2018年高考數(shù)學(xué) 專題37 直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系熱點題型和提分秘籍 理.doc

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1、 專題37 直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系 1．能根據(jù)給定直線、圓的方程，判斷直線與圓的位置關(guān)系；能根據(jù)給定兩個圓的方程判斷圓與圓的位置關(guān)系。 2．能用直線和圓的方程解決一些簡單的問題。 3．初步了解用代數(shù)方法處理幾何問題的思想。 熱點題型一 直線與圓的位置關(guān)系 例1、(1)已知點M(a，b)在圓O：x2＋y2＝1外，則直線ax＋by＝1與圓O的位置關(guān)系是(　　) A．相切 B．相交 C．相離 D．不確定 (2)直線x－y＋m＝0與圓x2＋y2－2x－1＝0有兩個不同交點的一個充分不必要條件是(　　) A．－3＜m＜1 B．－4＜m＜2 C．0＜m＜1

2、D．m＜1 解析：(1)由點M在圓外，得a2＋b2＞1，∴圓心O到直線ax＋by＝1的距離d＝＜1，則直線與圓O相交。 【提分秘籍】 判斷直線與圓的位置關(guān)系常見的方法 (1)幾何法：利用d與r的關(guān)系。 (2)代數(shù)法：聯(lián)立方程隨之后利用Δ判斷。 (3)點與圓的位置關(guān)系法：若直線恒過定點且定點在圓內(nèi)，可判斷直線與圓相交。 上述方法中最常用的是幾何法，點與圓的位置關(guān)系法適用于動直線問題。 【舉一反三】 若圓x2＋y2＝r2(r＞0)上僅有4個點到直線x－y－2＝0的距離為1，則實數(shù)r的取值范圍為(　　) A．(＋1，＋∞) B．(－1，＋1) C．(0, －1)

3、 D．(0，＋1) 解析：計算得圓心到直線l的距離為＝＞1，如圖。直線l：x－y－2＝0與圓相交，l1，l2與l平行，且與直線l的距離為1，故可以看出，圓的半徑應(yīng)該大于圓心到直線l2的距離＋1。 答案：A 熱點題型二 圓的切線與弦長問題 例2、(1)過點(3,1)作圓(x－1)2＋y2＝1的兩條切線，切點分別為A，B，則直線AB的方程為(　　) A．2x＋y－3＝0 B．2x－y－3＝0 C．4x－y－3＝0 D．4x＋y－3＝0 (2)過點(3,1)作圓(x－2)2＋(y－2)2＝4的弦，其中最短弦的長為__________。 【提分秘籍】 圓的切線與弦長

4、問題的解題策略 (1)處理直線與圓的弦長問題時多用幾何法，即弦長一半、弦心距、半徑構(gòu)成直角三角形。 (2)圓的切線問題的處理要抓住圓心到直線的距離等于半徑建立關(guān)系解決問題。 【舉一反三】 直線y＝kx＋3與圓(x－2)2＋(y－3)2＝4相交于M，N兩點，若|MN|≥2，則k的取值范圍是(　　) A. B. C．[－，] D. 解析： 如圖，若|MN|＝2，則由圓與直線的位置關(guān)系可知圓心到直線的距離滿足d2＝22－()2＝1。 ∵直線方程為y＝kx＋3， ∴d＝＝1，解得k＝±。 若|MN|≥2，則－≤k≤。 熱點題型三 圓與圓的位置關(guān)系 例3．已知

5、兩圓x2＋y2－2x－6y－1＝0和x2＋y2－10x－12y＋m＝0。 (1)m取何值時兩圓外切？ (2)m取何值時兩圓內(nèi)切？ (3)求m＝45時兩圓的公共弦所在直線的方程和公共弦的長。 解析：兩圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：(x－1)2＋(y－3)2＝11，(x－5)2＋(y－6)2＝61－m， 圓心分別為M(1,3)，N(5,6)，半徑分別為和。 (1)當(dāng)兩圓外切時， ＝＋， 解得m＝25＋10。 (2)當(dāng)兩圓內(nèi)切時，因定圓的半徑小于兩圓圓心間距離5，故只有－＝5，解得m＝25－10。 (3)兩圓的公共弦所在直線方程為 (x2＋y2－2x－6y－1)－(x2＋y2－10x－12y

