《數(shù)學(xué)理高考二輪專(zhuān)題復(fù)習(xí)與測(cè)試:第二部分 專(zhuān)題二 第2講 數(shù)列的求和及綜合應(yīng)用 Word版含解析》由會(huì)員分享,可在線(xiàn)閱讀,更多相關(guān)《數(shù)學(xué)理高考二輪專(zhuān)題復(fù)習(xí)與測(cè)試:第二部分 專(zhuān)題二 第2講 數(shù)列的求和及綜合應(yīng)用 Word版含解析(8頁(yè)珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、
A級(jí) 基礎(chǔ)通關(guān)
一、選擇題
1.已知Tn為數(shù)列的前n項(xiàng)和,若m>T10+1 013恒成立,則整數(shù)m的最小值為( )
A.1 026 B.1 025 C.1 024 D.1 023
解析:因?yàn)椋?+,所以Tn=n+1-,
所以T10+1 013=11-+1 013=1 024-.
又m>T10+1 013,
所以整數(shù)m的最小值為1 024.
答案:C
2.(2019·廣東廣州天河一模)數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1=1,對(duì)任意n∈N*的都有an+1=1+an+n,則++…+=( )
A. B.2 C. D.
解析:an+1-an=n+1,且a1=1,
所
2、以利用疊加法,得an=,
則=2,
故+++…+=2(1-+-+…+-) =2=.
答案:C
3.已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足an+1-an=2,a1=-5,則|a1|+|a2|+…+|a6|=( )
A.9 B.15 C.18 D.30
解析:因?yàn)閍n+1-an=2,a1=-5,所以數(shù)列{an}是公差為2,首項(xiàng)為-5的等差數(shù)列.
所以an=-5+2(n-1)=2n-7.
數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn==n2-6n.
令an=2n-7≥0,解得n≥.
所以n≤3時(shí),|an|=-an;n≥4時(shí),|an|=an.
則|a1|+|a2|+…+|a6|=-a1-a2-a3+a
3、4+a5+a6=S6-2S3=62-6×6-2(32-6×3)=18.
答案:C
4.(2019·衡水中學(xué)月考)數(shù)列an=,其前n項(xiàng)之和為,則在平面直角坐標(biāo)系中,直線(xiàn)(n+1)x+y+n=0在y軸上的截距為( )
A.-10 B.-9 C.10 D.9
解析:由于an==-,
所以Sn=++…+=1-
.
因此1-=,所以n=9.
所以直線(xiàn)方程為10x+y+9=0.
令x=0,得y=-9,所以在y軸上的截距為-9.
答案:B
5.(2019·廣州調(diào)研)已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若S3=7,S6=63,則數(shù)列{nan}的前n項(xiàng)和Tn為( )
A
4、.-3+(n+1)×2n B.3+(n+1)×2n
C.1+(n+1)×2n D.1+(n-1)×2n
解析:設(shè)等比數(shù)列的公比為q,易知q>0且q≠1.
依題意解得
因此an=a1qn-1=2n-1,所以nan=n·2n-1.
則Tn=1·20+2·21+3·22+…+n·2n-1.①
2Tn=1·21+2·22+…+(n-1)·2n-1+n·2n.②
由①-②,得-Tn=1+2+22+…+2n-1-n·2n=(1-n)·2n-1.
所以Tn=1+(n-1)·2n.
答案:D
二、填空題
6.已知[x]表示不超過(guò)x的最大整數(shù),例如:[2.3]=2,[-1.5]=-
5、2.在數(shù)列{an}中,an=[lg n],n∈N*,記Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,則S2 018=________.
解析:當(dāng)1≤n≤9時(shí),an=[lg n]=0,
當(dāng)10≤n≤99時(shí),an=[lg n]=1,
當(dāng)100≤n≤999時(shí),an=[lg n]=2,
當(dāng)1 000≤n≤2 018時(shí),an=[lg n]=3.
故S2 018=9×0+90×1+900×2+1 019×3=4 947.
答案:4 947
7.(2019·長(zhǎng)沙模擬)曲線(xiàn)y=x+ln x(n∈N*)在x=處的切線(xiàn)斜率為an,若bn=,則{bn}的前n項(xiàng)和Tn=________.
