2018年高考數(shù)學(xué) 破解命題陷阱 專題15 數(shù)列的通項(xiàng)公式的求解方法

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1、 專題15 數(shù)列的通項(xiàng)公式的求解方法 一．高考命題類型： 1.累和法求通項(xiàng) 2.累積法求通項(xiàng) 3.歸納法求通項(xiàng) 4.項(xiàng)和互化求通項(xiàng) 5.構(gòu)造輔助數(shù)列求通項(xiàng) （1）的形式 （2）的形式 6.轉(zhuǎn)化為等差等比求通項(xiàng) 7.倒序相加求通項(xiàng) 8.分奇偶數(shù)求解 9.利用周期性求通項(xiàng) 10.裂項(xiàng)求通項(xiàng) 二．類型舉例 1.累和法求通項(xiàng) 例1．?dāng)?shù)列的首項(xiàng)為， 為等差數(shù)列，且（），若， ，則（ ） A. B. C. D. 【答案】B 練習(xí)1. 已知數(shù)列滿足， ，則數(shù)列的前40項(xiàng)的和為（ ） A. B. C. D.

2、 【答案】D 【方法總結(jié)】：這個(gè)題目考查的是數(shù)列的求和問(wèn)題。首先數(shù)列求和選用的方法有，裂項(xiàng)求和，主要用于分式能夠通過(guò)寫成兩項(xiàng)相減的形式從而消掉中間的項(xiàng)；分組求和，用于相鄰兩項(xiàng)之和是定值，或者有規(guī)律的；錯(cuò)位相減求和，用于一個(gè)等差一個(gè)等比乘在一起求和的數(shù)列。 練習(xí)2. 數(shù)列滿足，且對(duì)于任意的都有，則等于（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由題意可得： ，則： ， 以上各式相加可得： ，則： ， . 本題選擇D選項(xiàng). 【方法總結(jié)】：數(shù)列的遞推關(guān)系是給出數(shù)列的一種方法，根據(jù)給出的初始值和遞推關(guān)系可以依次寫出這個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)，由遞推關(guān)系求數(shù)

3、列的通項(xiàng)公式，常用的方法有：①求出數(shù)列的前幾項(xiàng)，再歸納猜想出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式；②將已知遞推關(guān)系式整理、變形，變成等差、等比數(shù)列，或用累加法、累乘法、迭代法求通項(xiàng)．使用裂項(xiàng)法求和時(shí)，要注意正負(fù)項(xiàng)相消時(shí)消去了哪些項(xiàng)，保留了哪些項(xiàng)，切不可漏寫未被消去的項(xiàng)，未被消去的項(xiàng)有前后對(duì)稱的特點(diǎn)，實(shí)質(zhì)上造成正負(fù)相消是此法的根源與目的． 練習(xí)3. 已知數(shù)列滿足， ，若，則數(shù)列的通項(xiàng)（ ） A. B. C. D. 【答案】B 2.累積法求通項(xiàng) 例2. 數(shù)列滿足： (且)，則（ ） A. B. 1 C. 2 D. 【答案】C 【解析】由

4、題意可得， ， 。選C。 練習(xí)1已知數(shù)列滿足，則（ ） A. B. C. D. 【答案】C 3.歸納法求通項(xiàng) 例3.已知數(shù)列,則一定是 A. 奇數(shù) B. 偶數(shù) C. 小數(shù) D. 無(wú)理數(shù) 【答案】A 【解析】因?yàn)?所以,則數(shù)列從第3項(xiàng)開始,每一項(xiàng)均為其前兩項(xiàng)的和,因?yàn)榍皟身?xiàng)均為1,是奇數(shù),所以從第三項(xiàng)開始,第3n項(xiàng)均為偶數(shù),第3n+1項(xiàng)均為奇數(shù),第3n+2項(xiàng)均為奇數(shù),所以一定是奇數(shù). 【方法總結(jié)】：由前幾項(xiàng)歸納數(shù)列通項(xiàng)或變化規(guī)律的常用方法及具體策略 (1)常用方法：觀察(觀察規(guī)律)、比較(比較已知數(shù)列)、歸納、轉(zhuǎn)化(轉(zhuǎn)化為特

5、殊數(shù)列)、聯(lián)想(聯(lián)想常見的數(shù)列)等方法. (2)具體策略：①分式中分子、分母的特征；②相鄰項(xiàng)的變化特征；③拆項(xiàng)后的特征；④各項(xiàng)的符號(hào)特征和絕對(duì)值特征；⑤化異為同.對(duì)于分式還可以考慮對(duì)分子、分母各個(gè)擊破，或?qū)ふ曳肿?、分母之間的關(guān)系；⑥對(duì)于符號(hào)交替出現(xiàn)的情況，可用處理. 練習(xí)1. 數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 練習(xí)2.數(shù)列0.3，0.33，0.333，0.333 3，…的通項(xiàng)公式是an＝(　　) A. (10n－1) B. C. (10n－1) D. (10n－1). 【答案】B 【