6、＋45)＝0，即4x＋3y－23＝0， ∴公共弦長為2＝2。 【提分秘籍】 圓與圓的位置關(guān)系的求解策略 (1)判斷兩圓的位置關(guān)系常用幾何法，即用兩圓圓心距與兩圓半徑和與差之間的關(guān)系，一般不采用代數(shù)法。 (2)當(dāng)兩圓相交時求其公共弦所在的直線方程是公共弦長，只要把兩圓方程相減消掉二次項所得方程就是公共弦所在的直線方程，再根據(jù)其中一個圓和這條直線就可以求出公共弦長。 【舉一反三】 若圓(x－a)2＋(y－b)2＝b2＋1始終平分圓(x＋1)2＋(y＋1)2＝4的周長，則a，b滿足的關(guān)系是(　　) A．a(chǎn)2＋2a＋2b－3＝0 B．a(chǎn)2＋b2＋2a＋2b＋5＝0 C．a(chǎn)2＋2a

7、＋2b＋5＝0 D．a(chǎn)2－2a－2b＋5＝0 解析：兩圓的公共弦必過(x＋1)2＋(y＋1)2＝4的圓心，兩圓相減得相交弦的方程為－2(a＋1)x－2(b＋1)y＋a2＋1＝0，將圓心坐標(biāo)(－1，－1)代入可得a2＋2a＋2b＋5＝0，故選C。 答案：C 1.【2017課標(biāo)II，理9】若雙曲線（，）的一條漸近線被圓所截得的弦長為2，則的離心率為（ ） A．2 B． C． D． 【答案】A 1.【2016高考新課標(biāo)2理數(shù)】圓的圓心到直線的距離為1，則a=（

8、） （A） （B） （C） （D）2 【答案】A 【解析】圓的方程可化為，所以圓心坐標(biāo)為，由點到直線的距離公式得： ，解得，故選A． 2.【2016高考新課標(biāo)1卷】（本小題滿分12分）設(shè)圓的圓心為A,直線l過點B（1,0）且與x軸不重合,l交圓A于C,D兩點,過B作AC的平行線交AD于點E. （I）證明為定值,并寫出點E的軌跡方程； （II）設(shè)點E的軌跡為曲線C1,直線l交C1于M,N兩點,過B且與l垂直的直線與圓A交于P,Q兩點,求四邊形MPNQ面積的取值范圍. 【答案】（Ⅰ）（）（II） （Ⅱ）當(dāng)與軸不垂

9、直時，設(shè)的方程為，，. 由得. 則，. 所以. 過點且與垂直的直線：，到的距離為，所以 .故四邊形的面積 . 可得當(dāng)與軸不垂直時，四邊形面積的取值范圍為. 當(dāng)與軸垂直時，其方程為，，，四邊形的面積為12. 綜上，四邊形面積的取值范圍為. 3.【2016高考江蘇卷】（本小題滿分16分） 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知以為圓心的圓及其上一點 （1）設(shè)圓與軸相切，與圓外切，且圓心在直線上，求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； （2）設(shè)平行于的直線與圓相交于兩點，且,求直線的方程； （3）設(shè)點滿足：存在圓上的兩點和,使得,求實數(shù)的取值范圍。 【答案】（1）（2）（3） 【解析】

10、解：圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以圓心M（6，7），半徑為5，. （1）由圓心N在直線x=6上，可設(shè).因為N與x軸相切，與圓M外切， 所以，于是圓N的半徑為，從而，解得. 因此，圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程為. （2）因為直線l∥OA，所以直線l的斜率為. 設(shè)直線l的方程為y=2x+m，即2x-y+m=0， 則圓心M到直線l的距離 因為 而 所以，解得m=5或m=-15. 故直線l的方程為2x-y+5=0或2x-y-15=0. （3）設(shè) 因為，所以 ……① 因為點Q在圓M上，所以 …….② 將①代入②，得. 于是點既在圓M上，又在圓上， 從而圓與圓沒有公共點， 所以 解