解析:由y′=+,知an=+
6、=n,
所以bn===-.
因此Tn=++…+=1-=.
答案:
8.(2019·深圳質(zhì)檢)數(shù)列bn=ancos 的前n項(xiàng)和Sn,已知S2 017=5 710,S2 018=4 030,若數(shù)列{an}為等差數(shù)列,則S2 019=________.
解析:設(shè)數(shù)列{an}是公差為d的等差數(shù)列,
a1cos +a2cos +a3cos π+a4cos +a5cos +a6cos 2π=(a1-a2)+(a5-a4)-a3+a6=-a3+a6.
由S2 017=5 710,S2 018=4 030,
可得5 710=-(a3+a9+…+a2 013)+(a6+a12+…+a2 010+
7、a2 016)+a2 017,
4 030=-(a3+a9+…+a2013)+(a6+a12+…+a2 010+a2 016)+a2 017-a2 018,
兩式相減可得a2 018=3 360,
由5710=1 008d+(3 360-d),解得d=4,
則an=a2 018+(n-2018)×4=4n-4 712,
可得S2 019=4 030-a2019=4 030-(4×2 019-4 712)=666.
答案:666
三、解答題
9.(2019·山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)聯(lián)考)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿(mǎn)足=+1(n≥2,n∈N*),且a1=1.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)
8、公式;
(2)記bn=,Tn為數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和,求使Tn≥成立的n的最小值.
解:(1)由已知有-=1,
所以數(shù)列{}為等差數(shù)列,且==1,
所以=n,即Sn=n2.
當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1.
又a1=1也滿(mǎn)足上式,
所以an=2n-1.
(2)由(1)知,bn==,
所以Tn===,
由Tn≥有n2≥4n+2,有(n-2)2≥6,所以n≥5,
所以n的最小值為5.
10.(2019·成都七中聯(lián)考)在數(shù)列{an}中,已知a1=,且=(n∈N*).
(1)求{an}的通項(xiàng)公式;
(2)求{an}的前n項(xiàng)和Sn.
解:(1
9、)由=得,=· (n∈N*).
又a1=,所以是以為首項(xiàng)、為公比的等比數(shù)列.
于是=,則an=(n∈N*).
故{an}的通項(xiàng)公式為an=(n∈N*).
(2)由Sn=+++…++,
得Sn=+++…++,
兩式相減,得Sn=+++…+-=-=1-.
于是{an}的前n項(xiàng)和Sn=2-(n∈N*).
B級(jí) 能力提升
11.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=2an-1(n∈N*),設(shè)bn=1+log2an,則數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn=________.
解析:因?yàn)镾n=2an-1(n∈N*),
所以當(dāng)n=1時(shí),a1=1.
當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1,得an=2an-1,
所
10、以an=2n-1,從而bn=1+log2an=n.
故Tn=++…+=++…+=.
答案:
12.(2019·衡水檢測(cè))已知a,b,c分別為△ABC三內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊,其面積S=,B=60°,a2+c2=2b2.在等差數(shù)列{an}中,a1=a,公差d=b.數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為T(mén)n,且Tn-2bn+1=0,n∈N*.
(1)求數(shù)列{an},{bn}的通項(xiàng)公式;
(2)若cn=anbn,求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和為Sn.
解:(1)由S=acsin 60°=,得ac=4.
根據(jù)余弦定理,b2=a2+c2-2accos 60°,且a2+c2=2b2,
所以b2=2b2-4,則b
11、2=4,
從而得a=b=c=2,
所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)an=2+2(n-1)=2n.
又Tn-2bn+1=0,n∈N*,
當(dāng)n=1時(shí),b1-2b1+1=0,b1=1.
當(dāng)n≥2時(shí),Tn-1-2bn-1+1=0,所以bn=2bn-1.
則{bn}是公比為2,首項(xiàng)b1=1的等比數(shù)列.
所以bn=2n-1.
(2)cn=anbn=n·2n,
Sn=1·21+2·22+3·23+…+(n-1)2n-1+n·2n,
2Sn=1·22+2·23+3·24+…+(n-1)2n+n·2n+1.
兩式相減得-Sn=21+22+23+…+2n-n·2n+1=2n+1-2-n·2n+1,
所以Sn=(n-1)2n+1+2.