6、解析】1－＝0.9，1－＝0.99，…，故原數(shù)列的通項(xiàng)公式為an＝.選B. 練習(xí)3．兩千多年前，古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家曾經(jīng)在沙灘上研究數(shù)學(xué)問(wèn)題.他們?cè)谏碁┥袭孅c(diǎn)或用小石子表示數(shù)，按照點(diǎn)或小石子能排列的形狀對(duì)數(shù)進(jìn)行分類.如下圖中實(shí)心點(diǎn)的個(gè)數(shù)5，9，14，20，…為梯形數(shù).根據(jù)圖形的構(gòu)成，記此數(shù)列的第2017項(xiàng)為，則（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】解：觀察梯形數(shù)的前幾項(xiàng)，得 5=2+3=a1 9=2+3+4=a2 14=2+3+4+5=a3 … an=2+3+…+(n+2)= ， 由此可得 ， 該數(shù)的個(gè)位數(shù)字為4

7、，結(jié)合選項(xiàng)只有C選項(xiàng)符合題意. 本題選擇C選項(xiàng). 【方法總結(jié)】：根據(jù)所給數(shù)列的前幾項(xiàng)求其通項(xiàng)時(shí)，需仔細(xì)觀察分析，抓住其幾方面的特征：相鄰項(xiàng)的變化特征；拆項(xiàng)后的各部分特征；符號(hào)特征．應(yīng)多進(jìn)行對(duì)比、分析，從整體到局部多角度觀察、歸納、聯(lián)想． 4.項(xiàng)和互化求通項(xiàng) 例4.設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和，且，則=（ ） A. B. C. D. 【答案】D 本題選擇D選項(xiàng). 【方法規(guī)律總結(jié)】：給出 與 的遞推關(guān)系，求an，常用思路是：一是利用轉(zhuǎn)化為an的遞推關(guān)系，再求其通項(xiàng)公式；二是轉(zhuǎn)化為Sn的遞推關(guān)系，先求出Sn與n之間的關(guān)系，再求an. 練習(xí)1. 設(shè)數(shù)列滿足

8、，通項(xiàng)公式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】當(dāng)時(shí)， ， …………...(1) ， ……....(2), (1)-(2)得： ， ， 符合，則通項(xiàng)公式是，選C. 練習(xí)2. 設(shè)數(shù)列滿足，通項(xiàng)公式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 練習(xí)3. 已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且， ，現(xiàn)有如下說(shuō)法： ①；②當(dāng)為奇數(shù)時(shí)， ；③． 則上述說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)為（ ） A. 0個(gè) B. 1個(gè) C. 2個(gè) D. 3個(gè) 【答案】D 【解析】由題意得 ,當(dāng) 時(shí), 當(dāng)時(shí), 因?yàn)?/p>

9、 ,所以化簡(jiǎn)得 ,因此當(dāng)為奇數(shù)時(shí)， ; 當(dāng)為偶數(shù)時(shí)， ;因此 ;所以正確的個(gè)數(shù)為3,選D. 【方法總結(jié)】：給出與的遞推關(guān)系求，常用思路是：一是利用轉(zhuǎn)化為的遞推關(guān)系，再求其通項(xiàng)公式；二是轉(zhuǎn)化為的遞推關(guān)系，先求出與之間的關(guān)系，再求. 應(yīng)用關(guān)系式時(shí)，一定要注意分兩種情況，在求出結(jié)果后，看看這兩種情況能否整合在一起. 5.構(gòu)造輔助數(shù)列求通項(xiàng) （1）的形式 例5.1數(shù)列滿足則（ ） A. 33 B. 32 C. 31 D. 34 【答案】A 練習(xí)1. 已知數(shù)列{an}滿足a1＝2，an+1＝3an+2，則{an}的通項(xiàng)公式為 A. an＝2n-1 B.

10、 an＝3n-1 C. an＝2n-1 D. an＝6n-4 【答案】B 【解析】，得是以3為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列， 則，即。故選B。 （2）的形式 例5.2設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和， ，且.記 為數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則的最小值為（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】由2an﹣an﹣1=3?2n﹣1（n≥2），得， 由2an﹣an﹣1=3?2n﹣1（n≥2），且3a1=2a2， 可得2a2﹣a1=6，即2a1=6，得a1=3． ∵對(duì)?n∈N*，Tn＜m， ∴m的最小值為． 故答案為A。 【方法總結(jié)】：這個(gè)題

11、目考查的是數(shù)列求通項(xiàng)的常用方法：配湊法，構(gòu)造新數(shù)列。也考查了等比數(shù)列求和公式的應(yīng)用，數(shù)列和的最值。關(guān)于數(shù)列之和的最值，可以直接觀察，比如這個(gè)題目，一般情況下需要研究和的表達(dá)式的單調(diào)性：構(gòu)造函數(shù)研究單調(diào)性，做差和0比研究單調(diào)性，直接研究表達(dá)式的單調(diào)性。 練習(xí)1. 已知數(shù)列的前項(xiàng)和為， ，則數(shù)列的前項(xiàng)和為（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】數(shù)列的前項(xiàng)和為， ， 代入，得到 ，求數(shù)列的前項(xiàng)和，可以分組求和，分為一個(gè)等比數(shù)列和一個(gè)等差數(shù)列。 故答案為C。 練習(xí)2. 已知數(shù)列滿足，則的通項(xiàng)公式為（ ） A. B.

