16、
③利用數(shù)與形的結(jié)合，挖掘數(shù)學(xué)表達式的幾何特征，進而求解；
④利用函數(shù)最值的研究方法，將其轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題來處理，此時，應(yīng)注意橢圓中x、y的取值范圍，常常是化為閉區(qū)間上的二次函數(shù)的最值來求解.
5．已知直線x+ky-3=0所經(jīng)過的定點F恰好是橢圓C的一個焦點,且橢圓C上的點到點F的最大距離為8.
（1）求橢圓C的標(biāo)準方程;
（2）已知圓O:x2+y2=1,直線l:mx+ny=1,試證:當(dāng)點P(m,n)在橢圓C上運動時,直線l與圓O恒相交,并求直線l被圓O所截得的弦長L的取值范圍.
?【答案】（1）+=1.（2）≤L≤.
（2）因為點P(m,n)在橢圓C上,所以+=1,
17、即n2=16-.
又原點到直線l:mx+ny=1的距離,所以直線l:mx+ny=1與圓O:x2+y2=1恒相交,則,因為-5≤m≤5,所以≤L≤.
易錯點6 忽略雙曲線定義中的限制條件
已知F1(－5，0)，F(xiàn)2(5，0)，動點P滿足|PF1|－|PF2|＝2a，當(dāng)a為3和5時，點P的軌跡分別為
A．雙曲線和一條直線 B．雙曲線和一條射線
C．雙曲線的一支和一條直線 D．雙曲線的一支和一條射線
【錯解】依題意得，當(dāng)時，，故點P的軌跡為雙曲線；當(dāng)時，，故點P的軌跡為一條射線．故選B．
【錯因分析】錯解中忽略了雙曲線定義中的限制條件“差的絕對值”，從而導(dǎo)致錯誤．
【試題解析】
18、依題意得，當(dāng)時，，且，點P的軌跡為雙曲線的右支；當(dāng)時，，故點P的軌跡為一條射線．故選D．
【參考答案】D．
在求解與雙曲線有關(guān)的軌跡問題時，準確理解雙曲線的定義，才能正確解題．
當(dāng)||MF1|－|MF2||＝2a＜|F1F2|(a＞0)，即|MF1|－|MF2|＝±2a，0＜2a＜|F1F2|時，點M的軌跡是雙曲線，其中取正號時為雙曲線的右(上)支，取負號時為雙曲線的左(下)支；
當(dāng)||MF1|－|MF2||＝2a＝|F1F2|(a＞0)時，點M的軌跡是以點F1，F(xiàn)2為端點的兩條射線；
當(dāng)||MF1|－|MF2||＝2a＞|F1F2|(a＞0)時，點M的軌跡不存在．
6．
19、當(dāng)0°≤α≤180°時，方程x2cosα＋y2sinα＝1表示的曲線怎樣變化？
易錯點7 忽略雙曲線中的隱含條件
已知M是雙曲線上一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2是雙曲線的左、右焦點，且，則_____________．
【錯解】由雙曲線的定義可知，，因為，所以或．
【錯因分析】錯解忽略了雙曲線中的一個隱含條件，即雙曲線上的點到任一焦點的距離都大于等于c－a，從而兩解中要舍去不滿足要求的那個．
【試題解析】由雙曲線方程可得，，，
由雙曲線的圖形可得點M到右焦點F2的距離．
因為，，所以(舍去)或．
【參考答案】33
1．在求解雙曲線上的點到焦點的距離d時，一定要注意這一隱含條件．
20、
2．雙曲線方程中的大小關(guān)系是不確定的，但必有.
3．由,知≥1,所以x≤-a或x≥a,因此雙曲線位于不等式x≥a和x≤-a所表示的平面區(qū)域內(nèi),同時,也指明了坐標(biāo)系內(nèi)雙曲線上點的橫坐標(biāo)的取值范圍.
關(guān)于雙曲線內(nèi)線段最長或最短（距離最遠或最近）問題，有以下結(jié)論：
（1）雙曲線的左、右頂點距離相應(yīng)焦點最近；
（2）雙曲線上一點與某焦點的距離的值最小為c-a；
（3）對于已知雙曲線內(nèi)（或外）一定點M，求雙曲線上一點P，使得點P與相應(yīng)焦點的距離與的和最小的問題，當(dāng)涉及的三點共線時取得最值.