11、得. 因此，實數(shù)t的取值范圍是. 1.【2015高考重慶，理8】已知直線l：x+ay-1=0（aR）是圓C：的對稱軸.過點A（-4，a）作圓C的一條切線，切點為B，則|AB|=　　　?。ā　。? A、2 B、 C、6 D、 【答案】C 【解析】圓標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為，因此，，即，.選C. 2.【2015高考廣東，理5】平行于直線且與圓相切的直線的方程是（ ） A．或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】． 【解析】依題可

12、設(shè)所求切線方程為，則有，解得，所以所求切線的直線方程為或，故選． 3.【2015高考山東，理9】一條光線從點射出，經(jīng)軸反射后與圓相切，則反射光線所在直線的斜率為（ ） （A）或 （B） 或 （C）或 （D）或 【答案】D 4.【2015高考湖北，理14】如圖，圓與軸相切于點，與軸正半軸交于兩點（在的上方）， 且． （Ⅰ）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ； （Ⅱ）過點任作一條直線與圓相交于兩點，下列三個結(jié)論： ①； ②； ③． 其中正確結(jié)論的序號是 . （寫出所有正確結(jié)論的序號） 【答案】（Ⅰ）

13、；（Ⅱ）①②③ 【解析】（Ⅰ）依題意，設(shè)（為圓的半徑），因為，所以，所以圓心，故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為. （Ⅱ）聯(lián)立方程組，解得或，因為在的上方， 所以，， 令直線的方程為，此時，， 所以，，， 因為，，所以. 所以， ， 正確結(jié)論的序號是①②③. 5.【2015江蘇高考，10】在平面直角坐標(biāo)系中，以點為圓心且與直線相切的所有圓中，半徑最大的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 【答案】 【解析】由題意得：半徑等于，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以半徑最大為，所求圓為 1．（2014·安徽卷）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知向量a，b，|a|＝|b|＝1，a·b＝0，點Q滿足＝(a＋b)

14、．曲線C＝{P|＝acos θ＋bsin θ，0≤θ<2π}，區(qū)域Ω＝{P|0＜r≤|PQ|≤R，r＜R}．若C∩Ω為兩段分離的曲線，則(　　) A．1＜r＜R＜3 B．1＜r＜3≤R C．r≤1＜R＜3 D．1＜r＜3＜R 【答案】A　 【解析】由已知可設(shè)＝a＝(1，0)，＝b＝(0，1)，P(x，y)，則＝(，)，|OQ|＝2. 曲線C＝{P|＝(cos θ，sin θ)，0≤θ<2π}， 即C：x2＋y2＝1. 區(qū)域Ω＝{P|0

15、C∩Ω為兩段分離的曲線，則有1

16、＝0，解得t＝－. 當(dāng)x0＝t時，y0＝－，代入橢圓C的方程， 得t＝±， 故直線AB的方程為x＝±.圓心O到直線AB的距離d＝， 此時直線AB與圓x2＋y2＝2相切． 當(dāng)x0≠t時，直線AB的方程為y－2＝(x－t)， 即(y0－2)x－(x0－t)y＋2x0－ty0＝0. 圓心O到直線AB的距離 d＝. 又x＋2y＝4，t＝－，故 d＝＝＝. 此時直線AB與圓x2＋y2＝2相切． 3．（2014·福建卷）直線l：y＝kx＋1與圓O：x2＋y2＝1相交于A，B兩點，則“k＝1”是“△OAB的面積為”的(　　) A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．