12、 C. D. 【答案】C 練習(xí)3. 已知數(shù)列滿足，則的通項(xiàng)公式為（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由得，∴ ，∴，當(dāng)時(shí)也符合，∴數(shù)列的通項(xiàng)公式為.故選C. 6.轉(zhuǎn)化為等差等比求通項(xiàng) 例6．設(shè)函數(shù)是定義在上的單調(diào)函數(shù)，且對(duì)于任意正數(shù)有，已知，若一個(gè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列滿足，其中是數(shù)列的前項(xiàng)和，則數(shù)列中第18項(xiàng)（ ） A. B. 9 C. 18 D. 36 【答案】C 練習(xí)1.已知數(shù)列和滿足.若為等比數(shù)列，且 則與分別為（ ） A. ， B. ， C. ， D

13、. ， 【答案】B 【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為， ∵，即， ∴， ∴． 又由題意得，∴， ∴． ∴， ∴．選B． 練習(xí)2.已知數(shù)列滿足， ，則 ( ) A. 121 B. 136 C. 144 D. 169 【答案】C 【解析】由可知， 即 ∴為等差數(shù)列，首項(xiàng)為0，公差為1 ∴ ∴ 故選：C 練習(xí)3. 數(shù)列中，已知對(duì)任意正整數(shù)，有，則（ ） A. B. C. D. 【答案】B 練習(xí)4. 已知數(shù)列則 （ ） A. B. C. 或1 D. 【答案】B 【解析】由條

14、件可知，兩邊去倒數(shù)得 是等差數(shù)列，故 ，故得 故答案選B． 【方法總結(jié)】：已知數(shù)列要求通項(xiàng)，可以兩邊取倒數(shù)，得到是等差數(shù)列，已知 可以求出 ，再根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)求出數(shù)列的通項(xiàng)公式， ，再取倒數(shù)可以求出，代入n=7,求得結(jié)果即可. 練習(xí)4. 已知數(shù)列的首項(xiàng)，則（ ） A. B. C. D. 【答案】C 7.倒序相加求通項(xiàng) 例7. 已知是上的奇函數(shù)， ，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】∵是奇函數(shù)，∴，令， ， 令， ，∴，∴， 令，∴，令，∴， ∵，∴，同理可得

15、， ，∴， 故選 【方法總結(jié)】：本題首先考查函數(shù)的基本性質(zhì)，借助函數(shù)性質(zhì)處理數(shù)列問(wèn)題問(wèn)題，十分巧妙，對(duì)數(shù)學(xué)思維的要求比較高，奇函數(shù)的應(yīng)用與數(shù)列第一項(xiàng)聯(lián)系起來(lái)，就知道該怎么對(duì)x賦值了，繼續(xù)推導(dǎo)，要求學(xué)生理解f（t）+f（1-t）=2．本題有一定的探索性，難度大. 8.分奇偶數(shù)求解 例8. 已知數(shù)列滿足， ，則數(shù)列的前40項(xiàng)的和為（ ） A. B. C. D. 【答案】D 故答案為D。 【方法總結(jié)】：這個(gè)題目考查的是數(shù)列的求和問(wèn)題。首先數(shù)列求和選用的方法有，裂項(xiàng)求和，主要用于分式能夠通過(guò)寫成兩項(xiàng)相減的形式從而消掉中間的項(xiàng)；分組求和，用于相鄰兩項(xiàng)之和

16、是定值，或者有規(guī)律的；錯(cuò)位相減求和，用于一個(gè)等差一個(gè)等比乘在一起求和的數(shù)列。 練習(xí)1. 正整數(shù)數(shù)列滿足，已知， 的前7項(xiàng)和的最大值為，把的所有可能取值按從小到大排成一個(gè)新數(shù)列， 所有項(xiàng)和為，則（ ） A. 32 B. 48 C. 64 D. 80 【答案】C （2）當(dāng)，則， ， 或， ①當(dāng)，則， ②當(dāng)，則； 所以， ， 所以，故選C。 練習(xí)2. 在數(shù)列中， ，若，則的值為（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 可以看出四個(gè)循環(huán)一次故 故選B 9.利用周期性求通項(xiàng) 例9. 已知數(shù)列

17、中， ， ，則 等于（ ?） A. 1 B. -1 C. D. -2 【答案】C 練習(xí)1. ．已知數(shù)列{an}滿足a1＝2，an＋1＝ (n∈N*)， a1·a2·a3·…·a2017＝（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. －3 【答案】B 練習(xí)2.已知數(shù)列滿足， ， ，則（ ） A. B. C. D. 3 【答案】A 【解析】由題意，對(duì) 進(jìn)行變形，得 則 ，即4個(gè)一循環(huán)，那么，故選A. 【方法總結(jié)】：本題主要考查數(shù)列通項(xiàng)公式的求解，根據(jù)遞推關(guān)系求出數(shù)列的循環(huán)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵. 練習(xí)