7．已知雙曲線x2-=1的左頂點為A1,右焦點為F2,P為雙曲線右支上一點,則·的最小值
21、為_______.?
【答案】-2
易錯點8 忽略雙曲線的焦點所在位置的討論
已知雙曲線的漸近線方程是，焦距為，求雙曲線的標(biāo)準方程．
【錯解】由題意知，且，兩式聯(lián)立解得，，所以所求雙曲線的標(biāo)準方程為．
【錯因分析】錯解的原因是未審清題目條件，而誤認為焦點一定在x軸上，從而導(dǎo)致漏解．
【試題解析】當(dāng)雙曲線的焦點在x軸上時，由且，兩式聯(lián)立解得，，所以所求雙曲線的標(biāo)準方程為；
當(dāng)雙曲線的焦點在y軸上時，由且，兩式聯(lián)立解得，，所以所求雙曲線的標(biāo)準方程為．
綜上，所求雙曲線的標(biāo)準方程為或．
【參考答案】或．
1．求解雙曲線的標(biāo)準方程時，先確定雙曲線的類型，也就是確定雙曲線
22、的焦點所在的坐標(biāo)軸是x軸還是y軸，從而設(shè)出相應(yīng)的標(biāo)準方程的形式，然后利用待定系數(shù)法求出方程中的的值，最后寫出雙曲線的標(biāo)準方程.
對于方程
表示焦點在x軸上的雙曲線
表示焦點在y軸上的雙曲線
表示雙曲線
對于雙曲線的漸近線，有下面兩種考查方式：
（1）已知雙曲線的方程求其漸近線方程;
（2）給出雙曲線的漸近線方程求雙曲線方程，由漸近線方程可確定a,b的關(guān)系，結(jié)合已知條件可解.
注意：焦點在x軸上，漸近線方程為；焦點在y軸上，漸近線方程為．
2．在求雙曲線的方程時，若不知道焦點的位置，則進行討論，或可直接設(shè)雙曲線的方程為.
已知雙曲線的漸近線方程，而不知焦點所在的坐標(biāo)
23、軸時，雙曲線的方程有兩個，為避免分類討論，可設(shè)雙曲線方程為．
因此，與雙曲線(a＞0，b＞0)有共同漸近線的雙曲線方程為；與雙曲線(a＞0，b＞0)有共同漸近線的雙曲線方程為．
8．雙曲線的漸近線方程為y＝±x，則離心率為
A． B．
C．或 D．或
【答案】C
由條件尋找滿足的等式或不等式，一般利用雙曲線中的關(guān)系將雙曲線的離心率公式變形，即，注意區(qū)分雙曲線中的關(guān)系與橢圓中的關(guān)系，在橢圓中，而在雙曲線中.
易錯點9 忽略直線與雙曲線只有一個公共點的特殊情況
若過點且斜率為k的直線與雙曲線只有一個公共點，則___________．
【錯解】由題意可得，代入雙曲
24、線方程得．
由題意可知，解得．
【錯因分析】錯解中忽略了直線與雙曲線的漸近線平行時，直線與雙曲線只有一個公共點．
【試題解析】由題意可得，代入雙曲線方程得．
當(dāng)，即時，直線l與雙曲線的漸近線平行，直線與雙曲線只有一個公共點；
當(dāng)時，，解得．
綜上，當(dāng)或時，直線與雙曲線只有一個公共點．
【方法點睛】解決直線與雙曲線的位置關(guān)系的題目時，要注意討論聯(lián)立直線與雙曲線的方程消元后得到的方程是否為一元一次方程，即二次項系數(shù)是否為0，因為直線與雙曲線有一個公共點包含直線與雙曲線的漸近線平行的情況．
【參考答案】或.