17、充分必要條件 D．既不充分又不必要條件 【答案】A　 【解析】由直線l與圓O相交，得圓心O到直線l的距離d＝<1，解得k≠0. 當(dāng)k＝1時，d＝，|AB|＝2＝，則△OAB的面積為××＝； 當(dāng)k＝－1時，同理可得△OAB的面積為，則“k＝1”是“△OAB的面積為”的充分不必要條件． 4．（2014·湖北卷）直線l1：y＝x＋a和l2：y＝x＋b將單位圓C：x2＋y2＝1分成長度相等的四段弧，則a2＋b2＝________. 【答案】2　 【解析】依題意得，圓心O到兩直線l1：y＝x＋a，l2：y＝x＋b的距離相等，且每段弧長等于圓周的，即＝＝1×sin 45°，得 |a|＝

18、|b|＝1.故a2＋b2＝2. 5．（2014·全國卷）直線l1和l2是圓x2＋y2＝2的兩條切線．若l1與l2的交點為(1，3)，則l1與l2的夾角的正切值等于________． 【答案】　 【解析】如圖所示，根據(jù)題意，OA⊥PA，OA＝，OP＝，所以PA＝＝2 ，所以tan∠OPA＝＝＝，故tan∠APB＝＝，即l1與l2的夾角的正切值等于. 6．（2014·山東卷）已知函數(shù)y＝f(x)(x∈R)，對函數(shù)y＝g(x)(x∈I)，定義g(x)關(guān)于f(x)的“對稱函數(shù)”為函數(shù)y＝h(x)(x∈I)，y＝h(x)滿足：對任意x∈I，兩個點(x，h(x))，(x，g(x))關(guān)于點(x，

19、f(x))對稱．若h(x)是g(x)＝關(guān)于f(x)＝3x＋b的“對稱函數(shù)”，且h(x)＞g(x)恒成立，則實數(shù)b的取值范圍是________． 【答案】(2，＋∞)　 7．（2014·陜西卷）若圓C的半徑為1，其圓心與點(1，0)關(guān)于直線y＝x對稱，則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為________． 【答案】x2＋(y－1)2＝1　 【解析】由圓C的圓心與點(1，0)關(guān)于直線y＝x對稱，得圓C的圓心為(0，1)．又因為圓C的半徑為1，所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＋(y－1)2＝1. 8．（2014·四川卷）設(shè)m∈R，過定點A的動直線x＋my＝0和過定點B的動直線mx－y－m＋3＝0交于點P(x，y

20、)，則|PA|·|PB|的最大值是________． 【答案】5　 【解析】由題意可知，定點A(0，0)，B(1，3)，且兩條直線互相垂直，則其交點P(x，y)落在以AB為直徑的圓周上， 所以|PA|2＋|PB|2＝|AB|2＝10. ∴|PA||PB|≤＝5， 當(dāng)且僅當(dāng)|PA|＝|PB|時等號成立． 9．（2014·重慶卷）已知直線ax＋y－2＝0與圓心為C的圓(x－1)2＋(y－a)2＝4相交于A，B兩點，且△ABC為等邊三角形，則實數(shù)a＝________． 【答案】4±　 【解析】由題意可知圓的圓心為C(1，a)，半徑r＝2，則圓心C到直線ax＋y－2＝0的距離d＝＝.∵

21、△ABC為等邊三角形，∴|AB|＝r＝2.又|AB|＝2，∴2＝2，即a2－8a＋1＝0，解得a＝4±. 10．（2014·重慶卷）如圖1-4所示，設(shè)橢圓＋＝1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點D在橢圓上，DF1⊥F1F2，＝2，△DF1F2的面積為. (1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； (2)設(shè)圓心在y軸上的圓與橢圓在x軸的上方有兩個交點，且圓在這兩個交點處的兩條切線相互垂直并分別過不同的焦點，求圓的半徑． 圖1-4 【解析】解：(1)設(shè)F1(－c，0)，F(xiàn)2(c，0)，其中c2＝a2－b2. 由＝2得|DF1|＝＝c. 從而S△DF1F2＝|DF1||F1F2|＝c2＝

