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1、
3.3.3 點到直線的距離
3.3.4 兩條平行直線間的距離
整體設計
教學分析
點到直線的距離是“直線與方程”這一節(jié)的重點內(nèi)容，它是解決點線、線線間的距離的基礎，也是研究直線與圓的位置關系的主要工具.
點到直線的距離公式的推導方法很多，可探究的題材非常豐富.除了本節(jié)課可能探究到的方法外，還有應用三角函數(shù)、應用向量等方法.因此“課程標準”對本節(jié)教學內(nèi)容的要求是：“探索并掌握點到直線的距離公式，會求兩條平行線間的距離.”希望通過本節(jié)課的教學，能讓學生在公式的探索過程中深刻地領悟到蘊涵其中的重要的數(shù)學思想和方法，學會利用數(shù)形結(jié)合思想，化歸思想和分類方法，由淺入深，由特殊到
2、一般地研究數(shù)學問題，培養(yǎng)學生的發(fā)散思維.根據(jù)本節(jié)課的內(nèi)容特點，學習方法為接受學習與發(fā)現(xiàn)學習相結(jié)合.學生的探究并不是漫無邊際的探究，而是在教師引導之下的探究；教師也要提供必要的時間和空間給學生展示自己思維過程，使學生在教師和其他同學的幫助下，充分體驗作為學習主體進行探索、發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的樂趣.
三維目標
1.讓學生掌握點到直線的距離公式，并會求兩條平行線間的距離.
2.引導學生構(gòu)思距離公式的推導方案，培養(yǎng)學生觀察、分析、轉(zhuǎn)化、探索問題的能力，鼓勵創(chuàng)新.培養(yǎng)學生勇于探索、善于研究的精神，學會合作.
重點難點
教學重點:點到直線距離公式的推導和應用.
教學難點:對距離公式推導方法的感悟與數(shù)學
3、模型的建立.
課時安排
1課時
教學過程
導入新課
思路1.點P(0,5)到直線y=2x的距離是多少？更進一步在平面直角坐標系中,如果已知某點P的坐標為(x0,y0),直線l的方程是Ax+By+C=0,怎樣由點的坐標和直線的方程直接求點P到直線l的距離呢?這節(jié)課我們就來專門研究這個問題.
思路2.我們已學習了兩點間的距離公式，本節(jié)課我們來研究點到直線的距離.如圖1,已知點P(x0,y0)和直線l:Ax+By+C=0，求點P到直線l的距離(為使結(jié)論具有一般性，我們假設A、B≠0).
圖1
推進新課
新知探究
提出問題
①已知點P(x0,y0)和直線l:Ax+By+C=0
4、，求點P到直線l的距離.你最容易想到的方法是什么?各種做法的優(yōu)缺點是什么?
②前面我們是在A、B均不為零的假設下推導出公式的，若A、B中有一個為零，公式是否仍然成立？
③回顧前面證法一的證明過程，同學們還有什么發(fā)現(xiàn)嗎？(如何求兩條平行線間的距離)
活動：
①請學生觀察上面三種特殊情形中的結(jié)論:
(ⅰ)x0=0,y0=0時，d=；(ⅱ)x0≠0,y0=0時，d=；
(ⅲ)x0=0,y0≠0時，d=.
觀察、類比上面三個公式，能否猜想：對任意的點P(x0,y0)，d=?
學生應能得到猜想：d=.
啟發(fā)誘導：當點P不在特殊位置時，能否在距離不變的前提下適當移動點P到特殊位置，從而可
5、利用前面的公式？(引導學生利用兩平行線間的距離處處相等的性質(zhì)，作平行線，把一般情形轉(zhuǎn)化為特殊情形來處理)
證明：設過點P且與直線l平行的直線l1的方程為Ax+By+C1=0，令y=0，得P′(,0).
∴P′N=. (*)
∵P在直線l1:Ax+By+C1=0上,
∴Ax0+By0+C1=0.∴C1=-Ax0-By0.
代入(*)得|P′N|=
即d=,.
②可以驗證，當A=0或B=0時，上述公式也成立.
③引導學生得到兩條平行線l1:Ax+By+C1=0與l2:Ax+By+C2=0的距離d=.
6、
證明：設P0(x0,y0)是直線Ax+By+C2=0上任一點，則點P0到直線Ax+By+C1=0的距離為d=.
又Ax0+By0+C2=0,即Ax0+By0=-C2，∴d=.
討論結(jié)果：①已知點P(x0,y0)和直線l:Ax+By+C=0，求點P到直線l的距離公式為d=.
②當A=0或B=0時，上述公式也成立.
③兩條平行線Ax+By+C1=0與Ax+By+C2=0的距離公式為d=.