1． 直線與雙曲線有三種位置關(guān)系：
（1）無公共點，此時直線有可能
25、為雙曲線的漸近線．
（2）有一個公共點，分兩種情況：
①直線是雙曲線的切線，特別地，直線過雙曲線一個頂點，且垂直于實軸；
②直線與雙曲線的一條漸近線平行，與雙曲線的一支有一個公共點．
（3）有兩個公共點，可能都在雙曲線一支上，也可能兩支上各有一點．
2．研究直線與雙曲線位置關(guān)系的一般思路仍然是聯(lián)立二者的方程，解方程組或者轉(zhuǎn)化為一元二次方程，依據(jù)根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系求解．要注意討論轉(zhuǎn)化以后的方程的二次項系數(shù)，即若二次項系數(shù)為0，則直線與雙曲線的漸近線平行或重合；若二次項系數(shù)不為0，則進一步研究二次方程的根的判別式，得到直線與雙曲線的交點個數(shù)．
9．已知雙曲線C:2x2-y2
26、=2與點P(1,2).
（1）若直線l過點P,求當(dāng)直線l與雙曲線C分別有一個交點、兩個交點、沒有交點時直線l的斜率k滿足的條件;
（2）若Q(1,1),試判斷以Q為中點的弦是否存在.
【答案】（1）見解析；（2）以Q為中點的弦不存在.
②當(dāng)Δ>0時,k<,且k≠±,即當(dāng)k<-或-時,方程(*)無解,即l與C沒有交點.
綜上,當(dāng)k=±或k=時,l與C只有一個交點;
當(dāng)時,l與C沒有交點.
易錯點10 忽略拋物線定義中的限制條件
27、
已知點P到F(4，0)的距離與到直線的距離相等，求點P的軌跡方程．
【錯解】由拋物線的定義，可知點P的軌跡是拋物線．
因為焦點在x軸上，開口向右，焦點到準線的距離，所以拋物線的方程為．
【錯因分析】點P到F(4，0)的距離與到直線的距離相等，滿足拋物線的定義，但，故此拋物線的方程不是標(biāo)準方程．
【試題解析】設(shè)點P(x，y)，則由題意，得，
化簡整理得，此即所求的軌跡方程．
【參考答案】.
1．拋物線的標(biāo)準方程是特殊的拋物線方程，對坐標(biāo)軸的位置有嚴格的要求．若從題意中無法判斷方程是否為標(biāo)準方程，可按求曲線方程的一般步驟求解．
2．拋物線定義中要求直線l不經(jīng)過點F，若l經(jīng)
28、過F點，則軌跡為過定點F且垂直于定直線l的一條直線．因此當(dāng)動點P到定點F的距離與它到定直線l的距離相等時，不能盲目套用拋物線定義．
10．動點P到定點F(1，1)的距離與它到直線的距離相等，則動點P的軌跡是
A．橢圓 B．雙曲線
C．拋物線 D．直線
【答案】D
易錯點11 忽略拋物線的焦點所在位置的討論
設(shè)拋物線y2＝mx的準線與直線x＝1的距離為3，求拋物線的方程.
【錯解】易知準線方程為x＝－，
因為準線與直線x＝1的距離為3，
所以準線方程為x＝－2，
所以－＝－2，解得m＝8，
故拋物線方程為y2＝8x.
【錯因分析】題目條件中未給出m的符號，當(dāng)
29、m>0或m<0時，拋物線的準線是不同的，錯解中考慮問題欠周到．
【參考答案】y2＝8x或y2＝－16x.
1．拋物線的四種標(biāo)準方程與對應(yīng)圖形如下表所示：
圖 形
標(biāo)準方程
焦點坐標(biāo)
準線方程
注：拋物線標(biāo)準方程中參數(shù)p的幾何意義是：拋物線的焦點到準線的距離，所以p的值永遠大于0．
2．求拋物線標(biāo)準方程的常用方法是待定系數(shù)法，其關(guān)鍵是判斷焦點的位置、開口方向，在方程的類型已經(jīng)確定的前提下，由于標(biāo)準方程只有一個參數(shù)，只需一個條件就可以確定拋物線的標(biāo)準方程.用待定系數(shù)法求拋物線標(biāo)準方程的步驟：
若無法確定拋
30、物線的位置，則需分類討論.特別地，已知拋物線上一點的坐標(biāo)，一般有兩種標(biāo)準方程.
11．頂點在原點，焦點在x軸上且通徑長為6的拋物線的標(biāo)準方程為________.