22、，故c＝1. 從而|DF1|＝，由DF1⊥F1F2得|DF2|2＝|DF1|2＋|F1F2|2＝，因此|DF2|＝， 所以2a＝|DF1|＋|DF2|＝2，故a＝，b2＝a2－c2＝1. 因此，所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋y2＝1. (2)如圖所示，設(shè)圓心在y軸上的圓C與橢圓＋y2＝1相交，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是兩個交點，y1>0，y2>0，F(xiàn)1P1，F(xiàn)2P2是圓C的切線，且F1P1⊥F2P2.由圓和橢圓的對稱性，易知，x2＝－x1，y1＝y(tǒng)2，|P1P2|＝2|x1|. 由(1)知F1(－1，0)，F(xiàn)2(1，0)，所以＝(x1＋1，y1)，＝(－x1－1，y1)．再

23、由F1P1⊥F2P2得－(x1＋1)2＋y＝0.由橢圓方程得1－＝(x1＋1)2，即3x＋4x1＝0，解得x1＝－或x1＝0. 當(dāng)x1＝0時，P1，P2重合，此時題設(shè)要求的圓不存在． 當(dāng)x1＝－時，過P1，P2分別與F1P1，F(xiàn)2P2垂直的直線的交點即為圓心C. 由F1P1，F(xiàn)2P2是圓C的切線，且F1P1⊥F2P2，知CP1⊥CP2.又|CP1|＝|CP2|，故圓C的半徑|CP1|＝|P1P2|＝|x1|＝. 1．過點P(－，－1)的直線l與圓x2＋y2＝1有公共點，則直線l的傾斜角的取值范圍是(　　) A. B. C. D. 解析：方法一：設(shè)直線l的傾斜角為θ，數(shù)形結(jié)

24、合可知：θmin＝0，θmax＝2×＝。 方法二：因為直線l與x2＋y2＝1有公共點，所以設(shè)l：y＋1＝k(x＋)，即l：kx－y＋k－1＝0，則圓心(0,0)到直線l的距離≤1，得k2－k≤0，即0≤k≤，故直線l的傾斜角的取值范圍是。 答案：D 2．若圓C1：x2＋y2＝1與圓C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，則m＝(　　) A．21 B．19 C．9 D．－11 解析：圓C1的圓心是原點(0,0)，半徑r1＝1，圓C2：(x－3)2＋(y－4)2＝25－m，圓心C2(3,4)，半徑r2＝，由兩圓相外切，得|C1C2|＝r1＋r2＝1＋＝5，所以m＝9。 答案：C

25、 3．已知圓x2＋y2＋2x－2y＋a＝0截直線x＋y＋2＝0所得弦的長度為4，則實數(shù)a的值是(　　) A．－2 B．－4 C．－6 D．－8 解析：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x＋1)2＋(y－1)2＝2－a，圓心C(－1,1)，半徑r滿足r2＝2－a，則圓心C到直線x＋y＋2＝0的距離d＝＝。所以r2＝4＋2＝2－a?a＝－4。 答案：B 4．已知圓C：(x－3)2＋(y－4)2＝1和兩點A(－m,0)，B(m,0)(m＞0)。若圓C上存在點P，使得∠APB＝90°，則m的最大值為(　　) A．7 B．6 C．5 D．4 解析：因為圓C的圓心為(3,4)，半徑為1，|OC|＝

26、5，所以以原點為圓心、以m為半徑與圓C有公共點的最大圓的半徑為6，所以m的最大值為6，故選B。 答案：B 5．若圓C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0關(guān)于直線2ax＋by＋6＝0對稱，則由點(a，b)向圓所作的切線長的最小值是(　　) A．2 B．3 C．4 D．6 6．設(shè)點M(x0,1)，若在圓O：x2＋y2＝1上存在點N，使得∠OMN＝45°，則x0的取值范圍是(　　) A．[－1,1] B. C．[－，] D. 解析：當(dāng)點M的坐標(biāo)為(1,1)時，圓上存在點N(1,0)，使得∠OMN＝45°，所以x0＝1符合題意，故排除B，D；當(dāng)點M的坐標(biāo)為(，1)時，OM＝，過