18、2. 在數(shù)列中， ，則（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】A 【解析】∵ ∴， ， ∴數(shù)列是周期為3的數(shù)列 ∴ 故選A 練習(xí)3. 已知數(shù)列滿足，則＝（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】C 10.裂項(xiàng)求通項(xiàng) 例10. 數(shù)列滿足，且對(duì)任意的都有，則等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】對(duì)任意的都成立， ，即 ， ，把上面?zhèn)€式子相加可得， ， ，從而有， ，故選C. 【方法點(diǎn)晴】本題主要考查遞推公式求通項(xiàng)、累加法的應(yīng)用，以及裂項(xiàng)相消法求數(shù)列

19、的和，屬于中檔題. 裂項(xiàng)相消法是最難把握的求和方法之一，其原因是有時(shí)很難找到裂項(xiàng)的方向，突破這一難點(diǎn)的方法是根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，常見的裂項(xiàng)技巧：(1) ；（2） ； （3）；（4） ；此外，需注意裂項(xiàng)之后相消的過(guò)程中容易出現(xiàn)丟項(xiàng)或多項(xiàng)的問(wèn)題，導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果錯(cuò)誤. 三．高考真題演練 1.【2017課標(biāo)1，理4】記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和．若，，則的公差為 A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【解析】 【考點(diǎn)】等差數(shù)列的基本量求解 【名師點(diǎn)睛】求解等差數(shù)列基本量問(wèn)題時(shí)，要多多使用等差數(shù)列的性質(zhì)，如為等差數(shù)列，若，則. 2.【2017課標(biāo)3，理9】等差數(shù)列的首項(xiàng)

20、為1，公差不為0．若a2，a3，a6成等比數(shù)列，則前6項(xiàng)的和為 A． B． C．3 D．8 【答案】A 【解析】 試題分析：設(shè)等差數(shù)列的公差為 ，由a2，a3，a6成等比數(shù)列可得： ， 即： ，整理可得： ，公差不為 ，則 ， 數(shù)列的前6項(xiàng)和為 . 故選A. 【考點(diǎn)】 等差數(shù)列求和公式；等差數(shù)列基本量的計(jì)算 【名師點(diǎn)睛】(1)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式，共涉及五個(gè)量a1，an，d，n，Sn，知其中三個(gè)就能求另外兩個(gè)，體現(xiàn)了用方程的思想解決問(wèn)題.(2)數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式在解題中起到變量代換作用，而a1和d是等差數(shù)列的兩個(gè)基本量，用它們表示已知和

21、未知是常用方法. 3.【2017課標(biāo)II，理3】我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問(wèn)題：“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增，共燈三百八十一，請(qǐng)問(wèn)尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層共有燈（ ） A．1盞 B．3盞 C．5盞 D．9盞 【答案】B 【解析】 【考點(diǎn)】 等比數(shù)列的應(yīng)用；等比數(shù)列的求和公式 【名師點(diǎn)睛】用數(shù)列知識(shí)解相關(guān)的實(shí)際問(wèn)題，關(guān)鍵是列出相關(guān)信息，合理建立數(shù)學(xué)模型——數(shù)列模型，判斷是等差數(shù)列還是等比數(shù)列模型；求解時(shí)，

22、要明確目標(biāo)，即搞清是求和、求通項(xiàng)、還是解遞推關(guān)系問(wèn)題，所求結(jié)論對(duì)應(yīng)的是解方程問(wèn)題、解不等式問(wèn)題、還是最值問(wèn)題，然后經(jīng)過(guò)數(shù)學(xué)推理與計(jì)算得出的結(jié)果，放回到實(shí)際問(wèn)題中進(jìn)行檢驗(yàn)，最終得出結(jié)論?！? 4.【2017課標(biāo)1，理12】幾位大學(xué)生響應(yīng)國(guó)家的創(chuàng)業(yè)號(hào)召，開發(fā)了一款應(yīng)用軟件.為激發(fā)大家學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興 趣，他們推出了“解數(shù)學(xué)題獲取軟件激活碼”的活動(dòng).這款軟件的激活碼為下面數(shù)學(xué)問(wèn)題的答案：已知數(shù)列1， 1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一項(xiàng)是20，接下來(lái)的兩項(xiàng)是20，21，再接下來(lái) 的三項(xiàng)是20，21，22，依此類推.求滿足如下條件的最小整數(shù)N：N>100且該數(shù)列的