【答案】y2＝±6x.
本題若只考慮焦點在x軸的正半軸上的情況，而忽略了焦點也可能在x軸的負半軸上的情況，則會出現(xiàn)漏解．
易錯點12 忽略直線與拋物線有一個公共點的特殊情況
求過定點，且與拋物線只有一個公共點的直線l的方程．
【錯解】當(dāng)直線l的斜率不存在時，顯然不滿足題意．
當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為，
由消去x，得，
則，解得．
故所求直線l的方程為或．
【錯因分析】錯解中忽略了
31、與拋物線的對稱軸平行的直線與拋物線有一個公共點，故產(chǎn)生漏解．
【試題解析】當(dāng)直線l的斜率不存在時，顯然不滿足題意．
當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)l：，
當(dāng)時，直線l的方程為，此時直線l與拋物線只有一個公共點．
當(dāng)時，與拋物線方程聯(lián)立消去x，得，
則，解得，
此時直線l的方程為或．
綜上，直線l的方程為或或．
【參考答案】直線l的方程為或或．
直線與拋物線公共點的個數(shù)等價于方程組的解的個數(shù)．
（1）若，則當(dāng)時，直線和拋物線相交，有兩個公共點；當(dāng)時，直線和拋物線相切，有一個公共點；當(dāng)時，直線和拋物線相離，無公共點．
（2）若，則直線與拋物線相交，有一個公共點．特別地，當(dāng)直線l
32、的斜率不存在時，設(shè)，則當(dāng)時，直線l與拋物線相交，有兩個公共點；當(dāng)時，直線l與拋物線相切，有一個公共點；當(dāng)時，直線l與拋物線相離，無公共點．
12．若直線y=kx-1與拋物線y2=4x有且只有一個公共點,則k的值為_______.
【答案】-1或0
本題易忽略直線平行于拋物線的對稱軸時，直線與拋物線也只有一個交點,而漏掉k=0.
一、曲線與方程
1．求曲線方程的步驟
求曲線的方程，一般有下面幾個步驟：
（1）建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，用有序?qū)崝?shù)對(x，y)表示曲線上任意一點M的坐標(biāo)；
（2）寫出適合條件p的點M的集合；
（3）用坐標(biāo)表示條件p(M)，列出方程；
（4
33、）化方程為最簡形式；
（5）說明以化簡后的方程的解為坐標(biāo)的點都在曲線上．
一般地，化簡前后方程的解集是相同的，步驟（5）可以省略不寫．若遇到某些點雖適合方程，但不在曲線上時，可通過限制方程中x，y的取值范圍予以剔除．另外，也可以根據(jù)情況省略步驟（2），直接列出曲線方程．
2．兩曲線的交點
（1）由曲線方程的定義可知，兩條曲線交點的坐標(biāo)應(yīng)該是兩個曲線方程的公共解，即兩個曲線方程組成的方程組的實數(shù)解；反過來，方程組有幾組解，兩條曲線就有幾個交點；方程組無解，兩條曲線就沒有交點．
（2）兩條曲線有交點的充要條件是它們的方程所組成的方程組有實數(shù)解．可見，求曲線的交點問題，就是求由它們的方程
34、所組成的方程組的實數(shù)解問題.
二、橢圓
1．橢圓的定義
平面上到兩定點的距離的和為常數(shù)（大于兩定點之間的距離）的點的軌跡是橢圓. 這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩個定點之間的距離叫做橢圓的焦距，記作.
定義式：.
要注意，該常數(shù)必須大于兩定點之間的距離，才能構(gòu)成橢圓.
2．橢圓的標(biāo)準方程
焦點在軸上，；
焦點在軸上，.
說明：要注意根據(jù)焦點的位置選擇橢圓方程的標(biāo)準形式，知道之間的大小關(guān)系和等量關(guān)系：.