27、點M作圓O的一條切線MN′，連接ON′，則在Rt△OMN′中，sin∠OMN′＝＜，則∠OMN′＜45°，故此時在圓O上不存在點N，使得∠OMN＝45°，即x0＝不符合題意，排除C，故選A。 答案：A 7．圓心在直線x－2y＝0上的圓C與y軸的正半軸相切，圓C截x軸所得弦的長為2，則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為__________。 解析：依題意，設(shè)圓心的坐標(biāo)為(2b，b)(其中b＞0)，則圓C的半徑為2b，圓心到x軸的距離為b，所以2＝2，b＞0，解得b＝1，故所求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－2)2＋(y－1)2＝4。 答案：(x－2)2＋(y－1)2＝4 8．已知直線x－y＋a＝0與圓心為C的圓x

28、2＋y2＋2x－4y－4＝0相交于A，B兩點，且AC⊥BC，則實數(shù)a的值為__________。 解析：圓C：x2＋y2＋2x－4y－4＝0的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x＋1)2＋(y－2)2＝9，所以圓心為C(－1,2)，半徑為3.因為AC⊥BC，所以圓心C到直線x－y＋a＝0的距離為，即＝，所以a＝0或6。 答案：0或6 9．已知圓O：x2＋y2＝1和點A(－2,0)，若定點B(b,0)(b≠－2)和常數(shù)λ滿足：對圓O上任意一點M，都有|MB|＝λ|MA|，則 (1)b＝__________； (2)λ＝__________。 解析：設(shè)M(x，y)，則x2＋y2＝1，y2＝1－x2， λ2

29、＝＝ ＝＝ ＝－＋。 ∵λ為常數(shù)， ∴b2＋b＋1＝0，解得b＝－或b＝－2(舍去)。 ∴λ2＝－＝，解得λ＝或λ＝－(舍去)。 答案：－　 10．已知：圓C：x2＋y2－8y＋12＝0，直線l：ax＋y＋2a＝0。 (1)當(dāng)a為何值時，直線l與圓C相切； (2)當(dāng)直線l與圓C相交于A，B兩點，且|AB|＝2時，求直線l的方程。 解析：將圓C的方程x2＋y2－8y＋12＝0化成標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＋(y－4)2＝4，則此圓的圓心為(0,4)，半徑為2。 (1)若直線l與圓C相切，則有＝2， 解得a＝－。 11．已知圓M：x2＋(y－2)2＝1，Q是x軸上的動點，QA，Q

30、B分別切圓M于A，B兩點。 (1)若Q(1,0)，求切線QA，QB的方程； (2)求四邊形QAMB面積的最小值； (3)若|AB|＝，求直線MQ的方程。 解析：(1)設(shè)過點Q的圓M的切線方程為x＝my＋1， 則圓心M到切線的距離為1， ∴＝1，∴m＝－或0， ∴QA，QB的方程分別為3x＋4y－3＝0和x＝1。 (2)∵MA⊥AQ，∴S四邊形MAQB＝|MA|·|QA|＝|QA|＝＝≥＝。 ∴四邊形QAMB面積的最小值為。 (3)設(shè)AB與MQ交于P， 則MP⊥AB，MB⊥BQ，∴|MP|＝＝。 在Rt△MBQ中，|MB|2＝|MP||MQ|， 即1＝|MQ|， ∴|MQ|＝3，∴x2＋(y－2)2＝9.設(shè)Q(x,0)， 則x2＋22＝9，∴x＝±，∴Q(±，0)， ∴MQ的方程為2x＋y－2＝0或 2x－y＋2＝0。 12．已知點P(2,2)，圓C：x2＋y2－8y＝0，過點P的動直線l與圓C交于A，B兩點，線段AB的中點為M，O為坐標(biāo)原點。 (1)求M的軌跡方程； (2)當(dāng)|OP|＝|OM|時，求l的方程及△POM的面積。 - 20 -