23、前N項(xiàng)和為2的整數(shù)冪.那么 該款軟件的激活碼是 A．440 B．330 C．220 D．110 【答案】A 【解析】試題分析：由題意得，數(shù)列如下： 則該數(shù)列的前項(xiàng)和為 要使，有，此時(shí)，所以是之后的等比數(shù)列的部分和，即， 所以，則，此時(shí)， 對(duì)應(yīng)滿足的最小條件為，故選A. 【考點(diǎn)】等差數(shù)列、等比數(shù)列的求和. 【名師點(diǎn)睛】本題非常巧妙的將實(shí)際問(wèn)題和數(shù)列融合在一起，首先需要讀懂題目所表達(dá)的具體含義，以及觀察所給定數(shù)列的特征，進(jìn)而判斷出該數(shù)列的通項(xiàng)和求和.另外，本題的難點(diǎn)在于數(shù)列里面套數(shù)列，第一個(gè)數(shù)列的和又作為下一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)，而且最后幾項(xiàng)并不能放在一個(gè)數(shù)列

24、中，需要進(jìn)行判斷. 5.【2017浙江，6】已知等差數(shù)列{an}的公差為d，前n項(xiàng)和為Sn，則“d>0”是“S4 + S6>2S5”的 A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 【答案】C 【解析】 【考點(diǎn)】 等差數(shù)列、充分必要性 【名師點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式，通過(guò)公式的套入與簡(jiǎn)單運(yùn)算，可知， 結(jié)合充分必要性的判斷，若，則是的充分條件，若，則是的必要條件，該題“”“”，故為充要條件． 6.【2015高考北京，理6】設(shè)是等差數(shù)列. 下列結(jié)論中正確的是（ ） A．若，則 B．若，則 C

25、．若，則 D．若，則 【答案】C 考點(diǎn)定位：本題考點(diǎn)為等差數(shù)列及作差比較法，以等差數(shù)列為載體，考查不等關(guān)系問(wèn)題，重 點(diǎn)是對(duì)知識(shí)本質(zhì)的考查. 【名師點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和比較法，本題屬于基礎(chǔ)題，由于前兩個(gè)選項(xiàng)無(wú)法使用公式直接做出判斷，因此學(xué)生可以利用舉反例的方法進(jìn)行排除，這需要學(xué)生不能死套公式，要靈活應(yīng)對(duì)，作差法是比較大小常規(guī)方法，對(duì)判斷第三個(gè)選擇只很有效. 7.【2016高考新課標(biāo)1卷】已知等差數(shù)列前9項(xiàng)的和為27,,則 （ ） （A）100 （B）99 （C）98 （D）97 【答案】C 【解析

26、】 試題分析：由已知,所以故選C. 考點(diǎn)：等差數(shù)列及其運(yùn)算 【名師點(diǎn)睛】我們知道,等差、等比數(shù)列各有五個(gè)基本量,兩組基本公式,而這兩組公式可看作多元方程,利用這些方程可將等差、等比數(shù)列中的運(yùn)算問(wèn)題轉(zhuǎn)化解關(guān)于基本量的方程（組）,因此可以說(shuō)數(shù)列中的絕大部分運(yùn)算題可看作方程應(yīng)用題,所以用方程思想解決數(shù)列問(wèn)題是一種行之有效的方法. 8.【2016高考浙江理數(shù)】如圖，點(diǎn)列{An}，{Bn}分別在某銳角的兩邊上，且，， （）.若（ ） A．是等差數(shù)列 B．是等差數(shù)列 C．是等差數(shù)列 D

27、．是等差數(shù)列 【答案】A 【解析】 考點(diǎn)：等差數(shù)列的定義． 【思路點(diǎn)睛】先求出的高，再求出和的面積和，進(jìn)而根據(jù)等差數(shù)列的定義可得為定值，即可得是等差數(shù)列． 9.【2016年高考四川理數(shù)】某公司為激勵(lì)創(chuàng)新，計(jì)劃逐年加大研發(fā)資金投入.若該公司2015年全年投入研發(fā)資金130萬(wàn)元，在此基礎(chǔ)上，每年投入的研發(fā)資金比上一年增長(zhǎng)12%，則該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過(guò)200萬(wàn)元的年份是( ) （參考數(shù)據(jù)：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg2≈0.30） （ A）2018年 （B）2019年 （C）2020年 （D）2021年 【答案】B 【解析】 試題分

28、析：設(shè)第年的研發(fā)投資資金為，，則，由題意，需 ，解得，故從2019年該公司全年的投入的研發(fā)資金超過(guò)200萬(wàn)，選B. 考點(diǎn)：等比數(shù)列的應(yīng)用. 【名師點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用．在實(shí)際問(wèn)題中平均增長(zhǎng)率問(wèn)題可以看作是等比數(shù)列的應(yīng)用，解題時(shí)要注意把哪個(gè)作為數(shù)列的首項(xiàng)，然后根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式寫出通項(xiàng)，列出不等式或方程就可解得結(jié)論． 10.【2015高考浙江，理3】已知是等差數(shù)列，公差不為零，前項(xiàng)和是，若，，成等比數(shù)列，則（ ） A. B. C. D. 【答案】B. 【考點(diǎn)定位】1.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前項(xiàng)和；2.等比數(shù)列的概念 【名師