3．橢圓的幾何性質(zhì)
標(biāo)準方程
(a＞b＞0)
(a＞b＞0)
圖形
范圍
，
，
對稱性
對稱軸：x軸、y軸；對稱中心：原點
焦點
左焦點F1 (－
35、c，0)，右焦點F2 (c，0)
下焦點F1 (0，－c)，上焦點F2 (0，c)
頂點
軸
線段A1A2，B1B2分別是橢圓的長軸和短軸；
長軸長|A1A2|＝2a，短軸長|B1B2|＝2b，長半軸長為a，短半軸長為b
離心率e
橢圓的離心率是橢圓最重要的幾何性質(zhì)，求橢圓的離心率（或離心率的取值范圍）有兩種方法：
（1）求出a,c，代入公式.
（2）只需要根據(jù)一個條件得到關(guān)于的齊次式，結(jié)合轉(zhuǎn)化為a,c的齊次式，然后等式（不等式）兩邊分別除以a或a2轉(zhuǎn)化為關(guān)于e或e2的方程（不等式），解方程（不等式）即可得e（e的取值范圍）.
三、雙曲線
1． 雙曲線
36、的定義
（1）定義：平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離的差的絕對值等于常數(shù)(小于|F1F2|且大于零)的點的軌跡叫做雙曲線．
這兩個定點叫做雙曲線的焦點，兩個焦點間的距離叫做雙曲線的焦距．
（2）符號語言：.
（3）當(dāng)時，曲線僅表示焦點所對應(yīng)的雙曲線的一支；
當(dāng)時，曲線僅表示焦點所對應(yīng)的雙曲線的一支；
當(dāng)時，軌跡為分別以F1，F(xiàn)2為端點的兩條射線；
當(dāng)時，動點軌跡不存在．
2．雙曲線的標(biāo)準方程
（1）焦點在x軸上的雙曲線的標(biāo)準方程為(a＞0，b＞0)，焦點分別為F1(－c，0)，F(xiàn)2(c，0)，焦距為2c，且.
（2）焦點在y軸上的雙曲線的標(biāo)準方程為(a＞0，b＞0)，焦點分
37、別為F1(0，－c)，F(xiàn)2(0，c)，焦距為2c，且．
3．雙曲線的幾何性質(zhì)
標(biāo)準方程
(a＞0，b＞0)
(a＞0，b＞0)
圖形
范圍
，
，
對稱性
對稱軸：x軸、y軸；對稱中心：原點
焦點
左焦點F1(－c，0)，右焦點F2(c，0)
下焦點F1(0，－c)，上焦點F2(0，c)
頂點
軸
線段A1A2是雙曲線的實軸，線段B1B2是雙曲線的虛軸；
實軸長|A1A2|＝2a，虛軸長|B1B2|＝2b
漸近線
離心率e
在解決雙曲線中與焦點三角形有關(guān)的問題時，首先要注意定義中的條件的應(yīng)用；其次是要利用余弦定理、勾股
38、定理等知識進行運算，在運算中要注意整體思想和一些變形技巧的應(yīng)用．
4．等軸雙曲線
實軸和虛軸等長的雙曲線叫做等軸雙曲線．等軸雙曲線具有以下性質(zhì)：
（1）方程形式為；
（2）漸近線方程為，它們互相垂直，并且平分雙曲線實軸和虛軸所成的角；
（3）實軸長和虛軸長都等于，離心率．
1．求雙曲線的離心率一般有兩種方法：
（1）由條件尋找滿足的等式或不等式，一般利用雙曲線中的關(guān)系將雙曲線的離心率公式變形，即.
（2）根據(jù)條件列含的齊次方程，利用雙曲線的離心率公式轉(zhuǎn)化為含或的方程，求解可得，注意根據(jù)雙曲線離心率的范圍對解進行取舍.
2．求解雙曲線的離心率的范圍，一般是根據(jù)條件，結(jié)合和，
39、得到關(guān)于的不等式，求解即得.注意區(qū)分雙曲線離心率的范圍，橢圓離心率的范圍.另外，在建立關(guān)于的不等式時，注意雙曲線上的點到焦點的距離的最值的應(yīng)用.
