6 15．為了保護(hù)環(huán)境，發(fā)展低碳經(jīng)濟(jì)，某單位在國家科研部門的支持下，進(jìn)行技術(shù)攻關(guān)，新上了把二氧化碳處理轉(zhuǎn)化為一種可利用的化工產(chǎn)品的項目，經(jīng)測算，該項目月處理成本y(元)與月處理量x(噸)之間的函數(shù)關(guān)系可近似地表示為y＝且每處理一噸二氧化碳得到可利用的化工產(chǎn)品價值為200元，若該項目不獲利，國家將給予補償． (1)當(dāng)x∈[200,300]時，判斷該項目能否獲利？若獲

25、利，求出最大利潤；若不獲利，則國家每月至少需要補貼多少元才能使該項目不虧損？ (2)該項目每月處理量為多少噸時，才能使每噸的平均處理成本最低？ 解：(1)當(dāng)x∈[200,300]時，設(shè)該項目獲利為S，則 S＝200x－(x2－200x＋80 000)＝－x2＋400x－80 000＝－(x－400)2， 所以當(dāng)x∈[200,300]時，S<0，因此該單位不會獲利． 當(dāng)x＝300時，S取得最大值－5 000，所以國家每月至少補貼5 000元才能使該項目不虧損． (2)由題意，可知二氧化碳的每噸處理成本為： 16．隨著私家車的逐漸增多，居民小區(qū)“停車難”問題日益突出．本市某居民小

26、區(qū)為緩解“停車難”問題，擬建造地下停車庫，建筑設(shè)計師提供了該地下停車庫的入口和進(jìn)入后的直角轉(zhuǎn)彎處的平面設(shè)計示意圖． (1)按規(guī)定，地下停車庫坡道口上方要張貼限高標(biāo)志，以便告知停車人車輛能否安全駛?cè)?，為?biāo)明限高，請你根據(jù)圖1所示數(shù)據(jù)計算限定高度CD的值；(精確到0.1 m) (下列數(shù)據(jù)僅供參考：sin20°≈0.342 0，cos20°≈0.939 7，tan20°≈0.364 0) (2)在車庫內(nèi)有一條直角拐彎車道，車道的平面圖如圖2所示，設(shè)∠PAB＝θ(rad)，車道寬為3米，現(xiàn)有一輛轉(zhuǎn)動靈活的小汽車，其水平截面圖為矩形，它的寬為1.8米，長為4.5米，問此車是否能順利通過此直角拐彎車道？ 解：(1)在△ABE中，∠ABE＝90°. ∴tan∠BAE＝，又AB＝10 m，∠BAE＝20°. ∴BE＝AB·tan∠BAE＝10tan20°≈3.6 m， ∵BC＝0.6 m，∴CE＝BE－BC＝3 m， 在△CED中，∵CD⊥AE. 17