29、點(diǎn)睛】本題主要考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，等比數(shù)列的概念等知識(shí)點(diǎn)，同時(shí)考查了學(xué)生的運(yùn)算求 解能力，屬于容易題，將，表示為只與公差有關(guān)的表達(dá)式，即可求解，在解題過(guò)程中要注意等等差數(shù)列與等比數(shù)列概念以及相關(guān)公式的靈活運(yùn)用. 11.【2014高考重慶理第2題】對(duì)任意等比數(shù)列,下列說(shuō)法一定正確的是( ) 成等比數(shù)列 成等比數(shù)列 成等比數(shù)列 成等比數(shù)列 【答案】D 【解析】 試題分析：因?yàn)閿?shù)列為等比數(shù)列，設(shè)其公比為，則 所以，一定成等比數(shù)列，故選D. 考點(diǎn)：1、等比數(shù)列的概念與通項(xiàng)公式；2、等比中項(xiàng)

30、. 【名師點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列的概念與通項(xiàng)公式，等比數(shù)列的性質(zhì)，本題屬于基礎(chǔ)題，利用下標(biāo)和相等的兩項(xiàng)的積相等更能快速作答. 12.【2015高考重慶，理2】在等差數(shù)列中，若=4，=2，則=　　　　（　?。? A、-1 B、0 C、1 D、6 【答案】B 【解析】由等差數(shù)列的性質(zhì)得，選B. 【考點(diǎn)定位】本題屬于數(shù)列的問(wèn)題，考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與等差數(shù)列的性質(zhì). 【名師點(diǎn)晴】本題可以直接利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求解，也可應(yīng)用等差數(shù)列的性質(zhì)求解，主要考查學(xué)生靈活應(yīng)用基礎(chǔ)知識(shí)

31、的能力.是基礎(chǔ)題. 13.【2014福建，理3】等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則( ) 【答案】C 【解析】 14.【2015高考福建，理8】若 是函數(shù) 的兩個(gè)不同的零點(diǎn)，且 這三個(gè)數(shù)可適當(dāng)排序后成等差數(shù)列，也可適當(dāng)排序后成等比數(shù)列，則 的值等于（ ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【解析】由韋達(dá)定理得，，則，當(dāng)適當(dāng)排序后成等比數(shù)列時(shí)，必為等比中項(xiàng)，故，．當(dāng)適當(dāng)排序后成等差數(shù)列時(shí)，必不是等差中項(xiàng)，當(dāng)是等差中項(xiàng)時(shí)，，解得，；當(dāng)是等差中項(xiàng)時(shí)，，解得，，綜上所述，，所以，選D． 【考點(diǎn)定位】等差中項(xiàng)和等比中項(xiàng)．

32、 【名師點(diǎn)睛】本題以零點(diǎn)為載體考查等比中項(xiàng)和等差中項(xiàng)，其中分類討論和邏輯推理是解題核心．三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列或等比數(shù)列，項(xiàng)與項(xiàng)之間是有順序的，但是等差中項(xiàng)或等比中項(xiàng)是唯一的，故可以利用中項(xiàng)進(jìn)行討論，屬于難題． 15. 【2014遼寧理8】設(shè)等差數(shù)列的公差為d，若數(shù)列為遞減數(shù)列，則（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 考點(diǎn)：1.等差數(shù)列的概念；2.遞減數(shù)列. 【名師點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、數(shù)列的性質(zhì)等，解答本題的關(guān)鍵，是寫出等差數(shù)列的通項(xiàng)，利用是遞減數(shù)列，確定得到，得到結(jié)論. 本題是一道基礎(chǔ)題.在考查等差數(shù)列等基礎(chǔ)知識(shí)的同時(shí)，考查考生的

33、計(jì)算能力. 16. 【2015課標(biāo)2理4】已知等比數(shù)列滿足a1=3， =21，則 ( ) A．21 B．42 C．63 D．84 【答案】B 【解析】設(shè)等比數(shù)列公比為，則，又因?yàn)椋?，解得，所以，故選B． 【考點(diǎn)定位】等比數(shù)列通項(xiàng)公式和性質(zhì)． 【名師點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和性質(zhì)，通過(guò)求等比數(shù)列的基本量，利用通項(xiàng)公式求解，若注意到項(xiàng)的序號(hào)之間的關(guān)系，則可減少運(yùn)算量，屬于基礎(chǔ)題． 17. 【2016高考浙江理數(shù)】設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.若S2=4，an+1=2Sn+1，n∈N*，則a1= ，S5= . 【答案

34、】 【解析】 試題分析：， 再由，又， 所以 考點(diǎn)：1、等比數(shù)列的定義；2、等比數(shù)列的前項(xiàng)和． 【易錯(cuò)點(diǎn)睛】由轉(zhuǎn)化為的過(guò)程中，一定要檢驗(yàn)當(dāng)時(shí)是否滿足，否則很容易出現(xiàn)錯(cuò)誤． 18.【2017課標(biāo)3，理14】設(shè)等比數(shù)列滿足a1 + a2 = –1, a1 – a3 = –3，則a4 = ___________. 【答案】 【解析】 【考點(diǎn)】 等比數(shù)列的通項(xiàng)公式 【名師點(diǎn)睛】等比數(shù)列基本量的求解是等比數(shù)列中的一類基本問(wèn)題，解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵在于熟練掌握等比數(shù)列的有關(guān)公式并能靈活運(yùn)用，尤其需要注意的是，在使用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)，應(yīng)該要分類討論，有時(shí)還應(yīng)善于運(yùn)用整