四、拋物線
1．拋物線的定義
平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線l(l不經(jīng)過點F) 距離相等的點的軌跡叫做拋物線．
點F叫做拋物線的焦點，直線l叫做拋物線的準線．拋物線關(guān)于過焦點F與準線垂直的直線對稱，這條直線叫拋物線的對稱軸，簡稱拋物線的軸．
注意：直線l不經(jīng)過點F，若l經(jīng)過F點，則軌跡為過定點F且垂直于定直線l的一條直線．
2．拋物線的標(biāo)準方程
（1）頂點在坐標(biāo)原點，焦點在x軸正半軸上的拋物線的標(biāo)準方程為；
（2）頂點在坐標(biāo)原點，焦點
40、在x軸負半軸上的拋物線的標(biāo)準方程為；
（3）頂點在坐標(biāo)原點，焦點在y軸正半軸上的拋物線的標(biāo)準方程為；
（4）頂點在坐標(biāo)原點，焦點在y軸負半軸上的拋物線的標(biāo)準方程為.
注意：拋物線標(biāo)準方程中參數(shù)p的幾何意義是拋物線的焦點到準線的距離，所以p的值永遠大于0，當(dāng)拋物線標(biāo)準方程中一次項的系數(shù)為負值時，不要出現(xiàn)p＜0的錯誤.
3．拋物線的幾何性質(zhì)
標(biāo)準方程
圖 形
幾
何
性
質(zhì)
范 圍
對稱性
關(guān)于x軸對稱
關(guān)于x軸對稱
關(guān)于y軸對稱
關(guān)于y軸對稱
焦點
準線方程
頂 點
坐標(biāo)原點
41、(0，0)
離心率
4．拋物線的焦半徑
拋物線上任意一點與拋物線焦點F的連線段，叫做拋物線的焦半徑．
根據(jù)拋物線的定義可得焦半徑公式如下表：
拋物線方程
焦半徑公式
5．拋物線的焦點弦
拋物線的焦點弦即過焦點F的直線與拋物線所成的相交弦．
焦點弦公式既可以運用兩次焦半徑公式得到，也可以由數(shù)形結(jié)合的方法求出直線與拋物線的兩交點坐標(biāo)，再利用兩點間的距離公式得到，設(shè)AB為焦點弦，，，則
拋物線方程
焦點弦公式
其中，通過拋物線的焦點作垂直于對稱軸而交拋物線于A，B兩點的線段AB，稱為拋物線的通徑．
對于拋物
42、線，由，，可得，故拋物線的通徑長為2p．
1．拋物線的離心率e＝1，體現(xiàn)了拋物線上的點到焦點的距離等于到準線的距離，因此，涉及拋物線的焦半徑、焦點弦的問題，可以優(yōu)先考慮利用拋物線的定義將點到焦點的距離轉(zhuǎn)化為點到準線的距離，即或，使問題簡化．
2．有關(guān)拋物線上一點M到拋物線焦點F和到已知點E（E在拋物線內(nèi)）的距離之和的最小值問題，可依據(jù)拋物線的圖形，過點E作準線l的垂線，其與拋物線的交點到拋物線焦點F和到已知點E的距離之和是最小值.
五、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系
1．曲線的交點
在平面直角坐標(biāo)系xOy中，給定兩條曲線，已知它們的方程為，求曲線的交點坐標(biāo)，即求方程組的實數(shù)解.
方程
43、組有幾組實數(shù)解，這兩條曲線就有幾個交點.若方程組無實數(shù)解，則這兩條曲線沒有交點.
2．直線與圓錐曲線的位置關(guān)系
直線與圓錐曲線相交時，直線與橢圓有兩個公共點，與雙曲線、拋物線有一個或兩個公共點.
（1）直線與橢圓有兩個交點相交；直線與橢圓有一個交點相切；直線與橢圓沒有交點相離.
（2）直線與雙曲線有兩個交點相交.
當(dāng)直線與雙曲線只有一個公共點時，除了直線與雙曲線相切外，還有可能是直線與雙曲線相交，此時直線與雙曲線的漸近線平行.
直線與雙曲線沒有交點相離.
（3）直線與拋物線有兩個交點相交.
當(dāng)直線與拋物線只有一個公共點時，除了直線與拋物線相切外，還有可能是直線與拋物線相交，此
44、時直線與拋物線的對稱軸平行或重合.
直線與拋物線沒有交點相離.