應用示例
思路1
例1 求點P0(-1，2)到下列直線的距離：
(1)2x+y-10=0;(2)3x=2.
解:(1)根據(jù)點到直線的距離公式得d=.
(2)因為直線3x=2平行于y軸，所以
7、d=|-(-1)|=.
點評：例1(1)直接應用了點到直線的距離公式，要求學生熟練掌握；(2)體現(xiàn)了求點到直線距離的靈活性，并沒有局限于公式.
變式訓練
點A(a，6)到直線3x－4y=2的距離等于4，求a的值.
解:=4|3a-6|=20a=20或a=.
例2 已知點A(1，3)，B(3，1)，C(-1，0)，求△ABC的面積.
解:設AB邊上的高為h，則S△ABC=|AB|·h.
|AB|=，
AB邊上的高h就是點C到AB的距離.
AB邊所在的直線方程為,即x+y-4=0.
點C到x+y-4=0的距離為h=，
因此，S△ABC=×=5.
點評：通過這兩道簡
8、單的例題，使學生能夠進一步對點到直線的距離理解應用，能逐步體會用代數(shù)運算解決幾何問題的優(yōu)越性.
變式訓練
求過點A(-1,2),且與原點的距離等于的直線方程.
解:已知直線上一點，故可設點斜式方程，再根據(jù)點到直線的距離公式,即可求出直線方程為x＋y－1=0或7x＋y＋5=0.
例3 求平行線2x-7y+8=0和2x-7y-6=0的距離.
解:在直線2x-7y-6=0上任取一點,例如取P(3,0),則點P(3,0)到直線2x-7y+8=0的距離就是兩平行線間的距離.因此,
d=.
點評:把求兩平行線間的距離轉(zhuǎn)化為點到直線的距離.
變式訓練
求兩平行線l1:2x
9、+3y-8=0,l2:2x+3y-10=0的距離.
答案：.
知能訓練
課本本節(jié)練習.
拓展提升
問題：已知直線l:2x-y+1=0和點O(0，0)、M(0，3)，試在l上找一點P，使得||PO|-|PM||的值最大，并求出這個最大值.
解:點O(0，0)關于直線l:2x-y+1=0的對稱點為O′(-,)，
則直線MO′的方程為y-3=x.
直線MO′與直線l:2x-y+1=0的交點P()即為所求，
相應的||PO|-|PM||的最大值為|MO′|=.
課堂小結(jié)
通過本節(jié)學習，要求大家：
1.掌握點到直線的距離公式，并會求兩條平行線間的距離.
2.構(gòu)思距離公式的推導方
10、案，培養(yǎng)學生觀察、分析、轉(zhuǎn)化、探索問題的能力，鼓勵創(chuàng)新.培養(yǎng)學生勇于探索、善于研究的精神，學會合作.
3.本節(jié)課重點討論了平面內(nèi)點到直線的距離和兩條平行線之間的距離，后者實際上可作為前者的變式應用.
作業(yè)
課本習題3.3 A組9、10；B組2、4.
設計感想
對本節(jié)課的教學內(nèi)容的處理，各種版本的教材的手段不盡相同.“北師大版”給出的方法是先求兩條互相垂直的直線的交點坐標再計算距離，并沒有推導公式的過程，重在求解過程的“流程”，而不在意運算的繁瑣，有讓學生感性認識“算法”的味道；“人教版”和“蘇教版”思路基本相同，都是先引導學生探索和“北師大版”中的方法一樣的解法，但不展現(xiàn)其
11、推導過程，然后采用作輔助線構(gòu)造直角三角形以簡化運算的方法進行公式推導.“蘇教版”還用了從具體到抽象的方法以降低思維難度.但為什么會想到要構(gòu)造直角三角形,這一最需要學生探索的過程無法展現(xiàn).為解決這個問題，本節(jié)課擬吸收各版本的精華，采用探究式的教學方法，通過設問、啟發(fā)、鋪墊，為學生搭建探究問題的平臺，讓學生在問題情境中，自己去觀察、歸納、猜想并證明公式，經(jīng)歷數(shù)學建模的過程，在自主探究、合作交流中獲得知識，在多角度、多方面的解決問題中，使不同層次的學生都能有所收獲與發(fā)展.根據(jù)本節(jié)課的內(nèi)容特點，學習方法為接受學習與發(fā)現(xiàn)學習相結(jié)合.學生的探究并不是漫無邊際的探究，而是在教師引導之下的探究；教師也要提供必要的時間和空間給學生展示自己思維過程，使學生在教師和其他同學的幫助下，充分體驗作為學習主體進行探索、發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的樂趣.
高中數(shù)學必修2教案8_示范教案（3_3_4兩條平行直線間的距離）