35、體代換思想簡(jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程. 19.【2017課標(biāo)II，理15】等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，則 。 【答案】 【解析】 試題分析：設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為， 由題意有： ，解得 ， 數(shù)列的前n項(xiàng)和, 裂項(xiàng)有：，據(jù)此： 。 【考點(diǎn)】 等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式；裂項(xiàng)求和。 【名師點(diǎn)睛】等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式，共涉及五個(gè)量a1，an，d，n，Sn，知其中三個(gè)就能求另外兩個(gè)，體現(xiàn)了用方程的思想解決問(wèn)題。數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式在解題中起到變量代換作用，而a1和d是等差數(shù)列的兩個(gè)基本量，用它們表示已知和未知是常用方法。使用裂項(xiàng)法求和時(shí)，要注意正負(fù)項(xiàng)相消時(shí)消去了

36、哪些項(xiàng)，保留了哪些項(xiàng)，切不可漏寫未被消去的項(xiàng)，未被消去的項(xiàng)有前后對(duì)稱的特點(diǎn)，實(shí)質(zhì)上造成正負(fù)相消是此法的根源與目的。 20.【2017北京，理10】若等差數(shù)列和等比數(shù)列滿足a1=b1=–1，a4=b4=8，則=_______. 【答案】1 【解析】 試題分析：設(shè)等差數(shù)列的公差和等比數(shù)列的公比為 和 ， ，求得 ，那么 . 【考點(diǎn)】等差數(shù)列和等比數(shù)列 【名師點(diǎn)睛】我們知道,等差、等比數(shù)列各有五個(gè)基本量,兩組基本公式,而這兩組公式可看作多元方程,利用這些方程可將等差、等比數(shù)列中的運(yùn)算問(wèn)題轉(zhuǎn)化解關(guān)于基本量的方程（組）,因此可以說(shuō)數(shù)列中的絕大部分運(yùn)算題可看作方程應(yīng)用題,所以用方程思想解決數(shù)列

37、問(wèn)題是一種行之有效的方法. 21.【2016高考新課標(biāo)1卷】設(shè)等比數(shù)列滿足a1+a3=10,a2+a4=5,則a1a2 …an的最大值為 ． 【答案】 【解析】 考點(diǎn)：等比數(shù)列及其應(yīng)用 【名師點(diǎn)睛】高考中數(shù)列客觀題大多具有小、巧、活的特點(diǎn),在解答時(shí)要注意方程思想及數(shù)列相關(guān)性質(zhì)的應(yīng)用,盡量避免小題大做. 21.【2015高考新課標(biāo)2，理16】設(shè)是數(shù)列的前n項(xiàng)和，且，，則________． 【答案】 【解析】由已知得，兩邊同時(shí)除以，得，故數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，則，所以． 【考點(diǎn)定位】等差數(shù)列和遞推關(guān)系． 【名師點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列遞推式和等差數(shù)

38、列通項(xiàng)公式，要搞清楚項(xiàng)與的關(guān)系，從而轉(zhuǎn)化為與的遞推式，并根據(jù)等差數(shù)列的定義判斷是等差數(shù)列，屬于中檔題． 22.【2016高考江蘇卷】已知是等差數(shù)列，是其前項(xiàng)和.若，則的值是 ▲ . 【答案】 【解析】由得，因此 考點(diǎn)：等差數(shù)列性質(zhì) 【名師點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列基本量，對(duì)于特殊數(shù)列，一般采取待定系數(shù)法，即列出關(guān)于首項(xiàng)及公差的兩個(gè)獨(dú)立條件即可.為使問(wèn)題易于解決，往往要利用等差數(shù)列相關(guān)性質(zhì)，如及等差數(shù)列廣義通項(xiàng)公式 【考點(diǎn)定位】等比數(shù)列的通項(xiàng)公式． 【名師點(diǎn)晴】在解有關(guān)等差數(shù)列的問(wèn)題時(shí)可以考慮化歸為和等基本量，通過(guò)建立方程(組)獲得解．即等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和公式，共涉及