3．弦長的求解
（1）當(dāng)弦的兩端點坐標(biāo)易求時，可直接利用兩點間的距離公式求解；
（2）當(dāng)直線的斜率存在時，斜率為k的直線l與圓錐曲線C相交于兩個不同的點，則弦長.
（3）當(dāng)弦過焦點時，可結(jié)合焦半徑公式求解弦長.
4．中點弦問題
（1）AB為橢圓的弦，，弦中點M(x0，y0)，則AB所在直線的斜率為，弦AB的斜率與弦中點M和橢圓中心O的連線的斜率之積為定值.
（2）AB為雙曲線的弦，，弦中點M(x0，y0)，則AB所在直線的斜率為，弦AB的斜率與弦中點M和雙曲線中心O的連線的斜率之積為定值.
（3）在拋物線中，以
45、M(x0，y0) 為中點的弦所在直線的斜率.
1．若橢圓的焦距為2,則的值為
A．9 B．9或16
C．7 D．9或7
【答案】D
2．若雙曲線的頂點和焦點分別為橢圓的焦點和頂點,則該雙曲線的方程為
A．??????????? B．
C．???????? ??? D．
【答案】A
【解析】依題意,由橢圓的方程可得雙曲線的頂點與焦點坐標(biāo)分別為與,
則c=,a=1,所以b=1,
所以雙曲線的方程為.
3．“”是“曲線=為雙曲線”的
A．充分不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】A
4．頂點在坐標(biāo)原
46、點,對稱軸為坐標(biāo)軸,又過點的拋物線方程是
A． B．
C．或 D．或
【答案】D
【解析】(1)拋物線的頂點在坐標(biāo)原點,對稱軸是x軸,并且經(jīng)過點(?2,3),
設(shè)它的標(biāo)準方程為y2=?2px(p>0)，∴9=4p,解得p=,
∴.
(2)拋物線的頂點在坐標(biāo)原點,對稱軸是y軸,并且經(jīng)過點(?2,3),
設(shè)它的標(biāo)準方程為x2=2py(p>0)，∴4=6p,解得p=.
∴.
∴拋物線方程是或.故選D．
5．已知點及拋物線上一動點,則的最小值為
A． B．
C． D．
【答案】C
6．已知雙曲線的左、右焦點分別為,以為直徑的圓與雙曲線漸近線的一個交點為,則此雙
47、曲線方程為
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】∵雙曲線的左、右焦點分別為,以|F1F2|為直徑的圓與雙曲線漸近線的一個交點為(1,2),∴c==,∴a2+b2=5,①
又點(1,2)在y=x上,∴,②
由①②解得a=1,b=2,
∴雙曲線的方程為．故選B．
7．（2017新課標(biāo)全國I理科）已知F為拋物線C：的焦點，過F作兩條互相垂直的直線l1，l2，直線l1與C交于A、B兩點，直線l2與C交于D、E兩點，則|AB|+|DE|的最小值為
A．16 B．14
C．12 D．10
【答案】A
【名師點睛】對于拋物線弦長
48、問題，要重點抓住拋物線定義，將到定點的距離轉(zhuǎn)化到準線上；另外，直線與拋物線聯(lián)立，求判別式，利用根與系數(shù)的關(guān)系是通法，需要重點掌握．考查最值問題時要能想到用函數(shù)方法和基本不等式進行解決．此題還可以利用弦長的傾斜角表示，設(shè)直線的傾斜角為，
則，則，
所以
．
8．橢圓=和雙曲線=的公共焦點為是兩曲線的一個交點,那么的值是______.
【答案】
9．（2017新課標(biāo)全國II理科）已知是拋物線的焦點，是上一點，的延長線交軸于點．若為的中點，則______.
【答案】
【解析】如圖所示，不妨設(shè)點M位于第一象限，設(shè)拋物線的準線與軸交于點，作于點，于點，由拋物線的解析式可得準線方程為，
49、則，
在直角梯形中，中位線，由拋物線的定義有：，結(jié)合題意，有，故．
【名師點睛】拋物線的定義是解決拋物線問題的基礎(chǔ)，它能將兩種距離(拋物線上的點到焦點的距離、拋物線上的點到準線的距離)進行等量轉(zhuǎn)化．如果問題中涉及拋物線的焦點和準線，又能與距離聯(lián)系起來，那么用拋物線定義就能解決問題．因此，涉及拋物線的焦半徑、焦點弦問題，可以優(yōu)先考慮利用拋物線的定義轉(zhuǎn)化為點到準線的距離，這樣就可以使問題簡單化．
10．已知A,B是直線y=-2上的兩動點,∠AOB=(O為坐標(biāo)原點),則外心M的軌跡方程為______.