39、五個(gè)量，知其中三個(gè)就能求另外兩個(gè),即知三求二，多利用方程組的思想，體現(xiàn)了用方程的思想解決問(wèn)題,注意要弄準(zhǔn)它們的值.運(yùn)用方程的思想解等差數(shù)列是常見題型，解決此類問(wèn)題需要抓住基本量、，掌握好設(shè)未知數(shù)、列出方程、解方程三個(gè)環(huán)節(jié)，常通過(guò)“設(shè)而不求，整體代入”來(lái)簡(jiǎn)化運(yùn)算． 23.【2015江蘇高考，11】數(shù)列滿足，且（），則數(shù)列的前10項(xiàng)和為 【答案】 【考點(diǎn)定位】數(shù)列通項(xiàng)，裂項(xiàng)求和 【名師點(diǎn)晴】由數(shù)列的遞推公式求通項(xiàng)公式時(shí)，若遞推關(guān)系為an＋1＝an＋f(n)或an＋1＝f(n)·an，則可以分別通過(guò)累加、累乘法求得通項(xiàng)公式，另外，通過(guò)迭代法也可以求得上面兩類數(shù)列的通項(xiàng)

40、公式，注意：有的問(wèn)題也可利用構(gòu)造法，即通過(guò)對(duì)遞推式的等價(jià)變形，轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列求通項(xiàng)．?dāng)?shù)列求和的常用方法有倒序相加法，錯(cuò)位相減法，裂項(xiàng)相消法，分組求和法，并項(xiàng)求和法等，可根據(jù)通項(xiàng)特點(diǎn)進(jìn)行選用. 24.【2015高考陜西，理13】中位數(shù)1010的一組數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，其末項(xiàng)為2015，則該數(shù)列的首項(xiàng)為 ． 【答案】 【解析】設(shè)數(shù)列的首項(xiàng)為，則，所以，故該數(shù)列的首項(xiàng)為，所以答案應(yīng)填：． 【考點(diǎn)定位】等差中項(xiàng)． 【名師點(diǎn)晴】本題主要考查的是等差中項(xiàng)，屬于容易題．解題時(shí)一定要抓住重要字眼“中位數(shù)”和“等差數(shù)列”，否則很容易出現(xiàn)錯(cuò)誤．解本題需要掌握的知識(shí)點(diǎn)是等差中項(xiàng)的概念，即若，，

41、成等差數(shù)列，則稱為與的等差中項(xiàng)，即． 25.【2015高考新課標(biāo)2，理16】設(shè)是數(shù)列的前n項(xiàng)和，且，，則________． 【答案】 【考點(diǎn)定位】等差數(shù)列和遞推關(guān)系． 【名師點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列遞推式和等差數(shù)列通項(xiàng)公式，要搞清楚項(xiàng)與的關(guān)系，從而轉(zhuǎn)化為與的遞推式，并根據(jù)等差數(shù)列的定義判斷是等差數(shù)列，屬于中檔題． 26.【2014，安徽理12】數(shù)列是等差數(shù)列，若構(gòu)成公比為的等比數(shù)列，則________． 【答案】． 【解析】 試題分析：∵成等比，∴，令，則，即，∴，即，∴． 考點(diǎn)：1．等差，等比數(shù)列的性質(zhì)． 【名師點(diǎn)睛】對(duì)于等差數(shù)列與等比數(shù)列綜合考查的問(wèn)題，要做到：①熟練掌握等差

42、或等比數(shù)列的性質(zhì)，尤其是，則（等差數(shù)列），（等比數(shù)列）；②注意在平時(shí)提高自己的運(yùn)算求解能力，尤其是換元法在計(jì)算題中的應(yīng)用；③要熟練掌握數(shù)列中相關(guān)的通項(xiàng)公式，前項(xiàng)和公式等. 27.【2015高考安徽，理14】已知數(shù)列是遞增的等比數(shù)列，，則數(shù)列的前項(xiàng)和等于 . 【答案】 【考點(diǎn)定位】1.等比數(shù)列的性質(zhì)；2.等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式. 【名師點(diǎn)睛】對(duì)于等差數(shù)列與等比數(shù)列綜合考查的問(wèn)題，要做到：①熟練掌握等差或等比數(shù)列的性質(zhì)，尤其是，則（等差數(shù)列），（等比數(shù)列）；②注意題目給定的限制條件，如本題中“遞增”，說(shuō)明；③要熟練掌握數(shù)列中相關(guān)的通項(xiàng)公式，前項(xiàng)和公式等. 28.【2014天津，理1

43、1】設(shè)是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，為其前項(xiàng)和．若成等比數(shù)列，則的值為__________． 【答案】． 【解析】 試題分析：依題意得，∴，解得． 考點(diǎn)：1．等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式；2．等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式． 【名師點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式，本題屬于基礎(chǔ)題，利用等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式表示出然后依據(jù)成等比數(shù)列，列出方程求出首項(xiàng).這類問(wèn)題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的基本知識(shí)，大多利用通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式通過(guò)列方程或方程組就可以解出. 29.【2015湖南理14】設(shè)為等比數(shù)列的前項(xiàng)和，若，且，，成等差數(shù)列，則 . 【答案】. 【解析】 【考點(diǎn)定位】等差數(shù)列與等比數(shù)列的性質(zhì). 【名師點(diǎn)睛】本題主要考查等差與等比數(shù)列的性質(zhì)，屬于容易題，在解題過(guò)程中，需要建立關(guān)于等比數(shù)列 基本量的方程即可求解，考查學(xué)生等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想與方程思想. 32