【答案】(y+4)2-x2=8(y≥2-4)
【解析】設(shè)M(x,y),過M作MN⊥A
50、B,交AB于點N,由外心的性質(zhì)得∠AMN=,cos,整理得(y+4)2-x2=8(y≥2-4).故外心M的軌跡方程為(y+4)2-x2=8(y≥2-4).
11．已知拋物線C:y2=2px(p>0),A(1,-2)是拋物線上的點.若存在斜率為-2的直線l與拋物線C有公共點,且點A到直線l的距離等于,則直線l的方程是______.
【答案】2x+y-1=0
【解析】根據(jù)題意,得4=2p,得p=2,所以拋物線C的方程為y2=4x.設(shè)直線l的方程為y=-2x+t,由得y2+2y-2t=0,因為直線l與拋物線C有公共點,所以Δ=4+8t≥0,解得t≥-.由點A到直線l的距離d=,可得,解得t=±
51、1.因為t≥-,所以t=1,所以直線l的方程為2x+y-1=0.
12．若一個動點P(x,y)到兩個定點F1(-1,0)，F(xiàn)2(1,0)的距離之差的絕對值為定值m(0≤m≤2)，求動點P的軌跡方程.
【答案】見解析
13．已知雙曲線8kx2－ky2＝8的一個焦點為(0,3)，求k的值.
【答案】－1
【解析】將雙曲線方程化為kx2－y2＝1，即－＝1.
因為一個焦點是(0,3)，所以焦點在y軸上，所以c＝3，a2＝－，b2＝－，
所以a2＋b2＝－－＝－＝c2＝9，得k＝－1.
14．已知命題“方程表示焦點在軸上的橢圓”,命題“方程表示雙曲線”.
（1）若是真命題,求
52、實數(shù)的取值范圍;
（2）若“或”是真命題,求實數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）；（2）或.
15．焦點在軸上的雙曲線,它的兩條漸近線的夾角為,焦距為12,求此雙曲線的方程及離心率.
【答案】見解析
【解析】設(shè)焦點在軸上的雙曲線方程為=,則漸近線方程為.
①，代入方程
得
方程為離心率；
②，代入方程=
得
方程為離心率
16．已知拋物線=,直線=與交于兩點,且=,其中為坐標(biāo)原點.
（1）求拋物線的方程;
（2）點的坐標(biāo)為,記直線的斜率分別為,證明:為定值.
【答案】（1）=；（2）見解析.
（2）由（1）知,==,
====,
同理,
所以===
53、.
17．已知橢圓的離心率為,橢圓的短軸端點與雙曲線的焦點重合,過點且不垂直于軸的直線與橢圓相交于兩點.
（1）求橢圓的方程;
（2）求的取值范圍.
【答案】（1）（2）.
（2）若直線的傾斜角為,則=,
當(dāng)直線的傾斜角不為時,直線的方程可設(shè)為,
由=,
由,
設(shè),
則==,
=,
，,
故的取值范圍為.
18．已知分別是橢圓的長軸與短軸的一個端點,是橢圓的左、右焦點,以點為圓心、3為半徑的圓與以點為圓心、1為半徑的圓的交點在橢圓上,且.
（1）求橢圓的方程;
（2）設(shè)為橢圓上一點,直線與軸交于點,直線與軸交于點,求證:.
【答案】（1）；（2）見解析.
54、
（2）由（1）及題意可畫圖,如圖,不妨令.設(shè),則.
直線的方程為，
令,得,
從而.
直線的方程為,
令,得,從而.
所以=
=.
當(dāng)時,,
所以,綜上可知.
________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________
_____________
55、___________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________
45
備戰(zhàn)2018年高考數(shù)學(xué) 糾錯筆記系列 專題10 圓錐曲線 理.doc
